非负数的性质：绝对值
有关绝对值的不等式
有关绝对值的不等式一、绝对值的定义我们知道，绝对值的定义为数与零的距离，即：- 当一个实数x大于或等于0时，|x|=x；- 当一个实数x小于0时，|x|=-x。
二、绝对值的性质绝对值有以下几个性质：1. 非负性：|x|≥0，即绝对值是非负数；2. 正反性：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x；3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两数之和的绝对值不大于它们绝对值的和；4. 乘法性：|ab|=|a|×|b|，即两数之积的绝对值等于它们绝对值的积；5. 倒数性：若a≠0，则|1/a|=1/|a|。
三、绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，特别是在不等式中的应用更为常见。
下面介绍几个绝对值不等式的例子。
例1：|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
解析：首先，我们假设a≥0（a<0同理可证），那么由于|x-a|≥0，所以|x-a|<b等价于-a<x-a<a。
解不等式得到 x<a+b 且 x>a-b，即x∈(a-b,a+b)。
例2：|x|<a的解集为(-a,a)。
解析：当a>0时，由|x|≥0，得出|x|<a等价于-x<a且x<a，即解不等式得到x∈(-a,a)。
例3：|x-2|-|x+2|≤0的解集为[-2,2]。
解析：当x≤-2或x≥2时，|x-2|-|x+2|≤0显然成立，因为两个绝对值的差值不大于0。
当-2<x<2时，不等式可化为(x-2)-(x+2)≤0，即-4≤0，也是成立的。
所以，综合起来，解集为[-2,2]。
总结：以上是一些关于绝对值不等式的例子，通过这些例子可以体会到绝对值在不等式中的应用和威力，希望对大家学习数学有所帮助。
七年级知识点绝对值
七年级知识点绝对值绝对值是数学中的重要概念，也是中学数学的一个基本知识点。
在七年级的数学课上，学生首先需要学习到绝对值的定义和性质，然后学会用绝对值求解各种实际问题。
本文将对七年级知识点绝对值进行详细的介绍。
一、绝对值的定义和性质绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值为非负数，记为|x|，它的定义如下：当x > 0时，|x| = x ；当x = 0时，|x| = 0 ；当x < 0时，|x| = -x 。
绝对值的性质：1. |x|≥0，即绝对值是非负数。
2. |x|= | -x |，即绝对值的值与它的相反数的值相等。
3. |x·y|= |x|·|y|，即绝对值的乘积等于各自的绝对值再相乘。
4. 对于任意实数x和y，|x+y|≤|x|+|y|，即两数的绝对值之和不大于它们的和的绝对值。
二、绝对值的运算法则1. 求相反数时，先取绝对值再取反。
2. 求倒数时，先取绝对值再取倒数。
3. 求和差积时，要先算绝对值。
三、绝对值的应用1. 在求距离问题中，绝对值可用于求两点之间的距离。
2. 在解方程时，有时需要用到绝对值，例如|x|=a可表示x=a或x=-a。
3. 在计算误差时，常用绝对值，如当真实值为a，测量值为b 时，误差为|b-a|。
四、练习题1. 请计算 |-8|÷2+|5-9|×|-1|的结果。
答案：32. 请将不等式 2|x-3|+1 < 5|x-1| 简化。
答案： 0 < 3|x-1|，即|x-1| > 0.3. 请解方程 3|x+1|-5=4x+11。
答案： x=-3或8/3。
4. 请计算直线A(-3,-1)和直线B(6,5)之间的距离。
答案：√74/2。
五、小结绝对值是七年级数学中比较重要的知识点，理解和掌握它的定义、性质和运算法则，以及应用于解决实际问题的方法，是学好数学的关键之一。
在学习过程中，要多加练习，不断提高自己的数学能力。
绝对值怎么算
绝对值怎么算绝对值是数学中的一个基础概念。
在我们日常生活中，我们常常会遇到需要计算绝对值的情况。
无论是在解方程、求距离，还是在处理数据等各种场合，绝对值都有着重要的应用。
那么，绝对值究竟是如何计算的呢？在本文中，我将为您介绍绝对值的定义、计算方法以及绝对值的性质。
首先，我们来了解一下绝对值的定义。
在数学中，绝对值通常表示为一个数的非负值。
换句话说，绝对值是表示一个数到原点的距离，而不考虑这个数本身的符号。
例如，数-5 和数5 的绝对值都是5，因为它们距离原点的距离都是 5。
接下来，我们了解一下绝对值的计算方法。
计算绝对值时，可以使用以下两种方法：方法一：如果给定的数是正数或者零，那么它的绝对值就是其本身。
例如，数 7 的绝对值就是 7，数 0 的绝对值也是 0。
因为它们本身就是非负数，所以它们的绝对值就是它们自己。
方法二：如果给定的数是负数，那么它的绝对值就是去掉负号后的值。
例如，数 -7 的绝对值就是 7。
因为 -7 距离原点的距离是 7，而不考虑其符号。
除了这两种基本的计算方法外，我们还可以通过以下性质来计算绝对值：性质一：绝对值永远是非负数。
无论一个数是正数、负数还是零，它的绝对值都是非负数。
这是因为绝对值是表示距离，而距离是不可能为负值的。
性质二：绝对值的平方等于原数的平方。
也就是说，一个数的绝对值的平方等于该数的平方。
例如，数 -5 的绝对值是 5，5 的平方是25，而 -5 的平方也是 25。
所以，绝对值的平方等于原数的平方。
性质三：两个数的绝对值之差等于它们的差的绝对值。
也就是说，如果我们有两个数 a 和 b，那么它们的绝对值之差等于它们的差的绝对值。
例如，数 3 和数 -5 的绝对值之差是 2，而它们的差的绝对值也是 2。
当然，绝对值不仅仅局限于单个数的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一组数的绝对值。
在这种情况下，我们可以按照以下步骤来计算：步骤一：找出需要计算绝对值的每个数。
绝对值的非负性及其应用
一、绝对值的非负性及其应用引例：(教材17页作业题A组3题)例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正(1)一个数的绝对值一定是正数；(2)一个数的绝对值不可能是负数；(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．知识点归纳：1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．2、绝对值是非负数一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数例题讲解例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；；(4)若｜a｜=b，则a=b；；（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。
例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（? ）．（A） ? （B） ? （C） ? （D）归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。
变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。
例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值.变式练习：11、任何一个有理数的绝对值一定(D)A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于02已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是(C)A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D)A．x＝y B．x＝－yC．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C)A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数C．a与b异号D．a与b不相等变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C)A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是(B)A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是(B)A．x＜y B．x＞yC．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B)A．0 B．1 C．2 D．3变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．变式训练11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：(1)| a|＋1有最__小__值__1__；(2)5－|a|有最__大__值__5__；(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D)A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4变式训练15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B)A．正数B．负数C．非负数D．不能确定变式训练16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．变式训练17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A)A．999 B．998 C．1997 D．0变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．变式训练19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，∴2 x－4＝0，y－3＝0，解得x＝2，y＝3，∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．变式训练20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．(1)求a，b的值；(2)求a－b，ab的值．变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值最小值是多少(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值最大值是多少。
初一数学绝对值知识点总结归纳
初一数学绝对值知识点总结归纳在初一数学中，绝对值是一个重要的概念，它常常用于解决数轴上的问题以及计算各种数值的差值。
下面我将对初一数学中的绝对值知识点进行总结归纳，以便我们更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值的定义及性质绝对值是一个非负数，表示一个数与零之间的距离。
用符号表示，即|a|，其中a表示任意实数。
1. 绝对值的定义：- 当a大于或等于零时，|a|等于a本身，即|a| = a。
- 当a小于零时，|a|等于a的相反数，即|a| = -a。
2. 绝对值的性质：- 非负性质：对于任意实数a，|a|大于或等于零，即|a| >= 0。
- 正负性质：对于任意实数a，当a大于零时，|a|等于a本身；当a小于零时，|a|等于a的相反数。
- 同值性质：对于任意实数a，如果a的绝对值等于b的绝对值，那么a和b相互等于或相互取相反数。
二、绝对值的运算法则绝对值在数学运算中有一些特殊的法则，这些法则可以帮助我们简化计算过程。
1. 绝对值与加法的法则：- |a + b|小于或等于|a| + |b|，即 |a + b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a + b| = |a| + |b|。
2. 绝对值与减法的法则：- |a - b|小于或等于|a| + |b|，即 |a - b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a - b| = |a| - |b|。
3. 绝对值与乘法的法则：- |a * b|等于|a| * |b|，即 |a * b| = |a| * |b|。
4. 绝对值与除法的法则：- |a / b|等于|a| / |b|，即 |a / b| = |a| / |b|（当b不等于0时）。
三、绝对值的应用举例绝对值在解决数轴上的问题和计算数值差值时非常常见。
下面我们用几个例子来说明绝对值的具体应用。
1. 数轴上的问题：- 某人从家出发向右行走5千米，然后又向左行走3千米，最后停在哪个位置？解：我们将向右行走的距离设为正，向左行走的距离设为负。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
数字的绝对值认识数字的绝对值概念
数字的绝对值认识数字的绝对值概念数字的绝对值：认识数字的绝对值概念数字的绝对值是我们在数学中经常遇到的概念之一。
它代表了一个数字到原点的距离，而不考虑该数字的正负。
1. 什么是数字的绝对值在数学中，绝对值指的是一个数到原点的距离，而不管该数的正负。
通常来说，我们用竖线“| |”来表示绝对值。
例如，|3| = 3， |-5| = 5。
2. 绝对值的计算方法计算一个数的绝对值很简单。
如果这个数是正数或零，那么它的绝对值就是它本身；如果这个数是负数，那么它的绝对值就是去掉负号后的值。
举例来说，|-7| = 7。
3. 绝对值在实际问题中的应用绝对值在解决实际问题中非常有用。
它能帮助我们忽略数字的正负而专注于数字的大小和距离。
例如，在温度计中，我们经常使用绝对值来表示温度的大小。
无论温度是正值或负值，绝对值表示的都是温度到零度的距离。
4. 绝对值的性质绝对值具有以下几个性质：4.1 非负性：任何数的绝对值都是非负数。
也就是说，对于任意的实数 a，|a| ≥ 0。
4.2 正数性：正数的绝对值等于它本身。
对于任意的正数a，|a| = a。
4.3 负数性：负数的绝对值等于去掉负号的值。
对于任意的负数 a，|a| = -a。
4.4 三角不等式：对于任意两个实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个性质告诉我们，两个数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加的结果。
5. 绝对值的应用举例绝对值可以应用于各种实际问题中。
以下举几个例子：5.1 距离问题：假设甲、乙两个城市之间的距离是300公里。
现在有一个人同时从这两个城市出发，他先从甲城走了100公里，然后从乙城走了200公里。
我们可以使用绝对值来计算他到达每个城市的实际行驶距离。
他到达甲城的距离为100公里，到达乙城的距离为-200公里。
计算绝对值后，甲城距离为100公里，乙城距离为200公里。
5.2 温度问题：在温度计上，我们常常看到正数和负数。
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默认标题-2012年2月14日一、选择题（共18小题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、20012、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（）A、﹣1B、1C、3D、53、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（）A、5B、1C、2D、04、若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（）A、a=b=0B、a与b互为相反数C、a与b异号D、a与b不相等5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（）A、﹣B、C、D、16、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（）A、负数B、非负数C、正数D、非正数7、对任意有理数a，在式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（）A、|a|+1B、1﹣|a|C、|a+1|D、|﹣1|+a8、在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（）A、1B、2C、3D、49、任意有理数a，式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（）A、1﹣|a|B、|a+1|C、|﹣a|+aD、|a|+110、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A、y没有最小值B、只有一个x使y取最小值C、有限个x（不止一个）y取最小值D、有无穷多个x使y取最小值11、如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（）A、b互为相反数B、a=b=0C、a和b符号相反D、a，b的值不存在12、如果|a3﹣b3|=﹣|a|3+b3，那么下列不等式中成立的是（）A、a＞bB、a＜bC、a≥bD、a≤b13、已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一个确定的常数，则这个常数是（）A、5B、10C、15D、7514、若x表示有理数，则|x|+x的值为（）A、正数B、非正数C、负数D、非负数15、任何一个有理数的绝对值一定（）C、不大于0D、不小于016、如果|a|+|b|=0则a与b的大小关系一定是（）A、a=b=0B、a与b不相等C、a与b互为相反数D、a与b异号17、非负数是（）A、正数B、零C、正数和零D、自然数18、已知：|2x﹣3|+|y+2|=0，比较x，y的大小关系，正确的一组是（）A、x＜yB、x＞yC、x=yD、与x，y的取值有关，无法比较二、填空题（共6小题）19、（2011•河北）若|x﹣3|+|y+2|=0，则x+y的值为_________．20、如果|a|+|b﹣1|=0，则a+b=_________．21、若|a﹣4|+|b+5|=0，则a﹣b=_________．22、若|2﹣x|+|y﹣3|=0，则x=_________，y=_________．23、若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则a b=_________．24、若|x+3|+|y﹣2|=0，则x+y=_________．三、解答题（共6小题）25、附加题：（1）已知|a﹣2|+|b+6|=0，则a+b=_________（2）求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值．26、若|x﹣1|+|y+2|=0，求x+y的值．27、已知|2﹣b|与|a﹣b+4|互为相反数，求ab﹣2007的值．28、已知|a﹣2|+|3b﹣1|+|c﹣4|=0，求a+6b+2c的值．29、（1）已知|x﹣5|=3，求x的值；（2）已知n=4，且|x﹣5|+|y﹣2n|=0，求x﹣y+8的值．30、已知，|a+3.5|+|b﹣9|+|c﹣13.5|=0，则ab+c=_________答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（）A、1B、2C、3D、2001考点：绝对值；非负数的性质：绝对值。
专题：计算题。
分析：本题可分类讨论，分别计算|a﹣b|=1，|c﹣a|=0和|a﹣b|=0，|c﹣a|=1这两种情况下所求代数式的值，然后得到结果．解答：解：∵a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1∴|a﹣b|=1，|c﹣a|=0或者|a﹣b|=0，|c﹣a|=1当|a﹣b|=1，|c﹣a|=0时，c=a，a=b±1，所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|=|a﹣c|+|a﹣b|+|b﹣a|=0+1+1=2；当|a﹣b|=0，|c﹣a|=1a=b，所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|=|a﹣c|+|c﹣a|+|b﹣a|=1+1+0=2；综合可知：|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为2．故选B．点评：本题主要考查了绝对值和非负数的性质，关键是分类讨论时要分析所有情况．2、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（）A、﹣1B、1C、3D、5考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据绝对值的非负性，先求a，b的值，再计算a+b的值．解答：解：∵|a﹣1|+|b+2|=0，∴a﹣1=0，b+2=0，解得a=1，b=﹣2．∴a+b=1+（﹣2）=﹣1．故选A．点评：理解绝对值的非负性，当绝对值相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，根据这个结论可以求解这类题目．3、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（）A、5B、1C、2D、0考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可．解答：解：∵|x﹣3|+|y+2|=0，∴x=3，y=﹣2；则|x|+|y|=3+2=5．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．4、若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（）A、a=b=0B、a与b互为相反数C、a与b异号D、a与b不相等考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值即可．解答：解：∵|a|+|b|=0，|a|≥0，|b|≥0，∴|a|=0，|b|=0，∴a=0，b=0．点评：注意两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（）A、﹣B、C、D、1考点：非负数的性质：绝对值。
分析：本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，然后代入a+b 即可解出本题．解答：解：依题意得：|a﹣|=0，|b﹣1|=0，即a﹣=0，b﹣1=0，∴a=，b=1，∴a+b=．故选C．点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．6、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（）A、负数B、非负数C、正数D、非正数考点：非负数的性质：绝对值。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质，可求出x、y、z的值，然后将根据乘法法则计算即可．解答：解：∵|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0∴|x﹣a|=0，|y﹣b|=0，|z﹣c|=0∴x=a，y=b，z=c，又∵a、b、c都是负数，∴xyz是负数．故选A．点评：本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．7、对任意有理数a，在式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（）A、|a|+1B、1﹣|a|C、|a+1|D、|﹣1|+a考点：非负数的性质：绝对值；绝对值。
分析：本题根据|a|≥0，即可确定．解答：解：当a=±1时，1﹣|a|=1﹣1=0；当a=﹣1时，a+1=0，则|a+1|=0；当a=﹣1时，|﹣1|+a=1﹣1=0；根据|a|≥0，则|a|+1≥1，一定不会等于0．点评：本题考查了绝对值的非负性，任何数的绝对值都是非负数，而两个非负数的和一定也是非负数，而其中只要有一个不是0，则两个非负数的和就是正数．8、在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（）A、1B、2C、3D、4考点：非负数的性质：绝对值。
专题：探究型。
分析：令a=|x+1|+|x+4|，b=|x+2|+|x+3|，则t=a+b，根据绝对值的几何意义，分别求得a、b的最小值，进而综合分析，寻找a、b同时取得最小值的条件，即可得答案．解答：解：令a=|x+1|+|x+4|，b=|x+2|+|x+3|，t=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=a+b，根据绝对值的几何意义，a表示点x到﹣1与﹣4两点的距离，分析可得当﹣4≤x≤﹣1时，a最小，其值为3，b表示点x到﹣2与﹣3两点的距离，分析可得当﹣3≤x≤﹣2时，b最小，其值为1，综合可得，当﹣3≤x≤﹣2，a、b均取得最小值，故此时t取得最小值，且t的最小值为3+1=4，故答案为4．故选D．点评：本题考查绝对值的几何意义，|a﹣b|即两实数a、b表示两个点间的距离．9、任意有理数a，式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（）A、1﹣|a|B、|a+1|C、|﹣a|+aD、|a|+1考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据任何数的绝对值一定是非负数，即可作出判断．解答：解：当a=1或﹣1时，|a|=1，则1﹣|a|=0；当a=﹣1时，a+1=0，则|a+1|=0；当a=0时，|﹣a|=|a|=0，则|﹣a|+|a|=0；对于任意数a，都有|a|≥0，则|a|+1≥1，值不是0．故选D．点评：本题主要考查了绝对值的非负性，任何数的绝对值都是非负数．10、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A、y没有最小值B、只有一个x使y取最小值C、有限个x（不止一个）y取最小值D、有无穷多个x使y取最小值考点：非负数的性质：绝对值。
分析：根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．解答：解：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1+1﹣x=2﹣2x；当﹣1＜x＜1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1＜x＜1时，y有最小值为2；故选D．点评：本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．11、如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（）A、b互为相反数B、a=b=0C、a和b符号相反D、a，b的值不存在考点：非负数的性质：绝对值；相反数。