3.1不等关系与不等式(二)
高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案
3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。
让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。
2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。
二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。
2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。
3. a 与b 的和是非负数。
4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。
某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_1。3。1_不等式的性质教学设计(2)
第一章预备知识第3节不等式3.1不等式的性质与相等关系一样，不等关系是数学中最基本的数量关系，作为预备知识，掌握好不等关系和不等式的基本性质，是证明和求解不等式的基础，是解决二次函数和二次不等式问题的前提，通过不等关系和不等式性质的学习，有助于提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力，同时为培养学生数学建模能力奠定基础。
(1)知识目标：掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
(2)核心素养目标：通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。
（1）作差法比较两个实数（代数式）的大小；（2）不等式的基本性质；（3）熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明。
多媒体课件一、复习引入一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然。
这个对话里面包含了什么数学知识呢？提示：两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等。
思考讨论：高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？提示：车速为v，行车道上的车速应该满足100km/ℎ≤v≤120km/ℎ.二、新知识在生活中，有很多数量关系的问题，它们既有相等关系，又有不等关系。
在数学中，用不等式来表示不等关系。
1、实数大小的比较两个实数a,b，如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么a<b.即注意：①这种比较实数大小的方法叫作“作差法”，另外在数轴上可以更加直观的看出两个实数的大小；②比较两个代数式的大小，基本方法也是“作差法”，作差后的结果一般要进行因式分解或配方，然后与0相比较。
如：已知实数a，试比较a2+2与2a的大小.a2+2−2a=a2−2a+1+1=(a−1)2+1>0 ∴a2+2>2a例1.试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.解：作差比较，(x+1)(x+5)−(x+3)2=(x2+6x+5)−(x2+6x+9)=−4<0∴(x+1)(x+5)<(x+3)2例2.试证明：若0<a<b，m>0，则a+mb+m >ab.证明：作差比较，a+mb+m −ab=b(a+m)−a(b+m)b(b+m)=m(b−a)b(b+m)a−b>0⇔a>b a−b=0⇔a=b a−b<0⇔a<b因为a <b ，所以b −a >0，又因a >0,b >0,m >0，所以m(b−a)b (b+m )>0∴a +mb +m >ab2、不等式的基本性质性质 内容备注性质1 如果a >b ，且b >c ，那么a >c 传递性性质2 如果a >b ，那么a +c >b +c 加（减）乘（除）运算性质3如果a >b ，c >0，那么ac >bc如果a >b ，c <0，那么ac <bc性质4 如果a >b ，c >d ，那么a +c >b +d 同向不等式相加 性质5如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd如果a >b >0，c <d <0，那么ac <bd不等式相乘注意：①以上性质均可以利用“作差法”给出证明，下面以性质4为例给出证明，其它，请同学们自行完成.性质4的证明：(a +c )−(b +d )=(a −b )+(c −d)因为a >b ，c >d ，有a −b >0，c −d >0，所以有(a −b )+(c −d )>0 得a +c >b +d②根据性质5，可以得出不等式乘方（开方）的运算性质.即：如果a >b >0，n ∈N +，那么a n >b n如果a >b >0，n ∈N +，那么√a n>√b n③不等式的变形、运算等，务必根据性质进行，避免错误. 如：如果a >b ，那么1a<1b ，对吗？提示：不正确，要由a >b 得到1a <1b ，应该将不等式两边同乘以1ab ，但条件并没有给出ab 的正负，所以结论错误例3. (1)已知a >b ，ab >0，求证：1a <1b ；(2)已知a >b ，c <d ，求证：a −c >b −d .证明：(1)因ab>0，则1ab >0，由不等式的性质3，a·1ab>b·1ab，得1a<1b.(2)因c<d. 由不等式的性质3，−c>−d再由a>b，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得a−c>b−d思考讨论(综合练习)：(1)已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2；(2)已知2≤x≤4，1≤y≤2，求x−2y的范围；(3)已知1≤a−b≤2，2≤a+b≤3，求2a−4b的范围.提示：(1)作差，(a3+b3)−(a2b+ab2)=(a3−a2b)+(b3−ab2)=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)2(a+b)因a>0，b>0，(a−b)2≥0，所以(a−b)2(a+b)≥0得a3+b3≥a2b+ab2.(2)由 1≤y≤2得−4≤−2y≤−2，与2≤x≤4不等式相加得−2≤x−2y≤2即x−2y∈[−2,2].(3)设a−b=x,a+b=y，则1≤x≤2, 2≤y≤3，且a=x+y2,b=y−x2所以2a−4b=2·x+y2−4·y−x2=3x−y，与上(2)小题一样得2a−4b∈[0,4].三、课堂练习教材P26，练习1～6.四、课后作业教材P30，习题1-3，A组1～5(1)“作差法”比较大小，是证明不等式的基础，另外还可以采用“作商法”，即如果a>0，b>0，则ba>1⇔b>a；(2)不等式的基本性质是不等式变形、化简、证明的基础，不仅要熟练运用基本性质，还要特别注意性质中的条件.。
人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。
3.1不等关系与不等式(两课时)
500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话， 用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d
B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得 当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5： 如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性
不等关系与不等式(二)
若要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差， 即做差比较法.
不等式的基本性质
1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等 号的方向不改变. 2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不 等号的方向不改变.
3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变.
性质1 如果 a b; 那么 果 b a ,那么 a b.即
b a;如
（自反性）
a b b a.
证明：
a b, a b 0;
( a b) 0
于是
即
ba 0 b a.
（传递性）
性质2 如果a b, b c, 那么a c.
即
a b, b c a c.
a b, a b 0 b c, b c 0
说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是 正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式 同向.
性质7
（正数不等式可乘方）
n n
如果a b 0, 那么a b , (n N , n 2).
证明：由于a>b>0, 根据性质6，自乘得；
aa>bb
显然 a2>b2>0, 继续用性质6，可得 a3>b3.
1 证明： a b 0, ab 0, 0. ab
于是即Leabharlann a1 1 b , ab ab 1 1 . b a
由c 0, 得
c c . a b
课本第74页练习第3题.
1、由实数性质到不等式性质的探究，理解不等 式性质并能灵活运用。 2、作差比较法的步骤是： （1）作差；
（2）变形：配方、因式分解、通分、分母（分子） 有理化等； （3）判断符号；
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3.1不等关系与不等式(2)
布置作业 一.结合创新设计阅读课本P72至P75; 二.作业本
P36§3.1不等关系与不等式(二)
个人收集整理，仅供交流学习！
个人收集整理，仅供交流学习！
B.c(b a) 0
C.cb2 <ab2
D.ac(a c) 0
二、利用不等式性质证明不等式
例2:已知a>b>0, c<0
求证：c a
>
c b
练习:已知a>b>0,d<c&l不等式性质确定取值范围
例3.已知二次函数f (x) ax2 -c， 且-4 f (1) 1，1 f (2) 5， 求f (3)的取值范围.
性质1.如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么
a>b．即 a>b b<a (对称性)
性质2.如果a>b，且b>c，那么a>c．
即 a>b，b>c a>c (传递性)
性质3.如果a>b，那么a+c>b+c．(可加性)
a>b a+c>b+c
推论.如果a+b>c，那么a>c-b(移项法则)
§3.1.2不等关系 与不等式
试一试.已知a>b,比较1/a 与1/b 的大小.
a b ab0 问题1、如何利用公理: a b a b 0 及实数的运算性质， a b a b 0 得出不等式的性质？
问题2、不等式的哪些性质可推广， 如何推广？证明？
不等式的性质
性质8.若 a b 0,则n a n b (n N且n 1)
点评：反证法证题思路是： 反设结论→找出矛盾→肯定结论．
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(5) a b, c 0 ac bc ;
a b, c 0 ac bc
(6) a b 0, c d 0 ac bd
(7) a b 0, n N , n 1
a b , a
n n n n
*
b
(8) a b 0 a b 0 a0b
3 成立的有________个.
练习:
5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式 成立的是 ( C )
A. C. 1 a a c 1
2
1 b b c 1
2
B. a b
2
2
D. a c b c
练习:
6. 若、 满足 的取值范围是(
2
2
, 则
A. b a C. a b1 a 1 1 b b 1 a B. a D. 1 a 2a b a 2b a b b 1 b
练习:
4. 有以下四个条件： (1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b； (3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.
其中能使
1 a
1 b
1 b 1 b 1 a
1 a 1 a
0 0 1 b
0
讲解范例:
c c 例1. 已知 a b 0, c 0, 求证： . a b
讲解范例:
例2. 如果30＜x＜42，16＜y＜24，
求x＋y，x－2y及
x y
的取值范围.
讲解范例:
例3. 已知
2
2
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一 个正数，不等号的方向不变.
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一 个负数，不等号的方向改变.
数学含义 (1) 若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
(2) 若a＞b，c＞0，则ac＞bc，
2
，求
2
,
的取值范围 .
练习:
1. 教材P.74练习第3题.
2. 回答下列问题：
(1)如果a＞b, c＞d, 是否可以推出ac＞bd?
举例说明；
(2)如果a＞b, c＜d, 且c≠0, d≠0, 是否可 以推出 a b ?举例说明.
c d
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的 是 (C )
B )
B. 0 D.
A. C.
2
2
2
0
课堂小结
不等式的性质及其证明，利用 不等式的基本性质证明不等式.
课后作业
习题3.1 A组3，B组1.（3）（4），2
3.1 不等关系与 不等式(二)
复习引入
1. 等式有哪些基本性质? 答： 等式的两边都加上，或都减去，或 都乘以，或都除以（除数不为零）同一 个数，所得到的仍是等式. 2. 如果在不等式的两边都加上，或都减去， 或都乘以，或都除以（除数不为零）同一 个数，结果会不会变呢？
3. 初中我们学过的不等式的基本性质是 什么?
c
a
b c b c
;
(3) 若a＞b，c＜0，则ac＜bc，
c
a
.Байду номын сангаас
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(1) a b b a
( 2 ) a b, b c a c ( 3) a b a c b c
(4) a b, c d a +c b+d