实数-非负数性质
第2讲 实数的运算如非负数性质
Ａ
Ｂ
示 １￣ 的 点 分 别 、２ ／
—— ■
言——
为 Ａ、 ， Ｂ 点 Ｂ 父 于 Ａ 的 对 称 点 为 Ｃ， 点 （ 所 表 示 的 数 为 （ 则
（ ） Ａ 一 １ （ ） 一 Ｂ １ （ ） 一 ２ Ｄ （ ２一 ｃ）
（ｊ５ ４ 『米 １） ． １
（） ５ ０米 Ｉ） ４
８ 算 （１＋ ３＋ ） （ ）． ． ： ） ｓ ０＿ ｆ 吉 ～ 计 一 。（ ＇ 一
这 部 分 内 容 常 以 填 空 、 择 或 计 算 题 的 选 形 式 出现 在 试 题 中 ， 查 题 目 多 属 于 基 础 题 考
的绝 对值 的最 大值 是 （
（ ） Ａ １ （ Ｈ） ） （ （ ：２ （）
） ．
（） ： Ｉ ）
猜 想 ： ”个 等 式 （ 第 ”为 正 整 数 ） ”表 示 可 用 以表示 成
．
— —
３
维普资讯
（ ９下 米 Ａ） （ ９ ０米 Ｃ） ０
４ 在 数 轴 上 到 一 １点 的 距 离 等 于 ｌ的 点 所 ： ． 表 示 的数是 （ ） ．
（ ） Ａ ０ （ １或 １ Ｂ） （ ０或 ２ Ｃ） （ ｌ Ｄ） ５ 在 ｌ ｌ ２这 ＿ 个 数 巾 ， 意 两 数 之 和 ． ， 。 ｌ ｉ 任
一
（ ） 换律 ： ６ １交 ｎ＋ 一
｝ ｊ
， ・ － “ ｂ －
｝ ｊ 幸 幸 亭 亭 幸
算 加 减 ．同 级 运 算 按 至 的 顺 序进 行 ； 有 括 号 时先 算 括 号 内 的 ， 常 按 如 通 的顺 序 进 行 ． ５ 零指 数 与负 整数 指数 ： ． “ ＝＝ ＝ （ “≠ ０ “ 一 ）， （ ≠ ０， 为 正 “ Ｐ 整数 ） ． ６ 非 负 数 性 质 ： 个 非 负 数 相 加 ， 和 等 于 ０。 ． 几 若 则 这 几 个 数 均 为 ０ ．
非负数及其应用
(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分： 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：3256412-+-．（2）求x 的值：2(1)225x -=．【答案】（1）2； （2）16x =或14x =-【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；2a 0a ≥0a ≥（2）根据平方根的定义解方程即可求解． 解：（1）32564|12|-+-；5421=-+-2=；（2）开平方得115x -=±，解得16x =或14x =-．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的x ．(1) 29160x -=； （2）()3164x +=-． 【答案】(1) 43x =±(2) 5x =-【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可； （2）利用求立方根的方法解方程即可． （1）解：∵29160x -=，∵2916x =， ∵2169x =， 解得43x =±；（2）解；∵()3164x +=-，∵14x +=-， ∵5x =-．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为410=915--，所以2525410=91544-+-+， 22225555222=3232222⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+-⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，552=322--，所以2=3． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步【分析】由22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，所以错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步． 解：错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步，显然52<02-，5302->，所以5523022-≠->． 【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2． (1) 求a ，b 的值； (2) 求a b +的算术平方根． 【答案】(1) 5a =，8b =；(2) a b +的算术平方根为13．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得219a -=，318a b -+=，从而可求得a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入求得代数式a b +的值，最后再求其算术平方根即可． （1）解：∵21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2，∵219a -=，318a b -+=， 解得：5a =，8b =；（2）解：∵5a =，8b =，∵5813a b +=+=，∵a b +的算术平方根为13．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求44a b -的立方根．【答案】44a b -的立方根为2【分析】分别根据1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求出a b 、的值，再求出44a b -的值，最后求出其立方根即可．解：1a -的算术平方根为3，∴19a -=，即10a =，31b +的一个平方根为5-，∴3125b +=，即8b =， ∴4440328a b -=-=， ∴44a b -的立方根为382=．故答案为：44a b -的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出a b 、的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是3a -和215a +，b 的立方根是2-，求 (1) 该正数是多少？ (2) 2a b --的算术平方根． 【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出,a b ，代入代数式求出2a b --，再求出算术平方根即可． （1）解：由题意，得：32150a a -++=，解得：4a =-；∵()()2234349a -=--=； ∵该正数是：49；（2）解：∵b 的立方根是2-，∵()328b =-=-；∵()()22488816a b --=-⨯---=+=， ∵2164a b --==．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，07，4π，38227，36 1.414320.2121121112-（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{ }； （2）无理数集合：{ }； （3）负实数集合：{ }．【答案】（1）3223.1415926,0,8,,36,1.414,7---；（2）37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；（3）33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可． 解：有理数集合：3223.1415926,0,8,,36,1.414,7⎧⎫---⎨⎬⎩⎭； 无理数集合：{37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：3223.1415926,0,8,,36,1.4147---；37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式12,2,22,32,52,82___，_____． (1) 两条横线上的实数分别____； (2) 第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1) 132；212(2) 892； 1442【分析】（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∵横线上的实数，2的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为132212，， （2）由（1）可知第8个数为212，∵第9个数为342， 第10个数为552， 第11个数为892， 第12个数为1442， 故答案为：892，1442．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中2的系数，找到规律是解题的关键． 【变式2】已知：a ，b 均为有理数，且满足722322332a b -=|2|||x a b x ---．【答案】当x ＜-2时，5x --；当-2≤x ≤1时，33x +；当x ＞1时，5x +【分析】根据已知等式可得关于a 和b 的方程，求出a ，b 的值，再代入，根据x 的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：722322332a b ++-=，a ，b 均为有理数，∵()()7222332a b ++-=， ∵73a +=，220b -=， ∵a =-4，b =1，∵|2|||x a b x ---=|24||1|x x +--，当x ＜-2时，|24||1|x x +--=()241x x ----=5x --； 当-2≤x ≤1时，|24||1|x x +--=()241x x +--=33x +； 当x ＞1时，|24||1|x x +--=()241x x ++-=5x +．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a 和b 的值．4．如图，已知BC ∵OA ，BC ＝3，点A 在数轴上，OA ＝OB ．(1) 求出数轴上点A 所表示的数； (2) 比较点A 所表示的数与﹣3.5的大小． 【答案】(1) 13-(2) 点A 所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB 的长，进而得到 OA 的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到13＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC ∵OA ，∵∵BCO ＝90°， ∵BC ＝3，OC ＝2， ∵2213OB BC OC =+=， ∵OA ＝OB ， ∵OA ＝13，∵点A 在数轴上原点O 的左侧， ∵数轴上点A 所表示的数是﹣13．（2）解：｜﹣13｜＝13，｜﹣3.5｜＝3.5，∵()21313=，23.512.25=，∵13＞3.5，∵﹣13＜﹣3.5，∵点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式15x，小数部分是y．(1)求x与y的值；(2)求|5-的值．x y【答案】(1) 2,52==-(2) 0x y【分析】（1）先确定5的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入|5|--，化简绝对值，再加减．x y（1）解：∵459<<，<<，即253∵2,52==-；x y（2）∵2,52==-，x y∵|5|--x y()=---|25|52=---52(52)=--+5252=．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题： ∵1221=； 2332= 3443= 4554= ……(1) 请写出第∵个等式：______356=______； (2) 写出你猜想的第n 个等式：______；（用含n 的式子表示） (3) 241-1的大小． 【答案】(1)5665-=-；635- (2) 11n n n n -+=+-(3)24114-< 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第∵个等式，由于3563536-=-，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-； （3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第∵个等式为：5665-=-，35635363635635-=-=-=-，故答案为：5665-=-；635-．（2）解：由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-， 故答案为：11n n n n -+=+-．（3）解：∵241241424524251044444-----=-==<，∵24114-<． 【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1)2316(3)27-(2) 233313(3)-． 【答案】(1) 10 (2) 4-【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：2316(3)27+-+433=++10=（2）233313(3)-+---333313=-+--4=-．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1)4822； （2(203271272π342-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】(1) 2- (2) 33-【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：4822---=()22222---=22222--+=2-（2）解：()203271272π342-⎛⎫--⨯+-- ⎪⎝⎭ =3332412--⨯+- =33341--+-=33-【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知611a ，611b ，(1) 求a b +的值； (2) 求a b -的值． 【答案】(1) 1311- (2) 511+ 【分析】（1）先估算出3114<<，进而得到961110<+<，26113<-<由此求出a 、b 的值即可得到答案； （2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵91116<<，∵3114<<，∵961110<+<，11-4<-<-3，∵26113<-<，∵96112411a b ==--=-，，∵94111311a b +=+-=-；（2）解：由（1）得()9411511a b -=--=+．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．6．计算：(1)233336481125(3)4(2)--(2) 2231|53|168))(5(2-+--【答案】(1) 3 (2) 4 【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：233336481125(3)4(2)-++----495322=-++-+3=，故答案为：3．（2）解：2231|53|168))(5(2-++-----+1354245=-+--+++4=，故答案为：4．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) 20223113274-+- (2) 223(3)(3)1664---【答案】(1) 33+ (2) 8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+-++33=+；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1)22110036()(5)4--； （2）已知38270x +=，求x 的值． 【答案】(1) 134 (2) 32x =- 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）22110036()(5)4-+-- 1854=+- 134=． （2）38270x +=，3827x =-，3278x =-， 32x =-． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知135a b -=+，其中a 是整数，01b <<，求a b -的值．【答案】75+试题分析：可以先估算出整数部分10a =，再计算出b 的值,最后作差.解：10a =，()1351035b =--=-， a b -=()103575--=+．举一反三：【变式1】若整数m 的两个平方根为63a -，22a -，b 11(1) 由题意得，=a ，m = ，b = ．(2) 求31m a ++的平方根；(3) 现规定一种新运算∵，满足x ∵y xy =-，求b ∵()4-的值．【答案】(1)4，36，3 (2)31m a ++的平方根为7± (3)b ∵()4-的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a 和m 的值，根据无理数估算的方法求出b 的值；（2）将m 和a 的值代入31m a ++求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：63220a a -+-=，4a ∴=， 22(22)(82)36m a ∴=-=-=，91116<<，3114∴<<， ∴11的整数部分为3，3b ∴=，4a ∴=，36m =，3b =，故答案为：4，36，3；（2）当36m =，4a =时，3136121m a ++=++49=，31m a ∴++的平方根为7±；（3）当3b =时，b ∵(4)(4)b -=-⋅-4b = 43=⨯12=，b ∴∵()4-的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：49649⨯＝ ，12549＝ ，12549⨯＝ (2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：2271320⨯． 【答案】(1)6，57，57 (2)a b a b ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），227313202⨯= 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到2275271320320⨯=⨯，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1）49366⨯==，11525=5=4977⨯⨯，125525==49497⨯；故答案为：6，57，57；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：a b a b⋅=⋅（a≥0，b≥0）．22752793132032042⨯=⨯==故答案为：a b a b•=•（a≥0，b≥0），3 2【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
高一实数知识点
高一实数知识点一、实数的定义与性质实数是数学中最基础、最常用的数系，它包括有理数和无理数。
实数的特点是具有良序性和完备性。
1. 实数的定义：实数是一切有理数和无理数的统称。
2. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以用分数、小数或整数形式表示。
它们包括正整数、负整数、零、有限小数和循环小数等。
3. 无理数：无理数是不能表示为两个整数比值的数，它们的小数部分是无限不循环的。
无理数常见的表示形式有开方数、无限不循环小数等，如π和根号2等。
4. 良序性：实数集合中的任意非空有限集合都有最小元素和最大元素。
5. 完备性：实数集合中的实数以及它们的极限都属于实数。
二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算，要熟练掌握实数运算的性质和规则。
1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
2. 减法运算：实数的减法是加法的逆运算，当减去一个数相当于加上这个数的相反数。
3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
4. 除法运算：实数的除法是乘法的逆运算，当除以一个非零数相当于乘以这个数的倒数。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是指一个数自乘若干次，其中乘方数可以是自然数、整数、有理数和实数。
三、实数的性质与应用了解实数的性质和应用可以更好地理解和应用实数知识。
1. 实数的序关系：实数具有比大小的性质，可以进行大小比较和排序。
2. 绝对值与距离：实数的绝对值表示实数到零点的距离，非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于相反数。
3. 有理数的小数表示：有理数可以用循环小数或有限小数表示。
4. 实数的近似与误差：实数可以通过有理数的近似表示，近似值与真实值之间会存在误差。
5. 实数的应用：实数的数值运算在各个领域具有广泛的应用，如数学、物理、经济学等。
四、实数的扩展在高一阶段还会接触到复数等数系的知识，实数可以通过扩展得到更广义的数系。
1. 复数：复数是由实数和虚数叠加而成，形式为a+bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。
专题提升三第六章 实数——非负数的性质 练习 2020-2021学年人教版数学七年级下册
第六章实数——非负数的性质1.若x,y为实数,且|x+3|+√y−3=0,则(yx )2020的值为( )A.1B.-1C.2D.-22.√2x−1+2(y-1)2=0,则x+y的值是()A.1B.32C.2 D.523.已知√3a+1与(2b-1)2互为相反数,则ab的值是( )A.12B.-13C.23D.-164.若x,y为实数,且满足|x-3|+√y+3+(z-4)2=0,则z·(xy )2020的值是( )A.2B.3C.4D.55.下列各式中值必为正数的是( )A.|x+1|B.(x-1)2C.x2+1D.√x2−16.若√a−3+|b-2|=0,则b a=.7.√a−1+√b−5=0,则(a-b)2的平方根是.8.当a=时,√a2+4的值最小.9.当x=时,√2x−4+1有最小值,这个最小值为.10.已知实数a在数轴上的位置如图所示,化简|1-a|+√a2的结果是.第10题图11.已知x,y满足√2x−16+|15y−1|=0,求x-45y的平方根.12.若|x2−25|+√y−3=0,求x y的值.13.已知a,b,c满足|a-1|+√2a−b+(c-√3)2=0,求a+b+c的值.3.14.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,请化简:|c|-√(a+b)2+√(b−c)2-√−b3第14题图15.已知|a2-7|与√b−21互为相反数,求实数a,b的值,并求出√b的整数部分和小数部分.16.设a,b,c都是实数,且满足条件(2-a)2+√a2+b+c+|c+8|=0,ax2+bx+c=0,求x2+2x-1的值.17.已知x 1,x 2,…,x 2020都是不等于0的有理数,请你探究以下问题:(1)若y 1=|x 1|x 1,则y 1= ; (2)若y 2=|x 1|x 1+|x 2|x 2,则y 2= ; (3)若y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3,求y 3的值; (4)由以上探究可知,y 2020=|x 1|x 1+|x 2|x 2+…+|x 2020|x 2020,则y 2020共有 个不同的值;在y 2020这些不同的值中,最大值和最小值的差等于 ,y 2020的这些所有不同的值的绝对值的和等于 .参考答案非负数的性质1.A2.B3.D4.C5.C6.87.±48.09.2 1 10.1-2a11.由题意得2x -16=0,15y -1=0,解得x =8,y =5,则x -45y =4.∵4的平方根是±2,∴x -45y 的平方根是±2.12.由题意得x 2-25=0,y -3=0,解得x =±5,y =3.当x =5,y =3时,x y =53=125;当x =-5,y =3时,x y =(-5)3=-125.综上所述,x y 的值是±125.13.∵|a -1|+√2a −b +(c -√3)2=0,∴a -1=0,2a -b =0,c -√3=0.∴a =1,b =2,c =√3.∴a +b +c =1+2+√3=3+√3.14.原式=-c +a +b +c -b +b =a +b.15.由题意得|a 2-7|+√b −21=0,∴a 2-7=0,b -21=0.∴a =±√7,b =21.∴4<√b =√21<5.∴√b 的整数部分为4,小数部分为√21-4.16.由题意,得2-a =0,a 2+b +c =0,c +8=0.故a =2,b =4,c =-8.将其代入ax 2+bx +c =0,得2x 2+4x -8=0,变形得x 2+2x =4,∴x 2+2x -1=4-1=3. 17.(1)±1 (2)0,±2 (3)假设x 1≥x 2≥x 3.当x 1>0,x 2>0,x 3>0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1+1+1=3;当x 1>0,x 2>0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1+1-1=1;当x 1>0,x 2<0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=1-1-1=-1;当x 1<0,x 2<0,x 3<0时,y 3=|x 1|x 1+|x 2|x 2+|x 3|x 3=-1-1-1=-3. 综上所述,y 3的值为±1或±3.(4)2021 4040 2042220。
非负数的性质及应用--华师大版
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
[一点就通]将条件和结论的两个等式看作关于 a, b 的方程组, 利用其有界性求出S的范围.
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解:3 a 5 b 7
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
原式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数 之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每 个非负数必须为零来解决.
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
解 :由原方程, 得 x yz4 x54 y44 z3 x4 x5 y4 y4z4 z30 [( x 5)2 4 x 5 4][( y 4)2 4 y 4 4][( z 3)2 4 z 3 4] 0 ( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0 即 x 5 2 0, y 4 2 0, z 3 2 0, 解得 : x 9, y 8, z 7
培优专题3 非负数的性质及应用(含解答)-
培优专题3 非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b ││b-c │． 分析 此题化简的关键是我们想办法根据a 、b 、c 在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b ）-│c │+（b-c ）．=a-a-b-c+b-c=2c ．练习11．若a<0，且x ≤||a a ，那么化简│x+1│-│x-2│=________． A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．已知a<0，ab<0=________． 3．已知abc ≠0，试求||a a +||b b +||c c 的值．例2设实数x、y、z满足x+y+z=4则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得．[222，）2+）2+）2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z=________． A．6 B．12 C．14 D．202，（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2 B．0 C．2 D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，的值．例3．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，•要充分挖掘题目中的隐含条0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．0，∴a≠0．∴a<0．∴原式．练习31=_________．2．已知1a-│a│=1，那么代数式1a+│a│的值为________．3例4若a、b满足│b│=7，则│b│的取值范围是_____．分析│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：，①│b│=S．②①×3+②×5得．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由21501430SS+≥⎧⎨-≥⎩得：215143SS⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩故-215≤S≤143．练习41．已知a、b、x、y满足y+=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使72为自然数的整数a的值．例5 已知a<b<c，求y=│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值．分析由绝对值的几何意义可知：│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值的几何意义就是在数轴上，求到a、b、c所对应的三点距离之和最小的点所表示的数．解：设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X，则│x-a│、│x-b│、│x-c│分别表示线段AX、BX、CX的长，现在要求│x-a│、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，•如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+23│+│x-23│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．答案:练习11．D23．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D 2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．练习31．1 23．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=0．∴原式．练习41．17 2．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为奇数，∴m2必为奇数，即m必为奇数．又即7||2m->0．∴│m│<7．∴-7<m<7．∴m=±1，±3，±5．故a=0，2，4．练习51．432．1≤x≤53．设x在数轴上的对应点P0，而1，2，…，1999在数轴上对应点分别为P1，P2，…，P1999，•如图所示:则│x-1│+│x-2│+│x+3│+…+│x-1999│=P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999．当P0运动到P1000，即P0与P1000重合时，P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999最短，也就是│x-1│+│x-2│+│x-3│+│x-4│+…+│x-1999│有最小值，设这个最小值为S最小．则S最小=│1000-1│+│1000-2│+│1000-3│+…+│1000-1999│=999+998+997+…+2+1+0+1+2+…+998+999=2+999(9991)2⨯+=999×1000=999000．。
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实数-非负数专题
【典型例题】
# 例1 已知y x ,满足
,04232=--+-+y x y x 532--y x 求的值.
例2 已知在实数范围内x 23-有意义，化简7296-+-x x .
# 例3 在实数范围内解方程28.6322=-+-+-y x x ππ.
# 例4 已知()02352,,2
=-+-+-c b a c b a 满足 （1）求c b a ,,的值； （2）
试问以c b a ,,为边能否构成三角形？如果能构成三角形，求它的周长；如果不能构成三角形，请说明理由.
* 例5 已知()333423,0312,4z y x x x y z ++=-++-=求且的值。
1.已知实数a 满足a a a =-+-19931992，那么2
1992-a 的值是（ ）
A. 1991
B. 1992
C. 1993
D. 1994
2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ）
A. 3a +b －c
B. －a －3b +3c
C. a +3b －3c
D. 2a
# 3．若03831=-+-b a ，则3ab = .
# 4．若32110x y x --++=,则1452x y +=
# 5．若02|3|=-++y x ，则y
x =
6．若a a -=-2)2(2
，则a 的取值范围是
# 7．若2
1707x y ⎛⎫
-++= ⎪⎝
⎭，则（xy ）2003=
8．已知==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++b a ,b a 则041122
.
# 例1.已知y x ,是有理数，且25.2)12
3
41()2331(--++
y x 0345.1=-，求y x ,的值．
# 例3.已知y x ,为实数，且2)(y x -与1635--y x 互为相反数，求2
23y x +的值.
# 1、下列说法中，正确的有（ ）
①一个数的平方根一定有两个； ②一个正数的平方根一定是它的算术平方根； ③负数没有立方根； ④对于2-=x y ，当2≥x 时，y 有平方根。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
# 2、81的平方根是（ ）
A 、9
B 、±9
C 、3
D 、±3
# 3、下列等式正确的是（ ）
A 、39-=-
B 、12144±=
C 、
()552
-=- D 、()
33
2
=-
# 4、下列语句，写成式子正确的是（ ）
A 、7是49的算术平方根，即749±=；
B 、±7是49的平方根，即749=±；
C 、7是()2
7-的算术平方根，即
()772
=-；D 、7是7的算术平方根，即77=.
# 5、8
1
-
的平方的立方根是（ ）
A 、4
B 、
8
1 C 、4
1-
D 、
41
# 6、若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（ ）
A 、1
B 、-1
C 、0
D 、±1或0
# 7、当6-=x 时，2
x 的值是（ ）
A 、6
B 、-6
C 、±6
D 、±4
8、若()x x -=-112
，则x 的取值范围是（ ）
A 、1≤x
B 、1≥x
C 、10≤≤x
D 、一切有理数
9、若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）
A 、32
+a B 、32
+-a
C 、32
+±a
D 、3+±
a
10、下列计算正确的是（ ）
A 、325+=
B 、2222-=
C 、2222+=
D 、3
12
2
x x x -=- 11、若0<x<3，则|5|)12(2
--+x x =（ ）
A 、3x －4
B 、x －4
C 、3x+6
D 、－x －4
12、34-与下列哪个数相等（ ）
A 、48
B 、48-
C 、12
D 、12-
13、如果1-x +x -9有意义，那么代数式|x －1|+2)9(-x 的值为（ ）
A 、±8
B 、8
C 、与x 的值无关
D 、无法确定
14、414、226、15三个数的大小关系是（ ） A 、414<15<226 B 、226<15<414
C 、414<226<15
D 、226<414<15
* 三.若d c b a d
cx b
ax y 、、、,++=
都是有理数，且x cd ,0≠是无
理数，求证：当ad bc =时，y 是有理数．。