非负数性质的应用
非负数及其应用
(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
正数与负数完全解析
正数与负数完全解析一、引言正数与负数是数学中的基本概念，对于我们日常生活和各个领域的应用都具有重要意义。
本文将对正数与负数进行全面解析，包括其定义、性质以及相关应用等方面展开探讨。
二、正数与负数的定义正数是大于零的数，用正号"+"表示；负数是小于零的数，用负号"-"表示。
正数和负数在数轴上位于原点的两侧，它们之间的距离被定义为其绝对值。
三、正数与负数的性质1. 加法性质：- 正数与正数相加，结果仍然是正数；- 负数与负数相加，结果仍然是负数；- 正数与负数相加，结果可能是正数、负数或者零。
2. 减法性质：任何数减去相同数的结果都是零。
3. 乘法性质：- 两个正数相乘，结果是正数；- 两个负数相乘，结果是正数；- 正数与负数相乘，结果是负数。
4. 除法性质：- 正数除以正数，结果是正数；- 负数除以负数，结果是正数；- 正数除以负数，结果是负数。
5. 混合运算性质：正数与负数进行混合运算时，需要根据运算规则进行计算。
四、正数与负数的应用1. 数轴：正数和负数在数轴上有对称性，可以用来表示温度、海拔高度、财务收支等有方向性的数据。
2. 财务管理：正数和负数在财务管理中应用广泛，表示收入和支出，利润与亏损等，帮助进行财务分析和决策。
3. 温度计：正数和负数在温度计中用来表示高温和低温，帮助我们了解天气情况和控制环境温度。
4. 债务与资产：正数表示资产，负数表示债务，通过资产和债务的相对值可以了解个人或企业的财务状况。
五、正数与负数之间的运算法则1. 加法法则：- 正数与正数相加，结果仍然是正数，取两数之和的绝对值；- 负数与负数相加，结果仍然是负数，取两数之和的绝对值；- 正数与负数相加，结果的绝对值等于两数之差的绝对值。
2. 减法法则：正数与负数相减时，可以转化为加法运算进行计算。
3. 乘除法法则：正数与正数、负数与负数相乘或相除，结果均为正数；正数与负数相乘或相除，结果为负数。
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考差不多上必考内容。
现依照我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）依照非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：那个地点用到的专门重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2 = 9，则代数式 （a － b ）2+ （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采纳加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、假如关于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，因此X 能够表示成3P ±1的形式。
第60讲 非负数的性质
第60讲 非负数的性质
一、知识点分析：
非负数：若a 为实数，则2a ，a 均为非负数。
即02
≥a ，0≥a 。
非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。
如：002===+b a b a ，则。
二、典例解析：
例1、若|x-1|+|y+2|=0，求x+y 的值．
【随堂练习】
已知n=4，且|x-5|+|y-2n|=0，求x-y+8的值．
例2、已知()()036322=-+-b a ，求b a 的值．
【随堂练习】
已知 ()()0432
2=-++y x ，求x-y 的值．
例3、一个两位数，个位数字和十位数学的和是x ，个位数字是y ．
（1）用含x ，y 的代数式表示这两个位数；
（2）若x ，y 满足（x-6）2+|x-2y-4|=0，求出这个两位数．
【随堂练习】 已知（2a-1）2+|b+1|=0，求2014211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 。
例4、已知|2-b|与|a-b+4|互为相反数，求ab-2014的值．
【随堂练习】
已知|-x+7|与|-2y-1|互为相反数，求2y −x 的值．
例5、若|a+2|与（b-3）2互为相反数，求a b +3（a-b ）的值．
【随堂练习】
已知|a-1|与（b+2）2互为相反数，求（a+b ）2013+a 2014的值
例6、已知|a-2|+|3b-1|+|c-4|=0，求a+6b+2c 的值．
【随堂练习】
若|a-
21|+|b-31|+|c-4
1|=0．求a+b-c 的值．。
非负数的性质
非负数的性质（两小时）【知识要点】1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。
2 对于非负数a ，有（a ）2=a （1）对于任意实数，则==a a 22、非负数即正数和0。
如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a 都是非负数，非负数主要的性质有： （1）非负数的和或积仍是非负数；（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。
【典型例题】例1、已知：25250x y x y +-+--=，（1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。
例2、若()2120a ab -+-=， 求()()()()1111119901990ab a b a b +++++++的值。
例3、若u,v 满足22343432u v v u v u v u v --=++++，求22u uv v -+的值。
a (a ﹥0)0 (a ﹦0)﹣a (a ﹤0)例4、已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=，求1ab -的值。
例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --∙+-=-++--+19919932253。
试确定m 的值。
思考题：设a 、b 为实数，求2072416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。
【练习与拓展】1、m -是有理数时，一定有（ ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数 2、计算2-a +a -2等于（ ）A ．0．B ．4-2aC ．4D ．2a-4 3、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ） A.0. B.1. C.-1. D.-4.4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ）A 、0B 、222a b c ++C 、4aD 、22b c -5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y+--+的值是（ ）A 、3B 、13 C 、2 D 、536、若式子2)4(a --有意义，则满足条件的a 有（ ）A 、0个B 、1个C 、4个D 、无数个7、若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。
非负数的性质及应用--华师大版
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
[一点就通]将条件和结论的两个等式看作关于 a, b 的方程组, 利用其有界性求出S的范围.
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解:3 a 5 b 7
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
原式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数 之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每 个非负数必须为零来解决.
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
解 :由原方程, 得 x yz4 x54 y44 z3 x4 x5 y4 y4z4 z30 [( x 5)2 4 x 5 4][( y 4)2 4 y 4 4][( z 3)2 4 z 3 4] 0 ( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0 即 x 5 2 0, y 4 2 0, z 3 2 0, 解得 : x 9, y 8, z 7
培优专题3 非负数的性质及应用(含解答)-
培优专题3 非负数的性质及应用一个实数的绝对值、偶次方，一个非负数的偶次算术根（这里主要指算术平方根）都是非负数．非负数有一个重要性质：若几个非负数的和等于零，则只有在每个非负数均为零时，等式成立，这个性质应用特别广泛，它不但可以启迪我们的思维，还可以让我们感觉到数学变形的美妙．例1实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图3-1所示，化简a+│a+b ││b-c │． 分析 此题化简的关键是我们想办法根据a 、b 、c 在数轴上的位置，确定各自的性质，去掉绝对值符号和根号．解：∵a+b<0，c>0，b-c<0，∴原式=a-（a+b ）-│c │+（b-c ）．=a-a-b-c+b-c=2c ．练习11．若a<0，且x ≤||a a ，那么化简│x+1│-│x-2│=________． A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32．已知a<0，ab<0=________． 3．已知abc ≠0，试求||a a +||b b +||c c 的值．例2设实数x、y、z满足x+y+z=4则x=_____，y=_______，z=_______．分析利用折项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数之和为零的形式，即a+│b│+=0，再由几个非负数之和为零则每个非负数必须为零来解决．解：由原方程，得．[222，）2+）2+）2=0．解得：x=9，y=9，z=7．练习21．实数x、y、z满足x+y+z=________． A．6 B．12 C．14 D．202，（a≥b，c≥0），那么a+b的值是_________．A．-2 B．0 C．2 D．43．已知a、b、c、x、y、z是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，的值．例3．分析要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题，•要充分挖掘题目中的隐含条0，-a3≥0．解：∵-a3≥0，∴a≤0．0，∴a≠0．∴a<0．∴原式．练习31=_________．2．已知1a-│a│=1，那么代数式1a+│a│的值为________．3例4若a、b满足│b│=7，则│b│的取值范围是_____．分析│b│的方程组，利用其有界性求出S的范围．解：，①│b│=S．②①×3+②×5得．①×2-②×3得19│b│=14-3S．由21501430SS+≥⎧⎨-≥⎩得：215143SS⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩故-215≤S≤143．练习41．已知a、b、x、y满足y+=1-a2，│x-3│=y-1-b2，则2x+y+3a+b的值为_______．2．如果│x+2│+x-2=0，则x的取值范围是_________．3．求使72为自然数的整数a的值．例5 已知a<b<c，求y=│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值．分析由绝对值的几何意义可知：│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值的几何意义就是在数轴上，求到a、b、c所对应的三点距离之和最小的点所表示的数．解：设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X，则│x-a│、│x-b│、│x-c│分别表示线段AX、BX、CX的长，现在要求│x-a│、│x-b│、│x-c│之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使X到A、B、C三点的距离之和最小，•如图3-2．显然，当X点与B点重合时，（∵B点在A、C点之间），该距离和y最小．这时，y=│x-a│+│x-b│+│x-c│=│x-a│+│x-c│=x-a+c-x=-a+c．所以，y的最小值等于c-a．练习51．若x为有理数，求│x+23│+│x-23│的最小值．2．已知│x-1│+│x-5│=4，求x的取值范围．3．若x为有理数，求│x-1│+│x-2│+…+│x-1999│的最小值．答案:练习11．D23．∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0．（1）若a、b、c都为正数时，原式=3；（2）若a、b、c中有两个正数时，原式=1；（3）若a、b、c都有一个正数时，原式=-1；（4）若a、b、c都为负数时，原式=-3．练习21．D 2．B3．∵a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by+cz，∴a2+b2+c2+x2+y2+z2=2ax+2by+2cz．∴a2-2ax+x2+b2-2by+y2+c2-2cz+z2=0．∴（a-x）2+（b-y）2+（c-z）2=0．∴a-x=0，b-y=0，c-z=0．∴x=a，y=b，z=c．练习31．1 23．∵-a2≥0，∴a2≤0．∴a=0．∴原式．练习41．17 2．x≤23．设9-4a=m2（m为整数），于是，4a+m2=9．∵4a为偶数，9为奇数，∴m2必为奇数，即m必为奇数．又即7||2m->0．∴│m│<7．∴-7<m<7．∴m=±1，±3，±5．故a=0，2，4．练习51．432．1≤x≤53．设x在数轴上的对应点P0，而1，2，…，1999在数轴上对应点分别为P1，P2，…，P1999，•如图所示:则│x-1│+│x-2│+│x+3│+…+│x-1999│=P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999．当P0运动到P1000，即P0与P1000重合时，P0P1+P0P2+P0P3+…+P0P1999最短，也就是│x-1│+│x-2│+│x-3│+│x-4│+…+│x-1999│有最小值，设这个最小值为S最小．则S最小=│1000-1│+│1000-2│+│1000-3│+…+│1000-1999│=999+998+997+…+2+1+0+1+2+…+998+999=2+999(9991)2⨯+=999×1000=999000．。
非负数的性质及应用--华师大版
化简 : a3 a a2
[一点就通]要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题,要 充分挖掘题目中的隐含条件: a2 0,a3 0
化简 : a3 a a2
解 : a3 0 a 0
a2 0 a 0 a 0
原式 a2
a a a
a2
a a a 1
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 b c .
a
b
0
c
[一点就通]此题化简的关键是我们想办法根据a、b、c在数轴上 的位置,确定各自的性质,去掉绝对值符号和根号.
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 b c .
a
b
0
c
解: a+b<0,c>0,b-c<0,
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
[一点就通]由绝对值的几何意义可知: x a x b x c 的 最小值的几何意义就是在数轴上,求到a、b、c所对应的三点 距离之和最小的点所表示的数.
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
解 : 设a、b、c、x在数轴上对应的点分别是A、B、C、X, 则 x-a 、x b 、x c 分别表示线段AX、BX、CX的长, 现在要求 x-a 、x b 、x c 之和的值最小,就是要在数 轴上找一点X ,使X到A、B、C三点的距离之和最小, 如图:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非负数性质的应用
我们把数按符号可以分为正数、负数和零；那么， 什么是非负数呢？
在实数范围内，非负数指的是零和正数。
回顾旧知
我们学过的非负数都有哪些呢？ （1）实数的绝对值是非负数； （2）算术平方根是非负数； （3）实数的偶次方是非负数。
新课导入
非负数有什么性质呢？非负数的性质 有什么用 呢？
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几 个非负数都等于零。
练练手
例2已知 三角形ABC的三边，长分别为a,b,c且满足 。 试判别 △ ABC的形状。
解：由非负数性质，得
解得
又因为 所以 △ABC 是直角三角形。
。
小结：
通过例1 （1）|a|+|b|=0,则 a=0,b=0.归纳出
非负数的性质：几个非负数 的和为零，则这几个非负数都 等于零。
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
让我们共同进步
(利质2）用的“ 例印2象来及加应深用学。”生对这一性
巩固训练
1．已知 a 1b22 b10
a 1 b -1 a100b101 -1
2. 设|x-1|+(y2-4y+4)＝0，且x、y为实数，求 x+2y的值．
解：由非负数的性质可得：
|x-1|=0， y2-4y+4=（y-2）² ＝0 所以，x-1=0,y-2=0 解得：x=1,y=2; x+2y=1+2×2=5
新知探究
例 1】已知 3 x y 2 0 ，求 x y 的值？
分析：可以分为四种情况讨论：
（1）正数+0=0 ×，（2）正数+正数=0 ×
（3）0+正数=0 ×，（4）0+0=0
√，
所以有 |3-x| =0 ,|y-2|=0
所以，3-x=0, y-2=0
解得：x=3,y=2
ห้องสมุดไป่ตู้
所以，x+y=5