2020届四省名校高三第三次大联考数学(文科)试题含解析
2020东北三省三模文科数学有答案解析
2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i z i -=+123，则=z A.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+ D.1522i -+ 2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈= A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a a a a +=+ A.1 B.3 C.6 D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >5 8. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π 9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 A.()1,2 B.()2,3 C.()3,2 D.()2,210. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.13 B.23 C.12 D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为 A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12.四棱锥S ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O的体积等于A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆6正视图侧视图俯视图5上，那么b a 的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =u r ，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，且满足m n m n +=-u r r u r r . ⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围.18. （本小题满分12分）2020年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差；⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率；⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）. 19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面, 90ADC ∠=o ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥；⑵求四面体11A BDC 的体积.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶 A 1CD 1D A B B 1C 1点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足222MF AB F N =+u u u u r u u u r u u u u r .⑴求此椭圆的方程； ⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,B C两点，且100BMP∠=o，40BPC∠=o.⑴求证：MBP∆与MPC∆相似；⑵求MPB∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sin cossin2xyθθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2sin()42tπρθ+=（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当2t=-时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x=-++⑴解不等式()5f x>；⑵若关于x的方程1()4af x=-的解集为空集，求实数a的取值范围.2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C 由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C. 3. B 圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B.4. D 由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =, 210128109a a q a a +==+. 故选D. 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A.9. C 若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CAB A BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B. 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅=o 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 42 14. 465+ 15.0d ≥且0d a +> 16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-u r r u r r ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=u r r u r r .然而(2cos ,1),m B =u r (1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=u r r ，得1cos ,602B B ==o .(6分) ⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin οο+=+=-+=+A A A A A C A .(9分) 又0120A <<o o ，则3030150A <+<o o o ，1sin(30)12A <+≤o ， 所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =. 222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==， 所以标准差52s =. (4分) ⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年). (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，ο90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =I ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =I ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分)⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-u u u u r u u u r u u u u r ，于是c a a b c a -+=+222，得 2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分)1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r的取值范围是(0,5]. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分)⑶()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()x x xg x e=在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=o ，得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==o o . （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去； 当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞U .根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。
2020届四省名校高三第三次大联考数学(文科)试题(解析版)
2020届四省名校高三第三次大联考文数本试卷共4页，23题（含选考题）.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、单稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}20A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B 【解析】 分析】先解得{}0,1A =,进而求解即可. 【详解】因为集合{}0,1A =, 则A 的真子集个数为2213-=, 故选:B【点睛】本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题. 2.下列选项中，满足1z z+为实数的复数z 是（ ）A. 1z i =+B. 1z i =-C. 122z =+ D. 12z =+【答案】C 【解析】 【分析】设(),z a bi a b R =+∈,则222221a b z a b i z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,由1z z +为实数可得220b b a b-=+,则221a b +=,进而结合选项得到结果即可.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,所以222222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫-⎛⎫+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭, 因为1z z +为实数,所以220b b a b-=+,所以221a b +=,即1z =, 结合选项可知C 正确, 故选:C【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.3.“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有65%的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（ ） A. 调查采用了分层抽样 B. 调查采用了简单随机抽样 C. 调查采用了系统抽样 D. 非抽样案例【答案】D 【解析】 【分析】由调查对象是统计的演员的整体,未进行抽样调查,即可得到结果.【详解】调查结果是对所有9481名演员的情况进行总结的,所以分析对象是全体,不是抽样,故选:D【点睛】本题考查对随机抽样的理解,属于基础题.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg 20.3010=，则x 的值约为（ ） A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669【答案】A 【解析】 【分析】 由522x=可得25lg 5lg 212lg 2log 2lg 2lg 2x --===,进而将条件代入求解即可. 【详解】522x=Q ,25lg5lg 212lg 2120.3010log 1.3222lg 2lg 20.3010x ---⨯∴====≈, 故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2232n S n n =-+，则11121a a a ++的值为（ ）A. 120B. 119C. 118D. 117【答案】B 【解析】 【分析】当2n ≥时,145n n n a S S n -=-=-,检验1n =,则1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,进而分别求得1121,a a ,即可求解.【详解】当2n ≥时,()()2212322131245n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦,当1n =时,114511a S =-=-≠=，不符合,所以1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩, 1139a ∴=,2179a =,1112113979119a a a ∴++=++=,故选:B【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,注意检验当1n =时的情况.6.已知曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. a e =，1b =B. a e =-，1b =C. a e =，0b =D. a e =-，1b =-【答案】C 【解析】 【分析】先求导,再由1|x k y ='=,可得切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则可得到120e ab⎧+=⎪⎨⎪=⎩,即可求解.【详解】sin cos 222x e y x x x a πππ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 11x e y a=∴=+', ∴曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,120e a b⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩, a e ∴=,0b =,故选:C【点睛】本题考查利用导数求在某点处的切线,考查由切线斜率求参数.7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 50-B. 50C. 51-D. 51【答案】B 【解析】 【分析】分析可得程序框图实现的功能是()()()()234100111213199S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯,进而求解即可.【详解】由题得,()()()()234100111213199123499S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯=-+-+⋅⋅⋅+=()()()123497989950-+-+⋅⋅⋅+-+=,故选:B【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,考查分组求和法的应用. 8.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案. 【详解】由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-， 故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D. 故选B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.9.已知函数()f x 的图像关于原点对称，对于任意的1x ，2x R ∈，()()12120f x f x x x ->-.若()()()2600,0f m f n m n -+=>>，则mn 的最大值为（ ）A.92B. 9C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 关于原点对称及()()12120f x f x x x ->-可得()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,则()()()26f m f n f n -=-=-,即26m n +=,再利用均值不等式求得最值即可.【详解】由题意知()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,又()()260f m f n -+=,()()()26f m f n f n ∴-=-=-, 26m n ∴-=-,26m n ∴+=,2222m n mn +⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭,即92mn ≥,当且仅当2m n ==3时取等号, mn ∴的最大值为92, 故选:A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用均值不等式求最值.10.过双曲线2213x y -=的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l ，交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则OAB V 的面积为（ ）A.B. 3C.D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由渐近线方程可得30FOB ∠=︒,由倾斜角可得60OFB ∠=︒,则90OBA OBF ∠=∠=︒,利用三角函数可得OB 和AB ,进而求解.【详解】不妨设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由题,渐近线方程为y x =,则30FOB ∠=︒,2OF c ===,因为60OFB ∠=︒,所以90OBA OBF ∠=∠=︒,所以cos30OB OF =︒,又60AOB ∠=︒,则30OAB ∠=︒,所以2OA OB ==,所以3AB =,从而OAB V 的面积为122S OB AB =⋅⋅=, 故选:C【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积,考查双曲线中渐近线方程的应用. 11.已知函数()22cos f x x x =+，则（ ）A. ()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()151sin 33lg 2f f f e ⎛⎫⎛⎫︒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()1512lg sin 33f f f e ⎛⎫⎛⎫<<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1512sin 33lg f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先利用导函数可判断()f x 在()0,∞+上单调递增,再根据()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,进而得到结果.【详解】因为()22sin f x x x '=-,设()()g x f x ='，()22cos 0g x x '=-≥, 所以()f x '单调递增,当0x >时,()()00f x f ''>=, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增,又()()22cos f x x x f x -=+=,即()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,故()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:A【点睛】考查由函数单调性比较函数值的大小,考查利用导函数判断函数的单调性,考查奇偶性的应用. 12.函数()f x 和()g x 都是定义在(],t -∞上的单调减函数，且()()f t g t M ==，若对于任意k M >，存在1x ，()212x x x >，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”，若()2f x x =，下述四个结论中正确的是（ ）①()21g x x =--是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；②若()g x 和函数()21xh x =-关于y 轴对称，则()g x 是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；③若()()ln g x x m =-+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”，则1m =； ④存在m 1≥，使得()1g x m x=+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”. A. ①③④ B. ①②④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 与()g x 是否单调递减,并求得最小值,再根据若()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”,()()12f x g x k ==,则12,x x 可用k 表示,利用12x x >,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④【详解】对于①,()2f x x =和()21g x x =--在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()21g x x =--是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即21221x x k =--=,所以1212x k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩,12k +<,即()214k k +<,构造函数()()()2114x h x x x +=->,则()1102x h x +'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即()214x x +<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故①正确；对于②,依题意()112x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-,则()2f x x =和()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f xg x k ==成立,即221112x x k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以()1212log 1,x x k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩当100=k 时,不存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故②错误；对于③,若()()ln g x x m =-+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,此时必有()()111fg -=-=,解得1m =,当1m =时,()()ln 1g x x =-+和()2f x x =在(],1-∞-上单调递减,若()()ln 1g x x =-+是()2f x x =在(),1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即()212ln 1x x k =-+=,所以112k x x e-⎧=⎪⎨=-⎪⎩,即1k e ->-,则22k k e -<,构造函数()22x h x x e -=-,则()22120x h x e -'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即22x x e -<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故③正确；对于④,当(],1x ∈-∞-时,()[)11,g x m m m x =+∈-+,而当(],1x ∈-∞-时,()[)21,f x x =∈+∞,由k 的任意性,不存在m 1≥,使得()1g x m x=+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,故④错误,故选:D【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题.13.已知平面向量满足1a =r ，向量a r 与向量b r的夹角为135°，且1a b ⋅=-r r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r ______. 【答案】2- 【解析】 【分析】由1a b ⋅=-r r可得b =r 进而代入()()2a b a b +⋅-r r r r 求解即可.【详解】1a =r Q ,向量a r 与向量b r的夹角为135°,1a b ⋅=-r r ,cos135a b a b ∴⋅=⋅⋅︒=-1r rr r ,b ∴=r , ()()2222242a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=-=-r r r r r r r r ,故答案为:2-【点睛】本题考查向量的数量积的运算,考查运算能力. 14.已知n S 为递增等比数列{}n a 的前n 项和，其中1a ，92，4a 成等差数列，且238a a ⋅=，则5S =______. 【答案】31【解析】 【分析】由等差中项可得149a a +=,由等比中项可得14238a a a a ⋅=⋅=,根据递增数列可得1418a a =⎧⎨=⎩,即可求得公比q ,进而代入等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】14238a a a a ⋅=⋅=Q ,又149a a +=,且递增等比数列{}n a , 解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由341a a q =,得2q =,55123112S -∴==-,故答案为:31【点睛】本题考查等比数列的定义的应用,考查等差中项、等比中项的应用,考查等比数列的前n 项和公式的应用.15.已知()()2cos f x x θ=+，将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象，且()()0g x g x -+=，若,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则θ=______. 【答案】4π- 【解析】 【分析】根据图象变换原则可得()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再根据()()0g x g x -+=可得()g x 是奇函数,则()2142k ππθ-=+⨯,进而求解.【详解】由题,()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 又因为()()0g x g x -+=,所以()g x 是奇函数, 所以()2142k ππθ-=+⨯,k Z ∈,即34k πθπ=+,k Z ∈,所以当1k =-时,4πθ=-,满足题意,故答案为:4π-【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查由三角函数的奇偶性求参数.16.已知直线l ：1y =与y 轴交于点M ，Q 为直线l 上异于点M 的动点，记点Q 的横坐标为n ，若曲线C ：2212x y +=上存在点N ，使得45MQN ∠=︒，则n 的取值范围是______.（用区间表示） 【答案】)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【解析】 【分析】设QN k k =,由45MQN ∠=︒可得1k =±,分别讨论Q 在第一象限与Q 在第二象限时的情况,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值或最小值,进而求解.【详解】由题,(),1Q n ,0n ≠, 设QN k k =,则QN l :()1y k x n =-+, 当Q 在第一象限时,则1k =,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩,则()()22341220x n x n n +-+-=,令0∆=,则13n =±,13n =-不符合题意,舍去；当Q 在第二象限时,则1k =-,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最小值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=--+⎪⎩,则()()22341220x n x n n -+++=, 令0∆=,则13n =-±,13n =-+不符合题意，舍去，综上,)(13,00,13n ⎡⎤∈--⋃+⎣⎦,故答案为:)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下：规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.（1）求m值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）50人，25（2）见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各区间人数即可得到m ,则可知每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1,根据分层抽样可得所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B ,列出所有情况,判断出符合条件的情况,即可求解；（2）根据表格数据补充列联表,代入公式中,并与2.706比较即可判断. 【详解】解:（1）由题得,()100010030045010050m =-+++=（人）, 由表格可知,在每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1, 则所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B , 设选出的2人无有酒瘾为事件M ,其概率为()P M ,则从6人中选2人共有如下:()12,A A ,()13,A A ,()14,A A ,()11,AB , ()12,A B ,()23,A A ,()24,A A ,()21,A B ,()22,A B ,()34,A A ,()31,A B ,()32,A B ,()41,A B ,()42,A B ,()12,B B ,共15种情况,其中事件M 有6种情况,所以()62155P M ==. （2）由表格可得常喝酒的有45010050600++=（人）, 则列联表如下:合计 600 400 1000则()221000200250400150 1.83 2.706600400650350K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 可见,民间的说法没有太强的科学性,对于医字繁体字的解读也属于笑谈.【点睛】本题考查分层抽样的应用,考查古典概型概率公式的应用,考查独立性检验处理实际问题. 18.如图，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边，ABC V 外接圆的半径为2，3cos sin c b A b A =+.（1）求b ；（2）求ABC V 周长的最大值. 【答案】（1）3b =2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为弦可得3sin sin cos sin 3C B A B A =+,化简可得tan 3B =,则3B π=,进而由正弦定理求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2212a c ac +=+,再利用均值不等式求得a c +的最大值,即可求解. 【详解】解:（1）由正弦定理及3cos sin 3c b A A =+, 得3sin sin cos sin 3C B A B A =+, 由()C A B π=-+,得()sin sin cos sin 3A B B A B A +=+,cos sin sin sin 3B A B A ∴=, ()0,A π∈Q ,sin 0A ∴≠,tan B ∴=,()0,B π∈Q ,3B π∴=,又ABC V 外接圆的半径2R =,2sin bR B∴=,b ∴=（2）由（1）2221cos cos 322a cb B ac π+-===,2212a c ac ∴+=+,2a c+≥得()()2222121224a c a c a c ac ++≤+=+≤+,a c ∴+≤当且仅当a c ==,等号成立,又b =QABC ∴V 周长的最大值为【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用.19.已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22PA AB BC ===，AC =E 是棱PB 的中点，AF PC ⊥.（1）求证：BP ⊥平面AEF ； （2）求三棱锥P AEF -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）321【解析】 【分析】（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,再根据PA ⊥平面ABC 可得平面PAC ⊥平面ABC ,则BC ⊥平面PAC ,可得BC AF ⊥,由等腰三角形的性质可得AE PB ⊥,进而得证；（2）由（1）PE 是三棱锥P AEF -的高,利用勾股定理求得,EF AF ,进而求解. 【详解】解:（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,PA ⊥Q 平面ABC ,PA ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC , Q 平面PAC I 平面ABC AC =,BC ∴⊥平面PAC ,又AF ⊂平面PAC ,BC AF ∴⊥, 又AF PC ⊥,PC BC C ⋂=,AF ∴⊥平面PBC ,由PB ⊂平面PBC ,得⊥AF PB ,又E 是等腰PAB △边PB 上的中点,AE PB ∴⊥, 又AE AF A ⋂=,PB ∴⊥平面AEF .（2）由（1）可得,AEF V 为直角三角形,PE 是三棱锥P AEF -的高, 在Rt PAC △中,2PA =,3AC =7PC ∴=,2322177PA AC AF PC ⋅===,在Rt PAB V 中,2PA AB ==,12PE AE PB ∴===在Rt AEF V 中,7EF ===, 1122777AEF S AF EF ∴=⋅=⨯⨯=△, 1133721P AEF AEF V S PE -∴=⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查求三棱锥的体积.20.已知函数()2ln 2x f x x kx =++.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求k 的取值范围；（2）若()()()121200f x f x x x ==<<，且满足0122x x x =+，问：函数()f x 在()()00,x f x 处的导数能否为0？若能，求出()()00,x f x 处的导数；若不能，请说明理由.【答案】（1）[)2,-+∞（2）函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0,理由见解析 【解析】 【分析】（1）由解析式易知定义域为()0,∞+,则转化问题为()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立,根据均值不等式可得12x x+≥,即可求解； （2）假设()00f x '=,则有()()2111122222120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②,由①-②整理可得()112212ln 02x x x x k x x +++=-,即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,设12x u x =,()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+,利用导函数判断()h u 的范围,即可判断假设是否成立.【详解】解:（1）由题得,函数()f x 的定义域是()0,∞+,且在定义域内单调递增,所以()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立, 因为12x x+≥,当且仅当1x x =时等号成立,所以12x k k x++≥+,所以20k +≥,解得2k ≥-,故k 的取值范围是[)2,-+∞. （2）不能,理由如下:假设()00f x '=,则由题得()()21111222220120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②, ①-②得()()()12121212ln ln 02x x x x x x kx x -+-++-=,即()112212ln02x x x x k x x +++=-,又因为120012122x x k x x x x +⎛⎫=--=-- ⎪+⎝⎭, 所以112122121212lnln 202x xx x x x k x x x x x x +++=-=--+,所以()1212122ln0x x x x x x --=+, 所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,③ 设12x u x =,()0,1u ∈,则③式变为()()()21ln 00,11u u u u --=∈+,设()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+, 则()()()()()()()22'22221211411()0111u u u u u h u u u u u u u +--+--=-==>+++, 所以函数()21()ln 1u h u u u -=-+在()0,1上单调递增,()(1)0h u h <=即()21ln 01u u u --<+,也就是12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+,此式与③矛盾, 故函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题,考查利用导函数处理双变量问题,考查转化思想与运算能力.21.已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 是坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r.（1）求线段AB 中点M 的轨迹的方程； （2）设直线l 与曲线M 交于C 、D 两点，CD ABλ=，求λ的取值范围.【答案】（1）224y x =-（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r可解得128y y =-,联立直线l :x my n =+与抛物线,根据韦达定理可得1248y y n =-=-,则2n =,进而可知直线l 恒过定点()2,0,设M 为(),x y ,由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-,将直线的斜率公式代入,即可求得点M 的轨迹方程,并检验12x x =时是否满足；（2）分别联立直线l 与点M 的轨迹方程,直线l 与抛物线24y x =,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得2CD 和2AB ,由>0∆可得m 范围,进而求得2λ的范围,从而求解.【详解】解:（1）设()11,A x y ,()22,B x y , 4OA OB ⋅=-u u u r u u u r Q ,12124x x y y ∴+=-,即221212444y y y y ⋅+=-, ()21280y y ∴+=,128y y ∴=-,设直线l :x my n =+,代入24y x =,得2440y my n --=,则216160m n ∆=+>, 1248y y n ∴=-=-,解得2n =, l ∴:2x my =+, ∴直线l 过定点()2,0, 设线段AB 的中点坐标为(),x y , 由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-, 0242y y x -∴⋅=-,即224y x =-, 当12x x =时,中点()2,0满足上述方程, 故轨迹M 的方程为224y x =-. （2）由（1）,由2224x my y x =+⎧⎨=-⎩可得220y my -=,解得0y =或2y m =, l Q 与曲线M 交于C ,D 两点,0m ∴≠, 当0y =时,2x =；当2y m =时,222x m =+, 设()2,0C ,()222,2D m m +, ()()()2222222241CD m m m m ∴=+=+,由242y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2480y my --=,则216320m ∆=+>,所以124y y m +=,128y y =-,则AB ==,()()()()22222222224112142161242m m CD m m m m m AB λ+⎛⎫∴====- ⎪++++⎝⎭, 由l 交曲线M 于C ,D 两点,知0m ≠,2104λ∴<<,102λ∴<<, 故所求λ的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查弦长公式的应用,考查求轨迹方程,考查运算能力. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2281sin ρθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P 的坐标为()1,0，求PA PB ⋅的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=，直线l的普通方程为220x -=.（2）4911 【解析】【分析】（1）对曲线C 利用222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩转化极坐标方程,对直线l 消去参数t 即可转化为普通方程；（2）由题列出直线l 的标准参数方程,代入曲线C 的直角坐标方程中,由12PA PB t t ⋅=,利用韦达定理求解即可.【详解】解:（1）2281sin ρθ=+Q ,即222sin 8ρρθ+=, ()2228x y y ++=∴,即22184x y +=,又12x y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）,所以220x -=, ∴曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=,直线l的普通方程为220x +-=. （2）过P 点的直线l 的标准参数方程为17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2212877⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即211490t --=,且>0∆,设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,121249491111PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用直线参数的几何意义求解弦的乘积.23.已知函数()|1||24|f x x x =-+-，记()f x 的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若a 、b 、c +∈R ，且a b c m ++=，149123N a b c =+++++.求N 的最小值. 【答案】（1）1（2）367. 【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解；（2）由（1）1a b c ++=,利用柯西不等式可得()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭,则149361237a b c ++≥+++,再由取等条件求解即可. 【详解】解:（1）()35,11243,1235,2x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩,1x ∴<时,()f x 单调递减；12x ≤<时,()f x 单调递减；2x ≥时,()f x 单调递增； ()()min 21m f x f ∴===.（2）由（1）知1a b c ++=,又()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭, 149361237a b c ∴++≥+++, 当且仅当1231231a b c a b c ⎧==⎪+++⎨⎪++=⎩,即161312a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时等号成立, 即N 的最小值为367. 【点睛】本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力.。
2020届四省名校高三第三次大联考文科数学试卷
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}20A x x x =-=，则A 的真子集个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列选项中，满足1z z +为实数的复数z 是（）A ．1i z =+B ．1i z =-C．12z =+D．1z =+3．“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有65%的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（）A ．调查采用了分层抽样B ．调查采用了简单随机抽样C ．调查采用了系统抽样D ．非抽样案例4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用2020届四省名校高三第三次大联考文数注意事项：4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、单稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第1页,共6页。
2020届陕西省高三第三次联考文科数学试题(解析版)
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.
【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有 D 选项符合.
故选 D.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.
6.设函数
f
x
log 4x ,
2 1
x
0
x
,
x
0
【详解】 B y y x2 4x 8 y y x 22 4 2 ，
ðU B y y 2 ， A x y ln x 1 x x 1 ，
A ðU B 1, 2 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题.
陕西省 2020 届高三年级第三次联考
文科数学
一、选择题
1.全集U R ，集合 A x y ln x 1 ， B y y x 2 4x 8 ，则 A ðU B （ ）
A. 1, 2
B. 1, 2
C. 1, 2
D. 1, 2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 A 、 B ，再利用集合的交、补运算即可求解.
9.抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，点 A3, 2 ， P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，则 △PAF 周长的
最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 4 2 2
D. 5 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题转化为求 PA PF 的最小值，根据抛物线的定义可知 PF PD ，即求 PA PD 的最小值，
，则
江西省瑞金市四校联盟2020届高三第三次联考数学文科试题含解析
设三棱柱的高 ，则 ，故 .
将两个三棱柱组成一个长方体，设外接圆半径为 ，
则 ，故 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查了三视图,外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
15。已知过抛物线 的焦点 的直线 截抛物线 所得的弦长为 ，设点 为抛物线 上的动点,点 过点 作抛物线 的准线 的垂线,垂足为 则 的最小值为__________.
【详解】根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；
巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；
离艮、离兑;艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑,震坎,震艮，坎艮，共6种。
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了概率的计算,意在考查学生的计算能力和应用能力.
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 与 交于点 ，连接 ，故 ，得到证明.
（2） 到平面 的距离等于 到平面 的距离，利用等体积法计算得到距离。
【详解】(1）连接 与 交于点 ,连接 ，则 为 中点， 为 的中点，
故 ， 平面 ，故 平面
(2） 平面 ，故 到平面 的距离等于 到平面 的距离.
A。 B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ， 为 中点,证明四边形 为菱形,计算面积得到答案。
【详解】如图所示：连接 ， 为 中点,易知 ，四边形 为平行四边形,故 ， ,故 ，故 四点共面，
故交线组成的平面多边形 .
，四边形 为菱形，
【附加15套高考模拟试卷】山西省2020届高三第三次四校联考数学(文)试卷含答案
山西省2020届高三第三次四校联考数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是（）A．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[]3,1-C．(][),31,-∞-+∞UD．3,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a 的值为A．B．C．1 D．23．已知函数()2sin4f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,8⎛⎫⎪⎝⎭π上单调递增，则ω的最大值为（）A．12B．1 C．2 D．44．关于函数，下列说法错误的是()A．是奇函数B．在上单调递增C．是的唯一零点D．是周期函数5．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且512PTAT-=.下列关系中正确的是（）A．51BP TS RS+-=u u u r u u r u u rB．51CQ TP++=u u u r u u rC．51ES AP--=u u u r u u u rD．51AT BQ-+=u u u r u u u r u u r6．已知函数()()()2sin0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，已知点()0,3A ，,06B π⎛⎫⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．4x π=B ．3x π=C ．23x π=D ．12x π= 7．已知,x y 满足的约束条件3121x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．在V ABC 中，sin 32sin B A =，2BC =，且4C π=，则AB =（ ）A ．26B ．5C ．33 D ．269．集合{1,3,5,7}A =，2{|40}B x x x =-+≥，则A B =I （ ） A ．[1,3]B ．{1,3}C ．[5,7]D ．{}5,710．数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v(2,)n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ⋃=，，，则满足条件的实数x 的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个.12．AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日,空气质量越来越好二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高三数学(文科)第三次联考检测题及答案解析
最新度高三年级第三次联考数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|410,|3x 7P x x Q x =<<=<<，则P Q 等于A. {}|3x 7x <<B. {}|3x 10x <<C. {}|3x 4x <<D. {}|4x 7x <<2.设复数2z i =+，则复数()1z z -的共轭复数为A. 13i --B. 13i -+C. 13i +D. 13i - 3. cos 250sin 200的值为A. 2B. 1C. 2-D. 1-4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE x AB y AD =+，则A. 11,2x y =-=- B. 11,2x y ==C. 11,2x y =-= D.11,2x y ==-5.已知函数()()2303f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()2cos 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π= D. 2x π=6.在等差数列{}n a 中，3645a a a +=+，且2a 不大于1，则8a 的取值范围是A. (],9-∞B. [)9,+∞C. (),9-∞D. ()9,+∞7.若,x y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为A. 2B. 3C. 11D. 188.执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于A. 12B. 35C. 56D.679.一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为A. 21B. 6C. 7D. 310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 72B. 80C. 86D. 9211.已知双曲线222:1(0)y M x b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P在焦点为()0,1的抛物线2y mx =上，则双曲线M 的离心率为 A. 7 B. 65 C. 87 D. 35 12.设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某公司13个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这13个部门接收的快递的数量的中位数为.14.椭圆()2211mx y m +=>2，则m =. 15.若函数()()3222f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为. 16.记n 表示正整数n 的个位数，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，2,2n n n n n a b a ==+则4n S =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCB '中，ABC AB C '≅,3,cos ,2 2.4AB AB BCB BC ''⊥∠==（1）求sin ;BCA ∠（2）求BB '及AC 的长.18.(本小题满分12分)已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：标准地理成绩为A 等级的共有14401064++=人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,a b 的值；（2）已知8,6a b ≥≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥A EFCB -中,AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =四边形EFCB 3的等腰梯形，//,EF BC O 为EF 的中点.（1）求证：;AO CF ⊥（2）求O 的平面ABC 的距离.20.(本小题满分12分) 已知圆M 与圆22255:33N x y r ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，且点15,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆M 上. （1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，551,,1,33A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PA 与PB 不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交AB 于G ，求证：PBG 与APG 的面积之比为定值.21.(本小题满分12分)设函数()()()2cos ,ln 0.k f x x x g x x k x =--=--> （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若对任意110,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x <，求实数k 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABO 三边上的点,,C D E 都在O 上，已知//,.AB DE AC CB = （1）求证：直线AB 与O 相切； （2）若2AD =，且1tan 3ACD ∠=，求AO 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的方程为()3cos 4sin 2,ρθθ-=，曲线C 的方程为()0.m m ρ=>（1）求直线l 与极轴的交点到极点的距离； （2）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知不等式2210x x ++-<的解集为A.（1）求集合A ；（2）若,a b A ∀∈，x R ∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.。
2020届四省名校高三第三次大联考数学(文)试题(解析版)
2020届四省名校高三第三次大联考数学（文）试题一、单选题1．若集合{}20A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】先解得{}0,1A =,进而求解即可. 【详解】因为集合{}0,1A =,则A 的真子集个数为2213-=, 故选:B 【点睛】本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题. 2．下列选项中，满足1z z+为实数的复数z 是（ ）A ．1z i =+B ．1z i =-C ．122z =+ D ．12z =+【答案】C【解析】设(),z a bi a b R =+∈,则222221a b z a b i z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,由1z z+为实数可得220bb a b-=+,则221a b +=,进而结合选项得到结果即可. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈,所以222222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫-⎛⎫+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭, 因为1z z+为实数,所以220b b a b -=+,所以221a b +=,即1z =, 结合选项可知C 正确, 故选:C【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.3．“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有65%的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（ ） A ．调查采用了分层抽样 B ．调查采用了简单随机抽样 C ．调查采用了系统抽样 D ．非抽样案例【答案】D【解析】由调查对象是统计的演员的整体,未进行抽样调查,即可得到结果. 【详解】调查结果是对所有9481名演员的情况进行总结的,所以分析对象是全体,不是抽样, 故选:D 【点睛】本题考查对随机抽样的理解,属于基础题.4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg 20.3010=，则x 的值约为（ ） A ．1.322 B ．1.410 C ．1.507 D ．1.669【答案】A 【解析】由522x=可得25lg 5lg 212lg 2log 2lg 2lg 2x --===,进而将条件代入求解即可. 【详解】522x =Q ,25lg5lg 212lg 2120.3010log 1.3222lg 2lg 20.3010x ---⨯∴====≈, 故选:A 【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2232n S n n =-+，则11121a a a ++的值为（ ）A ．120B ．119C ．118D ．117【答案】B【解析】当2n ≥时,145n n n a S S n -=-=-,检验1n =,则1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,进而分别求得1121,a a ,即可求解. 【详解】 当2n ≥时,()()2212322131245n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦,当1n =时,114511a S =-=-≠=，不符合,所以1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩, 1139a ∴=,2179a =,1112113979119a a a ∴++=++=,故选:B 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,注意检验当1n =时的情况.6．已知曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．a e =，1b =B ．a e =-，1b =C ．a e =，0b =D ．a e =-，1b =-【答案】C【解析】先求导,再由1|x k y ='=,可得切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则可得到120e a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩,即可求解.【详解】sin cos 222x e y x x x a πππ⎛⎫⎛⎫'=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 11x e y a=∴=+', ∴曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,120ea b ⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩, a e ∴=,0b =,故选:C 【点睛】本题考查利用导数求在某点处的切线,考查由切线斜率求参数. 7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．50-B ．50C ．51-D ．51【答案】B【解析】分析可得程序框图实现的功能是()()()()234100111213199S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯,进而求解即可.【详解】 由题得,()()()()234100111213199123499S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯=-+-+⋅⋅⋅+=()()()123497989950-+-+⋅⋅⋅+-+=,故选:B【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,考查分组求和法的应用. 8．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案. 【详解】 由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-， 故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.9．已知函数()f x 的图像关于原点对称，对于任意的1x ，2x R ∈，()()12120f x f x x x ->-.若()()()2600,0f m f n m n -+=>>，则mn 的最大值为（ ）A ．92B ．9C ．5D ．6【答案】A【解析】由()f x 关于原点对称及()()12120f x f x x x ->-可得()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,则()()()26f m f n f n -=-=-,即26m n +=,再利用均值不等式求得最值即可. 【详解】由题意知()f x 是奇函数,且在R 上单调递增, 又()()260f m f n -+=,()()()26f m f n f n ∴-=-=-,26m n ∴-=-,26m n ∴+=,2222m n mn +⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭,即92mn ≥,当且仅当2m n ==3时取等号, mn ∴的最大值为92,故选:A 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用均值不等式求最值.10．过双曲线2213x y -=的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l ，交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则OAB V 的面积为（ ）A B ．3C ．2D ．6【答案】C【解析】设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由渐近线方程可得30FOB ∠=︒,由倾斜角可得60OFB ∠=︒,则90OBA OBF ∠=∠=︒,利用三角函数可得OB 和AB ,进而求解. 【详解】不妨设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由题,渐近线方程为y x =,则30FOB ∠=︒,2OF c ===,因为60OFB ∠=︒,所以90OBA OBF ∠=∠=︒,所以cos30OB OF =︒=,又60AOB ∠=︒,则30OAB ∠=︒,所以2OA OB ==所以3AB =,从而OAB V 的面积为12S OB AB =⋅⋅=, 故选:C 【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积,考查双曲线中渐近线方程的应用. 11．已知函数()22cos f x x x =+，则（ ）A ．()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()151sin 33lg 2f f f e ⎛⎫⎛⎫︒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1512lg sin 33f f f e ⎛⎫⎛⎫<<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1512sin 33lg f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】先利用导函数可判断()f x 在()0,∞+上单调递增,再根据()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,进而得到结果.【详解】因为()22sin f x x x '=-,设()()g x f x ='，()22cos 0g x x '=-≥, 所以()f x '单调递增,当0x >时,()()00f x f ''>=, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增,又()()22cos f x x x f x -=+=,即()f x 为偶函数,且15110lg lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,故()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:A 【点睛】考查由函数单调性比较函数值的大小,考查利用导函数判断函数的单调性,考查奇偶性的应用.12．函数()f x 和()g x 都是定义在(],t -∞上的单调减函数，且()()f t g t M ==，若对于任意k M >，存在1x ，()212x x x >，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”，若()2f x x =，下述四个结论中正确的是（ ）①()21g x x =--是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；②若()g x 和函数()21xh x =-关于y 轴对称，则()g x 是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；③若()()ln g x x m =-+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”，则1m =； ④存在m 1≥，使得()1g x m x=+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”. A ．①③④ B ．①②④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】先判断()f x 与()g x 是否单调递减,并求得最小值,再根据若()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”,()()12f x g x k ==,则12,x x可用k 表示,利用12x x >,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④ 【详解】对于①,()2f x x =和()21g x x =--在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()21g x x =--是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即21221x x k =--=,所以1212x k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩,12k +,即()214k k +<,构造函数()()()2114x h x x x +=->,则()1102x h x +'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即()214x x +<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f xg x k ==成立,故①正确；对于②,依题意()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-,则()2f x x =和()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即221112x x k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以()1212log 1,x x k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩当100=k 时,不存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故②错误；对于③,若()()ln g x x m =-+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,此时必有()()111f g -=-=,解得1m =,当1m =时,()()ln 1g x x =-+和()2f x x =在(],1-∞-上单调递减,若()()ln 1g x x =-+是()2f x x =在(),1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即()212ln 1x x k =-+=,所以112k x x e-⎧=⎪⎨=-⎪⎩,即1k e ->-,则22k k e -<,构造函数()22x h x x e -=-,则()22120x h x e -'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即22x x e -<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故③正确；对于④,当(],1x ∈-∞-时,()[)11,g x m m m x=+∈-+,而当(],1x ∈-∞-时,()[)21,f x x =∈+∞,由k 的任意性,不存在m 1≥,使得()1g x m x=+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,故④错误,故选:D 【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.二、填空题13．已知平面向量满足1a =r ，向量a r 与向量b r的夹角为135°，且1a b ⋅=-r r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r______.【答案】2-【解析】由1a b ⋅=-r r可得b =r 进而代入()()2a b a b +⋅-r r r r 求解即可.【详解】1a =r Q ,向量a r 与向量b r的夹角为135°,1a b ⋅=-r r , cos135a b a b ∴⋅=⋅⋅︒=-1r rr r,b ∴=r , ()()2222242a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=-=-r r r r r r r r ,故答案为:2- 【点睛】本题考查向量的数量积的运算,考查运算能力.14．已知n S 为递增等比数列{}n a 的前n 项和，其中1a ，92，4a 成等差数列，且238a a ⋅=，则5S =______.【答案】31【解析】由等差中项可得149a a +=,由等比中项可得14238a a a a ⋅=⋅=,根据递增数列可得1418a a =⎧⎨=⎩,即可求得公比q ,进而代入等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】14238a a a a ⋅=⋅=Q ,又149a a +=,且递增等比数列{}n a ,解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由341a a q =,得2q =,55123112S -∴==-,故答案为:31 【点睛】本题考查等比数列的定义的应用,考查等差中项、等比中项的应用,考查等比数列的前n 项和公式的应用.15．已知()()2cos f x x θ=+，将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象，且()()0g x g x -+=，若,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=______.【答案】4π-【解析】根据图象变换原则可得()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再根据()()0g x g x -+=可得()g x 是奇函数,则()2142k ππθ-=+⨯,进而求解.【详解】由题,()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 又因为()()0g x g x -+=,所以()g x 是奇函数, 所以()2142k ππθ-=+⨯,k Z ∈,即34k πθπ=+,k Z ∈, 所以当1k =-时,4πθ=-,满足题意,故答案为:4π- 【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查由三角函数的奇偶性求参数.16．已知直线l ：1y =与y 轴交于点M ，Q 为直线l 上异于点M 的动点，记点Q 的横坐标为n ，若曲线C ：2212x y +=上存在点N ，使得45MQN ∠=︒，则n 的取值范围是______.（用区间表示）【答案】)(10,1⎡--⋃+⎣【解析】设QN k k =,由45MQN ∠=︒可得1k =±,分别讨论Q 在第一象限与Q 在第二象限时的情况,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值或最小值,进而求解. 【详解】由题,(),1Q n ,0n ≠, 设QN k k =,则QN l :()1y k x n =-+, 当Q 在第一象限时,则1k =,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩,则()()22341220x n x n n +-+-=,令0∆=,则1n =±1n =-,舍去；当Q 在第二象限时,则1k =-,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最小值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=--+⎪⎩,则()()22341220x n x n n -+++=, 令0∆=,则13n =-±,13n =-+不符合题意，舍去，综上,)(13,00,13n ⎡⎤∈--⋃+⎣⎦,故答案为:)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.三、解答题17．今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下： 每周喝酒量（两） [)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10人数 100300450100m规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人； ②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.（1）求m 值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）50人，25（2）见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关.【解析】（1）由总人数减去各区间人数即可得到m ,则可知每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1,根据分层抽样可得所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B ,列出所有情况,判断出符合条件的情况,即可求解；（2）根据表格数据补充列联表,代入公式中,并与2.706比较即可判断. 【详解】解:（1）由题得,()100010030045010050m =-+++=（人）,由表格可知,在每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1, 则所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B , 设选出的2人无有酒瘾为事件M ,其概率为()P M ,则从6人中选2人共有如下:()12,A A ,()13,A A ,()14,A A ,()11,AB , ()12,A B ,()23,A A ,()24,A A ,()21,A B ,()22,A B ,()34,A A ,()31,A B ,()32,A B ,()41,A B ,()42,A B ,()12,B B ,共15种情况,其中事件M 有6种情况,所以()62155P M ==. （2）由表格可得常喝酒的有45010050600++=（人）, 则列联表如下: 常喝酒 不常喝酒 合计 得病 200 150 350 不得病 400 250 650 合计 6004001000则()221000200250400150 1.83 2.706600400650350K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 可见,民间的说法没有太强的科学性,对于医字繁体字的解读也属于笑谈. 【点睛】本题考查分层抽样的应用,考查古典概型概率公式的应用,考查独立性检验处理实际问题.18．如图，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边，ABC V 外接圆的半径为2，3cos sin c b A b A =+.（1）求b ；（2）求ABC V 周长的最大值. 【答案】（1）3b =2）63【解析】（1）利用正弦定理化边为弦可得sin sin cos sin 3C B A B A =+,化简可得tan B =则3B π=,进而由正弦定理求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2212a c ac +=+,再利用均值不等式求得a c +的最大值,即可求解. 【详解】解:（1）由正弦定理及cos sin 3c b A b A =+,得sin sin cos sin C B A B A =+, 由()C A B π=-+,得()sin sin cos sin A B B A B A +=+,cos sin sin B A B A ∴=, ()0,A π∈Q ,sin 0A ∴≠,tan B ∴=,()0,B π∈Q ,3B π∴=,又ABC V 外接圆的半径2R =,2sin bR B∴=,b ∴=（2）由（1）2221cos cos 322a cb B ac π+-===,2212a c ac ∴+=+,2a c+≥≥得()()2222121224a c a c a c ac ++≤+=+≤+,a c ∴+≤当且仅当a c ==,等号成立,又23b =Q ,ABC ∴V 周长的最大值为63.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用. 19．已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22PA AB BC ===，3AC =，E 是棱PB 的中点，AF PC ⊥.（1）求证：BP ⊥平面AEF ； （2）求三棱锥P AEF -的体积. 【答案】（1）证明见解析（223【解析】（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,再根据PA ⊥平面ABC 可得平面PAC ⊥平面ABC ,则BC ⊥平面PAC ,可得BC AF ⊥,由等腰三角形的性质可得AE PB ⊥,进而得证；（2）由（1）PE 是三棱锥P AEF -的高,利用勾股定理求得,EF AF ,进而求解. 【详解】解:（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,PA ⊥Q 平面ABC ,PA ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC , Q 平面PAC I 平面ABC AC =,BC ∴⊥平面PAC ,又AF ⊂平面PAC ,BC AF ∴⊥, 又AF PC ⊥,PC BC C ⋂=,AF ∴⊥平面PBC ,由PB ⊂平面PBC ,得⊥AF PB ,又E 是等腰PAB △边PB 上的中点,AE PB ∴⊥, 又AE AF A ⋂=,PB ∴⊥平面AEF .（2）由（1）可得,AEF V 为直角三角形,PE 是三棱锥P AEF -的高,在Rt PAC △中,2PA =,AC =PC ∴=,7PA AC AF PC ⋅===, 在Rt PAB V 中,2PA AB ==,12PE AE PB ∴===在Rt AEF V 中,EF ===,1122AEF S AF EF ∴=⋅==△1133P AEF AEF V S PE -∴=⋅==△【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查求三棱锥的体积.20．已知函数()2ln 2x f x x kx =++.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求k 的取值范围；（2）若()()()121200f x f x x x ==<<，且满足0122x x x =+，问：函数()f x 在()()0,x f x 处的导数能否为0？若能，求出()()0,x f x 处的导数；若不能，请说明理由.【答案】（1）[)2,-+∞（2）函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0,理由见解析 【解析】（1）由解析式易知定义域为()0,∞+,则转化问题为()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立,根据均值不等式可得12x x+≥,即可求解；（2）假设()00f x '=,则有()()211112222200120ln 02ln 0212x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②,由①-②整理可得()112212ln 02x x x x k x x +++=-,即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,设12x u x =,()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+,利用导函数判断()h u 的范围,即可判断假设是否成立. 【详解】解:（1）由题得,函数()f x 的定义域是()0,∞+,且在定义域内单调递增, 所以()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立, 因为12x x+≥,当且仅当1x x =时等号成立,所以12x k k x++≥+,所以20k +≥, 解得2k ≥-,故k 的取值范围是[)2,-+∞. （2）不能,理由如下:假设()00f x '=,则由题得()()211112222200120ln 02ln 0212x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②, ①-②得()()()12121212ln ln 02x x x x x x kx x -+-++-=,即()112212ln02x x x x k x x +++=-,又因为120012122x x k x x x x +⎛⎫=--=-- ⎪+⎝⎭, 所以112122121212lnln 202x xx x x x k x x x x x x +++=-=--+,所以()1212122ln0x x x x x x --=+, 所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,③ 设12x u x =,()0,1u ∈, 则③式变为()()()21ln 00,11u u u u --=∈+,设()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+, 则()()()()()()()22'22221211411()0111u u u u u h u u u u u u u +--+--=-==>+++, 所以函数()21()ln 1u h u u u -=-+在()0,1上单调递增,()(1)0h u h <=即()21ln 01u u u --<+,也就是12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+,此式与③矛盾, 故函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0. 【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题,考查利用导函数处理双变量问题,考查转化思想与运算能力.21．已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 是坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r. （1）求线段AB 中点M 的轨迹的方程；（2）设直线l 与曲线M 交于C 、D 两点，CD ABλ=，求λ的取值范围.【答案】（1）224y x =-（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r可解得128y y =-,联立直线l :x my n =+与抛物线,根据韦达定理可得1248y y n =-=-,则2n =,进而可知直线l 恒过定点()2,0,设M 为(),x y ,由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-,将直线的斜率公式代入,即可求得点M 的轨迹方程,并检验12x x =时是否满足；（2）分别联立直线l 与点M 的轨迹方程,直线l 与抛物线24y x =,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得2CD 和2AB ,由>0∆可得m 范围,进而求得2λ的范围,从而求解. 【详解】解:（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,4OA OB ⋅=-u u u r u u u rQ ,12124x x y y ∴+=-,即221212444y y y y ⋅+=-,()21280y y ∴+=,128y y ∴=-,设直线l :x my n =+,代入24y x =,得2440y my n --=,则216160m n ∆=+>,1248y y n ∴=-=-,解得2n =,l ∴:2x my =+,∴直线l 过定点()2,0,设线段AB 的中点坐标为(),x y ,由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-, 0242y y x -∴⋅=-,即224y x =-,当12x x =时,中点()2,0满足上述方程,故轨迹M 的方程为224y x =-.（2）由（1）,由2224x my y x =+⎧⎨=-⎩可得220y my -=,解得0y =或2y m =, l Q 与曲线M 交于C ,D 两点,0m ∴≠,当0y =时,2x =；当2y m =时,222x m =+,设()2,0C ,()222,2D m m +, ()()()2222222241CD m m m m ∴=+=+, 由242y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2480y my --=,则216320m ∆=+>,所以124y y m +=,128y y =-,则AB ==,()()()()22222222224112142161242m m CD m m m m m AB λ+⎛⎫∴====- ⎪++++⎝⎭, 由l 交曲线M 于C ,D 两点,知0m ≠,2104λ∴<<,102λ∴<<, 故所求λ的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查弦长公式的应用,考查求轨迹方程,考查运算能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12x y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2281sin ρθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P 的坐标为()1,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=，直线l 的普通方程为220x +-=.（2）4911【解析】（1）对曲线C 利用222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩转化极坐标方程,对直线l 消去参数t 即可转化为普通方程；（2）由题列出直线l 的标准参数方程,代入曲线C 的直角坐标方程中,由12PA PB t t ⋅=,利用韦达定理求解即可.【详解】解:（1）2281sin ρθ=+Q,即222sin 8ρρθ+=, ()2228x y y ++=∴,即22184x y +=,又12x y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）,所以220x -=, ∴曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=,直线l的普通方程为220x +-=. （2）过P 点的直线l的标准参数方程为17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将直线l 的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2212877t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即211490t --=,且>0∆,设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t , 121249491111PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-=. 【点睛】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用直线参数的几何意义求解弦的乘积.23．已知函数()|1||24|f x x x =-+-，记()f x 的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若a 、b 、c +∈R ，且a b c m ++=，149123N a b c =+++++.求N 的最小值.【答案】（1）1（2）367. 【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解； （2）由（1）1a b c ++=,利用柯西不等式可得()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭,则149361237a b c ++≥+++,再由取等条件求解即可. 【详解】解:（1）()35,11243,1235,2x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩,1x ∴<时,()f x 单调递减；12x ≤<时,()f x 单调递减；2x ≥时,()f x 单调递增；()()min 21m f x f ∴===.（2）由（1）知1a b c ++=,又()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭, 149361237a b c ∴++≥+++, 当且仅当1231231a b c a b c ⎧==⎪+++⎨⎪++=⎩,即161312a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时等号成立, 即N 的最小值为367. 【点睛】本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力.。
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业班第三次联考检测题及答案解析
最新高三（下）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．2016.3.161．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或33．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b34．抛物线C：x2=2py，直线l：y=2p，l与C交于A、B两点，则C在A、B处的两条切线的夹角的正切值为（）A．B．C．D．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．8．已知F1，F2为等轴双曲线C的焦点，点P在C上，|PF l|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A．28 B．24+6C．20+2D．16+6+211．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．612．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥kx，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）= ．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a l=10，a2为整数，且S n≤S4，则公差d= ．16．A、B、C、D为半径是2的球的球面上四点，已知|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，则四面体ABCD的体积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．18．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD．（1）证明：平面PDA⊥平面PBA；（2）若AB=2，BC=，PA=PB，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求BD与平面PAD所成的角．19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．20．设椭圆E1：=l（a＞b＞0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P 是E1上的动点，椭圆E2：=l（1）若椭圆E2上的点Q满足：，求λ的最小值；（2）设E1在P处的切线为l，l与E2交于A、B两点，当l的倾斜角为时，求三角形OAB 的面积．21．设（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）设x＞0且x≠1，a＞，求证：af（x）＞x．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．高三（下）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．2016.3.161．复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选C．2．已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或3【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．4．抛物线C：x2=2py，直线l：y=2p，l与C交于A、B两点，则C在A、B处的两条切线的夹角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组求出A，B的坐标，得出切线方程，解出切线与y轴的交点坐标，利用二倍角公式得出切线夹角的正切值．【解答】解：联立方程组，得A（﹣2p，2p），B（2p，2p）．由x2=2py得y=，∴y′=．∴抛物线在A处的切线为y=﹣2x﹣2p，在B处的切线为y=2x﹣2p．设p＞0，直线l与y轴交于F点，切线与y轴交于D点，∴tan∠ADF===，∴tan∠ADB=tan2∠ADF==．故选：A．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，6．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．7．△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==8．已知F1，F2为等轴双曲线C的焦点，点P在C上，|PF l|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可设双曲线方程为﹣=1，根据双曲线的定义，设|PF1|=2|PF2|=2m，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：由题意可设双曲线方程为﹣=1，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得m=2a，即为|PF1|=4a，|PF2|=2a，又双曲线C为等轴双曲线，|F1F2|=2c=2a，由余弦定理，可得cos∠F1PF2===．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A．28 B．24+6C．20+2D．16+6+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图画出原几何体，然后求出各面面积作和得答案．【解答】解：由三视图作出原图形如图，∵AC=5，PB=，则三棱锥P﹣ABC的表面积S==．故选：B．11．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．12．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥kx，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】绝对值不等式的解法．【分析】①当x≤0时，可得x2﹣2x≥kx，求得k的范围．②当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得k≤0．再把这两个k的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：由题意可得，①当x≤0时，|﹣x2+2x|≥kx恒成立，即x2﹣2x≥kx，即x2≥（k+2）x，∴x≤k+2，∴k+2≥0，k≥﹣2．②当x＞0时，ln（x+1）≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0．综上可得，k的取值为[﹣2，0]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣114．奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）= ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）为偶函数，得到f（4+x）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+8）=f（x），判断周期为8，再求函数值即可．【解答】解：∵奇函数f（x）定义域为R，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0∵f（x+2）为偶函数，∴f（x+2）=f（2﹣x），对称轴x=2，∴f（x）=f（4﹣x），即f（4+x）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+8）=f（x），周期为8，f（8）+f（9）=f（0）+f（1）=0+1=115．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a l=10，a2为整数，且S n≤S4，则公差d= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意，S n≤S4．可知a5≤0，且a4≥0，可得，解得d范围，又a1=10，a2为整数，可得d【解答】解：依题意，S n≤S4．可知a5≤0，且a4≥0，∴，解得﹣≤d≤﹣，又a1=10，a2为整数，∴d=﹣3，故答案为：﹣3．16．A、B、C、D为半径是2的球的球面上四点，已知|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体．【分析】根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ【解答】解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，∴BC=，∴△ABC外接圆半径2r=2，即r=1，∴S△ABC=×1×1×sin120°=，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ，在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即22=12+OQ2，∴OQ=，∴DQ=2+，∴最大值为S△ABC×DQ=（2+）=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．18．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD．（1）证明：平面PDA⊥平面PBA；（2）若AB=2，BC=，PA=PB，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求BD与平面PAD所成的角．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DA⊥侧面PAB，即可证明平面PDA⊥平面PBA；（2）设AB的中点为O，连接PO，则PO⊥AB，若AB=2，BC=，PA=PB，四棱锥P﹣ABCD 的体积为，可得△PAB是等边三角形，设PA中点为H，连接BH，DH，则BH⊥AP，确定∠BDH为BD与平面PAD所成的角，即可求BD与平面PAD所成的角．【解答】（1）证明：由已知DA⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴DA⊥侧面PAB，∵DA⊂平面PDA，∴平面PDA⊥平面PBA；（2）解：设AB的中点为O，连接PO，则PO⊥AB，∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD，∴V==，∴PO=，∴△PAB是等边三角形，设PA中点为H，连接BH，DH，则BH⊥AP由（1）平面PDA⊥平面PBA，∴BH⊥平面PDA，∴∠BDH为BD与平面PAD所成的角．在Rt△BHD中，BH=DH=，∴∠BDH=45°，∴BD与平面PAD所成的角为45°19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300=800X﹣39000，当X∈[130，150]时，T=500×130=65000，∴T=．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．20．设椭圆E1：=l（a＞b＞0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P 是E1上的动点，椭圆E2：=l（1）若椭圆E2上的点Q满足：，求λ的最小值；（2）设E1在P处的切线为l，l与E2交于A、B两点，当l的倾斜角为时，求三角形OAB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的几何性质可知a=，b=1，得出E1的方程，设P（x，y），则Q（λx，λy），代入E2方程得出λ关于x的函数，从而得出λ的最小值；（2）根据直线与E1相切得出直线l的方程，代入E2方程，得出|AB|，及O到AB的距离d，从而得出三角形OAB的面积．【解答】解：（1）由题意可知a2=2，b=c=1，∴椭圆E1的方程为．设P（x，y），则Q（λx，λy），∴λ2（）=1，又，∴，即．∴当x=0时，λmin=．（2）当l的倾斜角为时，设l的方程为y=x+m，联立方程组，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．∵直线与椭圆E1相切，∴△=16m2﹣24（m2﹣1）=0，∴m2=3．联立方程组，得5x2+8mx+4m2﹣8=0，即5x2+8mx+4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．∴|AB|==．原点到直线AB的距离d==．∴S△OAB===．21．设（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）设x＞0且x≠1，a＞，求证：af（x）＞x．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）＞0，判断f（x）为增函数；（2）由af（x）﹣x，构造函数h（x），利用导数判断a＞时函数的单调性与极值，从而证明当a＞，x＞0且x≠1时，af（x）＞x成立．【解答】解：（1）证明：由，得f′（x）==（2lnx﹣），（x＞0且x≠1）；设g（x）=2lnx﹣，则g′（x）=；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以g（x）＞g（1）=0，于是f′（x）=•g（x）＞0，故f（x）为增函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，所以g（x）＞g（1）=0，于是f′（x）=•g（x）＞0，故f（x）为增函数；综上，f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；（2）证明：由af（x）﹣x=﹣x=•[﹣lnx]，设h（x）=﹣lnx，（x＞0且x≠1），则h′（x）=；当a＞时，h′（x）=＞=≥0，则h（x）在（0，1）和（1，+∞）上是增函数；当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，且lnx＜0，所以af（x）﹣x=•h（x）＞0；当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，且lnx＞0，所以af（x）﹣x=•h（x）＞0；所以当a＞，x＞0且x≠1时，af（x）＞x．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x 的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x，＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得x＞3或x＜﹣1．故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组：或．即a≤x≤，或x≤﹣，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=2若要功夫深，铁杵磨成针！2016年10月12日。
陕西、湖北、山西部分学校2020届高三3月联考文数试卷含答案
/!*!&*$&0
,!!&
-!*! &
.!&
/!*&
"!如图所示的是某篮球运动员最近$场比赛所得分数的茎叶图#则该组数据的方
差是
,!&%
-!!%
.!&
/!"
! $!已知函数'$#%) #&#&*+#!####&$%%##则'$'$*!%%)
,!&
-!'
.!"
/!$
(!要得到函数%)&102$&#+(%的图象#只需将函数%)&341&# 的图象
,!'
-!&槡'
.!'槡&
/!&
!&!过双曲线(#&&*+%&&)!$(*+*%%右焦点 0& 的直线交两渐近线于 1#2 两点#+312)9%:#
3
为坐标原点#且)312
内切圆的半径为( #则该双曲线的离心率为 '
,!槡&
-!槡&$
.!槡!%
/!槡&!%
第卷
二填空题本大题共"小题每小题$分共&%分!把答案填在答题卡中的横线上!
3
高三数学试卷!第!' 页共"页文科
&%!$!&分% 椭圆5(#(&&++%&&)!$(*+*!%的左,右焦点分别为0!#0&#椭圆5 上两动点1#2 使得四边形 10!20& 为平行四边形#且平行四边形10!20& 的周长和最大面积分别为6和&槡'! $!%求椭圆5 的标准方程+ $&%设直线10& 与椭圆5 的另一交点为- #当点0! 在以线段1- 为直径的圆上时#求直线 10& 的方程!