第7章 结晶化学导论
结晶学讲义
结晶学基础第一章绪论第二章晶体及其基本性质第三章晶体的发生与成长晶体的宏观对称第四章晶体的定向和晶面符号第五章晶体结构的几何理论第六章晶体化学第七章典型晶体结构第八章晶体缺陷第一章绪论一、结晶学(crystallography)：是以晶体为研究对象的一门科学。
自然界中的绝大多数矿物都是晶体，要了解这些结晶的矿物，就必须了解和掌握结晶学特别是几何结晶学的基本知识。
如：冰、雪、土壤、金属、矿物、陶瓷、水泥、化学药品等晶体和非晶质体：人们常见的晶体有水晶、石盐、蔗糖等，在一般人的心目中就认为晶体就像水晶和石盐那样，具有规则的几何多面体形状。
晶体—具有格子构造的固体, 或内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体。
研究表明，数以千计的不同种类晶体尽管各种晶体的结构各不相同，但都具有格子状构造，这是一切晶体的共同属性。
与晶体结构相反，内部质点不作周期性的重复排列的固体，即称为非晶质体。
二、研究简史：★1000多年前，认识了石英和石盐具有规则的外形；★17世纪中叶前，以外形研究为主；★1912年，X射线晶体衍射实验成功，结晶学进入快速发展阶段；★19世纪中叶开始对晶体内部结构探索，逐渐发展成为一门独立的学科；★20世纪初, 内部结构的理论探索。
三、结晶学的研究意义：是矿物学的基础，是材料科学的基础，是生命科学的基础。
四、现代结晶学的几个分支：1、晶体生成学：研究天然及人工晶体的发生、成长和变化的过程与机理，以及控制和影响它们的因素。
2、几何结晶学：研究晶体外表几何多面体的形状及其规律性。
3、晶体结构学：研究晶体内部结构中质点排列的规律性，以及晶体结构的不完善性。
4、晶体化学：研究晶体的化学组成与晶体结构以及晶体的物理、化学性质之间关系的规律性。
5、晶体物理学：研究晶体的各项物理性质及其产生的机理。
思考题1、什么是矿物？2、什么是晶体？晶体和非晶体有何本质区别？3、现代结晶学有哪几个分支?第二章晶体及其基本性质晶体的定义：晶体是内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体；或者说是具有格子状构造的固体。
《结构化学》(7-10章)习题答案全解
《结晶学基础》习题答案目录第7章答案----------------------------------------------------------------------1第8章答案---------------------------------------------------------------------12第9章答案---------------------------------------------------------------------20第10章答案------------------------------------------------------------------251《结晶学基础》第七章习题答案7001 单晶:一个晶体能基本上被一个空间点阵的单位矢量所贯穿。
多晶:包含许多颗晶粒,这些晶粒可能为同一品种,也可能不同品种,由于各晶粒在空间取向可能不同,不能被同一点阵的单位矢量贯穿。
7002 (D) 7004 简单立方; Cs +和Cl -; 4C 37005 (1) 立方F (2) A 和 B (3) 4 个 (4) 4 组 (5) 3a (6) a /2 7007 4n 个 A, 8n 个 B, n 为自然数。
7010 d 111= 249 pm ; d 211= 176 pm ; d 100= 432 pm 7011 六方; D 3h 70127013 依次为立方,四方,四方,正交,六方。
7014 立方 P ,立方 I ,立方 F ; 四方 P ,四方 I 。
7015 旋转轴,镜面,对称中心,反轴; 旋转轴,镜面,对称中心,反轴,点阵,螺旋轴,滑移面;n =1,2,3,4,6; 32个; 七个晶系; 14种空间点阵型式; 230个空间群。
7016 (1) 四方晶系 (2) 四方 I (3) D 4 (4) a =b ≠c , α=β=γ=90° 7017 (1) 单斜晶系,单斜 P (2) C 2h (3) C 2, m , i 7018 (2a ,3b ,c ):(326); (a ,b ,c ):(111); (6a ,3b ,3c ):(122); (2a ,-3b ,-3c ):(322)。
第7章结晶化学导论概论
以称为“密堆积”。它的空间利用率为68.02%， 配位数为8，习惯上称为A2型。-铁就采用此结构。
7.1.2 空间利用率
构成晶体的原子、离子、或分子在整个晶体空间
中占有的体积百分比叫做空间利用率。这个概念
可表示原子、离子、分子在晶体结构中堆积的紧
密程度。下面以六方最密堆积为例说明这个问题。
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上， 这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层 再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下 去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一 立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图7-5）。
习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最密堆 积为Ａ 型。立方体心密堆积不是最紧密堆积，所
这种情况还是一个科学之谜。
冠柱状雪花
这些晶体首先长成短而粗的柱，之后 被膨胀成盘状似的云，结果是二个盘 状晶体长在一个冰柱头上。
罕见的12条枝杈雪花
这确实是二朵雪花连在一起，一朵雪花相 对另一朵雪花旋转了30度。这种雪花非常 罕见。
三角晶状雪花
霜晶状雪花
在温度接近零下2摄氏度时，当晶体盘 云是由无数水珠组成的，有时这些水珠 长成去了角的三角形时，三角形晶体 相互碰撞，粘在雪花晶体上。冻结的水 雪花就形成了。这些晶体也非常罕见。 表叫霜。
在六方最密堆积中选出的六方单位中，每个单位
有两个球，球心的坐标是（000）,（32
1 3
12）。
从图7–6可见a=2r,
边长为a的正四面
体的高可以从
图7-7中求出。
由图可知，立方体边长为a′,立方体体对角线长为
四面3 a体′,的体高对为角立线方为体（对111角）线平的面一，2分即为三，所以正
c=2× 2 3a′,但a′= a ,2这样c= 3 2a,6
晶体化学基本原理PPT课件
界半径比（r+/r-）有关.
60
例：以NaCl晶体为例，求八面体配位时的r+/r-
.
61
阳离子的配位数与阴阳离子半径比 的关系：
干冰CO2 B2O3
.
62
（三）离子极化
离子极化是指离子在外电场作用下，改 变其形状和大小的现象。
静电键S强＝正度离子电＝荷Z数
正离子配位n 数
.
63
1、极化过程
被极化：自身被极化
这样才能形成极性分子和一个裸露的质子15晶体中亓种键型的比较离子键共价键金属键静电库仑力共用电子对静电库仑力分子间力特点无方向性无饱和性方向性饱和性无方向性无饱和性无方向性无饱和性饱和性方向性晶体性质离子晶体nacl共价晶体clsio金属晶体cufe分子晶体干冰co2h2o熔点高硬度大导电性能差膨胀系数熔点高硬度大导电性能差良好的导电性导热性延展性塑混合键在材料中单一结合键的情况并丌是很多大部分材料的原子结合键往往是丌同键的混合
.
45
5）空间利用率（堆积系数、堆积密度、致密度）
一般采用空间利用率（堆积系数）来表征 密堆系统总空隙的大小。其定义为：晶胞中原 子体积与晶胞体积的比值。
堆积系数V V0
Z 4r3
3 a03
例：求面心立方紧密堆积时的致密度。
.
46
（3）体心立方堆积
体心立方堆积比较简单、对称性高， 是金属中常见的三近种似密原排子面堆为积：方（式11之0）一面。
空隙C
.
38
.
39
6n 6
.
40
.
41
.
42
.
43
2）空隙分布
每个球周围有8个 四面体空隙；
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记【最新版】目录1.钱逸泰的《结晶化学导论》概述2.结晶化学的基本概念与理论3.结晶化学的实际应用4.读书笔记的心得体会正文一、钱逸泰的《结晶化学导论》概述《结晶化学导论》是著名化学家钱逸泰所著的一部关于结晶化学的经典教材。
本书系统地阐述了结晶化学的基本概念、理论和方法，以及其在实际应用中的重要性。
书中所涉及的内容广泛且深入，适合化学及相关专业的本科生、研究生及科研人员阅读和参考。
二、结晶化学的基本概念与理论1.结晶化学的定义：结晶化学是研究晶体结构、性质、形成和变化的化学分支。
2.晶体与非晶体：晶体是具有高度有序排列的原子、离子或分子的固态材料，与之相对的是非晶体，其原子、离子或分子排列相对无序。
3.晶体结构：晶体结构是指晶体内部原子、离子或分子的空间排列方式。
常见的晶体结构有离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体等。
4.结晶化学的基本原理：包括晶体生长、晶体形态、晶体结构测定、晶体学点阵、空间群等。
三、结晶化学的实际应用1.材料科学：结晶化学在材料科学中具有重要应用，如研究材料的晶体结构与性能关系、相图与相变行为等。
2.药物研究：药物的晶体形态和晶体结构与其生物活性、稳定性和可溶性密切相关，因此结晶化学在药物研究和开发中具有重要作用。
3.矿产资源：结晶化学在矿产资源的勘探、开发和利用中具有关键地位，如通过矿物的晶体学特征来鉴定和研究矿产资源。
4.环境保护：结晶化学在环境污染物的去除和治理中也发挥着作用，如有机污染物的吸附和固定等。
四、读书笔记的心得体会阅读《结晶化学导论》一书，让我对结晶化学有了更加全面和深入的认识。
钱逸泰先生在书中运用通俗易懂的语言，系统地阐述了结晶化学的基本概念和理论，以及实际应用。
通过学习本书，我对晶体的结构、性质和形成等方面有了更加清晰的理解，为今后的学习和研究奠定了坚实的基础。
结晶化学导论》笔记---方聪_203.2.3（PDF）
结晶化学导论2013年9月《结晶化学导论》课程笔记目录序言： (3)第一部分：晶体宏观对称性 (4)1.1 晶体的投影 (4)1.2 晶体的对称原理 (6)1.3 10种宏观对称元素组合原理 (13)1.4 晶体的32点群—晶体共有32种宏观对称类型 (19)1.5 依据32种点群进行晶体分类 (27)1.6 32种点群符号对应关系： (28)1.7 晶体的定向： (31)1.8 Bravais定律（决定晶体生长形态的内因） (33)1.9 晶体的晶形 (34)第二部分晶体的微观对称性 (39)2.1 7大晶系（讨论平行六面体（格子）的形状和对称性） (40)2.2 14种布拉维格子 (43)2.3 晶体的独立微观对称元素（共26种） (51)2.4 微观对称元素组合原理 (58)2.5 单位晶胞的投影及其符号表示 (61)2.6 晶体的230种空间群（空间对称群） (62)2.7 等效点系 (69)2.8 晶体微观对称性总结 (72)第三部分晶体X射线衍射基本原理 (74)3.1 X射线的产生 (74)3.2 X射线与物质的相互作用 (77)3.3 X射线衍射原理 (79)3.4 Laue方程 (81)3.5 布拉格方程 (86)3.6 Bragg方程和Laue方程的等价推导（以立方晶系为例） (89)3.7 倒易点阵 (89)g（倒格矢） (92)3.8 倒易点阵的向量推导—倒易矢量hkl3.9 7大晶系的面间距公式 (94)3.10 衍射的Ewald作图与衍射方法 (95)3.11 非单质结构的衍射 (98)3.12 X射线衍射的强度分析（消光） (100)第四部分：X射线粉末衍射及应用 (113)4.1 X射线粉末衍射原理及仪器构造 (113)4.2 X射线粉末衍射样品制备 (114)4.3 测定晶胞参数需要注意的两个问题 (116)4.4 X射线物相分析 (117)4.5 粉末衍射指标化 (121)4.6 粉末衍射结构分析 (127)第五部分：结晶化学概论 (130)5.1 等径球的密堆积 (130)5.2 其他密堆积类型 (134)5.3立方最密堆积A1，体心立方密堆积A2，六方最密堆积A3分析 (137)5.4 多层堆积的表示方法 (145)5.5 不等径球的密堆积 (146)5.6 分子的堆积 (156)5.7 结晶化学定律 (159)第六部分：典型结构化合物的结晶化学 (167)序言：这本《结晶化学导论笔记》是我自己在学习过程中整理的，笔记的整体框架以老师上课的PPT为基础。
结晶学与矿物学复习重点汇总(知识点总结)
第一章（着重概念）：晶体：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体。
显晶质：借助于肉眼或一般放大镜能分辨出结晶颗粒者。
隐晶质：用一般放大镜无法分辨出结晶颗粒者。
非晶质体：是内部质点在三维空间不作周期性重复排列的固体。
本质性的区别：晶体既具短程有序（近程规律），也具长程有序（远程规律）；。
非晶质体、液体只有近程规律，而无远程规律；气体既无远程规律，也无近程规律。
准晶体：是内部质点的排布具长程有序（远程规律），但不具有三维周期性重复的格子构造的固体。
空间格子：表示晶体内部结构中质点在周期性重复规律的三维无限的几何图形。
相当点（等同点）：在晶体结构中的位置及环境均完全相同的点。
结点：空间格子中的点，代表晶体结构中的相当点，为几何点。
行列：分布在同一直线上的结点即构成一个行列。
结点间距：行列上相邻两结点间的距离。
注意：同一行列上及相互平行的行列上的结点间距必定相等。
面网：连接分布在同一平面内的结点构成一个面网。
面网密度：面网上单位面积内的结点数。
面网间距：相互平行的相邻两面网间的垂直距离。
平行六面体：空间格子可被三组相交的行列划分出一个最小重复单位。
晶胞：实际晶体结构中划分出的最小组成单位。
晶胞的形状和大小，取决于其三个彼此相交的行列(X、Y、Z)上的结点间距(a0、b0、c0)及其间的夹角(α、β、γ，其中α= Y∧Z ，β= X∧Z ，γ= X∧Y )。
α、β、γ和a0、b0、c0合称为晶胞参数。
晶体的基本性质：1，自限性：晶体在自由空间中生长时，能自发地形成封闭的凸几何多面体外形。
2，均一性：同一晶体的任一部位的性质都是相同的，为晶体均一性。
非晶质体也具均一性，但它是宏观统计、平均近似的，称为统计均一性。
液体和气体也具有统计均一性。
3，异向性：晶体的性质随方向的不同而有所差异。
注意：1）晶体乃是一种均一的各向异性体。
2）非晶质体一般表现为等向性，其性质一般不随方向而改变。
3）晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上的性质相同。
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记（实用版）目录1.钱逸泰的《结晶化学导论》概述2.结晶化学的基本概念3.结晶化学的研究方法4.结晶化学的应用领域5.总结正文一、钱逸泰的《结晶化学导论》概述《结晶化学导论》是钱逸泰编著的一本关于结晶化学的入门书籍。
该书从基本概念入手，系统地介绍了结晶化学的各个方面，包括基本原理、研究方法以及应用领域等。
本书适合化学及相关专业的学生以及研究人员阅读和参考。
二、结晶化学的基本概念结晶化学是研究晶体结构、性质和形成规律的化学分支。
晶体是物质的固态形式，具有一定的对称性和规律性。
结晶化学主要关注以下几个方面：1.晶体结构：晶体结构的研究是结晶化学的核心内容，它涉及原子、离子或分子在晶体中的排列方式以及它们之间的相互作用。
2.晶体形态：晶体形态的研究主要关注晶体在生长过程中的形态变化，以及不同形态与晶体结构之间的关系。
3.结晶过程：结晶过程的研究包括晶体的形成、生长和转变等过程，以及影响这些过程的因素。
三、结晶化学的研究方法结晶化学的研究方法主要包括以下几个方面：1.晶体学方法：晶体学方法是研究晶体结构的主要手段，包括 X 射线衍射、电子衍射等技术。
2.热分析方法：热分析方法是研究晶体生长和相变过程的有效手段，包括热重分析、差示扫描量热法等技术。
3.光谱学方法：光谱学方法是研究物质的光谱性质和结构关系的重要手段，包括红外光谱、核磁共振等技术。
四、结晶化学的应用领域结晶化学在多个领域具有广泛的应用，包括：1.药物研究：结晶化学在药物的研究、设计和制备过程中发挥着重要作用，有助于提高药物的生物活性和安全性。
2.材料科学：结晶化学在材料的研究、设计和制备过程中具有重要意义，可以提高材料的性能和稳定性。
3.矿产资源：结晶化学在矿产资源的勘探、开发和利用方面具有重要意义，有助于提高资源的利用率和经济效益。
五、总结钱逸泰的《结晶化学导论》是一部系统介绍结晶化学基本概念、研究方法和应用领域的著作。
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MgO,MgS,MnO,MnS都是NaCl结构，其格子常数如下: （这相当于图7-14中八面体相对顶点的距离）
从MgO和MnO的格子常数差别上可看出，O2-之间在 MnO中没有接触到，而Mn2+和O2-是接触到了的，显然 Mn2+>Mg2+。在Mn与Mg的硫化物中，S2-之间必然是接触 到了。因为Mg2+与Mn2+的大小虽然不等，而其硫化物晶 胞却几乎一样大。根据这种推理，我们可以计算出S2-的 半径，从图7-13可求得
注意:该单位底面 是一个菱形,角度 为60,120度 3 其面积等于a 2 a
底面积乘高
每个六方单位中，球所占体积为2*4πr3/3。 空间利用率为： 8 3 r 3 74.05% 8 2r 3 用类似的办法可计算出立方最密堆积的空间利用 率也为74．05%。
7.1.3多层堆积 当球堆积为四层重复时，可表示 为 …ABACABAC… ， 五 层 重 复 时 ， 可 表 示 为…ABCABABCAB…。 对于最密堆积的情况，还可以用另一种办法表 示。其原则是： 对每一层我们看其上下两层的情况．如果上下两 层一样，则中间这一层用 h（hexgonal 心）来表示 ；如果上下两层不一样，则中间一层用 c （ cubic ）来表示。用这个办法来改写一下六层堆积的两种 情况： (1)…ABCACB ABCACB ABCACB… …hcc hcc hcc hcc hcc… (2) ABABAC ABABAC ABABAC… …chhhch chhhch chhhch…
这样负离子构成的空隙内能容纳的正离子半径为 : 3 2 r a a, 2 r (四面体) 2 2 2
3 2 2
0.225
从八面体空隙的剖面图（图7-13）可知，正方形的对角线：
2 r 2 r = 2 2r
r r 2r 1
空心柱状雪花
针状雪花
苗条的柱形，是在大约零下5摄氏度时形成的。在 六边形柱状雪花，两端是圆锥形空 你的袖子上，这些雪花看起来刚刚冒头的白发。有 洞区域。这些晶体非常小，得有一部 关此雪花的一个惊人事实是，当温度只变动几度时， 好的放大镜才能看到其空洞区域。 它们从薄和平的盘状长成苗条的柱形。为何会发生 这种情况还是一个科学之谜。
7.1.4 原子半径
在测得晶体结构数据后，单质原子半径一般为最邻近 二原子间距离的一半。金属铜为A1型结构，格子常数 a=3.6153A，在铜结构中最近二铜原子间距为 2 ，这样， a 2 a 原子半径r= =1.278 。A 2
O O
4
金刚石结构的格子常数 a＝3.567，离晶胞原点碳原子最 111 近的碳原子在（ 4 4 4 ）这样它们的间距一半即原子半径 为 石墨的情况，仅需考虑层内，因层间是范德瓦尔斯健。 两个碳原子最近距离的一半为:
第7章 结晶化学导论
7.1 等径球的密堆积
1619年，开普勒从雪花的六角形出发提出：固体是由
“球”密堆积而成的，这些球就是原子或分子(图7-1)。
结构分析表明，冰的结构(图7-2)并不紧密，以致冰的密 度小于水，这是水分子的氢键有方向性的缘故。然而， 开普勒的科学思想仍然是正确的。大量实验表明，由无 方向性的金属键离子键、范德瓦尔斯键构成的晶体，其
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上，
这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层
再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下
去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一 习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最密堆
立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图7-5）。
积为Ａ3型。立方体心密堆积不是最紧密堆积，所
分析: (1)…ABCACB ABCACB ABCACB… …hcc hcc hcc hcc hcc… (2) ABABAC ABABAC ABABAC… …chhhch chhhch chhhch… 用这个办法表示密堆积的缺点是层次数目得不到 反映。上例中同是六层最密堆积，但（1）看起来 仿佛是三层重复，（2）则仍保持六层堆积的样子 。优点是对于每一层的上下两层的几何关系表示 得较为清楚。显然，多层最密堆积的空间利用率 和六方、立方最密堆积完全一样，是74.05%。
鲍林指出，离子的大小取决于最外层电子分布，就电 子构型一样的离子来说，它们的大小与相应离子中作用于 最外层电子上的有效核电荷成反比。有效核电荷等于核电 荷Z减去屏蔽效应S。对同电子构型的离子有如下关系式： 式中，r1为离子的单电价半径。离子最外层电子离核越 远，单电价半径越大。Cn取决于离子最外层电子层主量 子数的常数，屏蔽常数则取决于离子的电子构型，例如对 Ne型离子S=4.52。离子在半径比接近0.75时的NaCl型晶体 中的半径称为晶体半径。因为根据鲍林提出的: rA-X=(r++r-)F(ρ)，从图7-15可：以看出，当r+／r- =00.75时， F(ρ) ＝1，此时的离子间距为离子半径之和。对 于一价离子，晶体半径即为离子单电子价半径。
图7-11 阴阳离子在堆积时的接触情况
当在某个配位数时，阴离子互相接触而阴阳离 子也互相接触情况下的半径比r+/r-称为该配位数 的半径比下限。这时结构开始不大稳定。对于四面体配
位用立方体辅助图形来计算其半径比下限。如图7-12，立 方体的六个面对角线构成一个正四面体.立方体的中心就 是四面体的中心。如果立方体的边长为a，则从四面体中 2 心到顶点的距离为ａ， r-应是正四面体边长的一半，即 2 a
雪 花 形 状 与 温 度 、 湿 度 关 系
通过在实验室的可控条件下长成的雪花，科学家已经发现它们的形状主要 是由温湿度决定。此图概括了在不同条件下所长成的晶体形状。
7.1.1 球的六方A3和立方A1最紧密堆积
在开普勒的图中画的是球紧密堆积的一个平面层，实际的
晶体结构是立体的，由无数平面层堆成。先看一个平面层 的情况。从图 7-1可知平面层中每个球与 6 个球相毗邻， 3 个球中间形成一个三角形空隙，但每个球周围有 6 个三角 形空隙，这样每个球就有6×1/3=2个空隙。换言之，平面
rs 2
o 2 1 5.22 1.84 A 2 2
CaS的晶体结构也为NaCl型，a=5.697A，因此可以肯定 Ca2+和S2-在接触之中，这样即可求得
rCa 2
o 1 (5.697 2 1.84) 1.01 A 2
用此方法可求出许多离子的半径（见表7-3）。
2.离子的晶体半径
7.3.2 离子半径比对结构的影响
决定晶体中阳离子配位数的因素很多，在许多场合半 径比 r+/r- 往往起着重要作用。当晶体中每个离子仅与符 号相反的离子相接触时，结构最为稳定。如图 7-11(a)所 示。如果中心阳离子再减小一点，那么当减小到与阴离子 相接触时，结构便有点不稳定。（图 7-11(b)）如果阳离 子更小一点，那么阴离子的空隙由于斥力作用不会缩小， 阳离 子 便可 以 在阴 离 子形 成 的空 隙 中自 由 移动 （ 图 711(c) ）。这种结构很容易变化而导致配位数降低。如图 7-11〔d〕所示：
原子、离子或分子都堆积得十分紧密。尤其是金属键和
离子键，其键力分布呈球形对称，它们的晶体可以近似
地用球的紧密堆积来描述。
绝美雪花显微照片：形状各异内部结构精细
六棱柱状雪花 普通棱柱状雪花 这是最基本的雪花晶体结构。这晶体通常 太小，肉眼是看不见的。这是大多数雪花 形成之初的模样，之后从各个角落伸出分 雪花的刻面装饰有不同的凹痕和隆起线。 枝，形成更为精细的雪花晶体结构。
以称为“密堆积”。它的空间利用率为68.02%，
配位数为8，习惯上称为A2型。-铁就采用此结构。
7.1.2 空间利用率 构成晶体的原子、离子、或分子在整个晶体空间 中占有的体积百分比叫做空间利用率。这个概念 可表示原子、离子、分子在晶体结构中堆积的紧 密程度。下面以六方最密堆积为例说明这个问题。 在六方最密堆积中选出的六方单位中，每个单位 211 有两个球，球心的坐标是（000）,（3 3 2 ）。 从图7–6可见a=2r, 边长为a的正四面 体的高可以从 图7-7中求出。
r / r 2 1 0.414 1
0.414就是配位数为6时（八面体配位）结构稳定的 半径比下限。
各种配位数的半径比下限列在表7-2中。
7.2.4 离子半径的求解
1．离子的接触半径
X光衍射可以求出正负离子间的距离即正负离子的半径 和。问题是如何把这个和正确无误地划分为正、负离子的 半径。在典型的离子晶体中，正离子比负离子小，负离子 形成密堆积，而正离子填充在负离子密堆积的空隙。如果 正离子足够小，小到正好落在负离子形成的空隙中，这时 负离子就互相接触，负离子的半径就能求得。举例说明这 个问题。
层中三角形空隙的数目是球数目的二倍。
在向第一层上加第二层球时，如要形 成最紧密堆积，必须把球放在三角形空 隙上，由于空隙数目是球数目的二倍所 以仅半数的三角形空隙上放了球，另一 半空隙上方是第二层的空隙，这样的二 层堆积仍能透过光（图7-3）。
在放第三层时，就会有不同的办法：①把第三层 放在与第一层一样的位置，即在第二层半数未被 球占有的三角形空隙的下方是第一层，上方是第 三层，然后再把第四层放得和第二层一样，第五 层放得和第一层一样，直至无限。显然这祥的堆 积仍能透光。因为从中可选出一 个六方单位来，这 种堆积叫做六方最 密堆积（图7-4）。
树枝星状雪花
有如此多侧枝以至于它们看起来像蕨似的。这是最大的雪花，通常降落到地表时 直径可达5毫米或以上。尽管它们体形大，但都是单晶体冰组成的。所谓单晶体 冰就是水分子从头到尾成线性排列。这是最佳粉状雪花，滑雪时可以没入到膝盖 处。它们是由星形树枝状晶体构成的。这些晶体特别薄和轻，因此使它们成为了 低密度的积雪场。
7.2.2 离子晶体的堆积
由于离子键的球形对称性，故可以把晶体看