不等关系与不等式(一)
3.1不等关系与不等式(一)
生活中的不等关系：
实例1：某天的天气预报报道，最高气温 32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B， 若点A在点B的左边，则xA< xB. 实例3：若一个数是非负数，则这个数大 于或等于零.
生活中的不等关系：
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边. 实例6：限速 40 km/h 的路标，指示司机 在前方路段行驶时，应使汽车速度 v 不超 过 40 km/h.
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
或 2.5 0.1n 8 0.2n 20
比较两种表示
例3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm两种，按照生产的 要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关 系的不等式呢？
3.1 不等关系与 不等式(一)
思考1：
回忆初中学过的不等式，比较“不 等关系”与“不等式”有何异同.
不等关系强调的是关系.用符号“<” “>” “≤” “≥ ”和“≠”表示. 不等式就是用不等号将两个代数式连结起 来所成的式子.如﹣7 <﹣5，3 + 4 > 1 + 4， 2x ≤ 6，a + 2 ≥ 0，3 ≠ 4，0 ≤ 5 等.
生活中的不等关系：
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸 奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%蛋白质 的含量 p 应不少于2.3%.
思考2：
如何用我们学过的知识来表示 这些不等关系？
应用示例
例1 设点A与平面的距离为d，B为 平面上的任意一点，则d ≤ |AB|.
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本.根据市场调若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若 把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
不等式关系与不等式
不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。
2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。
不等关系与不等式(第一课时)教案
3．1 不等关系与不等式（第一课时）大冶一中柯尊胜一、教学目标（1）通过实例，明确不等量关系的存在．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．（2）学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；在实际问题中抽象出不等关系，培养学生的抽象思维能力，正确运用数学语言的表述能力；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二．教学的重点与难点重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值．理解不等式的基本性质，并能用以解决简单的数学问题。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系．三、教学方法以广泛的相关事例为指导，辅以信息技术手段，采用问题式引导探究，并与讲解演练相结合，在实例中抽象，在抽象中提升。
四、教学基本流程创设情景，由实例引入新课用不等式表示不等关系不等式的基本性质及简单应用小结，用不等式表示不等关系、不等式基本性质五、教学过程实际问题中的不等关系引例1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；引例2 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：．引例3 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2．5%，蛋白质的含量p应不少于2．3%，用不等式可以表示为________．几何中的不等关系1、两点间直线段最短。
2、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。
3. 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与两点的距离|AB|是什么关系？实数的基本不等关系1、正数大于零、负数小于零；2、非负数大于或小于零、非正数不大于零；3、实数的平方不小于零，实数的绝对值大于或等于零；4、“同号积为正，异号积为负。
第一章不等关系与基本不等式 (1)
D.ad与bc大小不定源自②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|. 若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为( ) A. C. B. D.
解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，即|f(x)|<x， 取y＝1则|f(x)－f(1)|<|x－1|， 即|f(x)|<(1－x).∴|f(x)|＋|f(x)|<x＋－x＝，∴|f(x)|<.不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)<，0 ≤f(y)<，∴|f(x)－f(y)|<－0＝， 要使|f(x)－f(y)|<k恒成立，只需k≥. ∴k的最小值为. 答案 B 二、填空题 6.已知－2≤a≤3，－3<b<4，则a－|b|的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b<4，∴0≤|b|<4，－4<－|b|≤0， 又－2≤a≤3，∴－6<a－|b|≤3. 答案 (－6，3] 7.x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________. 解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意
解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点 进而求a. (1)当－1≤－，即a≤2时， f (x )＝ 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3. 所以a＝－4. (2)当－1>－，即a>2时， f (x )＝ 易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，故a＝8.综上a＝－4或8. 答案 D 3.如果存在实数x，使cos ±＝＋成立，那么实数x的集合是( ) A.{－1，1} C.{x|x>0，或x＝－1} 解析 由|cos ±|≤1，所以≤1. 又＝＋≥1. ∴＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1. 答案 A 4.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|＜|b－c|，则( ) A.ad＝bc B.ad<bc B.{x|x<0，或x＝1} D.{x|x≤－1，或x≥1}
3.1不等关系与不等式(1)导学案
3.1《不等关系与不等式》（1）【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m”；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，表示为 40(4) 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示为问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（1）根据题意，提价前杂志的定价为元,提价后杂志的定价为元，因此提高了元；（2）由（1）可知，价格提高了0.1元的倍，即个0.1元；（3）由（2）可知，销售量减少了2000本的倍，即本，因此，提价后的销售量为本；（4）提价后的销售总收入=销售量单价，因此可表示为，不低于用表示，所以可得到不等式为知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题3：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p 的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题4：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种。
§3.1.1不等关系与不等式(一)
浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明 成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两 实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元， 销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的 定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍 不低于20万元呢？ 分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生 小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用 问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这 笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若 每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多 少元？ 分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：
不等关系与不等式(一)
解: ∵ (a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4)
2 2
作差
= ( a 2a 15) (a 2a 8) 变形 = 7 ∴ (a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4) <0 定符号 0 ∴ ( a + 3)( a 5) < (a + 2)(a 4) 确定大小
这是一个解不等式的问题
3
问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不 两种，按照生产的要求， 应怎样截更好? 能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好
分析: 500mm 的钢管 x 根， 600mm 的钢管 y 根. 分析:假设截得 500 截得 600 根据题意，应有如下的不等关系： 根据题意，应有如下的不等关系： 4000mm； ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000 ； 600mm 钢管的数量不能超过 500 500mm 钢管数量的 3 倍； ⑵截得 600 解得两钟钢管的数量都不能为负。 ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
这个数学问题又怎么解决? ?
分析: 分析:若杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为 x2 × 0.5 x 万元。那么不等关系“销售的 万元。那么不等关系“ 10 0.2 元” 总 收入 大于 22.4 万 元 ” 可以表 示为不等式 x2 × 0.5 x >22.4 22.4 10 0.2
不等关系与不等式( 不等关系与不等式(一)
很早以前， 古希腊的一名哲学家就 很早以前， 古希腊的一名 曾经说过： 曾经说过： 世界上没有两片完全相同 “ 的树叶”,不等关系是普遍存在的. 的树叶” 不等关系是普遍存在的.
不等关系与不等式以及基本不等式
`第1讲不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：b a＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：a b＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a ＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③C．③④D．①④2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h3．(2012·质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d5.12－1与3＋1的大小关系为________．考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b考向二 不等式的性质【例2】►(2012·模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值围． 【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值围．考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用． 一、作差法【示例】►(2011·)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x) B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定\三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a第4讲基本不等式【2013年高考会这样考】1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值围是________．【训练3】 (2011·模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】(2011·六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．【试一试】(2010·)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()．A．1 B．2 C．3 D．4。
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（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m” h 4 ；
2．用不等号“ ”或“ ”填空：
（1）a b,c d a c > b d
（2）a b 0,c d 0 ac < bd
（3）a b 0 3 a > 3 b
（4）a b 0
(x 1)2 ( y 1)2 1 0
x2 y2 1 2(x y 1)
课堂小结：
1.不等式的8条性质；
2.判断两个数大小，常用方法： ①特殊值法（否定）； ②比较法； ③不等式性质； ④函数的单调性。
3.“比较法”证明不等式的步骤 :
①作 差
②变形 ③定号 ④下结论
A.
11 ab
B.
1 ab
1 a
C．|a|<|b| D. a2 b2
2.若 a,b R, a b 则（ D ）
A.
a2
b2
b
B. a
1
C. lg(a b) 0
(1)a (1)b
D. 2
2
3．比较 x2 y2 1 与 2(x y 1) 的大小。
解： (x2 y2 1) 2(x y 1) x2 2x 1 y2 2 y 2
1 a2
<
1 b2
问题：
a克糖水中有b克糖(a＞b＞ 0)， 若再添上m（m＞0）克糖，则糖水 变甜了。你能根据此事实提炼出一 个不等式吗？
b b m a b 0, m 0
a am
你能证明该不等式 吗？
： “比较法”证明不等式的步骤
1.作差
练习：若 x 2 或 y 1
2.变形
M x2 y2 4x 2y
a＞b , c 0ac > bc
a＞b，c＜0ac< bc
性质5 a＞b，c＞d a+c ＞ b+d
性质6 a＞b >0 ，c＞d >0 ac ＞ bd
性质7 a b 0 an > bn
(n N , n 2)
性质8 a＞b＞0 n a >n b
基础训练题：
1.用不等式表示下面的不等关系：
3.定号 4.下结论
N 5
求证： M N
证明： M N x2 y2 4x 2y 5
x2 4x 4 y2 2y 1
(x 2)2 ( y 1)2
又 x 2 或 y 1 (x 2)2 ( y 1)2 0
M N
课堂练习： 1．若a<b<0，则下列不等式中成立的是（ D ）
不等关系与不等式
知识梳理
1.比较两个实数的大小的依据：
a b a b 0
a b a b 0 a b a b 0
知识梳理
2.不等式的性质：
性质1（对称性） 性质2（传递性） 性质3（可加性）
a＞bb < a a＞b，b＞c a > c a＞ba+c > b+c
性质4 （条件可乘性）