数学上一些有趣的联系

数学课应该讲这些。人类知识体系是一个有机的开放复杂巨系统，数学是一个子系统，其中充满深刻联系，但今日的数学教育割裂了这些联系。必须把被割裂的部分连接起来，把被颠倒的历史颠倒回来。

数学（理论、应用、计算数学和随机性数学）/物理/计算科学/工程应该是统一的，并且朝着复杂性科学的方向进化。

括号里是参考书，我大都没看过。

以下问题都是开放的，有的问题可能能类比到其他联系或引发更深刻问题，欢迎讨论。

均非原创。

0。数学的主线，这个必须不断强调。比如，建模、解方程、分类、建立不同分支间的联系。

华罗庚同志回国后，在五六十年代写了几本科普书，《从杨辉三角谈起》（1956年6月）、《从祖冲之的圆周率谈起》（1962年4月）、《从孙子的神奇妙算谈起》（1963年2月）《谈谈与蜂房数学结构有关的数学问题》（1964年1月）。

《从杨辉三角谈起》涉及二项式定理，古人用它手算高次方根，牛顿用它算微积分。华老思路更广，垛积术->差分方程，无穷级数都谈到了。

《从祖冲之的圆周率谈起》涉及的线索有：历法中的计算-例如几年几闰->连分数展开->数论，天文中确定周期现象->用分数逼近实数（这可以帮助推导出开普勒定律，参见项武义）。在六七十年代，华老也用连分数解决一个工人师傅提出的数学问题：构造传动比接近圆周率的齿轮。

《从孙子的神奇妙算谈起》，当然从“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”和孙子的口诀开始，谈解同余方程。插值。

这些书的对象是中学生，知识并不艰深，其中涉及很多思想方法。同时这些问题也是本质的，在数学史上占有一席之地，和中国古代数学史、今日数学主流密切相关。

华老中国古代数学造诣很深，数学功底深厚，又结合实际，因此深入浅出写出以上科普佳作。

吴文俊老师后来接过了这一棒，从中国古代数学中挖掘出了数学机械化的思想。

1.复变函数、柯西-黎曼方程的流体力学和热学背景。黎曼映照定理的热学证明。（Mark L evi《The mathematical mechanic》，这本书用物理做数学，有很多有趣的证明。他认为，这些物理证明把物理当作数学的工具……）

电学背景。静电场无源无旋，柯西黎曼方程是二维真空麦克斯韦方程的特例，场和势的关系。偶极子，（《复分析：可视化方法》）向量场的指标，Poincare-Hopf定理。

2.卷积的代数背景。看成群代数中元素的乘积在无限群上的推广。（Shafalev ich《代数学基础》）

3.代数拓扑课，应从相交数和微分形式入手讲上同调乘积。（一般书上都有，但各讲各的，我们只需要把它们综合起来）

4.Paserval等式从量子力学观点看是自然的。（参考讲数学不太少的量子力学教科书即可）

5.玻色子和费米子，作为置换群一维表示的自然结果。（Shafalev ich《代数学基础》）玻色爱因斯坦凝聚使得激光成为可能，泡利不相容原理产生了多姿多彩的元素世界。

6.为什么双曲型偏微分方程是守恒的？抛物型表示扩散过程？椭圆型表示扩散过程？（林家翘《自然科学中确定性问题的应用数学》，其中观点脍炙人口）

7.物理系讲张量，不谈多线性映射。数学系，不谈具体张量的例子。应该至少从多线性映射和输入-输出两种观点定义张量（前者可参考数学书，比如代数学引论或微分几何方面的书；后者参考梁灿彬老师《微分几何入门与广义相对论》“张量面面观”），然后讲向量，1-形式，应力张量，能动张量，潮汐张量等。（例如，参考谢多夫《连续介质力学》）

8.为什么磁场强度是2形式而不是一形式？因为它是轴矢量，所以只能是2形式。并非数学家随心所欲的创造。

9.从路径积分看，极小作用量原理很自然，（我没有系统学过路径积分方法。可以参考费曼的科普书和物理学讲义第二卷。）目的论的幽灵应该被彻底驱除出去。

变分法与最优子结构。