2020年天津一中高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.以下说法正确的有几个（ ）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（ ）A. B. C. D.3.在△ABC中，若且∠BAC=30°，则△ABC的面积为（ ）A. B. C. D.4.设α、β、γ为平面，为m、n、l直线，则下列判断正确的是（ ）A. 若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥βB. 若α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥βD. 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β5.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A. B. C. D.6.点G为△ABC的重心，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，则=（ ）A.B. C. D.7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（ ）A. A 1O ∥D 1C B. A 1O ∥平面B 1CD 1C. A 1O ⊥BC D. A 1O ⊥平面AB 1D 18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（ ）A.B. C. D.9.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°，CD =2，，则二面角C 1-BD -C 的平面角的余弦值为（ ）A. B. C. D.10.如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使，BN 与CM交于点P ，若，，则的值为（ ）A. B. C. D. 6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知向量，满足，，，则=______．12.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC，AC=2BC，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于______．13.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，则二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值为______．14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2b（2b-c）cos A=a2+b2-c2，则内角A的值为______．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为______．16.如图，在直角梯形ABCD中，，AB=AD=2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.设f（α）=，，其中向量=（），=（2sin，cos）（1）若f（α）=-1，求cos的值．（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，若a cos B+b cos A+2c•cos C=0，求函数f（A）的取值范围．18.如图，在几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，E为AB中点．（1）求证：AN∥平面MEC；（2）求证：AC⊥BN．19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM=2．（1）求证OH∥平面DEC；（2）求证平面ADE⊥平面ABCE；（3）求三棱锥H-OMB的体积．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB=6，AP=5，∠BAD=60°．（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：①错误，如空间四边形确定一个三棱锥．②错误，直线可能和平面相交．③正确，根据公理二可判断③正确．④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行．故选：B．利用反例判断①②④的正误；公理二判断③的正误即可．本题考查科技中心与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解．由正弦定理得，即，即，也即，故，故选：B．直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：因为在△ABC中，若且∠BAC=30°，∴c•b•cos A=2⇒b•c×=2⇒bc=；∴△ABC的面积为：bc sin A=××=；故选：C．根据数量积和角A的度数，求得bc=；再代入三角形的面积计算公式即可．本题主要考查数量积的应用以及解三角形的有关知识，属于基础题目．4.【答案】D【解析】解：对于A，若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则当m⊂α时，m⊥β．当m⊄α时，m与β相交但不垂直，故A不正确；对于B，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则m与β，可能平行与可能相交，故B不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m∥β，或m⊂β，故C不正确；对于D，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，可得α∥β，并且m∥n，所以m⊥β，故D正确，故选：D．通过直线与平面垂直与平行，平面与平面的平行与垂直的判断与性质，推出正确选项即可．本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质．5.【答案】B【解析】解：根据三视图可知，该几何体是一个底面等腰直角三角形，高为2三棱锥，如图，该三棱锥为D-ABC，由三视图尺寸可知：AD=2，即AC=2，AB⊥BC，则此三棱锥的体积为V=×=．故选：B．根据三视图，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥，画出直观图．本题考查了三视图的认识和尺寸关系，直观图以及几何体的体积的求法，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：以CA，CB为x，y轴，建立直角坐标系，如图：点G为△ABC的重心，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，可得A（，0），B（0，1），则G（，），=（，），=（-，）则==-．故选：A．利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，善于利用平面向量的一些常见结论是求解本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．【解答】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：B．8.【答案】C【解析】解：如图，设圆锥与圆柱的底面半径为r，则圆锥SC的高为2r，设圆柱的高为h，由体积相等可得，可得h=．∴，．则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为．故选：C．设圆锥与圆柱的底面半径为r，则圆锥SC的高为2r，设圆柱的高为h，由体积相等可得h=，分别求出圆锥与圆柱的侧面积，作比得答案．本题考查圆柱、圆锥的侧面积与体积，考查计算能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点O，连结CO，C1O，∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=2，，∴CO⊥BD，C1O⊥BD，∴∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，∵C1B=C1D==，∴C1O==，CO==，∴二面角C1-BD-C的平面角的余弦值为：cos∠C1OC==．故选：D．取BD中点O，连结CO，C1O，推导出CO⊥BD，C1O⊥BD，∠COC1是二面角C1-BD-C 的平面角，求出C1B=C1D=，从而C1O=，CO=，由此利用余弦定理能求出二面角C1-BD-C的平面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．用，作为基底分别表示，根据平面向量基本定理，求出λ，μ，即可得到结论.【解答】解：由题意，===.=+=+=根据平面向量基本定理，可得，∴，∴=6.故选D.11.【答案】2【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于基础题．向量的数量积的运算和向量模即可求出答案．【解答】解：∵，，，∴|+|2=||2+||2+2•=5，∴2•=5-4-1=0，即•=0，∴|2-|2=4||2+||2-4•=4+4=8，∴|2-|=2，故答案为：.12.【答案】【解析】解：过A 作AD ∥BC ，过B 作BD ∥AC ，则四边形ACBD 为矩形，即AC ∥BD ，故直线PB 和直线AC 所成的角为∠PBD ，不妨设BC =1，则PA =AC =2，由于PA ⊥平面ABC ，故PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，所以．由于 BD ⊥AD ，BD ⊥PA ，所以BD ⊥平面PAD ，所以BD ⊥PD ．在直角三角形PBD 中，故答案为：．先将三棱锥补成四棱锥，再由异面直线所成角的作法可得：直线PB 和直线AC 所成的角为∠PBD ，再在直角三角形PBD 中求解即可．本题考查了异面直线所成角的求法，属中档题．13.【答案】【解析】解：在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =AA 1=2，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A 1（0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），=（-2，0，2），=（-2，2，2），=（-2，2，0），设平面A 1BC 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取x =1，得=（1，0，1），设平面BCC 1的法向量=（a ，b ，c ），则，取a=1，得=（1，1，0），cos＜＞===，∴二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值为：=．故答案为：．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值．本题考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】60°【解析】解：因为2b（2b-c）cos A=a2+b2-c2，由余弦定理可得：2b（2b-c）cos A=2ab cos C，整理可得：（2b-c）cos A=a cos C，由正弦定理可得2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，即2sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A=sin B，B∈（0，π），所以sin B≠0，所以cos A=，A∈（0，π），所以A=60°，故答案为：60°．由余弦定理可得a2+b2-c2=2ab cos C，再由正弦定理可得cos A=，再由A的取值范围可得A的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（1，1，1），A（1，0，0），D（0，0，0），E（1，1，），=（1，1，1），=（1，0，0），=（1，1，），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取y =1，得=（0，1，-2），∴点B 1到平面ADE 的距离为：d ===．∴点B 1到平面ADE 的距离为．故答案为：．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 1到平面ADE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：由图可知：=+=+（1-λ），==，又，所以[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．由平面向量的线性运算得：=+=+（1-λ），==，由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，得解．本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．17.【答案】（1）∵=（），=（2sin ，cos -1），由f（α）=，=-1，得，∴，即，∴；（2）由题意，得f（A）==，在△ABC中，由a cos B+b cos A+2c•cos C=0及正弦定理知，sin A cos B+sin B cos A+2sin C cosC=0，∴sin（A+B）+2sin（A+B）•cos C=0，又∵sin（A+B）≠0，∴cos C=-，∵C∈（0，π），∴C=，∴0＜A＜，0＜＜，＜＜，∴sin（）∈（）．∴函数f（A）=sin（）-∈（0，）．即函数f（A）的取值范围是（0，）．【解析】（1）由数量积的坐标运算写出f（α），结合f（α）=-1，利用三角恒等变换求解cos的值；（2）由（1）得到f（A），再由已知等式结合正弦定理求解C，进一步求得函数f（A）的取值范围．本题考查平面向量的数量积运算，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．18.【答案】证明：（1）连接BN，如图，使得BN∩CM=H，则H是BN中点，∵E为AB中点，∴EH∥AN，∵AN⊄平面MEC，EH平面MEC，∴AN∥平面MEC．（2）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，ADNM是矩形，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥ND，BD∩ND=D，BD，ND⊂平面NDB，∴AC⊥平面NDB，又BN⊂平面NDB，【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接BN，使得BN∩CM=H，推导出EH∥AN，由此能证明AN∥平面MEC．（2）推导出ND⊥AD，从而ND⊥平面ABCD，进而AC⊥平面NDB，由此能证明AC⊥BN ．19.【答案】证明：（1）取F为BC的中点，连OF、FH，∵O、F分别为AE、BC的中点，∴OF∥EC，∵OF⊄面DEC，EC⊂面DEC，∴OF∥面DEC，同理可证，HF∥面DEC，OF∩HF=F，∴面HOF∥面DEC，又OH⊂面HOF，∴OH∥平面DEC；（2）∵AD=DE=2，且点O是AE的中点，∴DO⊥AE，DO=，∵M为AB的中点，∴OM=，且AE⊥OM，又∵DM=2，∴DO2+OM2=DM2，∴DO⊥OM，∵DO⊥AE，AE∩OM=O，∴DO⊥平面ABCE，∵DO⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；解：（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，∴点H到平面OMB的距离是DO=，则V H-OMB==．【解析】（1）根据条件取F为BC的中点，连OF、FH，由中位线性质和线面平行的判定证明面HOF∥面DEC，再证明OH∥平面DEC；（2）由E和O分别是中点得，DO⊥AE，再由长度和勾股定理证明DO⊥AE，根据线面垂直的判定证明DO⊥平面ABCE，再由面面垂直的判定得结论；（3）由DO⊥平面ABCE和H是中点，求出三棱锥的高，代入体积公式求值．本题考查了三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直和面面垂直的性质、判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，考查了空间想象能力、推理论证的能力．20.【答案】（1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∴AC⊥BD，又∵O，E分别是AD、AB的中点，∴OE∥BD，∴OE⊥AC，∵PO⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，又∵OE∩OP=O，∴AC⊥平面POE，又∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POE．（2）解：过点B作BM⊥OE于M，易证PO⊥BM，OE，OE∩OP=O，∴BM⊥平面POE，∴PM是PB在平面POE上的射影，∠BPM即为所求．∵四边形ABCD是菱形，∵E是AB中点，∴BE=AE=，又∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=∠BEM=60°，∴BM=，又∵AP=5，OA=3，∴在直角三角形POA中得OP==4，∵在直角三角形POB中，OB=，OP=4，∴PB==，∴在Rt△PMB中，，，所以；（3）解：取PB的中点T，AB的中点H，连BF，DH，TH．易证DH∥BF，TH∥PA∴∠DHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角，在三角形PDB中，PD=5，DB=6，PB=，，在三角形PDT中，，所以，在△DHT中，，，，，．【解析】（1）根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质得OE⊥AC，PO⊥AC，由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面POE．（2）根据线面所成角的定义找到直线PB与平面POE所成角的，∠BPM即为所求再计算正弦值．（3）根据中位线得DH∥BF，TH∥PA，∠DHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角，结合余弦定理去计算DT，和计算角∠DHT的余弦值．本题考查了空间中的垂直性质定理和判定定理，也考查了直线与平面所成的角，异面直线所成角，是中档题．。
(新课标人教版)天津市和平区2019-2020学年高一下期中考试数学试题-附答案(已审阅)
天津市和平区2019-2020学年度第二学期高一年级期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b < D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 11 3.若13,24a b <<<<，则ab的范围是 A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,4 4.在ABC中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b += A. 4 B. 8 C. 16 D. 0或86.在ABC 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A.13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第 项.10.在ABC 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 . 11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 . 13.在ABC 中，若120,5,7,A AB BC ===，则ABC 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或. （1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值； （2）若ABC 的面积为3sin sin ,2ABCS B C =求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。
2020-2021学年天津三中高一(下)期中数学试卷后附详细解析参考答案
2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷后附详细解析参考答案一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
）1．（3分）若复数z＝（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或12．（3分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x 的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（3分）设，是非零向量，“＝||||”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2B．C．1D．6．（3分）如果在△ABC中，a＝3，，c＝2，那么B等于（）A．B．C．D．7．（3分）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（）A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm8．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[1，3]二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
）10．（4分）若复数，则|z|＝．11．（4分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为．12．（4分）在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，A＝45°，则b等于．13．（4分）等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为．14．（4分）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．15．（4分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．三、解答题（共4题，第16、17、18题每小题12分，第19题13分，共49分.）16．（12分）已知＝（1，2），＝（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．17．（12分）如图，在▱ABCD中，M，N分别在BC，AB上，且BM＝2MC，AN＝3NB，＝，＝．（1）试用，表示，；（2）若||＝4，||＝3，∠BAD＝60°，求•的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）如果a+b＝6，＝4，求c的值．19．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．2020-2021学年天津三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分。
天津市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
天津市第一中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第Il卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第一•选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.在△ ABC中，角A B C的对边分别是a, b, C ,且a cos B （2c b） CoS A ,则角A的大小为（）A- 6 B 4 C- 3 D 2 —3.在ABC中，若AB AC 2且BAC 30 ,则ABC的面积为（）A. 3B. 2 3C' D宁4.设、、为平面，为m n I直线，则下列判断正确的是（）A.若, l , m l ,贝U m B .若m , ,贝U mC.若, ,m ，贝U m D 若n , n , m ，贝U m27.在正方体 （）ABCD A BG D 中，点O 是正方形 ABCD 的中心， 关于直线AO 下列说法正确的A. AO / / DC B . AO / / 平面 BCD C. AO BC D. AO 平面 AB D 8. 一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）4515 9.平行六面体 ABCD A B C D 的底面 ABCD是菱形，且 C CB I C CD 1 BCD 60A.B . C.D. 26•点G 为ABC 的重心, AB 2, BC1, ABC 60()1- 9D53CD 2, C C 2 3，则二面角i CBDC 的平面角的余弦值为（）A .B .丄C 兰D. —33 33CA.D .A. EB. -3C. 1D. 6386•填空题16.如图，在直角梯形 ABCD 中, BAD ， AB AD 2，若 M N3分别是边 AD BC 上的动点，满足 AM AD ， BN (1) BC ,其中(0,1),若AN BM 2，贝U的值为一.AM 1 1AB -ANAC-, BN 与 CM 交于点 P ,若 BP32PN , PMCP ,则 的值为()10•如图，在 ABC 的边AB AC 上分别取点 M 、N ,使11.已知向量a , b 满足I a | b I1 ,| b I 2，| a ,5，则 I2 a b | 12如图，PA 平面ABC ,ACB 90 且 PA AC AC 2 BC ，则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于 _____________13.如图，在直棱柱 ABC ABC 中，AB AC , AB AC AA2 ,则二面角A BC C 的平面角的正弦值为 _____________14.在厶ABC 中,角A B C 的对边分别为a 、b 、C , 2 b (2 b C ) CoS A a 2 b 2c 2 ,则内角A 的值为15.已知正方体 ABCD A BC D 的棱长为1 ,点E 是棱BB 的中点，则点 B I 到平面ADE 的距离B17.设f ( ) m n ,其中向量m (.3Cos - -1(2 Sin ,),一 n(1)若 f ( )1 ,求cos(3 2,CaS 2 42）的值;1).（2）在△ ABC 中，角 （A ）的 A B, C 的对边分别是 a , b , 右 a cosb cos A 2 C CoS C 0 ,求函数 f取值范围• 18.如图，在几何体中, AB 中点. 四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM 平面ABCD , E 为(1) 求证：AN / / 平面MEC ; (2) 求证：AC BN .19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB 2 AD 4 , E为CD的中点，沿AE将AED折起，如图2所示，OH M 分别为AE BD AB的中点，且DM 2 .(1)求证: QH / / 平面DEC ；(2)求证：平面ADE 平面ABCE.图220.如图，四棱锥P ABCD勺底面是菱形，Po 底面ABCDQ E 分别是AD AB 的中点，AB 6, AP 5 , BAD 60 .(1)求证：平面PAC 平面POE;(2)求直线PB与平面POE所成角的正弦值；(3)若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的正切值。
天津市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 答案和解析
16．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式 对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为_____________.
17．在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 .
18．解关于 的不等式 ， .
19．设 为数列 的前 项和，对任意的 ，都有 （ 为正常数）.
参考答案
1．C
【解析】依题意有 ，解得 ，故选 .
2．D
【分析】
由不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】
解：取 ， ， ，可判断选项 不一定成立；
取 ， ，可判断选项 不一定成立；
取 ，则 ，可判断选项 不一定成立；
因为 ，所以 ，所以 ，故 一定成立．
故选： ．
【点睛】
本题考查不等式的性质的应用，解答的关键是利用特殊值法排除一些错误的选项，再利用作差法比较大小；
A． B．
C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)
8．已知 ，且 ，则 的最小值是（）
A．3 B． C．2 D．
9．已知数列 的各项均为正数， ， ，若数列 的前n项和为5，则
A．119B．121C．120D．1222
10．已知正项等比数列 满足 ,若存在两项 使得 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分12分）已知数列 和 满足 ，若 为等比数列，且 ， ．
（1）求 与 ；
（2）设 （ ），记数列 的前 项和为 ，
（I）求 ；
（II）求正整数 ，使得对任意 均有 ．
2019-2020学年天津市和平区高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市和平区高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，向量，，且，则x等于A. B. 1 C. 9 D.2.若向量、满足：，，，则A. 2B.C. 1D.3.已知向量，，，若，则与的夹角为A. B. C. D.4.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：单位：分78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91．则这15人成绩的第80百分位数是A. 90B.C. 91D.5.已知分别是的内角A、B、C的对边，若，则的形状为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形6.已知，的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为A. B. C. D.7.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则A等于A. B. C. D.8.如图，在平行四边形ABCD中，，，，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知复数，则复数的模为______；复数的虚部为______．10.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：，，，，，则这组数据的方差为______．11.已知面积为，，则______；已知中，，，，AC边上的高等于______．12.在中，，，O是BC的中点，M是AO上一点，且，则的值是______．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）13.一个袋中有4个大小之地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，连续取两次．设表示先后两次所取到的球，试写出所有可能的抽取结果；求连续两次都取到白球的概率；若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次球所得分数大于2分的概率．14.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．求C；若，的面积为，求的周长．15.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．设甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为X，求，，，时的概率，，，．设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，解得．故选：D．根据即可得出，解出x即可．本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质：两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．由条件利用两个向量垂直的性质，可得，，由此求得【解答】解：由题意可得，，；，，则，故选B．3.答案：C解析：解：设与的夹角为，，则，，即，，，则，故选C．先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，有的范围，可得答案．本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．4.答案：A解析：解：该组数据从小到大排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．且，所以这15人成绩的第80百分位数是90．故选：A．把该组数据从小到大排列，计算，找出对应的第80百分位数．本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．5.答案：A解析：解：，利用正弦定理化简得：，整理得：，，．，为钝角，三角形ABC为钝角三角形．故选：A．已知不等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到，根据sin A不为0得到，进而可得B为钝角，即可得解．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．6.答案：A解析：解：，，，，在方向上的投影向量为．故选：A．根据条件可求出，进而可求出，然后根据投影的计算公式即可得出投影向量．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影的计算公式，以及投影向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：由，由正弦定理可知：，代入，可得，由余弦定理可得：，，．故选：D．利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：B解析：解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则，，满足，，；，则，因为，二次函数的对称轴为：，则为增区间，故当时，．故选：B．画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围．本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．9.答案：解析：解：复数，，，复数的虚部为，故答案为：，．根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．10.答案：解析：【分析】本题考查方差的定义，属于中档题．先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差【解答】解：数据，，，，的平均数，方差．故答案为：．11.答案：解析：解：已知面积为，，故且；为三角形的内角因为：中，，，，所以：舍；故AC边上的高等于：．故答案为：，．直接结合面积和数量积求出tan A，即可求出结论；先利用余弦定理求出c，进而求得结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质以及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：解析：解：因为中，，，O是BC的中点，M是AO上一点，且，；则．故答案为：．取基底为，，把所求向量转化为用基底表示，即可求出结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13.答案：解：续取两次所包含的基本事件有：红，红，红，白，红，白，红，黑；白1，红白1，白白1，白，白1，黑；白2，红，白2，白，白2，白，白2，黑；黑，红，黑，白，黑，白，黑，黑，所以基本事件的总数为16．设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有：白1，白白1，白，白2，白，白2，白共4个所以，．设事件B：连续取两次分数之和为3分，则，设事件C：连续取两次分数之和为4分，则，设事件D：连续取两次分数之和大于2分，则．解析：续取两次所包含的基本事件有16个．设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有4个，由此能求出连续两次都取到白球的概率．设事件B：连续取两次分数之和为3分，则，设事件C：连续取两次分数之和为4分，由此能求出连续取两次分数之和大于2分的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14.答案：解：由已知，正弦定理得：，即，，，，．由，，的面积为，，又由余弦定理，可得：，可得：，解得：，的周长．解析：利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得，由，，可求，进而可求C的值．根据ABC的面积公式可求，根据余弦定理可求的值，即可求得周长．本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．15.答案：解：由频率分布直方图得的频率为，得分在，的频数分别为8，2．，，．估计本次竞赛学生成绩的众数为：，的频率为：，的频率为：，中位数为：，平均数为：．解析：由频率分布直方图求出的频率为，根据得分在，的频数分别为8，能求出n，y，从而能求出x．由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．本题考查样本容量、频率、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：解：，，，．设乙同学上学期间的三天中在7：30之前到校的天数为Y，则，，，，．解析：根据二项分布列公式计算概率；根据相互独立事件公式计算概率．本题考查了二项分布的概率公式计算，相互独立事件的概率计算，属于基础题．。
2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一（下）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．以下命题正确的是（）A．B．C．D．3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．4．在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或5．已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C．5D．256．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．9．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC 上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．212．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．已知平面向量，，若，则实数k＝．14．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．15．侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为；外接球表面积为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD 的距离为．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．18．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为．三．解答题（本大题共4小题，共60分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cos A+a cos C＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．2．以下命题正确的是（）A．B．C．D．解：＝0，所以A不正确；＝，所以B不正确；，所以C正确；是与共线的向量，是与共线的向量，所以D不正确；故选：C．3．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是×＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2，故选：D．4．在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或解：△ABC中，∵已知a＝2，，，则由正弦定理可得＝，即＝，求得sin B＝，∴B＝或B＝，故选：D．5．已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C．5D．25解：∵|+|＝，||＝∴（+）2＝2+2+2＝50，得||＝5故选：C．6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．7．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米解：设AB＝xm，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD+BC＝100+x，∴DB＝AB，即100+x＝x，解得x＝50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆锥的底面半径为r，则高为h＝2r，所以圆锥的体积为V圆锥＝π•r2•2r＝，r＝1，h＝2，l＝＝＝，则此圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π•1•＝π．故选：A．9．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．11．四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC 上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．2解：如图建立平面直角坐标系，则E（﹣1，1），F（1，y），（0≤y≤1）．∴，，＝2+y（y﹣1）＝y2﹣y+2＝（y﹣）2+，∴当y＝时，则取得最小值．故选：C．12．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：由题意知，△A1B1C1是以A1B1为底边的等腰三角形，又∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵平面A1B1C1⊥平面平面A1ABB1，C1M⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面平面A1ABB1＝A1B1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确，不妨设AA1＝1，则BB1＝1，AB＝，BN＝，则△AA1B∽△BNB1，则∠BNB1+∠NBA1＝，则A1B⊥NB1，故②正确，连接BC1，交B1C于点P，连接NP，易证NP∥C1A，又由NP⊂平面NB1C，C1A⊄平面NB1C，故C1A∥平面NB1C，故③正确，∵A1B⊥AM，C1M⊥A1B，∴A1B⊥平面AMC1，又∵A1B⊂平面CBA1，∴平面AMC1⊥平面CBA1，故④正确，故选：D．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．已知平面向量，，若，则实数k＝3或﹣1．解：∵，且，∴3﹣k（k﹣2）＝0，解得k＝﹣1或3．故答案为：﹣1或3．14．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是2﹣i．解：由z（2﹣i）＝|3﹣4i|，得z＝＝，则．故答案为：2﹣i．15．侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为24；外接球表面积为25π．解：由题意，侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为V＝；正四棱住的对角线长为，则正四棱住的外接球的半径为r＝，外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝25π．故答案为：24；25π．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD 的距离为．解：，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，BE＝DE＝，BD＝2，设点C1到平面EBD的距离为h，则＝，所以×h＝，解得h＝．故答案为：．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．解：由2ab sin C＝（b2+c2﹣a2），得2ab sin C＝••2bc＝2bc cos A，可得a sin C＝c cos A，即sin A sin C＝sin C cos A，由sin C≠0，可得tan A＝，由A∈（0，π），可得A＝，又，c＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即13＝b2+9﹣6b×，整理得b2﹣3b﹣4＝0，得b＝4或b＝﹣1（舍），所以＝＝．故答案为：，．18．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为﹣．解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得•＝﹣•＝﹣c2，•＝﹣•＝﹣b2，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得＝＝＝2R，由，两边点乘，可得•（•）+•（•）＝2λ2，即﹣••c cos B﹣••b cos C＝2λR2，所以﹣•2R（c cos B+b cos C）＝2λR2，所以﹣（c•+b•）＝2λR，所以﹣a＝2λR，所以λ＝﹣＝﹣sin A＝﹣．故答案为：﹣．三．解答题（本大题共4小题，共60分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．解：（1）∵，，∴，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为；（2）＝；（3），且，∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cos A+a cos C＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为（c﹣2b）cos A+a cos C＝0，由正弦定理得sin C cos A﹣2sin B cos A+sin A cos C＝0，故sin（A+C）＝2sin B cos A，所以sin B＝2sin B cos A，因为sin B＞0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；（2）a＝4，b+c＝2，A＝，由余弦定理得cos A＝＝＝＝，故bc＝4，△ABC的面积S＝＝＝．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．解：（1）连结AD1、CD1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC＝60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°；证明：（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，又AC⊥BD，且DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；证明：（3）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D是平行四边形，得AB1∥C1D，又∵AB1⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理可证C1B∥平面AB1D1．又C1B∩C1D＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵底面ABCD是矩形，∴O是BD的中点，又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）解：∵，又，∴PA＝1，又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，在矩形ABCD中AD⊥CD，且PA、AD∈平面PAD，所以CD⊥平面PAD，则直线PC与平面PAD所成角为∠CPD，所以，所以直线PC与平面PAD所成角的正切值为．（3）解：平面AMN与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA⋂AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA＝AB，M为线段PB的中点，所以AM⊥PB，又PB⋂BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AM⊥平面PBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC．。
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020年天津市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =15，b =10，A =60°，则sin B等于（ ）A. -B. C. D. -2.在△ABC 中，内角ABC 的对边分别为a ，b ，c ．已知b =4，c =2，A =120°，则a 等于（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 23.正方体的棱长为1，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）A. 4π B. 3π C. 2π D. π4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ：sin B ：sin C =3：2：4，则cos C 等于（ ）A.B. 4C. -4D. -5.过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ．若PA =PB =PC ，则点O 是△ABC 的（ ）A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心6.若△ABC 的周长等于20，面积是10，∠B =60°，则边AC 的长是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 87.若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A. 若l ⊥α，l ⊂β，则α⊥βB. 若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC. 若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n D. 若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m 8.三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 是正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB =2，AA 1=，D为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为（ ）A. 3B.C. 1D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的体积是______．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若a 2+c 2-b 2=ac ，则角B的值是______．11.已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b 与α的位置关系是______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos A =b cos B ，则该三角形的形状是______．13.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则异面宜线AB 与A 1C 1所成的角大小为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14.在△ABC中，cos A=-，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=1，DD1=2．（1）求直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值；（2）求异面直线A1C1与B1C所成的角的余弦值．16.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin A=a cos B．（I）求cos B的值；（Ⅱ）若•=，且a+c=7，求b的值．17.如图：四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求证：BF∥平面PAD．18.在中，已知内角，边，设内角，周长为.（Ⅰ）求函数的解析式和定义域；（Ⅱ）求的最大值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴由正弦定理可得：sin B===．故选：C．由已知及正弦定理即可计算得解sin B的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A，=，=84，故a=2．故选：A．由已知结合余弦定理即可直接求解．本题主要考查了余弦定理的简单应用，属于基础试题．3.【答案】B【解析】解：棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，∴该球面的直径是正方体对角线的长，∴半径R==，∴该球面的表面积为S=4πR2=4π•=3π．故选：B．根据正方体的对角线是其外接球的直径求出球的半径，再计算球面的表面积．本题考查了正方体的外接球表面积计算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：若sin A：sin B：sin C=3：2：4，由正弦定理可得，a：b：c=3：2：4，可设a=3x，b=2x，c=4x，由余弦定理可得，cos C===-．故选：D．由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴点O是△ABC的外心．故选：B．由已知条件利用射影定理得OA=OB=OC，所以点O是△ABC的外心．本题考查三角形的外心的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意射影定理的合理运用．6.【答案】C【解析】解：∵△ABC的周长等于20，面积是10，∠B=60°，∴a+b+c=20，=10，b2=a2+c2-2ac cos60°，∴a+c=20-b，ac=40，∴b2=（a+c）2-3ac=（20-b）2-120，化为40b=280，解得b=7．故选：C．由△ABC的周长等于20，面积是10，∠B=60°，可得a+b+c=20，=10，b2=a2+c2-2ac cos60°，化简解出即可．本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：对于A，由平面与平面垂直的判定定理，即可得出“若l⊥α，l⊂β，则α⊥β”正确；对于B，由平面与平面垂直的性质定理，得出“若α⊥β，l⊂α，则l⊥β”错误；对于C，由平面平行的性质定理，得出“若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n”错误；对于D，由空间中的直线与直线的平行与垂直关系，得出“若l⊥n，m⊥n，则l∥m”错误．故选：A．根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断正误即可．本题考查了空间中的直线与平面位置关系的判断问题，也考查了推理与证明能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是正三角形，AA1⊥平面ABC，AB=2，AA1=，D为BC中点，∴AD⊥B1C1，AD⊥BB1，∵B1C1∩BB1=B1，∴AD⊥平面DB1C1，∴三棱锥A-B1DC1的体积为：===1．故选：C．推导出AD⊥B1C1，AD⊥BB1，从而AD⊥平面DB1C1，由此能求出三棱锥A-B1DC1的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．9.【答案】π【解析】【分析】本题考查了圆锥的体积计算问题，属于基础题．根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积．【解答】解：底面半径为r=1，母线长为l=2，所以圆锥的高为=，所以圆锥的体积为V=πr2h=×=π．故答案为：π．10.【答案】【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2-b2=ac，由余弦定理可知cos B==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．11.【答案】b⊂α或b∥α【解析】解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b当b∥α时，a⊥α，则a⊥b故当a⊥b，a⊥α⇒b⊂α或b∥α故答案为：b⊂α或b∥α根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可．本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及空间想象能力，推理能力，属于基础题．12.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】本题考查正弦定理在三角形中的应用，考查三角形的形状的判断，属于基础题．利用正弦定理化简a cos A=b cos B，可得，求出A与B的关系，得到三角形的形状．【解答】解：若a cos A=b cos B，由正弦定理可得sin A cosA=sin B cosB，即所以2A=2B或2A=π-2B，所以A=B或A+B=．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．13.【答案】45°【解析】解：如图，连接A1C1，∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C1为异面直线AB与A1C1所成的角，且∠B1A1C1=45°，∴异面宜线AB与A1C1所成的角大小为45°，故答案为：45°．可连接A1C1，从而可看出∠B1A1C1为异面直线AB与A1C1所成的角，并且该角显然为45°．本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C=π，由，，得sin A=，由，，得．所以sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=；（Ⅱ）由正弦定理，解得：，所以△ABC的面积：．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果．（Ⅱ）利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．15.【答案】解：（1）连接AC，∵C1C⊥底面ABCD，∴∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角．AC=，AC1==．∴cos∠C1AC===．（2）连接AB1，A1C1∥AC．∴∠ACB1是异面直线A1C1与B1C所成的角，∵AC=，AB1=B1C=．∴cos∠ACB1==．【解析】（1）连接AC，由C1C⊥底面ABCD，可得∠C1AC是直线AC1与平面ABCD所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．（2）连接AB1，A1C1∥AC．可得∠ACB1是异面直线A1C1与B1C所成的角，利用余弦定理即可得出．本题考查了长方体的性质、直角三角形的边角关系、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，b sin A=a cos B，由正弦定理可得：sin B sin A=sin A cos B，又A为三角形内角，所以sin A＞0，所以sin B=cos B，且cos B＞0；又sin2B+cos2B=1，1-cos2B=15cos2B，可得：cos B=；（Ⅱ）由cos B=，所以•=ca cos B=ac=，解得ac=10；由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac=（a+c）2-ac=72-×10=24，解得b=2．【解析】（Ⅰ）用正弦定理和同角三角函数基本关系式，即可求cos B的值．（Ⅱ）利用平面向量的数量积和余弦定理，即可求出b的值．本题主要考查了正弦、余弦定理，同角三角函数基本关系式，平面向量的数量积应用问题，是中档题．17.【答案】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PDC⊥平面PAD．（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，因为F为PC的中点，所以EF为△PCD的中位线，所以EF∥CD，CD=2EF，又因为CD=2AB，AB∥CD，所以EF=AB，并且EF∥AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BF∥AE，因为AE⊂平面PAD，BF⊄平面PAD所以BF∥平面PAD．【解析】（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．（2）取PD的中点为E，连接EF，AE，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BF∥AE，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．18.【答案】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得，．应用正弦定理得：，，因为y=AB+BC+AC，所以.（2）∵=，所以当，即时，y取得最大值．【解析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|．。
天津一中高一下学期数学期中考试试卷(附答案)
(2) 若 P A = AD，求证：M N ⊥ 平面 P CD．
18. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 在边 CD 上．
(1) 若点
F
是
CD
上靠近
C
的三等分点，设
−−→ EF
=
−−→ λAB
+
µ−A−→D，求
λ+µ
的值；
(2) 若 AB = √3，BC = 2，当 −A→E · −B−→F = 1 时，求 DF 的长．
=
√2，且 DM
⊥
B C ，AM
⊥
B C ，即
∠DM A 就是所要求的二面角．由 AD = 2 可得此三角形为直角三角形，即此二面角为 π ．
√
2
13. 3
3 14. 45◦ 或
π
4
解析：如图，
由题意易知 ∠P AC = 60◦，
因为 EO ∥ P A，
所以 ∠BEO 为异面直线 P A 与 BE 所成角，
所以 AD ⊥ BC．
因为 平面 ABC ⊥ 平面 B1C1CB，交线为 BC，AD ⊂ 平面 ABC，
所以 AD ⊥ 平面 B1C1CB，即 AD 在 △ABC 中，AB = AC = BC =
4是得三A棱D锥=A2−√B3，1BC
的高，
在 △B1BC 中，B1B = 所以 △B1BC 的面积为
4B√C3．=
Байду номын сангаас
答案: 2019-10-29 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BCDDBCBAD A 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2020-2021学年天津市西青区杨柳青一中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市西青区杨柳青一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分）.1．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣22．在△ABC中，若且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa24．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．2πC．D．π5．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A．B．a＝3C．或a＝3D．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A 的大小为（）A．B．C．D．7．已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（）A．若l∥m，则l∥αB．若l⊥m，则l⊥αC．若l∥α，则l∥m D．若l⊥α，则l⊥m8．点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则＝（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM 交于点P，若，，则的值为（）A．B．C．D．6二、填空题（共6小题）.10．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则•＝．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．12．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE 的体积为．14．如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝米．15．如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC 上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若，求实数m的值：（2）若，求实数m的值．17．复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z．（1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部；（2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围；（3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值．18．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且b sin C+2c sin B cos A＝0．（1）求∠A大小；（2）若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S的大小．19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB ＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC．（1）用向量，表示；（2）若AB＝2，BD＝，求BC的长；（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．参考答案一、选择题（共9小题）.1．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣2解：＝＝＝2﹣2i，则复数z的虚部为﹣2，故选：D．2．在△ABC中，若且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：因为在△ABC中，若且∠BAC＝30°，∴c•b•cos A＝2⇒b•c×＝2⇒bc＝；∴△ABC的面积为：bc sin A＝××＝；故选：C．3．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故选：B．4．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．2πC．D．π解：如图，O为圆锥底面圆的圆心，圆锥的底面半径OA＝1，母线PA与底面所成的角为∠PAO＝60°，则PA＝2，该圆锥的侧面展开图为以PA为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，如图，则展开后扇形的弧长l＝2π•OA＝2π，所以，展开后扇形的面积为S＝×l•PA＝×2π×2＝2π．即圆锥的侧面积为2π．故选：B．5．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A．B．a＝3C．或a＝3D．解：∵在△ABC中，∠A＝60°，b＝2，∴由正弦定理可得b sin A＝2×＝3，∵这样的三角形有且只有一个，∴a＝3或a≥2．故选：C．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A 的大小为（）A．B．C．D．【解答】解．由正弦定理得，即，即，也即，故，故选：B．7．已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（）A．若l∥m，则l∥αB．若l⊥m，则l⊥αC．若l∥α，则l∥m D．若l⊥α，则l⊥m解：由平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，知：对于A，若l∥m，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，若l∥α，则l与m平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故D正确．故选：D．8．点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则＝（）A．B．C．D．解：以CA，CB为x，y轴，建立直角坐标系，如图：点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得A（，0），B（0，1），则G（，），＝（，），＝（﹣，）则＝＝﹣．故选：A．9．如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM 交于点P，若，，则的值为（）A．B．C．D．6解：由题意，＝＝＝+＝根据平面向量基本定理，可得，∴∴＝6故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则•＝0．解：向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，可得＝5，1+2•+4＝5，则•＝0．故答案为：0．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1＝60°．故答案为60°．12．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为解：正方形的边长，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系是，故直观图的面积为＝．故答案为：．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE 的体积为．解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积＝＝．故答案为：．14．如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝200米．解：设AB＝h，则BC＝h，BD＝h，△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理，可得40000＝h2+3h2﹣2h•h•，∴h＝200，即AB＝200米．故答案为：200．15．如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC 上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为．解：由图可知：＝+＝+（1﹣λ），＝＝，又，所以[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，又＝2，＝||2＝3，可得：3λ2﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若，求实数m的值：（2）若，求实数m的值．解：（1）∵，，∵，∴﹣3m＝﹣1﹣m，解得．（2）∵，∵，∴，解得．17．复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z．（1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部；（2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围；（3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值．解：（1）当m2﹣2m﹣3＝0且m﹣3≠0，即m＝﹣1时，复数Z是纯虚数，虚部为﹣4；（2）由题意，或，解得当m＜﹣1，即m＜﹣1时，点Z位于二、四象限；（3）当m2﹣2m﹣3＝m﹣3，即m＝0或m＝3时，点Z位于直线y＝x上．18．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且b sin C+2c sin B cos A＝0．（1）求∠A大小；（2）若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S的大小．解：（1）∵b sin C+2c sin B cos A＝0．∴sin B sin C+2sin C sin B cos A＝0∴sin B sin C（1+2cos A）＝0∵sin B≠0，sin C≠0，∴1+2cos A＝0，cos A＝﹣，∴A＝．（2）∵＝∴sin C＝•sin A＝×＝，∴C＝，∴B＝π﹣＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×2×2×＝19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB ＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角．解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME＝CD．又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴ME∥FB，且ME＝FB．∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB＝A，∴DF⊥平面PAB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．∵O，E，分别是中点，∴OE＝AP＝1，OD＝＝＝1，∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO＝45°，即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC．（1）用向量，表示；（2）若AB＝2，BD＝，求BC的长；（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．解：（1）＝+＝+＝+（﹣）＝+．（2）∵b2＝a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cos B＝＝＝，由（1）知，＝+，∴||2＝（+）2＝+•cos B+，∴＝×4+×2××+，即3+2﹣33＝0，解得＝3或﹣（舍负），∴BC的长为3．（3）∵，∴，由，∴ac≤3，当且仅当a＝c＝时，取等号，∵AD＝2DC，∴，∴△DBC的面积最大值为．。