数学建模案例分析2.双层玻璃的功效
数学建模实例-双层玻璃的功效教学提纲
数学建模实例-双层玻璃的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
二、 符号说明1T ——室内温度2T ——室外温度d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度a T ——内层玻璃的外侧温度b T ——外层玻璃的内侧温度k ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<。
双层玻璃窗的功效
数学模型 之 初等模型
双层玻璃窗的功效
2012-9-18
初等模型： 如果研究对象的机理比较简 单，一般用静态、线性、确定性 模型描述就能达到建模目的时， 我们基本上使用初等数学的方法 来构造和求解模型。 另外需要指出，衡量一个模 型的优劣全在于它的应用，而不 是采用了多么高深的数学方法。
问题归纳：两层厚度为d的玻璃夹着一层厚 度为l的空气。试描述热量通过窗户的传导过 程，并与厚度为2d的单层玻璃窗相比较。
模 型 构 成
热传导定律：设厚度为d的均匀介质， 两侧温度差为，则单位时间内从温 度高的一侧向温度低的一侧通过单位面 积的热量Q与 成正比，与d成反比， 即 T Q k , (1) d 其中k为热传导系数。
设 双 层 窗 内 层 玻 璃 外 侧 温 度 为 Ta ， 外 层玻璃内侧温度为Tb，玻璃的热传导 系数为k1，空气的热传导系数为k2。由 (1)，单位时间内通过单位面积的热量为
1 2
得：
Q Q
1 8h 1 ,
h
l d
.
(6)
Q
由图知，当h增加时， Q/ Q' 迅速下降， 而当h>4后，下降变 缓。所以h不宜过大。
Q
0.06 0.03 0应用：
通 常 建 筑 要 求 h = l / d 4 , 于 是 ， Q/ Q ' 3%。因此，双层玻璃窗比用同样多的 玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量97% 左右。当然，由于其他因素的存在，实际情况 没这么好。
1 1 2
(4)
Q
Q s 2
2
.
(5)
显然， Q Q .
由数据资料知道，常用玻璃的热传导系数 k1=410-3~ 810-3(焦耳/厘米· 度) ，干燥 秒· 不流通的空气的热传导系数k2=2.510-4(焦 耳/厘米· 度)。 秒· 所以，
数学模型 数学论文指导 双层玻璃的功效
l
知识引入 热传导原理：厚度为 d ，的均匀介质，两侧温
度差为 ∆T ，则单位时间由温度高的一侧向温 度低的一侧通过单位面积的热量为：∆T Leabharlann =k dk为热传导系数
模型的建立
由假设知： 由假设知：
T1 − Ta Ta − Tb Tb − T2 Q = k1 = k2 = k1 d l d
消去 T , T a b
−3
−3
k 2 = 2.5 × 10 −4
于是：
做保守的估计，取最小的16，得
k1 = 16 ~ 32 k2
Q 1 = Q1 8 ⋅ l + 1 d
可见
Q Q1 仅与
Q1
l 有关， d
Q 小，若取
则
l =4 d
l 越大， d
越
Q ≈ 3% Q1
模型评价：模型具有一定的实用性，但 是在实际中效果没有这么好。
模型假设 1、设室内温度为 室外温度为 ，内层玻璃外侧 T1 T2 的温度为 ，外层玻璃内测的温度为 Ta Tb 2、设双层玻璃在单位时间内通过单位面积的热量 为 Q 3、设窗户的密封效果很好，两层玻璃之间的空气 不流动。 4、室内、室外温度保持不变，热传导处于稳定状 态，即单位时间通过单位面积的热量是常数。玻璃 的热传导系数为常数 k1 空气的热传导系数为常 数 k2 5、设玻璃的厚度为 d 两层玻璃之间的间隔为
得
k 1 ( T1 − T 2 ) Q = k l d ( 1 + 2) k2d
对于厚度为 2d 的单层玻璃，其传导的热 量为： k (T − T 2 ) Q = 1 1
1
从而
Q 2 = k1l Q1 +2 k2d
2d
数学建模双层玻璃的功效模型评价
数学建模双层玻璃的功效模型评价
双层玻璃是一种常见的建筑材料，具有一些独特的功效。
本文将基于数学建模方法，对双层玻璃的功效进行评价。
首先，我们可以通过数学模型评估双层玻璃的保温性能。
双层玻璃的两层之间通常会填充一种叫做气体的绝热材料，如氩气或氪气。
这些气体具有较低的热传导性，可以减少室内与室外的热量传递。
我们可以利用传热学中的热传导理论，建立数学模型来计算双层玻璃的热传导系数。
通过对比单层玻璃和双层玻璃的热传导系数，我们可以评估双层玻璃在保温方面的功效。
其次，我们可以利用数学模型来研究双层玻璃的隔音效果。
双层玻璃通过夹层的气体和两层之间的距离，可以有效吸收声波的能量，减少声音的传播。
我们可以运用声学原理，建立声波传播的数学模型，计算双层玻璃的声学性能指标，如声传递系数和噪音减少量。
通过与单层玻璃进行对比，我们可以评估双层玻璃在隔音方面的功效。
此外，数学建模还可以应用于评估双层玻璃的安全性能。
双层玻璃的两层之间可以夹入一层薄膜，以增强玻璃的抗冲击能力和防护性能。
我们可以运用力学原理建立数学模型，评估双层玻璃在受力情况下的强度和稳定性。
通过计算双层玻璃的抗压强度和抗张强度，我们可以对其安全性能进行评价。
总之，数学建模是评价双层玻璃功效的有效工具。
通过建立合适的数学模型，我们可以准确评估双层玻璃在保温、隔音和安全性能方面的优势，为建筑设计和使用提供科学依据。
双层玻璃窗的功效
双层玻璃窗的功效问题 你是否注意到北方城镇的某些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图2一I 左图所示，两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图2一l 右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比．对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1．热量的传播过程只有传导，没有对流．即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．2．室内温度１Ｔ和室外温度２Ｔ保持不变，热传导过程已处于稳定状态．即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数．3．玻璃材料均匀，热传导系数是常数．模型构成 在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d 的均匀介质．两侧温度差为Ｔ∆，则单位时间由温度高的—侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与Ｔ∆成正比，与d 成反比，即dT k∆Ｑ＝ （１） k 为热传导系数． 记双层窗内层玻璃的外侧温度是a Ｔ，外层玻璃的内侧温度是b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由(1)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为dT T k l T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2） 从（2）式中消去a Ｔ、b T 可得()2211+-=s d T T k Q ，21k k h s =，d l h = （3） 对于厚度为2d 的单层玻璃，容易写出其热量传导为dT T k Q 2211-=' （4） 两者之比为 22+='s Q Q （5） 显然Q '<Ｑ。
为了得到更具体的结果，我们需要1k 和2k 的数据．从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯＝k (焦耳／厘米·秒·度)，不流通、干燥空气的热传导系数32105.2-⨯＝k (焦耳／厘米·秒·度)，于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取21k k ＝16，由(3)、(5)式可得181+='h Q Q ，d l h = （6） 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 d l h =有关，图2—2给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由０增加时，Q '迅速下降，而当h 超过一定值(比如h>4)后Q '下降变缓．可见h 不宜选择过大． 模型应用 这个模型具有—定应用价值，制作工艺复杂会增加一定的费用，但它减少的热量损失却是相当可观的．通常，建筑规范要求４≈=d l h ，按照这个模型，３％≈'Q Q ，即双层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97％左右．不难发现，之所以有如k，而这要求空气总干燥、不流通此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2的．作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层窗户的功效会比上述结果差些。
数学建模基础 12.10双层玻璃的功效
Q
k1
T1 T2
,
而
Q 2 , Q Q Q s 2
说明双层玻璃比单层玻璃保温,为得定量结果, 考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:k1=410-3 ~ 810-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气:k2=2.510 - 4 (焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
问题:北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内
保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损 失的定量分析结果
模型准备:热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果:
厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正 比,与d成反比,即:Q=k T/d
Ta
T1
T2
L
Tb
模型构成:
由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
Q
k1
T1
d
Ta
k2
Ta
Tb L
k1
Tb
d
T2
消去不方便测量的T1 ,T2,有
Q
k1
T1 T2 d(s 2)
,
s h k1 , h L k2 d
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层 玻璃,有热传导:
k为热传导系数.物理定律
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)
2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户 单位面积的热量是常数)
3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度, T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度, T2:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数
双层玻璃的功效
2d k2 L1 L2 Ln k1
验
由此可以发现，当 d 一定时，决定保温性能的其实是 L1 至 Ln 之和。也就是说，与
内 玻璃层数无关。玻璃厚一点（ d 大一些），间隙大一些（ L 大一些）即可。
容
由以上分析可知，当T1 20C ，T2 10C ， d 1cm ， L 2d 时，
容
二、模型假设
○1 室内的热量传播只有传导形式（不考虑对流、辐射）；
及
○2 室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数）；
○3 玻璃厚度均匀，玻璃材料均匀（即热传导系数是常数）。
数
三、符号说明
据
T1
处
T2
理
Ta
Tb
d
室内温度 室外温度 内层玻璃的外侧温度 外层玻璃的内侧温度 单层玻璃厚度
k2
Ta
Tb d
,
可得：
内
外
Q2
k1k2 (T1 T2 ) 2dk2 Lk1
.墙图 2 双层玻 Nhomakorabea示意图2
实验编号： 01
组别：10
设 s h k1 , h 1 ,
k2
d
则：
Q2
k1 (T1 d(S
T2 ) . 2)
所以 Q1 2 1, 显然双层玻璃减少了热量散失。 Q2 S 2
1
实验编号： 01
L k Q
两层玻璃之间的空气厚度 热传导系数
热量损失
组别：10
根据热传导物理定律，即厚度为 d 的均匀介质，两侧的温度差为 T T1 T2 ，则
单位时间内温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与 T 成正比，与成 d 反比，即：
最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效
精品文档双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为dl了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少d2热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定TT12状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.精品文档．精品文档二、符号说明——室内温度T1——室外温度T2——单层玻璃厚度d——两层玻璃之间的空气厚度l——内层玻璃的外侧温度T a——外层玻璃的内侧温度T b——热传导系数k ——热量损失Q三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高dT?的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为，与成正比，与Q T?成反比，即d?T（1）k?Q d其中为热传导系数. k 1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，TT ba玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时kk12间单位面积的热量传导（热量流失）为：T?TT?TT?T（2）ba1b2a k?k??Qk及可得由b12a kk?Q?Q2??(TT)?T?T112a1b kdd1 112dddT?TT?TQd精品文档．精品文档T?T就将（2）中再代入、消去，变形可得：ba k?QTT ba2d k)?Tk(Tl）（3 1211?, , s?hQ?h ??d2kds?2单层玻璃的热量流失2.的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：对于厚度为d2TT? 4）（?21kQ?1d2单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较3.2Q）（5 ）有：比较（3）（4??2?Qs.显然，?Q?Q的数据，从有关资料可为了获得更具体的结果，我们需要k,k21，常）.oC （J/cm.s知，不流通、干燥空气的热传导系数4?10?2k?.52（J/cm.s.用玻璃的热传导系数，于是C）o33??10k~?10?4?81k13216?~k2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们k，由（3）（5）可得：作最保守的估计，即取116?k2Q1l（6）?h??d1?h8Q精品文档．精品文档4. 模型讨论反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与比值?QQ迅的曲线，当有关，下图给出了由0增加时，??Q~QQh?ldhQ h不下降缓慢，可见速下降，而当超过一定值（比如）后?QQ4?hhh.宜选得过大四、模型的应用制作双层玻璃窗虽然工艺复杂这个模型具有一定的应用价值.通常，建筑会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.按照这个模型，，即双层玻璃窗比用同.规范要求?%??ld4?3Qh样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数，而这k2要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下精品文档．精品文档当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.精品文档．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.
一、模型假设
1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能
很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
2.室内温度
T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定
1
状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常
数；
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.
二、 符号说明
1T ——室内温度
2T ——室外温度
d ——单层玻璃厚度
l ——两层玻璃之间的空气厚度
a T ——内层玻璃的外侧温度
b T ——外层玻璃的内侧温度
k ——热传导系数
Q ——热量损失
三、 模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即
d
T k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数.
1. 双层玻璃的热量流失
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时
间单位面积的热量传导（热量流失）为：
d T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211
-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及d
T T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=-
再代入d T T k Q b a -=2
就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()d
l h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）
2. 单层玻璃的热量流失
对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d
T T k Q 2211-=' （4）
3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3）（4）有：
22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.
为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可
知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s .ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s .ºC ），于是
32~162
1=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取
1621=k k ，由（3）（5）可得：
d l h h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.
四、模型的应用
这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈=d l h .按照这个模型，%3≈'Q ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k ，而这
要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。