不等式的性质与绝对值不等式(含答案)
§2-1不等式的性质、绝对值
－3；
－3．
注意
不等式的两边同时乘以同一个负数时， 不等号的方向必须改变．
含有绝对值的不等式
|x|＞a与|x|＜a的几何意义
问题1
（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？
（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集
吗？
结论： |x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，
式的性质求出原不等式的解集．
|a x＋b|＞c（c＞0）的解法是
先化不等式组a x＋b＞c 或a x＋b＜－c，
再由不等式的性质求出原不等式的解集．
练习
解下列不等式 （1）|x＋5|≤7 ； （2）|5 x－3|＞2
总结
(1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对
值符号的不等式；
(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性， 即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等 式是等价的．
练习
(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小．
(3)比较 2 x2＋3 x＋4 和 x2＋3 x＋3 的大小；
(4)比较 (x＋1)2 和 2 x＋1的大小．
总结
作差法的步骤： 作差 变形 定号(与0比较大 小) 结论．
证明 因为 (a＋c)－(b＋c)＝a－b， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 a＋c＞b＋c．
•思考：如果 a＞b，那么 a－c＞b－c．是否正确？ • 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又.选D【考点】不等式的基本性质.2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定【答案】C【解析】a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a<b，故选C.3.已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时比较c n与a n＋b n的大小．【答案】a n＋b n<c n.【解析】解：∵a，b，c∈{正实数}，∴a n，b n，c n>0，而＝()n＋()n.∵a2＋b2＝c2，则()2＋()2＝1，∴0<<1,0<<1.∵n∈N，n>2，∴()n<()2，()n<()2，∴＝()n＋()n<＝1，∴a n＋b n<c n.4.若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】A: ，∴，∴A错误；B：∵，∴，∴B错误；C：，∴C正确；D：，∴D错误.【考点】不等式的性质、作差比较大小.5. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.6. (2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是()A．B．C．(3,+∞)D．(4,+∞)【答案】B【解析】不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.7.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.【答案】见解析【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.8.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．9.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.10.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣3【答案】C【解析】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选C11.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。
不等式的绝对值不等式
不等式的绝对值不等式不等式是数学中常见的概念，它描述了数值之间的大小关系。
而绝对值不等式则是一种特殊类型的不等式，它以绝对值的形式出现。
本文将介绍绝对值不等式的定义、性质以及解决方法。
一、绝对值不等式的定义绝对值是指一个数与零的距离，用符号“|x|”表示。
对于任意实数x，有以下绝对值的定义：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值不等式则是在绝对值的基础上，将不等式引入。
形式上，绝对值不等式可表示为|f(x)|<g(x)、|f(x)|>g(x)、|f(x)|≤g(x)或|f(x)|≥g(x)四种情况。
二、绝对值不等式的性质1. 对于任意实数a和b，有|a|≥0和|a|=-a当且仅当a=0。
解释：绝对值的定义使得它的值要么为非负数，要么为零；同时，只有当a等于零时，|a|才能等于零。
2. 对于任意实数a，有|-a|=|a|。
解释：绝对值的定义中，当a为非负数时，|a|与|-a|的数值相等；当a为负数时，|-a|和|a|的数值同样相等。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式的求解过程相对复杂，需要根据不同的情况进行讨论。
下面将介绍几种常见的解法方法：1. 使用数轴法将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题，通过确定不等式在数轴上的位置关系，找出满足条件的解。
例如，对于不等式|3x-2|<5，我们可以通过将3x-2视为一个变量，利用数轴上的图形表示，找出满足条件的解。
2. 分析法将绝对值不等式拆解成两个简单的不等式，再分别求解。
主要包括以下两种情况：a) 当不等式中的绝对值没有含有变量时，直接求解即可。
b) 当不等式中的绝对值含有变量时，将不等式转化为一个简单的二次不等式，再进行求解。
3. 化简法对于一些特殊的绝对值不等式，可以通过化简的方法求解。
例如，对于不等式|a-b|<c，我们可以将其拆解为两个不等式，即a-b<c和a-b>-c，再求解。
总结：绝对值不等式是数学中重要的概念，它可以用来描述数值之间的大小关系。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式与绝对值不等式
不等式与绝对值不等式不等式是数学中一个重要的概念，也是我们日常生活中常常会用到的一个知识点。
它指的是两个数之间的大小关系，并用大于号(>)，小于号(<)，大于等于号(≥)，小于等于号(≤)等符号来表示。
而绝对值不等式则是一种特殊的不等式，它涉及到数字的绝对值，并且有着一些与普通不等式不同的性质。
一、普通不等式普通不等式是指两个数之间的大小关系，形式一般为 a < b，a > b，a ≤b 或a ≥ b。
当 a < b 时，我们可以理解为 a 在数轴上位于 b 的左侧，这样的不等式也称为“小于不等式”；而当 a > b 时，我们可以理解为 a在数轴上位于b 的右侧，这样的不等式也称为“大于不等式”。
类似地，a ≤ b 和a ≥ b 也被称为小于等于不等式和大于等于不等式。
对于普通不等式，我们可以通过移项变形、乘除运算、绝对值等方法进行求解。
举个例子，如果我们有不等式 2x - 5 > 1，则可以通过移项变形得到 2x > 6，再除以2得到 x > 3。
这样，我们就求出了这个不等式的解集为 x ∈ (3, +∞)。
二、绝对值不等式绝对值不等式是一种涉及到数字的绝对值的不等式，形式一般为|ax + b| > c 或 |ax + b| < c，其中 a、b、c 均为常数。
这种不等式有着一些与普通不等式不同的性质和求解方法。
首先，由于绝对值的定义，|ax + b| 的值始终大于等于0，因此当 |ax + b| > c 时，其实就是要求 |ax + b| 与 c 之间的距离大于0，即|ax + b| - c > 0。
这样，我们就将原来的绝对值不等式转化为了普通不等式，进而可以通过上述方法进行求解。
其次，在绝对值不等式中，绝对值函数的性质也有所不同。
具体来说，当 |x| < a 时，我们可以得到 -a < x < a；当 |x| > a 时，我们可以得到 x < -a 或 x > a。
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学习必备欢迎下载不等式的性质与绝对值不等式典题探究例 1 解不等式 2＜｜ 2x－ 5｜≤ 7．例 2 解关于x的不等式：(1) ｜ 2x＋ 3｜－ 1＜a( a∈ R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．例 3 解不等式 | x－ |2 x＋ 1|| ＞1．例 4.求证：a2b2ab a b 1演练方阵A档（巩固专练）1．下列各式中，最小值等于2的是（）x yB．x 25C．tan1x2xA ．2D．2y x tanx42x, y R且满足x3y2，则 3x27 y 1 的最小值是（）．若A．339B．122C．6D．73．不等式 |8 － 3x| ＞0 的解集是 ()A．B． R C． { |≠8 ，∈R} D ．{ 8 } 334．下列不等式中，解集为R的是()A．｜x＋ 2｜＞ 1B．｜ x＋2｜＋1＞1 C． ( x－ 78)2＞－ 1 D ． ( x＋ 78)2－1＞05．在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是()A．｛x｜－ 2＜x＜ 2 }B ．｛x｜ 0＜x≤ 2 }C ．｛x｜－ 2≤x≤ 2｝ D ．｛x｜x≥ 2 或x≤－ 2｝6．不等式｜ 1－ 2x｜＜3的解集是( )A．｛x｜x＜1 } B ．｛x｜－ 1＜x＜ 2 }C．｛ x｜ x＞2｝D．｛ x｜ x＜－1或 x＞2｝7．若a b 0 ，则a1的最小值是 _____________。
b(a b)128．函数 f ( x) 3xx 2 ( x 0) 的最小值为 _____________。
9．不等式｜ x ＋ 4｜＞ 9 的解集是 __________．10．当 a ＞0 时，关于 x 的不等式｜ b －ax ｜＜ a 的解集是 ________．B 档（提升精练）1．不等式｜ x ＋ a ｜＜ 1 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 1＋ a ＜x ＜ 1＋ aB ．｛ x ｜－ 1－ a ＜ x ＜ 1－ a}C ．｛ x ｜－ 1－｜ ｜＜ ＜ 1－｜ a ｜} D ．｛ x ｜ ＜－ 1－｜ a ｜或 x ＞ 1－｜ a ｜｝a xx2．不等式 1≤｜ x －3｜≤ 6 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 3≤ x ≤2 或 4≤ x ≤ 9｝ B．｛ x ｜－ 3≤ x ≤ 9｝ C ．｛ x ｜－ 1≤ x ≤2｝D．｛ x ｜4≤ x ≤9｝3．下列不等式中，解集为｛x ｜ x ＜ 1 或 x ＞ 3｝的不等式是 ( )A ．｜ x －2｜＞ 5B ．｜ 2x － 4｜＞ 3C ． 1－｜ x － 1｜≤1D．1－｜ x －1｜＜122 2 24．已知集合 A ＝ { x || x － 1| ＜2} ， B ＝ { x || x － 1| ＞ 1} ，则 A ∩ B 等于 ( )A ． { x | －1＜ x ＜ 3}B ． { x | x ＜0 或 x ＞ 3}C ． { x | －1＜ x ＜ 0}D． { x | － 1＜ x ＜ 0 或 2＜ x ＜ 3}5． 若 x (,1) ，则函数 yx 2 2x2有（）2x 2A ．最小值 1B ．最大值 1C ．最大值 1D ．最小值16．设 a,b, cR ，且 a b c1，若 M(11)( 1 1)( 11) ，则必有（）ab cA ．0 M1 1M1C ．1M8D ．M88B ．87．已知不等式｜ x －2｜＜ a ( a ＞ 0) 的解集是｛ x ｜－ 1＜ x ＜ b } ，则 a ＋ 2b ＝．8．不等式 | x ＋ 2| ＞ x ＋ 2 的解集是 ______．9．解下列不等式： (1)|2－3x | ≤ 2；(2)|3x － 2| ＞ 2．10．求函数 y3 x 54 6 x 的最大值。
C 档（跨越导练）1．若 log x y 2，则 xy 的最小值是（）33 223 33 322A ．B ．C ．D ．23232．若x 1 ，则函数y x116 x的最小值为（）A ．16B．8 C．4x x21D ．非上述情况2，2， M ab ，a b a2b23b a0，且 P N R111122a2b2a b则它们的大小关系是（）A．PQMNR B．QPMNRC．PMNQR D．PQMRN4．若a,b R ，且 a b, M a bNa b ，则M与N的大小关系是b,aA．M N B．M N C．M N D．M N5.设x 0，则函数y31的最大值是 __________ 。
3xx6．若实数x, y, z满足x 2 y3z a(a为常数 ) ，则x2y2z2的最小值为7．函数y3x(x0)的值域是. x2x 18．若x, y, z是正数，且满足xyz( x y z) 1 ，则 ( x y)( y z) 的最小值为______。
9.求证：（ 1）a2 b2c2a b c（ 2）已知a b c ，求证： a2b2c21331310．设A＝｛x｜｜ 2x－ 1｜≤ 3｝，B＝｛x｜ | x＋ 2｜＜ 1｝，求集合M，使其同时满足下列三个条件： (1) M［ ( A∪B) ∩ Z］； (2) M中有三个元素； (3) M∩B≠不等式的性质与绝对值不等式答案典题探究| 2x 5 | 2 2x 5 | 2或2 x 5 2 x7 或 x 3 例 12 2【解析一】：原不等式等价于∴ 2x 5 |即| 2x 5 | 7771 x 6∴原不等式的解集为｛x ｜－ 1≤ x ＜ 3 或 7＜ x ≤6｝22【解析二】：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集2x 5 0 ( Ⅱ)2x 5 0( Ⅰ )2x 5 725 2x 72不等式组 ( Ⅰ ) 的解集为｛ x ｜ 7＜ x ≤ 6｝2不等式组 ( Ⅱ ) 的解集是｛ x ｜－ 1≤ x ＜ 3｝2∴原不等式的解集是｛x ｜－ 1≤ x ＜ 3 或 7＜ x ≤6｝22【解析三】：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．( Ⅰ )2 ＜2x － 5≤ 7 (Ⅱ )2 ＜ 5－2x ≤ 7不等式 ( Ⅰ ) 的解集为｛ x ｜ 7＜ x ≤ 6｝ 不等式 ( Ⅱ ) 的解集是｛ x ｜－ 1≤ x ＜ 3｝22∴原不等式的解集是｛x ｜－ 1≤ x ＜ 3 或 7＜ x ≤6｝．2 2例 2【解析】 (1)原不等式可化为｜ 2x ＋ 3｜＜ a ＋ 1a a时，由原不等式得a1 2x 3 a 1即a 4 x＜ a 2当 ＋ 1＞0，即 ＞－ 1＜ 当 a ＋ 1≤0, 即 a ≤－ 122时，原不等式的解集为 ，综上，当 a ＞－ 1 时，原不等式的解集是｛x ｜－a4＜ x ＜a2 }22当 a ≤－ 1 时，原不等式的解集是 ．(2) 原不等式可化为下面两个不等式组来解2x 1 0 或( Ⅱ)2 x 1 0( Ⅰ )1 x ( 2x1) x 12x1不等式组 ( Ⅰ ) 的解为 x ＞ 0不等式组 ( Ⅱ ) 的解为 x ＜－23∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－ 2或 x ＞ 0｝3例 3【解析】∵由| x－|2 x＋1||＞1等价于(x－|2 x＋1|)＞1或x－|2 x＋1|＜－1(1)由 x－|2 x＋1|＞1得|2 x＋1|＜ x－12 x10或 2 x10x 1x1∴x1即 2 或 2 均无解2 x1x1( 2x1)x2x0 (2)由 x－|2 x＋1|＜－1得|2 x＋ 1| ＞x＋ 1∴ 2 x101或 2 x10x12 x1x(2 x1)1x 1即x2，∴ x＞0或 x＜－2 2或x0x233综上讨论，原不等式的解集为{ x|x＜－2或 x＞ 0} ．3例4证明：(a2b2 ) (ab a b1)a2b2ab a b11(2a22b22ab2a2b2)21[(a22ab b2 )(a 22a1)(b22b1)]21[(a b)2(a1)2(b1)2 ]02a2b2ab a b1演练方阵A档（巩固专练）1【答案】D【解析】：2x0,2 x0,2x 2 x22x2 x22【答案】 D【解析】：x 3 y1 2x 3 y1 2x 3 y7 3333313【答案】 C【解析】 :4【答案】 C【解析】 ;5【答案】Ｃ【解析】所求点的集合即不等式｜x｜≤ 2 的解集．6 【答案】 B【解析】 由｜ 1－ 2x ｜＜ 3 得－ 3＜ 2x － 1＜ 3，∴－ 1＜ x ＜27 【答案】 3【解析】 : (a b) b1 33 (a b)13 b(a b)bb)b(a8 【答案】 9【解析】： f ( x)3x12 3x 3x 12 333x3x 129x 22 2 x 22 2 x 29 【答案】｛ x ｜ x ＞ 5 或 x ＜－ 13}【解析】 由原不等式得 x ＋ 4＞9 或 x ＋ 4＜－ 9，∴ x ＞ 5 或 x ＜－ 1310 【答案】｛ x ｜ b － 1＜ x ＜ b＋ 1｝a a【解析】 由原不等式得｜ ax － b ｜＜ a ，∴－ a ＜ax － b ＜a∴ b － 1＜x ＜ b＋ 1∴｛ x ｜ b － 1＜ x ＜ b＋ 1 }a aaaB 档（提升精练）1【答案】 B 【解析】 由｜ x ＋ a ｜＜ 1 得－ 1＜x ＋ a ＜ 1∴－ 1－ a ＜x ＜ 1－ a2 【答案】 A 【解析】 不等式等价于x 3 0 或x3 01 x 361 3 x 6解得： 4≤ x ≤ 9 或－ 3≤ x ≤2．3 【答案】 D 【解析】 A 中，由｜ x －2｜＞ 5 得 x － 2＞ 5 或 x － 2＜－ 5∴ x ＞ 7 或 x ＜－ 3同理， B 的解集为｛ x ｜ x ＞7或 x ＜－ 1｝ C 的解集为｛ x ｜ x ≤ 1 或 x ≥ 3｝2D 的解集为｛x ｜＜1或 ＞3｝x x4【答案】 D 【解析】 | x － 1| ＜ 2 的解为－ 1＜x ＜ 3， | x － 1| ＞ 1 的解为 x ＜ 0 或 x ＞ 2．∴ A ∩ B ＝{ x | － 1＜x ＜ 0 或 2＜ x ＜ 3} ．5 【答案】 C【解析】 y(x 1)21 2 x 1 1 1) 21x112x 22x 2 2( x 22(1 x) 6 【答案】 D 【解析】 M(ab c 1)(abc 1)(ab c1)(b c)(a c)(a b)abcabc8 ab bc ac8abc7【答案】 13 【解析】 不等式｜ x － 2｜＜ a 的解集为｛ x ｜2－ a ＜ x ＜2＋ a ｝由题意知：｛ x ｜ 2－ a ＜ x ＜2＋ a ｝＝｛ x ｜－ 1＜x ＜ b ｝∴2a 1 a 3∴ a ＋ 2b ＝ 3＋ 2×5＝ 132 acc 58【答案】｛ x ｜ x ＜－ 2｝【解析】 ∵当 x ＋ 2≥ 0 时， | x ＋ 2| ＝ x ＋2， x ＋ 2＞ x ＋ 2 无解．当 x ＋ 2＜0 时， | x ＋ 2| ＝－ ( x ＋ 2) ＞0＞ x ＋ 2∴当 x ＜－ 2 时，｜ x ＋ 2｜＞ x ＋ 29【解析】 (1) 由原不等式得－2≤ 2－3 x4 ≥3x ≥ 0，解集为 { x |0 ≤x ≤ 4} ．3(2) 由原不等式得 3x － 2＜－ 2 或 3x － 2＞ 2，解得 x ＜0 或 x ＞ 4 ，故解集为 { x | x ＜0 或 x ＞ 4} ．3310 解：函数的定义域为[5,6] ，且 y 0y 3 x 5 46 x32 42( x 5) 2( 6 x )25ymax5C 档（跨越导练）1. 【答案】 A 【解析】由 log x y2 得 y1x 2，而 x y x1 x x 1 33x x 1331332x 22 2 x 2 2 2 x 24 2y1 1 6x1 1 62. 【答案】 B 【解析】x2x216 8xx1x1xx3. 【答案】 A 【解析】R 为平方平均数，它最大4.【答案】 A 【解析】a b,ab 2 a ,ba2bbaa b a b ba 2b 2 a ，即bbabaa5.【答案】32 3 【解析】y33x 1323x132 3 ，即y max 3 2 3 x x6.【答案】a2【解析】222x) (2y2z2)x(y2z32)a 14( 123即 14( x2y2z2)a2x2y22a2，z147.【答案】[3,0) 【解析】y3x3，x0,12, 得x2x1x11x xxx 1111103303y0 x11x1x1x x8【.答案】 2【解析】(x y)( y z)xy y2yz zx y(x y z)zx2y(x y z)zx 2 9.（ 1）证明：(121212 )( a2b2c2 )(a b c) 2a2b2c2( a b c)2即a2b2c2 a b c3933（2）证明：a2b2c2(a b c) 2(2ab2bc2ac)( a b c)22( a2b2c2 )3(a2b2c2 )(a b c)21a2b2c21310.解：∵ A＝｛ x｜｜ 2x－ 1｜≤ 3｝＝｛ x｜－ 1≤ x≤ 2｝B＝｛ x｜| x＋2｜＜1｝＝｛ x｜－3＜x＜－1｝∴M ［( A∪ B)∩Z］＝｛ x｜－1≤x≤2｝∪｛ x｜－3＜ x＜－1｝∩Z＝｛ x｜－3＜x≤2｝∩Z＝｛－ 2，－ 1， 0， 1， 2｝又∵ M∩B≠，∴－2∈ M．又∵ M 中有三个元素∴同时满足三个条件的 M 为：｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1， 2｝，｛－ 2， 0，1｝，｛－ 2， 0， 2｝，｛－ 2，1， 2｝．。