二维傅里叶变换推倒及理解
二维傅里叶变换公式推导
二维傅里叶变换公式推导傅里叶变换是一种将一个函数在时域中展开为复指数的系列，然后用这些复指数展开函数在频域中的变换的方法。
二维傅里叶变换（2DFourier Transform）则是对于二维函数的变换。
在进行二维傅里叶变换时，我们可以采用分解的方法，将二维变换分解为两个一维变换的组合。
首先，我们来推导二维傅里叶变换的公式。
设一个二维函数f(x,y)在时域中的坐标为(x,y)，在频域中的坐标为(u,v)。
其二维傅里叶变换公式为：F(u,v) = ∬ f(x,y) e^(-j2π(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)是f(x,y)在频域中的变换结果。
为了推导该公式，我们从离散二维傅里叶变换公式出发，逐步推导得出连续的二维傅里叶变换公式。
首先，我们考虑一个二维离散函数f(m,n)，其中(m,n)代表在时域中的坐标。
假设其离散域大小为(M,N)。
根据离散傅里叶变换的定义，我们可以得到二维离散傅里叶变换的公式：F(u,v) = ∑[∑f(m,n) e^(-j2π(mu/M + nv/N))] e^(j2π(um/M + vn/N))其中，F(u,v)是f(m,n)在频域中的变换结果，(u,v)是频域中的坐标。
接下来，我们将离散域大小分别取趋于无穷大，即(M,N→∞)。
此时，二维离散傅里叶变换将变为连续的傅里叶变换。
在进行极限过程时，我们可以将sum项中的求和符号变为积分符号，得到：F(u,v) = ∫[∫f(x,y) e^(-j2π(mu + nv))] e^(j2π(ux + vy)) dxdy接下来，我们对积分域进行变换，将频域坐标(u,v)进行替换。
我们设新的自变量为(λ,η)，其中：λ = ux + vyη = -mx + ny则有：u=(λy-ηv)/(x²+y²)v=(λx+ηu)/(x²+y²)对于这个变换，我们可以写出雅可比行列式：∂(u,v)/∂(x,y)，=1/(x²+y²)根据多元积分的换元法则，我们有：F(u,v) = ∬[f(x,y) e^(-j2π(λx + ηy))] e^(j2π(λy - ηv)) / (x² + y²) dx dy对上式的积分域进行变换，将(λ,η)替换为(u,v)，我们得到：F(u,v) = ∬[f(x,y) e^(-j2π(ux + vy))] dx dy即为二维傅里叶变换的公式。
c++ 二维傅里叶变换
c++ 二维傅里叶变换二维傅里叶变换（DFT）是信号处理和图像处理领域中常用的数学工具之一，用于将二维时域数据转换为频域数据。
本文将介绍二维傅里叶变换的基本原理、算法以及实现方法。
一、基本原理傅里叶变换是一种将时域信号分解为一组复指数函数的线性变换。
对于二维信号而言，傅里叶变换可以看作是将图像转换为一组表示其频域信息的复数系数。
二维傅里叶变换的数学表达式为：F(u, v) = ΣΣf(x, y) * e^(-j2π(ux/M + vy/N))其中，F(u, v)表示频域中的某个频率分量，f(x, y)表示时域中的某个点的灰度值，(u, v)表示空域中的坐标点，M和N分别表示图像的宽度和高度。
二、算法说明二维傅里叶变换的计算可以通过将图像分解为一维傅里叶变换的连续求解来实现。
具体而言，可以先对每一行进行傅里叶变换，然后对每一列进行傅里叶变换，最后得到二维傅里叶变换结果。
算法步骤如下：1.对每一行进行一维傅里叶变换：对于图像的每一行，将其转换为频域中的一维信号。
2.对每一列进行一维傅里叶变换：对于第一步的结果，再次进行一维傅里叶变换，将其转换为频域中的二维信号。
3.得到二维傅里叶变换结果：将第二步的结果作为最终的二维傅里叶变换结果。
三、实现方法在C++中，可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法来高效计算二维傅里叶变换结果。
下面给出一个简单的示例代码，用于实现二维傅里叶变换。
```cpp#include <complex>#include <iostream>#include <valarray>typedef std::complex<double> Complex;typedef std::valarray<Complex> ComplexArray; void FFT(ComplexArray& x){const size_t N = x.size();if (N <= 1)return;ComplexArray even = x[std::slice(0, N / 2, 2)]; ComplexArray odd = x[std::slice(1, N / 2, 2)]; FFT(even);FFT(odd);for (size_t k = 0; k < N / 2; ++k){Complex t = std::polar(1.0, -2 * M_PI * k / N) * odd[k];x[k] = even[k] + t;x[k + N / 2] = even[k] - t;}}void DFT(const ComplexArray& input, ComplexArray& output, int width, int height){output.resize(width * height);for (int v = 0; v < height; ++v){ComplexArray row = input[std::slice(v * width, width, 1)];FFT(row);for (int u = 0; u < width; ++u)output[u * height + v] = row[u];}for (int u = 0; u < width; ++u){ComplexArray column = output[std::slice(u * height, height, width)];FFT(column);for (int v = 0; v < height; ++v)output[u * height + v] = column[v];}}int main(){//假设有一个3x3的图像作为输入const int width = 3;const int height = 3;ComplexArray input(width * height);//初始化输入图像的像素值for (int i = 0; i < width * height; ++i) input[i] = i;//计算二维傅里叶变换ComplexArray output;DFT(input, output, width, height);//输出二维傅里叶变换结果for (int v = 0; v < height; ++v){for (int u = 0; u < width; ++u)std::cout << output[u * height + v] << " ";std::cout << std::endl;}return 0;}```上述代码实现了一个简单的二维傅里叶变换。
2维傅里叶级数-概述说明以及解释
2维傅里叶级数-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述2维傅里叶级数是一种描述二维平面上信号的数学工具，它可以将一个复杂的二维信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数。
这种分解是基于傅里叶分析的原理，通过将信号投影到不同频率的正交基函数上，我们可以获取信号在不同频率成分上的信息。
2维傅里叶级数的重要性在于它提供了一种有效的信号分析和处理方法。
通过对信号进行傅里叶级数变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而了解信号的频率成分和强度分布。
这对于理解信号的周期性、振幅、相位等特性非常有帮助。
此外，2维傅里叶级数还广泛应用于图像处理、通信系统、信号压缩、数学建模等领域。
例如，在图像处理中，通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现图像的滤波、边缘检测、纹理分析等操作。
本文将从2维傅里叶级数的定义和原理开始，介绍傅里叶级数的数学模型和相关定理。
然后，我们将探讨2维傅里叶级数在实际应用中的重要性，介绍一些典型的应用案例。
最后，我们将总结2维傅里叶级数的重要性和应用，并展望未来2维傅里叶级数的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够对2维傅里叶级数有一个全面的了解，理解其在信号处理领域的重要性和广泛应用。
同时，读者也可以了解到当前2维傅里叶级数研究的热点问题和未来发展方向。
1.2文章结构文章结构是指文章在内容组织上的整体安排和分布。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和思路，有助于文章的连贯性和条理性。
本文将按照以下结构进行叙述：1. 引言1.1 概述在这一部分，将介绍2维傅里叶级数的背景和基本概念。
首先，简要介绍傅里叶级数的定义和原理。
接着，说明2维傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域的广泛应用及其重要性。
1.2 文章结构这一部分将详细介绍本文的组织结构。
首先，将介绍2维傅里叶级数的定义和原理，包括如何将二维函数表示为傅里叶级数的形式以及相应的系数计算方法。
关于二维离散傅里叶变换的总结
前段时何看了很多的概念和知识，发现因为肚走马观花的过了一遍，所以看得稀里糊涂的，然后许多地方混淆了概念，特别足关丁•图像频率域的部分的理解(包括图像频率域:虑波Z类的)，所以下而总结一下这段时间重新看《数字图像处理》(电子工业出版社，Matlab木科教学版)第三帝垂新收获的关于频率域的理解.首先，我们要明确的概念定空间域和频率域，我们通过unread慚数得到的一幅图像(基本上也出我们平时说的图像)，足处任空间域的，也就於说用f(x,y)衣征的某一点的灰度值(或者出单色图像中某一点的亮度)的这种形式，就兄在空间域里而.那么什么是图像的频率域呢？理解了图像的频率的概念，就不难理解频率域。
我个人理解足这么类比的，图像町以看成足一个特殊的二维的信号，然后某一点的灰嗖级，其实就是图像信号上这一点的"幅度“，那么根据信号的概念.频率就是信弓变化的快慢.这样就好理解了，所谓的频率也就於这个图空间上的灰度变换的快慢•或者於叫图像的梯度变化，什么地方梯度频率比较大呢？这在图像中1‘1然於“边界"比较大. 举个例子来讲，如果一幅图蔡体变化不大(比如说足一面墙的图)，那么他在频率域下低频成分就很多，而高频成分就极少。
而显然如果是一幅国际象棋棋盘，他的高频成分相对刚才那幅墙的图片来说，肯定参得然后从图像域变换到频率域.我们用的函数就足大名抽时的二维离散傅里叶变换了：令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中，x=0,仁2……M-1, y=0, 1. 2……N-1,由F(u, v)表示的f(x, y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：Af —1 N_1 F(u,v) = 乂工皿刃严咛刊x=0 y=0 式子当中，u也足属于0到M-1.VW于0到N-仁频率域就足属于u, v作为频率变呈.由F(u, v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小柑同。
二维fft原理
二维FFT原理1. 引言二维离散傅里叶变换（2D DFT）是一种用于处理二维信号（如图像）的重要数学工具。
它可以将一个二维空间域信号转换为频域表示，从而实现图像处理、图像压缩、图像增强等应用。
二维FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于计算二维DFT。
本文将详细解释二维FFT的基本原理。
2. 一维FFT回顾为了理解二维FFT的原理，首先需要回顾一维FFT的基本原理。
一维FFT是一种将离散信号转换为频域表示的算法。
它的核心思想是将信号分解为奇数和偶数部分，然后通过递归地计算这些部分的DFT来计算整个信号的DFT。
这种分而治之的方法减少了计算量，使得计算DFT的复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
具体来说，一维FFT的步骤如下：1.将N个采样点的信号分为两个部分：奇数索引的点和偶数索引的点。
2.对奇数部分和偶数部分分别进行一维FFT，得到两个频域表示。
3.将两个频域表示合并为一个频域表示。
4.重复以上步骤，直到得到最终的频域表示。
3. 二维FFT的基本原理在理解了一维FFT的基本原理之后，我们可以将其推广到二维FFT。
二维FFT是将一个二维信号转换为频域表示的算法。
它的核心思想是将二维信号分解为多个一维信号，并通过一维FFT计算每个信号的频域表示。
具体来说，二维FFT的步骤如下：1.将二维信号按行进行一维FFT，得到每行的频域表示。
2.将得到的频域表示按列进行一维FFT，得到最终的二维频域表示。
下面我们将详细解释每个步骤。
3.1 行向量的一维FFT对于一个二维信号的每一行，我们可以将其视为一个一维信号。
因此，我们可以使用一维FFT来计算每一行的频域表示。
具体来说，对于一个N行M列的二维信号，我们可以将其表示为一个N×M的矩阵。
对于矩阵的每一行，我们可以将其视为一个长度为M的一维信号。
对每一行进行一维FFT，得到每行的频域表示。
3.2 列向量的一维FFT在得到每行的频域表示之后，我们需要对这些频域表示进行处理，以得到最终的二维频域表示。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种重要的数学变换，用于将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换可以将一个函数从时域表示切换到频域表示，以便更好地理解和处理信号。
时域是函数的值与时间变量的关系，而频域是函数的值与频率变量的关系。
二维傅里叶变换是将二维函数从空间域转换到频率域的一种数学工具。
它在图像处理中有很重要的应用，可以用来分析图像的频率特征，如边缘、纹理等。
2. 二维傅里叶变换的定义对于一个二维函数 f(x, y)，其二维傅里叶变换 F(u, v) 定义如下：F(u, v) = ∬[−∞,∞][−∞,∞] f(x, y) * exp(−j2π(ux+ vy)) dxdy其中，u和v分别表示频率域的x和y轴，且 j 是虚数单位i。
3. 二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性质、平移性质、旋转性质等。
线性性质二维傅里叶变换具有线性性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和 g(x, y)，以及任意常数 a 和 b，有以下关系：F(a*f(x, y) + b*g(x, y)) = a*F(f(x, y)) + b*F (g(x, y))平移性质二维傅里叶变换具有平移性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数 a 和 b，有以下关系：F(f(x-a, y-b)) = exp(−j2π(ua+vb)) * F(f(x, y))旋转性质二维傅里叶变换具有旋转性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数θ，有以下关系：F(f(Rθ(x, y))) = F(f(x, y)) * exp(−j2π(uxcosθ+ uysinθ))其中，Rθ 为绕原点逆时针旋转角度θ 的旋转变换。
4. 二维傅里叶变换的应用二维傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用，包括图像滤波、图像增强、图像压缩等。
图像滤波二维傅里叶变换可以用于对图像进行频域滤波，包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
二维离散傅里叶变换公式及参数意义
二维离散傅里叶变换公式及参数意义傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
而二维离散傅里叶变换则是将二维离散信号转换为二维频域信号的工具。
本文将介绍二维离散傅里叶变换的公式及其参数意义。
一、二维离散傅里叶变换公式二维离散傅里叶变换的公式如下：$$F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$其中，$F(u,v)$表示二维频域信号，$f(x,y)$表示二维离散信号，$N$表示信号的长度和宽度，$u$和$v$表示频域的坐标。
二、参数意义1. $F(u,v)$$F(u,v)$表示二维频域信号，它是由二维离散信号通过傅里叶变换得到的。
在频域中，$F(u,v)$的值表示了信号在该频率下的强度和相位信息。
2. $f(x,y)$$f(x,y)$表示二维离散信号，它是由二维连续信号通过采样得到的。
在时域中，$f(x,y)$的值表示了信号在该时刻下的强度。
3. $N$$N$表示信号的长度和宽度，它决定了信号的采样率和频率分辨率。
信号的长度和宽度越大，采样率越高，频率分辨率越精细。
4. $u$和$v$$u$和$v$表示频域的坐标，它们决定了信号在频域中的位置。
在频域中，$u$和$v$的值越大，表示信号的频率越高。
三、总结二维离散傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将二维离散信号转换为二维频域信号，从而更好地分析和处理信号。
二维离散傅里叶变换的公式包括了频域信号、离散信号、信号长度和宽度以及频域坐标等参数，这些参数的意义对于理解和应用二维离散傅里叶变换都非常重要。
二维傅里叶变换 正余弦-概念解析以及定义
二维傅里叶变换正余弦-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在现代数学和信号处理领域中，傅里叶变换是一项重要的数学工具。
它是将一个信号或函数分解为一系列复数信号的技术，这些复数信号可表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的基本思想是通过将时域信号转换到频域来分析和处理信号。
二维傅里叶变换是傅里叶变换的扩展，适用于二维图像、图形和信号的分析和处理。
它可以将一个二维时域信号转换为一个二维频域信号，从而揭示图像或信号中不同频率的分量。
正余弦函数是傅里叶变换中经常出现的基本函数。
正余弦函数是周期为2π的周期函数，通过改变函数的频率和相位可以表示不同频率的信号。
在二维傅里叶变换中，正余弦函数的线性组合形成了基础函数，用于表示图像或信号中的频率分量。
正余弦变换与二维傅里叶变换密切相关。
正余弦变换是傅里叶变换的特殊情况，它只考虑实值信号的频域表示。
而二维傅里叶变换则可以处理复杂的图像和信号，将它们分解为具有不同振幅和相位的频率分量。
通过理解和掌握二维傅里叶变换及其与正余弦变换的关系，我们可以更好地理解和分析图像和信号的频域特性，从而在图像处理、图像压缩、图像恢复以及其他领域中应用二维傅里叶变换的技术。
在接下来的章节中，我们将介绍二维傅里叶变换的定义和基本原理，探讨它在各个领域中的应用，以及与正余弦变换的关系。
我们还将讨论二维傅里叶变换的重要性和优势，以及它的局限性和改进方向。
通过全面了解二维傅里叶变换，我们可以更好地应用这一强大的数学工具解决实际问题。
1.2文章结构2. 正文2.1 二维傅里叶变换的定义和基本原理2.2 二维傅里叶变换的应用领域2.3 二维傅里叶变换与正余弦变换的关系在本篇文章中，我们将主要探讨二维傅里叶变换以及与正余弦变换之间的关系。
首先，我们将对二维傅里叶变换的定义和基本原理进行介绍。
其次，我们将探讨二维傅里叶变换在各个领域的广泛应用，包括图像处理、信号处理和通信领域等。
最后，我们将详细比较二维傅里叶变换与正余弦变换之间的异同，并分析它们在实际应用中的优缺点。
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2D 傅里叶变换理解心得一、 目的完整推倒2D 傅里叶变换公式，加深对2D 傅里叶变换公式的理解。
二、 内容2维傅里叶变换，针对的信号函数是2维空间平面内的函数，2维傅里叶变换也有四种不同的形式。
1、 连续周期时域信号<---->非周期离散频谱。
2D_CFS(,)XY f x y 表示2维周期连续信号，可以理解为一幅连续的图像信号（这里(,)XY f x y 可以为复数信号，但工程实践中常为实信号），(,)F k l 表示2维频谱信号，其中,k l 取-∞+∞上的整数。
00000000002()2()00002()2()00002()00(,).(,).(,).1(,).,,-+X YX Yj ku x lv y j ku x lv y XY XY X YX Yj ku x lv y j ku x lv y X Yj ku x lv y XY f x y e dxdyf x y e dxdyF k l e e dxdy dxdyf x y e dxdyk l XYπππππ-+-++-+-+===∞∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰取上的实整数其中X,Y 为(,)XY f x y 在x 坐标和y 坐标上各自的最小正周期。
00,u v 表示在x 坐标和y 坐标上各自的基频率，这里有0011,u v X Y==，,k l 取-∞+∞上的整数，对应不同的频率成分，(,)F k l 的图像为离散的，且在x 坐标和y 坐标上的频率间隔分别为0011,u v X Y==。
002()(,)(,).,,-+j ku x lv y XY k l f x y F k l e x y π+∞+∞+=-∞=-∞=∞∞∑∑取上的实数这里，(,)F k l 为复数。
所以得到2D_CFS （2维连续傅里叶级数）00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+X Yj ku x lv y XY j ku x lv y XY k l f x y e dxdy F k l k l XYf x y F k l e x y ππ-++∞+∞+=-∞=-∞⎧⎪⎪⎪=∞∞⎨⎪⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰∑∑取上的实整数取上的实数2、 连续非周期信号←-----→连续非周期频谱 2D_CTFT(,)f x y 表示非周期的连续2维信号，(,)F u v 表示其频谱，这里(,)F u v 是连续非周期的2维信号0000000000002()2()00,2()2(),0,,000*,,0*(,).(,).(,)limlim .(,)=(,).lim ,(,)=(,)X Yj ku x lv y j ux vy X YX Y j ku x lv y j ku x lv y u v X Y u v X Y u v f x y e dxdyf x y e dxdyF u v XYeedxdyF u v F u v XY F u v f x y ππππ+∞+∞-+-+-∞-∞→+∞+-+→→+∞→→+∞→==⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则2().,-+j ux vy e dxdyu v π+∞+∞-+-∞-∞∞∞⎰⎰取上的实整数这里，00,,01/lim X Y u v XY →+∞→为无穷小量，为了使频谱的取值能够便于研究，这里进行了放大，得到*(,)F u v ，所以这里就不是2D_CFS ，而是2D_CTFT(2维连续时间傅里叶变换)，这里仍然有0011,u v X Y==。
0000002()002()*,,0*,,0(,)(,).,0,(,)(,).(,)=lim .(,)(,)=(,)/lim j ku x lv y k l j ux vy u v X Y u v X Y u v f x y F k l e u v f x y F u v e F u v XY F u v F u v F u v XYππ+∞+∞+=-∞=-∞+∞+∞+=-∞=-∞→+∞→→+∞→=→∴=∴∑∑∑∑0002()*2(),,000,,0*2()*2()(,)(,).(,).lim 11,,1lim (,)(,).(,).j ux vy u v j ux vy u v X Y u v X Y u v j ux vy j ux vy u v v f x y F u v e F u v e XYu v X Y dudv XY f x y F u v e dudv F u v e ππππ+∞+∞+=-∞=-∞+∞+∞+=-∞=-∞→+∞→→+∞→++∞+∞++=-∞=-∞=-∞∴====∴=∴==∑∑∑∑∑∑u dudv+∞∞=-∞⎰⎰所以2D_CTFT 为*2()*2()(,)=(,).,-+(,)(,).-+j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy u v f x y F u v e dudv ππ+∞+∞-+-∞-∞+∞+∞+-∞-∞⎧∞∞⎪⎪⎨⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰⎰⎰取上的实数x,y 取上的实数这里，u,v 为x,y 方向上的空间频率变量。
3、 离散周期信号←-----→离散周期频谱 2D_DFS对连续信号(,)XY f x y 按照x 方向x T 的采样周期（单位不一定为时间），y 方向（单位不一定为时间）y T 的采样周期进行采样，得到(,)MN f m n 。
这里，x y X M T Y N T =⎧⎪⎨=⎪⎩，x y x m T y n T =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以(,)(,)XY XY x y f x y f mT nT =。
通常，我们会去掉离散信号的周期单位（时间或者距离），只取出点列，不要物理意义。
所以我们会得到离散周期信号[,](,)MN XY x y f m n f mT nT =，这就是一个单纯的2维点阵，没有物理意义，是数学抽象出来的点阵。
00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+X Yj ku x lv y XY j ku x lv y XY k l f x y e dxdy F k l k l XYf x y F k l e x y ππ-++∞+∞+=-∞=-∞⎧⎪⎪⎪=∞∞⎨⎪⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰∑∑取上的实整数取上的实数 2D_CFS 利用2D_CFS 推倒2D_DFS00000000y 2()2()00002()2()00112()y y002(,).(,).(,),,,.(,).[,]yx x x yX Y X Yj ku x lv y j ku x lv y XY XY X Yj ku x lv y j ku x lv y NT MT j kmT l nT MT NT XY x x f x y edxdyf x y e dxdyF k l k l x y XYe e dxdyf mT nT edmT dnT F k l eπππππ-+-++-+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为整数为实数yy 1111()2()y112()y y0011112()2()y112()y .(,)..(,).=y x x x x yx yyx yx NT MT j k mT l nT j kmT l nT MT NT MT NT x NT MT j km l n M NXY x x NT MT j km l n j km l n M NM Nx j km l n M NXY x x edmT dnT f mT nT edmT dnT eedmT dnT f mT nT e mT nT ππππππ+-+-+-+-+-+=∆∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y y y y y y=0=011112()2()y=0=0y 112()y=0=0,.11[,](,)[,].=1y x x x y x x x y x x x NT nT MT mT mT nT NT nT MT mT j km l n j km l n M NM Nx mT nT MN XY x NT T MT T j km l n M NMN x mT nT m n eemT nT m n f m n f mT nT f m n eT T T πππ-∆-∆-∆-∆-+-+---+∆∆∆=∆==∴∑∑∑∑∑∑这里为非负整数，。
令上式y y y y y y y y y y y=0=0112()y=0=0y=0=0y =0=011=0=0=0=0[,].=1[,].=y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x NT T MT T x mT nT NT T MT T j km l n M NMN x mT nT NT T MT T x mT nT NT T MT T x mT nT NT T MT T M N mT nT m n MNT f m n eT T T T T T fm n π-----+--------∴∴∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑中，为常数，等价于上式1111112()2()y=0=0=0=011y=0=0[,].=1km lnM N M N j km l n j M NM Nx MNm n m n M N x m n eT T fm n e MNT Tππ-----+-+--∑∑∑∑∑∑所以通过上面的推倒，我们可以看出2D_CFS 推出了2D_DFS ，说明其本质是一致的。
图中，蓝色连续曲线采样后的图形，既可以理解为只在采样点处有定义，其他点没有定义的点列，也可以理解为有着周期性质的矩形红色图像（这里仅是示意图，红色图形骤变点函数值应该和蓝色图形该店函数值严格相等。
）。
而矩形红色图像是2D_CFS 和2D_DFS 的桥梁，它的频率成分既可以当做点列用2D_DFS 计算，又可以当做连续函数用2D_CFS 计算，结果是一致的。
在推倒过程中，我们发现，积分⎰和逐项求和∑本质上是一致的，都是以一定的步长在求曲线和横坐标所夹图像的面积，只是因步长的不同而导致精度不同而已，而2D_DFS 中的公式分子11112()y =0=0[,].M N j km l n M NMNx m n fm n eT T π---+∑∑，112()=0=0[,].km lnM N j M NMN m n f m n eπ---+∑∑就是在求红色矩形图像在一个周期中的面积，只不过横坐标选取不同，但最后分子分母一相消，就导致结果一致。
所以有时候通过红色矩形图像来理解采样，和傅里叶变换公式，有着事半功倍的效果。
很自然，反变换就是把个频率成分加起来就行了： ln 112()00[,][,].,,km M N j M NMN k l f m n F k l em n π--+===∑∑取整数但这里为了对称令正反变换形式一致，添加了系数，这里不再赘述。