§3.2.1一元二次不等式的解法及其应用
一元二次不等式解法及其应用
2010年5月20日星期四
广州市花都区高中数学学科带头人
陈文运
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一元一次不等式的解法回顾
例题:解一元一次不等式 例题 解一元一次不等式:ax>b 解一元一次不等式
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. .
解的讨论: ① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论:对 ax>b
2
1 1 ( , ) 2 3
,则
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x3 <0 2.解不等式 x + 7 解不等式 .
. .
x3 ≤0 2. 变式题)解不等式 x + 7 (变式题 . 变式题) ( . x3 ≥ 1 2. (变式题)解不等式 x + 7 变式题)
. .
.
3 4
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3,不等式(x-2)2(x-1)>0 的解集为 . ,不等式 - - 4,不等式(x+1) (x-1) ≤0 的解集为 . ,不等式 + -
2பைடு நூலகம்
1 <x 5,不等式 x , 的解集为
.
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.
分式不等式的解法: 先移项通分标准化, (2) ) 分式不等式的解法: 先移项通分标准化, 则
.
f ( x) > 0 f ( x) g ( x) > 0; g ( x)
f ( x) g ( x) ≥ 0 f ( x) ≥0 g ( x) g ( x) ≠ 0
△=0
b ≠ x 2a }
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一,知识点训练:
. .
(2) x ( x + 1) ≤ 0
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1.解下列不等式 解 2 (1)-x +2x-3 <0
(3) 4 x + 4 x + 1 ≤ 0 2 (4) 4 x 12 x + 9 ≥ 0
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�
b ,+∞ 形式的不等式, a>0 时解集为 a ;当 a<0 形式的不等式, 当 当 b ∞, 时解集为 a ;当 a=0 且 b<0 时解集为 R; 当
当 a=0 且 b≥0 时,解集为 Φ . ≥
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解下列不等式: 解下列不等式
1 2
1 2
ax 2 + bx + 1 > 0 的解 变 3.已知一元二次不等式 已知一元二次不等式
集为 {x
2 < x < 1}.求 a , b .
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二,典型例题分析:
. .
1.不等式 ax + bx + 2 > 0 的解集是 . a+ a+b 的值是 ( ) )-10 (A)10 ) (B)- )- (D)- )-14 (C)14 ) )-
1.(x-1)(x-2)<0;猜想 猜想(x-2)(x+4)<0的解 并猜想 的解,并猜想 猜想 的解 这种类型的不等式的解的规律. 这种类型的不等式的解的规律 2.(x+1)(x+3)>0;猜想 猜想(x-2)(x+4)>0的解 并猜 的解,并猜 猜想 的解 想这种类型的不等式的解的规律. 想这种类型的不等式的解的规律 3.x2-2x+1<0;猜想 猜想x2+4x+4<0的解 并猜想这种 的解,并猜想这种 猜想 的解 类型的不等式的解的规律. 类型的不等式的解的规律 4. x2-4x+4>0;猜想 猜想x2+6x+9>0的解 并猜想这 的解,并猜想这 猜想 的解 种类型的不等式的解的规律. 种类型的不等式的解的规律
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.
②一元二次不等式我们总可化为 2 2 ax +bx+c>0 和 ax +bx+c+<0(a>0)两形式之 两形式之 2 . 一,记△=b -4ac. 2 2 ax +bx+c>0 ax +bx+c+<0 R △<0 Φ
.
Φ {x|x ∈ R 且 △>0 (∞,x1 ) ∪( x2 ,+∞)(x1 < x2 ) (x1,x2 )( x1 < x2 )
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2.解不等式:
(1) )
x + 4x 4 > 0 ;
2
x 3x 2 ≤ 0 (2) )
2
(3) 4 x )
2
12 x + 9 > 0 ;
(4) )
. .
x + 3x 5 ≥ 0
2
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3.观察 x < 1 和 x > 2 是否不等式 ( x 1)(x 2) > 0 的解 观察 的解; 的根?依此 而 x = 1 和 x = 2 是否方程 ( x 1)(x 2) = 0 的根 依此 x 2 + 3bx 4c < 0 的解 类推已知一元二次不等式 类推已知 一元二次不等式 集 为 {x 2 < x < 1} , 则 x = 2 和 x = 1 是 否 方 程 2 x + 3bx 4c = 0 的根 的根?
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三,能力测试
3x 1 ≥1 1,不等式 2 x , 的解集为………( 的解集为………( ………
3 (A){x| 4 ≤x≤2} ≤
)
(B) {x| ≤x<2} 3 (C) {x|x>2 或者 x≤ 4 } ≤ (D){x|x<2 } <
x ≥2 2,不等式 x + 1 , 的解集为
归纳小结:解分式不等式的三步曲 归纳小结 解分式不等式的三步曲 移项----通分 化整. 通分----化整 为 移项 通分 化整
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练习:
xa 1. < 0 (a ∈ R) x2
xa 2. > 0 (a ∈ R) xa2
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人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出： 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是：
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
当x取 0 < x <5 时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
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一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
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(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
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一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
高中数学第三章不等式3.2第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)高一5数学
解决不等式恒成立问题的2种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满 足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围； (2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
12/13/2021
(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>
2 a
，原不等式的解集为
xx<2a或x>2
.
综上所述，
当0<a<1时，原不等式解集为xx>2a或x<2
；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为xx<2a或x>2
.
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不等式的恒成立问题 [典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总 为非负，则m的取值范围为________． [解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0. [答案] {0}
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[一题多变] 1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x
－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<
－x2＋4x－4 x－2
＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
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3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋ 4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m) ＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以gg－ 1＝1＝x－x－ 2×2× 1＋－x2－1＋4xx＋2－4>40x，＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。
具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。
然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。
举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。
通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。
除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。
例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。
接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。
1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。
为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。
2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。
我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。
3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。
可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。
这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。
《一元二次不等式及其解法》教案
3.2.1一元二次不等式及其解法教学设计第一课时一元二次不等式及其解法（1）教材及学情分析:这节课是普通高中标准实验教科书必修5第三章《不等式》第二节，一元二次不等式及其解法，主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式模型，解不等式。
这节共3个课时，这节课属于第一课时，不仅要让学生学会并且熟练地解一元二次不等式，更重要的是渗透数形结合的思想及等价转化思想。
由于学生在高一上学期学习必修1第一章《集合与函数》的时候已经在计算集合交并补时见过一元二次不等式，所以学生对此并不陌生，又由于我上课的班级属于普通班，学生的层次比中加班要稍微好点，故而我想到上课大胆采用解一元二次不等式的题目引入，先由学生互相讨论解一个比较简单的不等式，我相信学生中应该有同学可以解出来，进而带着学生一起总结，在图形引领下使得解不等式更快捷。
一、教学目标1.知识与技能:模仿一元二次方程得出一元二次不等式的概念，了解一元二次不等式的模型，理解三个二次间的关系，掌握一元二次不等式的解法；提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想 2.过程与方法:选取两个一次因式乘积的一元二次不等式先让学生讨论解决，由学生先互相自己交流解决方法，通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，；3.情感与价值：培养学生独立思考、合作交流的良好品质，同时使学生体会数学来源于实际生活，进而在实际生活问题中数形结合的应用以及培养学生的探索精神。
二、教学重、难点重点：一元二次不等式的解法。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，数形结合思想渗透.研究结论（三）如何解一元二次不等式？（举例）例1 求下列不等式的解集（1）2560x x-+-≥（2）40142>+-xx学生自主通过数形结合去解决（四）总结归纳解题方法1.解一元二次不等式的步骤：①把二次项系数化为正数(化简)；②解对应的一元二次方程（解方程）；③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象（看图像）；④得出不等式的解集（写解集）．2.一元二次不等式的解集求法2121200,,ax bx c a x x x x++=><（）有两根（）20ax bx c++>则的解集可记忆为“大于在两边”20?ax bx c++<的解集可记忆为小于在中间通过以上的例题及练习的讲解，指导学生归纳解一元二次不等式的步骤。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学必修5公开课教案 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法
3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法从容说课本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教具准备多媒体及课件，幻灯片三张三维目标一、知识与技能1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程导入新课师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？假设一次上网x 小时，则A 公司收取的费用为1.5x ，那么B 公司收取的费用为多少？怎样得来？ 生 结果是20)35(x x -元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x 的和，即.20)35()1.0(2)1(7.1x x x x x -=--+师 如果能够保证选择A 公司比选择B 公司所需费用少，则如何列式？ 生 由题设条件应列式为20)35(x x -＞1.5x(0＜x ＜17)，整理化简得不等式x 2-5x ＜0.推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2-5x ＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.例如2x 2-3x-2＞0，3x 2-6x ＜-2，-2x 2+3＜0等都是一元二次不等式. 那么如何求解呢？师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y-3-2-1123由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0；当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0 a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b-}{x|x ＜a b-}一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab-}{x|x ＞ab-}师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x 2-5x ，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x 2-5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y6-4-6-6-46由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x 2-5x=0；当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2-5x ＜0； 当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2-5x ＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x 2-5x=0的解就是x 1=0，x 2=5.一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x|0＜x ＜5};一元二次不等式x 2-5x ＞0的解集是{x|x ＜0或x ＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}. （2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是. (3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=ab 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠ab 2-} Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x ＞3}.【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0). （2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神. 课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题。
3.2.1 一元二次不等式的解法(一)
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
练习.若关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 { x | x 2或x 1}，求不等式cx2 bx a 0
2
的解集. （1 ，2） 2
一、基础知识讲解
分式不等式的解法
f (x) g(x) 0
f ( x) g( x) 0,
f
(
x)
0.
g(x) 0 f (x) g( x) 0 f (x)
解：∵方程(x-a)(x+1)=0的解为 x=a，或x=-1
∴当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a} 当a=-1时，原不等式无解 当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}
变式：解不等式 x2+(1-a)x-a<0（a∈R）
拓展.解不等式 2a2x2-ax-1<0（a∈R）
小结:含参数的一元二次不等式的解法
因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解:
由于4x2-4x+1=(2x-1)2>0
另解： 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是