2018中考数学《函数探究》专题复习试题含解析

函数探究

【例1】 1.抛物线y=ax 2

+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系的图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2

+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2

+4x+6的值等于．

3.已知二次函数y=ax 2

﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 2＜y 1＜y 3

C ．y 1＜y 3＜y 2

D ．y 3＜y 1＜y 2

方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2

＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-，

)来求对称轴及顶点坐标．

2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；

(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．

举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2

+4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（） A ．（﹣3，7）

B ．（﹣1，7）

C ．（﹣4，10）

D ．（0，10）

2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2

+3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ．

3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）

A ．312y y y >>

B ．312y y y >>

C ．321y y y >>

D ．213y y y >> 考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系

【例2】二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：

①2a +b ＞0；②b＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）．

方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．

举一反三 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②4a+c＞2b；③（a+c）2＞b2；④x（ax+b）≤a﹣b．

其中正确结论的是．（请把正确结论的序号都填在横线上）

2.一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）

A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0

考点三、二次函数图象的平移

【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．

举一反三将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )

A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2

考点四、确定二次函数的解析式

【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．

方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．

举一反三已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．

考点五、二次函数的实际应用

【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：

1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值围．2．在自变量取值围，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．

举一反三大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？

考点六、二次函数的面积问题

【例6】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

方法总结对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．

举一反三如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、

C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、

D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把

这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m ＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

考点七、二次函数的综合应用

【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求△ACD的面积；

（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

方法总结此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．

举一反三在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

一、选择题

1．已知抛物线()3y k x 1x k ?

=+ ???

-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 2．已知下列命题：

①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c x