2017年全国迎春杯小学中年级决赛A卷竞赛数学试卷
2017年全国数学竞赛真题AB卷
2017年全国数学竞赛真题AB卷2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时，)9(log )(2x x f ，则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足1cos 22y x ，则y x cos 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P中，1AB ，2AP ，过AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3A ，ABC 的面积为3，则AN AM 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足：20171010b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a 12，n n b b 21，则11b a 的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k,为实数，不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明：22ab .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x 的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1z ，0)Re(2z ，且2)R e()R e(2221z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z 的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC 中，AC AB ，I 为ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1，以I 为圆心，IB 为半径作圆2，过点I B,的圆3与1,2分别交于点Q P,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CRBR 二.设数列n a 定义为11a ，,2,1,,,,1n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173r a r 的正整数r 的个数. 三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 四.设n m,均是大于1的整数，n m，n a a a ,,,21是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ，使得x m m x a i )1(2，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，22a ，333a ，则1201172017a a a a 的值为.2.设复数z 满足91022z z i ，则||z 的值为. 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x 是奇函数，()2x f x 是偶函数，则(1)f 的值为. 4.在ABC 中，若sin 2sin A C ，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为. 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE ，4EF ，且EF 与平面BCD 平行，则DEF 的面积为. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为. 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a 的焦距为4，则a 的值为. 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ，则数组(,,)a bc 的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa 对所有[1,2]x 成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212nn n n b a a a ，1,2,n . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ，并且存在正整数,s t ，使得s t a b 是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x ，曲线222:(4)8C x y ，经过1C 上一点P作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR 的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ，令max{,,}d a b c ，证明：2(1)(1)(1)1a b c d 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N 分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m .三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC 的外接圆上弧BC 的中点，直线DA 与圆过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ，1220,,,{1,2,,10}b b b ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b ，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89解：数列{}n a 的公比为33232a qa ，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q . 2.答案：5解：设,,z a bi a b R ，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ，比较两边实虚部可得9101022a ab b ，解得：1,2a b ，故12z i ，进而||5z . 3.答案：74解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f ，1(1)2(1)2f f ，两式相加消去(1)f ，可知：12(1)32f ，即7(1)4f . 4.答案：24解：由正弦定理知，sin 2sin aA cC ，又2b ac ，于是::2:2:1a b c ，从而由余弦定理得：222222(2)122cos 24221b c aA bc . 5.答案：233解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ，7AD AB AE BE .由余弦定理得，222cos60DE AD AE AD AE 49162837，同理有37DF . 作等腰DEF 底边EF 上的高DH ，则122EH EF ，故2233DH DE EH ，于是12332DEF S EF DH .6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C 种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况，（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)，(0,1)的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830，进而所求概率为3058414.7.答案：1172解：二次曲线方程可写成2221xy a a ，显然必须0a ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22221()()yx a a ，则2222()()c a a a a ，注意到焦距24c ，可知24a a ，又0a ，所以1172a .8.答案：574解：由条件知2017[]21000c ，当1c 时，有1020b ，对于每个这样的正整数b ，由10201b a 知，相应的a 的个数为20210b ，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b ，当2c时，由201720[]100b ，知，20b ，进而2017200[]20110a ，故200,201a ，此时共有2组(,,)a b c .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.9.解：设2x t ，则[2,4]t ，于是|||5|t a t 对所有[2,4]t 成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t ，(25)(5)0t a a ，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a ，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ，因此()0f t 等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a ，解得35a 所以实数a 的取值范围是35a .10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a 23111()()()n nn n n n n a a a a a a a 212()n n n a d a a d 221(2)3n n n a a a d d 所以数列{}n b 也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d ，因为0d，故13d ，这样2212()(2)n n nn n n n b a a a a d a d a 22329n nda d a 若正整数,s t 满足st a b Z ，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d 122239s t a Z . 记122239s t l a ，则l Z ，且1183(31)1a l s t 是一个非零的整数，故1|18|1a ，从而11||18a . 又当1118a 时，有1311711818a b Z ，综上所述，1||a 的最小值为118.11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22yx t t ，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t ，化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t ①，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式为正，计算得，222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t。
2017年迎春杯五年级竞赛决赛数学试卷二试(答案解析)
解析 Ａ、Ａ＋１、Ｂ、Ｂ＋１均不为质数；也不能是质数的ｎ次方．所以，Ｂ只能是１４．（Ｂ为６、１０
时，Ｂ＋１都是质数），此时Ｂ＋１为１５，Ｂ（Ｂ＋１）含有质因数２、３、５、７；最小符合条件的Ａ
为２０，所以，Ａ＋ Ｂ最小值为３４ ．
在空格里填入数字１～６，使得每行、每列和每宫数字都不重复，每个灰格里的数，在它周
解答
如图，０为三角形ＡＢＣ内一点．三角形ＯＡＣ、三角形ＯＡＢ、三角形ＯＢＣ的面积分别为３０、
６０、１２０ ．如果ＡＤ＝ １．５ＤＢ，ＡＥ＝２ＥＣ，求∶
（１） ＯＭ： ＭＢ．
（２）三角形ＯＭＮ的面积 ．
学而思培优
（１） １：２．
（２） １６．
（１）方法一∶延长ＢＯ交ＡＣ于Ｋ，
由左图得，ＢＯ∶ＯＫ＝６０∶１０＝６∶１，ＢＯ＝号ＢＫ；
学而思培优
２０１７年迎春杯五年级竞赛决赛数学试卷二试
填空 将一个正四面体的６条棱中的３条染成黑色，另外３条染成白色，有＿种不同的染色方
法．（旋转后相同的染色方法视为同一种染色方法）
如果两个正整数Ａ和ຫໍສະໝຸດ 满足以下条件 ∶①Ａ（Ａ＋ １）是Ｂ（Ｂ＋ １）的倍数； ②Ａ和（Ａ＋ １）都不是Ｂ或者（Ｂ＋ １）的倍数； 那么，Ａ＋ Ｂ的最小值是＿
店的编号居然还是ａ２，此时，甲刚好走到一个编号为三位完全平方数的加油站．
那么，ＡＢ两地相距多少千米 ？
８４０．
从出发到甲、丙相遇为第一阶段，从甲丙相遇到乙、丙相遇为第二阶段，乙第一阶段走了５２
，第二阶段走了７２，所以∶
ｔ：ｔａ＝５：２，
８，８，＝１∶（号×台
｛（Ｐ－１）＝ｂ－１，可得Ｐ＝９７，Ｂ２＝ １２１； （Ｓ－５Ｐ＋５ｄ）： ｓ＝５：２
号加油站开始，依次是１号、２号、３号……；每隔７千米，有一个便利店，从Ａ地的１号便利
2017年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版,含答案)
D．4．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab 6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c 4 ， b 3 时可得 c 5 （不是整数）； 2
若 a ＝1，则 bc 2(1 b c) ，于是可得 (b 2)(c 2) 6 ，可求得 (a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页）
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 BAD ACB 180，且 BC 3，AD 4 ，
（2）以 a 2,b 3,c 4 为边长可以构成三角形，但以 a2 4,b2 9,c2 16 为边长的三角形不存在；
（3）因为 a b c ，所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ，故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（a b 1）（b c 1）=a c 11 a c 1 | c a | 1 ，故
2
4
2
设 m 是最接近 n 的整数，则| m n | 1 ， m 1. 2
易知：当 m 1时，| m n | 1 (m 1)2 n (m 1)2 m2 m 1 n m2 m 1 .
2017迎春杯小高A卷解答
a ≥ 12
．综上所述，如果有连续的四个数，这四个数两边都要大于12 ．
如果这一列有6 个数a ，b ，c ，d ，e ，f ：观察前4 个，那么a ≥ 12 ，d ≥ 12 ；观察中间4 个，那么b ≥ 12 ，
e ≥ 12
；观察后4 个，那么c ≥ 12 ，f ≥ 12 ．所以a + b + c ≥ 12 ，与三个数之和小于30 矛盾．所以这列数的个
94
设第一局中国队得a 分，第四局中国队得b 分，根据题意有：
b − a = 12% × (b + 25) = 8% × (b + 50)
，解得b = 25 ，a = 19 ．
所以，四局得分总和19 + 25 + 25 + 25 = 94 分．
4. 右面两个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字， 那么四位数“李白杜甫”
9 M DC
7
量大，那么三角形 为42 ×
7 2 = 147
的面积应尽量大，三角形
M DC
面积最大为44 − 2 = 42 ，这时四边形ABCD 的面积
．
11. 有一列正整数，其中第1 个数是1 ，第2 个数是1 、2 的最小公倍数，第3 个数是1 、2 、3 的最小公倍数，……，第n 个数是1 、2 、……、n 的最小公倍数，那么这列数前100 个数中共有 答案 解析 个不同的值．
n
因为6N = 2 因为
N ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = 2
a+1
×3
b+1
×p
n 1
1
×. . .
是完全立方数，所以3 |a + 1 ，且3 |b + 1 ． 是完全平方数，所以3 |a − 1 ，且3 |b − 1 ．
2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷(小中组A卷)
2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小中组A卷）一、解答题（共11小题，满分0分）1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是．2．在横式×+C×D=2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么代表的两位数是．3．如图中共有个平行四边形．4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔只．（注：蜘蛛有8只脚）5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差．6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15=4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是．7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有名同学．8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了只羊．9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；B：我与其余4人在这个月都一起值过班；C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是．（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为平方厘米．11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有种不同的走法．2017年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分0分）1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是3434 ．【分析】根据乘法的分配律简算即可．【解答】解：67×67﹣34×34+67+34=67×（67+1）﹣34×34+34=67×2×34﹣34×34+34=101×34=3434故答案为：3434．【点评】此题重点考查了学生对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法．2．在横式×+C×D=2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么代表的两位数是14 ．【分析】由于0＜C×D＜100，所以1900＜×＜2017，根据130×13=1690，140×14=1960，150×15=2250，即可得出结论．【解答】解：由于0＜C×D＜100，所以1900＜×＜2017，因为130×13=1690，140×14=1960，150×15=2250，所以=14，进一步可得C×（14+D）=57，C=3，D=5．故答案为14．【点评】本题考查位值原则，考查学生的计算能力，确定1900＜×＜2017是关键．3．如图中共有15 个平行四边形．【分析】把图中的平行四边形分三类计数：①单个的（红色）；②两个组成的（蓝色）；③6部分组成的（黄色）．【解答】解：根据分析可得，①单个的（红色）有：4个；②两个组成的（蓝色）有8个；③6部分组成的（黄色）有：3个；共有：4+8+3=15（个）；答：图中共有 15个平行四边形．故答案为：15．【点评】本题要注意按顺序分类计数，防止遗漏．4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔40 只．（注：蜘蛛有8只脚）【分析】每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，由此要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，从而可得原有动物共5份，即可得出结论．【解答】解：每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，由此要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，把增加的蜘蛛当作1份，那么原蜘蛛数量也是1份，走了的兔子数量是2份，原有兔子数量为4份，则原有动物共5份，是50只，1份有10只，所以原有兔子4×10=40只．故答案为40．【点评】本题考查差倍问题，考查学生转化问题的能力，确定要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍是关键．5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差9900 ．【分析】将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并后的四位数列和与原数列的和相差所有奇数项的和的99倍，即可得出结论．【解答】解：设这个等差数列的奇数项分别为a1，a3，a5，…，公差为d，那么将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并后的四位数列可以表示为a1×100+a1+d，a2×100+a2+d，…，所以新数列的和与原数列的和相差99×（a1+a3+a5+…），由于奇数项的和为100，所以99×（a1+a3+a5+…）=99×100=9900，故答案为9900．【点评】本题考查等差数列，考查学生的计算能力，确定合并后的四位数列和与原数列的和相差所有奇数项的和的99倍是关键．6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15=4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是13 ．【分析】骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面，在1～15中，点数1～6显然可以看到，7～15进行分拆，即可得出结论．【解答】解：骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面，在1～15中，点数1～6显然可以看到，7=1+2+7，8=6+2，9=6+3，10=6+4，11=6+5，12=6+2+4，14=6+5+3，15=4+5+6，13无法拆出，即在1～15中，不可能看到的点数和是13．故答案为13．【点评】本题考查筛选与枚举，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面．7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有7 名同学．【分析】由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．进而推出总共放下的棋子个数应该为等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得1+2+4+8+16+32=63，满足条件，则共有63÷9=7名同学．【解答】解：由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．第一轮只能在最中间放1枚棋子，此时将格子分为前半部分和后半部分，那么第二轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放2枚，此时将格子分成了4，第三轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放4枚，以此类推，总共放下的棋子个数应该为等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得1+2+4+8+16+32=63，满足条件，则共有63÷9=7名同学，棋子分布依次为：1，651，33，651，17，33，49，651，9，17，25，33，41，49，57，65，…故答案为7．【点评】本题考查找规律，考查枚举与筛选，解题的关键是若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了10 只羊．【分析】如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，两次变化都是两只山羊的价钱，变化的总价格应该相等，即可得出结论．【解答】解：假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元，买2只山羊，每只羊的平均价格会增加60元，总价格增加60x+2（a+60）元；少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，总价格减少90x+2（a﹣90）元，两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，所以60x+2（a+60）=90x+2（a﹣90），解得x=10，故答案为10．【点评】本题考查等量关系与方程，考查学生分析解决问题的能力，正确建立等量关系是关键．9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；B：我与其余4人在这个月都一起值过班；C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是41016 ．（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）【分析】画出12月份值班表，分析A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16，即可得出结论．【解答】解：12月份值班表如下：由E说的话可知，25日A和E都值班，又由D的话可知D和E永远在一起，那么可以判断5日这一竖列值班人为A，D，E．由C的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D，E中必须有一个，又因为D，E在一起，所以3日这一竖列，D，E都值班．通过A的话判断，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么1那一列必须是C，D，E值班，每天都要有3人值班，D，E现在已经排满，因此第1，4列为A，B，C值班．还剩第3列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B．A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16，故五位数为41016．故答案为41016．【点评】本题考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16是关键．10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为84 平方厘米．【分析】如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半，即可得出结论．【解答】解：如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半为12×4÷2=24平方厘米，那么△ABC面积为3×24+12=84平方厘米．故答案为84．【点评】本题考查面积的计算，考查补形方法的运用，正确补形是关键．11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有1476 种不同的走法．【分析】考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对，分别求出各种情况的不同的走法，即可得出结论．【解答】解：考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对．相邻：如1与2，那么下一步都顺时针走，可变为2与3，都逆时针走，变为6与1，一个顺时针，一个逆时针变为2与1或6与3，都有3种可能相邻，1种可能相对；相隔：如1与3，那么下一步可能变为2与4，6与2，6与4，都有3种可能相邻；相对：如1与4，那么下一步可能变为2与3，6与5，6与3，2与5，即有2种相邻的可能和2种相对的可能．假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为2或6，那么3次之后不相遇的走法有2×（27+9+6+6+6+2+4+4）=128种相隔⇌3相隔⇌9相隔⇌27相隔．假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为3或5，那么3次之后不相遇的走法有2×27=54种，假设警察初始房间为1，小偷与其相对为4，那么3次之后不相遇的走法有18+6+4+4+12+4+8+8=64种，综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128+54+64+246种，那么警察初始位置还能选择2～6，因此共有246×6=1476种走法．故答案为1476．【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．。
第1-29届历届小学“迎春杯”真题word版
目录第1届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题... .............................................................. . 1 第2届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 5 第3届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 8 第4届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 10 第5届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 11 第6届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 13 第7届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 16 第8届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 18 第9届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 20 第10 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (23)第11 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... ........................................................... (25)第11 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ........................................................... (27)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (29)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (31)第13 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (33)第13 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (35)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (37)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (39)第15 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (41)第15 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (43)第16 届“迎春杯”数学科普活动日区县邀请赛试题... .................................. (45)第17 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 47 第18 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 50 第19 届“迎春杯”数学科普活动日计机交流试题... ....................................... . 52 第19 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 54 第20 届“迎春杯”数学科普活动日试题... ....................................................... .. 55 第21 届“迎春杯”数学科普活动日解题能力展示初赛试题... ...................... (57)第21 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动复试计算机交流试题... (58)第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级初试试题... ..... .. 60 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级复试试题... ..... .. 62 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 64第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 66第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级初试试题... .............. . 69第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 71第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 73第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 75第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 77第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 79第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 81第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 83第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 85第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 88第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 90第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 92第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 94第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 96第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 98第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 100 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 102 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 104 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 106 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... ........... .. 108 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... ........... .. 110 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 112 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 114 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 116 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 118第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 122 第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 124 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 126 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 128 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 130 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 132 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 134 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 136 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 138 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 140 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 141 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 143 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 144 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 145第 1 届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题1．天安门广场是世界上最大的广场，面积约44万平方米，合____亩。
北京市迎春杯小学数学竞赛决赛历年试题全集（下）
北京市迎春杯小学数学竞赛决赛历年试题全集（下）迎春杯历年试题全集（下）目录北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (3)北京市第12届迎春杯决赛试题 (5)北京市第13届迎春杯决赛试题 (7)北京市第14届迎春杯决赛试题 (9)北京市第15届迎春杯决赛试题 (11)北京市第16届迎春杯小学数学竞赛预赛试题 (13)北京市第17届迎春杯科普活动日队际交流邀请赛试题 (14)北京市第18届迎春杯决赛试题 (17)北京市第19届迎春杯数学科普活动日计算机交流题 (19)北京市第20届迎春杯小学生竞赛试题 (21)北京市第21届迎春杯小学数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷 (23)北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题1.计算：0.625×（＋）＋÷―2.计算：[（－×）－÷3.6]÷3.某单位举行迎春茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩下的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。
那么原来每箱苹果重________千克。
4.游泳池有甲、乙、丙三个注水管。
如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池。
那么，单开丙管需要________小时注满水池。
5.如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形。
其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个。
那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有________个。
6.如图，点D、E、F与点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。
那么，阴影部分的面积与三角形ABC的面积比是。
7.五个小朋友A、B、C、D、E围坐一圈（如下图）。
老师分别给A、B、C、D、E发2、4、6、8、10个球。
然后，从A开始，按顺时针方向顺序做游戏：如果左邻小朋友的球的个数比自己少，则送给左邻小朋友2个球；如果左邻小朋友的球的个数比自己多或者同样多，就不送了。
2017年全国迎春杯小学中年级决赛A卷竞赛数学试卷(解析)
价格减少90x + 2(a − 90) 元，两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，那么
，解得 ． 60x + 2(a + 60) = 90x + 2(a − 90)
x = 10
9. 现有A、B、C 、D、E 五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班3天，每天恰有3位安保值班，每位安保值班安排5天
E ：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在1 2 月份中第2 次、第6 次、第1 0 次值班日期顺次排列组成的五位数是
．
（如A第2次、第6次、第10次值班分别在12月3、12、17日，则答案为31217 ）
答案
41016
解 析 12月份值班表如下：
由E 说的话可知，2 日 5 A 和E 都值班，又由D的话可知D和E 永远在一起，那么可以判断5日这一竖列值班人为 A ，D和E ． 由C 的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D和E 中必须有一个，又因 为D和E 一起，所以3日这一竖列，D和E 都值班． 通过A 的话判断，A 和B 在周末值班的日子比C ，D和E 多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2 ．每人都要在三列中值班，若要A 和B 比其他人多，那么1那一列必须是C ，D和E 值班． 每天都要有3人值班，D和E 现在已经排满，因此第1列，第4列为A ，B 和C 值班． 还剩第3列没有排完，B 要跟每个人都搭配过，因此此处为B ． A 在12月份中第2 次、第6 次、第10次值班日期日期依次为4 ，10，16，五位数为41016．
得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有
名同学．
答案 7
解 析 由题意可知，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，刖无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放 上棋子，每次放完相邻两棋子间空格教应为奇教．第一轮只能在最中间放1 枚棋子，此时将格子分为了前半
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A
：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3 人都多； ：我与其余4 人在这个月都一起值过班； ：12 月3 日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙了，可惜不算值班； ：E 每次都和我安排在一起； ：圣诞节（12 月25 日）那天我和A都值班了． ．
B
C
D
E
那么，安保A在12 月份中第2 次、第6 次、第10 次值班日期顺次排列组成的五位数是 （如A第2 次、第6 次、第10 次值班分别在12 月3 、12 、17 日，则答案为31217 ）
10. 下图中每个小正三角形的面积是12 平方厘米，那么大正三角形的面积为
平方厘米．
11. 如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警 察从所在房间沿着地上通道转移到相邻的房间；同时小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移 了3 次都没有在任何房间相遇，那么，他们有 种不同的走法．
AB
代表的两位数是
．
3. 右图中共有
个平行四边形．
4. 小兔与蜘蛛共50 名学员参加舞蹈训练营，一段时间后，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既 没有增加也没有减少，那么原有小兔 只．（注：蜘蛛有8 只脚）
5. 一组由两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100 ，若从第1 项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改 变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差_____．
6. 最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6 个面上分别有1 到6 个点，其相对两面点数的和都等于7 ．现在从空间一点看一 个般子，能看到的所有点数之和最小是1 ，最大是15 （15 是 ．
= 4 + 5 + 6
），那么在1 ～15 中，不可能看到的点数和
7. 一排格子不到100 个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且 都必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第3 格、第7 格中有棋子，第4 、5 、6 格中没棋子，则可以在第5 格中 放一枚棋子；但第4 格、第7 格中有棋子，第5 、6 格没棋子，则第5 、6 格都不能放）．这几名同学每人都放了9 次棋子，使 得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有 名同学．
2017年全国迎春杯小学中年级决赛A卷竞赛数学试卷
1. 算式67 × 67 − 34 × 34 + 67 + 34 的计算结果是
．
2. 在横式ABC
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
× AB + C × D = 2017
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
中，相同的字母代表相同的数字 ，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么
8. 蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2 只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60 元，如果她少买2 只山羊，那么每只羊的 平均价格会减少90 元．蕾蕾一共买了 只羊．
Байду номын сангаас
9. 现有A、B、C 、D、E 五名诚实的安保在2016 年12 月1 日～5 日各值班3 天，每天恰有3 位安保值班，每位安保值班安排5 天 一循环．今天（2017 年1 月1 日周日），关于他们在上个月的值班情况，5 人进行了如下对话：