2016中考数学复习第25课时 矩形、菱形、正方形
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
5．[八下 P62 习题 18.2 第 15 题] 如图 25－4，四边形 ABCD 是正方形．G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于点 E， BF∥DE，且交 AG 于点 F.求证：AF－BF＝EF.
图 25－4
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
解 析
根据已知条件易推得四边形 BECD 是平行四边
形．结合等腰三角形“三线合一”的性质证得 BD⊥AC ，即 ∠BDC ＝ 90 °，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩 形”得到▱BECD 是矩形．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
证明：∵AB＝BC，BD 平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. …………….2 分 ∵四边形 ABED 是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD，…………………..4 分 ∴BE＝CD， ∴四边形 BECD 是平行四边形. ………………6 分 ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD 是矩形. ……………..8 分
是 BC 上任意一点，连接 AG，DE⊥AG 于点 E，BF∥DE 交 AG 于点 F，探究线段 AF，BF，EF 三者之间的数量关系，并 说明理由．
图 25－7
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
解：AF＝BF＋EF. …………….1 分 理由：如图，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，……………..2 分 ∴∠1＋∠2＝90°. ∵DE⊥AG， ∴∠AED＝90°，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3. ……………….3 分
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
例2
[2015· 荆门] 已知：如图 25－6，在四边形 ABCD 中，
AB∥CD，E，F 为对角线 AC 上两点，且 AE＝CF，DF∥BE， AC 平分∠BAD. 求证：四边形 ABCD 为菱形．
图 25－6
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
菱形的判 定
(1)定义法；
相等 的四边形是菱形； (2)四条边________
(3)对角线互相________ 垂直 的平行四边形是菱形 (1)因为菱形是平行四边形，所以菱形的面积
菱形的面 积
＝底×高； (2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其 对角线将菱形分成 4 个全等的三角形，故菱
垂直平分 (4)正方形对角线相等且互相________ ， 每条对角
线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形， 对
称轴有四条，对称中心是对角线的交点 矩形 是正方形 正方形的 (1)有一组邻边相等的________ 判定
菱形 是正方形 (2)有一个角是直角的________
回归教材
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
例1
[2015· 聊城] 如图 25－5，在△ABC 中，AB＝BC，
BD 平分∠ABC，四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于 点 F，连接 CE. 求证：四边形 BECD 是矩形．
图 25－5
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°. 又∵∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. ∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED， ∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF＝AE. ∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF.
一半 形的面积等于两条对角线乘积的________
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形 考点3 正方形
正方形的 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 定义 形叫做正方形 (1)正方形对边平行 相等 (2)正方形四边________ 正方形的 性质
直角 (3)正方形四个角都是________
第25课时
矩形、菱形、正方形
第25课时┃矩形、菱形、正方形
回 归 教 材
1．[八下 P53 例 1] 如图 25－1，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝4，则 AC＝________ ． 8
图 25－1
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
考点聚焦 考向探究
矩形的 定义
矩形的 性质
定理 推论
回归教材
第25课时┃矩形、菱形、正方形
(1)定义法 矩形的判定 (2)有三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线______ 相等 的平行四边形是矩形 (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相 拓展 等的等腰三角形； (2)矩形的面积等于两邻边的积
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
∵BF∥DE， ∴∠BFA＝∠DEF＝∠AED＝90°，………………4 分 ∴△ABF≌△DAE(AAS)，………………..6 分 ∴BF＝AE. ……………..7 分 ∵AF＝AE＋EF， ∴AF＝BF＋EF. ………………..8 分
回归教材
回归教材
2．[八下 P57 练习第 1 题] 四边形 ABCD 是菱形，对角线
8 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝5，AO＝4，则 AC＝________ ，
6 BD＝________ ．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
3． [八下 P61 习题 18.2 第 11 题] 如图 25－2， 四边形 ABCD
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
判定正方形的思路图：
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形 考点4 中点四边形
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
菱形 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_______ 矩形 常见 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是______ 正方形 结论 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是__________
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是_______ 菱形
矩形 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是______
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
考 向 探 究
探究1 矩形的性质及判定
命题角度： 1．应用矩形的性质，结合等腰三角形、直角三角形的性 质求线段的长和角度的大小； 2．证明一个四边形是矩形； 3．添加条件使得一个四边形为矩形．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形 答题规范
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的 所有性质，同时还具有四个角都是直角、对角线相等、矩 形的对角线把矩形分成四个直角三角形和四个等腰三角 形等特征； (2)判定矩形的方法也是多样的，可以先判定这个四 边形是平行四边形，再判断这个平行四边形是矩形．
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
答题规范
正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形、特殊 的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的 判定方法有两个思路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这 个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形 是矩形．
回归教材
考点聚焦
考向探究
探究3
正方形的性质及判定
命题角度： 1．正方形结合等腰三角形的性质求角度或线段的长； 2．应用正方形的对称性解决线段求值或线段和 (差)的最值 问题； 3．证明一个四边形是正方形．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
例3 [2015· 凉山州] 如图 25－7，在正方形 ABCD 中，G
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
答题规范
在证明一个四边形是菱形时， 要注意判别的条件是平行四 边形还是任意四边形． 若是任意四边形， 则需证四条边都相等； 若是平行四边形， 则只需利用对角线互相垂直或一组邻边相等 来证明．
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
4.8 是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB 于点 H，则 DH＝________ ．
图 25－2
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
解 析
∵四边形 ABCD 是菱形， 1 1 ∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝4，OB＝OD＝ BD＝3， 2 2 AC·BD 1 ∴S 菱形 ABCD＝ AC· BD＝AB· DH， ∴DH＝ ＝4.8. 2 2AB
回归教材
考点聚焦
考向探究
第25课时┃矩形、菱形、正方形
考 点 聚 焦
考点1 矩形
有一个角是________ 直角 的平行四边形叫做矩形 对称性 矩形是一个轴对称图形， 它的对称轴是通 过对边中点的直线，共两条 矩形是中心对称图形， 它的对称中心就是 对角线的交点 直 角； (1)矩形的四个角都是______ 相等 (2)矩形的对角线互相平分并且______ 在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边 的一半 ________
回归教材
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案
中考总复习：矩形、菱形和正方形教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解矩形、菱形和正方形的定义及性质；（2）掌握矩形、菱形和正方形的判定方法；（3）学会运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、推理等方法，探索矩形、菱形和正方形的性质；（2）培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，增强自信心。
二、教学内容：1. 矩形的性质（1）定义：有一个角为直角的平行四边形叫矩形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，对边垂直。
2. 菱形的性质（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，邻边垂直。
3. 正方形的性质（1）定义：有一个角为直角且有一组邻边相等的矩形叫正方形；（2）性质：对边平行且相等，对角相等，邻边垂直，四条边相等。
4. 矩形、菱形和正方形的判定（1）有一个角为直角的平行四边形是矩形；（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）有一个角为直角且有一组邻边相等的矩形是正方形。
三、教学重点与难点：1. 重点：矩形、菱形和正方形的性质及判定。
2. 难点：矩形、菱形和正方形性质的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：通过复习平行四边形的性质，引导学生思考矩形、菱形和正方形的特殊性质。
2. 新课导入：介绍矩形、菱形和正方形的定义及性质。
3. 实例分析：运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
4. 判定方法：讲解矩形、菱形和正方形的判定方法。
5. 练习与讨论：学生分组练习，探讨矩形、菱形和正方形的性质及判定。
五、课后作业：1. 复习矩形、菱形和正方形的性质及判定；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 思考如何运用矩形、菱形和正方形的性质解决实际问题。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究矩形、菱形和正方形的性质；2. 利用几何画板或实物模型，直观展示矩形、菱形和正方形的性质；3. 运用案例分析法，让学生通过实际问题，巩固矩形、菱形和正方形的知识。
中考数学课后练本 第四章 多边形 第25课时 菱 形
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD ＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ABC，△ACD 是等边三角 形．又∵EG⊥AC，∴∠AEG＝∠AGE＝30°. ∵∠ABC＝∠EGF＝60°，∴∠AGF＝90°，∴FG⊥AD，∴2S△ABC ＝AD·FG，过点 B 作 BM⊥AC，垂足为 M，易得 BM＝ 3.∴2× 12× 2× 3＝2·FG，∴FG＝ 3.
解：四边形 AECD 的面积不变． 理由：由题易知在平移过程中 DE∥AB，DE＝AB， ∵AB⊥AC，∴DE⊥AC ， ∴S 四边形 AECD＝S△ACE＋S△ACD＝12AC·OE＋12AC·OD＝12AC(OE＋ OD)＝12AC·ED＝12AC·AB， ∴四边形 AECD 的面积不变．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线 EF与AD，AC，BC分别交于点E，O，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AE∥FC ， ∴∠EAO ＝ ∠FCO.∵EF 垂直平分 AC，∴AO＝CO，FE⊥AC.
∠EAO＝∠FCO， 在△AOE 和△COF 中，AO＝CO，
(1)∠BAD的度数；
解： ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2. ∵AE 垂直平分 BC，∴∠AEB＝90°，BE＝12BC＝1， 即 AB＝2BE，∴∠BAE＝30°，∴∠ABE＝180°－90°－30°＝60°. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝120°.
(2)对角线BD的长．
设∠BAE＝x，则∠ABE＝∠AEB＝2x， 在△ABE 中，∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°， 即 x＋2x＋2x＝180°，解得 x＝36°， ∴∠ABE＝∠AEB＝72°，∠BAE＝36°， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°，则∠BOE＝72°，∴AO＝BO，BO＝ BE，∴AO＝BE.
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形及答案详解
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。
中考专题复习——矩形菱形正方形
中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。
第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。
第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。
平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。
在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。
因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。
对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。
这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。
对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。
如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。
此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。
平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。
最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。
除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。
对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。
对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。
中考数学16 、矩形、菱形、正方形(含解析)新人教版
专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：___________姓名：___________班级：___________1.【湖南益阳2015年中考数学试卷】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误是（）A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD【【答案】】D [#~^@%]【【分析】】考点：矩形性质2.【2015届浙江省杭州市5月中考模拟】用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形依据是（）[&@^~#]A．一组邻边相等四边形是菱形B．四边相等四边形是菱形C．对角线互相垂直平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角平行四边形是菱形 [&%*@^]【【答案】】B.【【分析】】试题【分析】：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC ，∴四边形ABCD 是菱形，故选：B ．考点：菱形判定；作图—复杂作图．3.【2015届浙江省金华市外国语学校联考中考模拟】如图，在周长为20cm ▱ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【【答案】】D ．【【分析】】 [~^@%*]考点：1． 线段垂直平分线性质；2．平行四边形性质．4.【黑龙江绥化2015年中考数学试卷】如图□ABCD 对角线AC,BD 交于点O ,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,且∠ADC=600，AB=21BC ,连接OE .下列 结论：①∠CAD=300 ② S □ABCD =AB •AC ③ OB=AB ④ OE=41BC 成立个数有（ ） [@~*^&]A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 [^@&~*]【【答案】】C【【分析】】考点：1.平行四边形性质；2.等边三角形判定与性质；3.直角三角形性质；4.三角形中位线.5.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图，四边形ABCD对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形． [%&@^*]【【答案】】BO=DO．【【分析】】试题分析：条件中已给出AO=CO，因为对角线互相平分四边形是平行四边形，所以只要添加BO=DO就可以了.考点：平行四边形判定.6.【黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭2015年中考数学试题】菱形ABCD 对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．【【答案】】5cm73．【【分析】】试题分析：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=12AC=12×6=3cm，BO=12BD=12×4=2m，如图1，正方形ACEF在AC上方时，过点B作BG⊥AF交FA延长线于G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF=22+=73cm，38+=22BG FG如图2，正方形ACEF在AC下方时，过点B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，FG=AF ﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF=2234+=5cm，综上所述，BF+=22BG FG长为5cm或73cm． [~@^%#]故【答案】为：5cm或73cm．[^&~@*]考点：1．菱形性质；2．正方形性质；3．分类讨论．7．【2015届山东省青岛市李沧区中考三模】如图，正方形ABCD和正方形CEFG 中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF中点，那么CH长是．【【答案】】5[【【分析】】则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF ﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形， [*^~&#]∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H 为AF 中点，∴CH=12AF ， 在Rt △AMF 中，由勾股定理得：AF=22224225AM FM +=+=，[~^%@*]∴CH=5．考点：1.正方形性质；2.直角三角形斜边上中线；3.勾股定理． [%~^*#]8．【2015届河北省邯郸市武安七中中考模拟】如图，依次连接第一个矩形各边中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形面积为 ．【【答案】】11()4n -． 【【分析】】 [@%^#&][*#%~@]考点：1.矩形性质；2.菱形性质．9．【2015届江苏省盐城市亭湖区新洋实验学校中考模拟】如图，将▱ABCD边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC=2∠ABC，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．【【答案】】（1）【【分析】】考点：1.矩形判定；2.全等三角形判定与性质；3.平行四边形性质．10.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；[*#%&~]（提示：延长MF，交边BC延长线于点H．）（2）当点E在边CB延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．[*@^&~]【【答案】】（1）参见【分析】；（2）图②：AB=EB+AM，图③：BE=AM+AB；（3）3 33． [~^@*%]【【分析】】试题【分析】：（1）如图①，构建全等三角形，延长MF，交边BC延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，∴AM=BH=BE+EH,∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AEB+∠FEH=90°，∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH（同角余角相等），∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；（2）同上题思路一样，找到全等三角形，利用全等三角形性质把已知线段进行等量代换，如图②，设BC与MF交于H，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB（同角余角相等），又∵AE=FE，∠ABE=∠EHF=90°，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+BH,又BH=AM；∴AB=EB+AM.如图③，设BC与MF交于H，∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，∴∠BAE=∠HEF（同角余角相等），在△ABE与△EHF中，∵∠ABE=∠EHF=90°，AE=EF，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∵BH=AM，∴BE=BH+EH=AM+EH=AM+AB，即BE=AM+AB；（3）根据（1）（2)图形进行分类讨论：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFM=45°＋15°=60°，∴∠EFH=180°-60°=120°，在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，这与三角形内角和定理矛盾，∴此情况不存在；如图②，∵∠AFM=15°，考点：1.矩形与正方形性质；2.全等三角形判定与性质；3.等腰直角三角形性质；4.锐角三角函数. [*&^@~][^~@*%]。
人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=
4 5
42
+
82 =4
5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析
九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。
中考数学 矩形、菱形、正方形5大要点整理,暑假必看!
一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360B．90C．270D．180例2如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数。
例4菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________。
例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
3.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征；②菱形+矩形的一条特征；③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。