模型的建立与求解
数学规划模型的建立与求解(建模)
数学规划模型的建立与求解
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ， i = 1, 2, , m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。
许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早上 8:00，问他们最早何时离开公司？
数学规划模型的建立与求解
Step 1. 寻求决策，即回答什么？ 1. 同学甲、乙、丙、丁的面试次序 1）同学甲、乙、丙、丁每个阶段面试的开始时间 2）先后次序 2. 离开时间 Step 2. 确定决策变量 1. 同学甲、乙、丙、丁参加第j阶段面试的开始时间ti,j； 2. 同学甲、乙、丙、丁面试结束时间：T1，T2，T3，T4 3. 离开时间：T=max{ T1，T2，T3，T4} 4. 先后次序：ri,j，0—1变量 5. 面试时间（已知）：ci,j Step 3. 确定优化目标 Min T
数学规划模型的建立与求解
张兴元 2009 年 3 月
数学规划模型的建立与求解
1．优化问题及其一般模型
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的 问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格， 使所获利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小 …………
数学规划模型的建立与求解
Step 4. 寻找约束条件
模型的建立与求解
三、模型的建立与求解1.不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。
参数与变量：d: 雨中行走的距离；t: 雨中行走的时间；v: 雨中行走的速度；a: 你的身高；b: 你的宽度;c: 你的厚度；q: 你身上被淋的雨水的总量；w: 降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积S=2ba+2ca+bc是不变的，可认为是问题的参数。
雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间t=d/v问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。
考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：q=t*(w/3600)*s*0.01(m3)=(d/v)*(w/3600)*s* 10(L)模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
设d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米方,再假设降雨强度w=2厘米/小时, v是模型中的变量。
模型表明：被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。
若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中将行走t=200秒。
由此，可得你身上被淋的雨水的总量为q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔细分析，这是一个荒唐的结果，你在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了2.44升的雨水（大约有四酒瓶的水量），这是不可思议的。
因此这表明，我们得到的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。
按照建模的程序，需要回到对问题所作的假设，推敲这些假设是否恰当。
这时我们发现不考虑降雨的角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了。
2、考虑降雨角度的影响此时降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了。
设雨滴下落的速度为 u（米/θ，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度。
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
数学中的模型建立与求解
数学中的模型建立与求解模型建立和求解在数学中是非常重要的工作。
通过建立数学模型，我们可以描述和解决各种实际问题，从而推动科学和工程的发展。
本文将探讨数学中的模型建立与求解的过程，并介绍一些常见的数学模型解决方法。
一、模型建立的基本思路在数学中建立模型的过程，可以分为以下几个基本步骤。
首先，需要明确问题的背景和目标，了解问题涉及的具体内容和要求。
接下来，需要对问题进行抽象，将实际问题转化为数学问题。
这一步骤需要运用到数学的各个分支知识，比如代数、几何、概率等。
抽象过程中要注意将问题中的变量、约束条件等要素准确地转化为数学表达式。
最后，需要对建立的数学模型进行分析和验证，确保模型的合理性和适用性。
二、常见的数学模型建立方法对于不同类型的问题，有不同的数学模型建立方法。
下面介绍几种常见的数学模型建立方法。
1.线性规划模型线性规划是一种常见的数学模型，在经济学、管理学等领域中广泛应用。
线性规划模型的目标是在一定的约束条件下，最大化或最小化一个线性函数。
建立线性规划模型时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并考虑到变量之间的线性关系。
2.微分方程模型微分方程模型是描述动态系统行为的数学模型，常常用来描述物理学、生物学等领域中的问题。
构建微分方程模型时，需要根据问题所涉及的变量和其变化规律，建立微分方程。
然后通过求解微分方程，得到系统的解析解或数值解。
3.概率模型概率模型主要用于研究随机事件和概率分布。
建立概率模型时，需要明确随机变量、概率分布和事件的关系。
通过分析概率模型，可以计算事件的概率、期望、方差等指标，并用于实际问题的决策和预测。
三、模型求解的方法模型建立之后，需要进行求解得到问题的解。
常见的模型求解方法有以下几种。
1.解析解法对于一些简单的数学模型，可以通过解析的方法得到准确的解析解。
解析法通常使用代数、几何等数学方法，将问题转化为方程求解或函数图形分析的问题，并通过求解方程或分析函数图像，得到问题的解析解。
模型的建立与求解
模型的建立与求解模型一的建立与求解根据2003-2013年海平面高度数据情况(附件一)，运用优化后的灰色模型 理论，Matlab 语言编程预测出2020年及2050年的海平面高度。
设2003年为第一年，第k 年的海平面高度记为 X 。
k ，则有原始数据列将原始数据累加，得到一次累加生成数列x (1) =(x ⑴(1), x (1)⑵，，x (1) (k))，t其中 x (1)(t) x (0)( n),t =1,2，…，kn z 4对x (t)建立微分方程为 dx © ax ⑴二u (其中a ，u 为待定系数)dt所以此时时间响应函数为x(t -1) =(x (0)(1) - U )e^t U a a 对叠加数据还原x (0)⑴二x(t) - x(t -1)得到海平面高度的预测曲线：由上预测曲线可以发现，在2024年时的预测海平面高度已经超过 450毫米, 这显然有悖于事实。
在这种预测方式下得到的预测结果偏离了海平面高度变化的 客观发展，说明灰色预测模型不适用于中长期的预测， 据此我们进行了修正，提 出了针对海平面上升x (0) =(X (0)(1)，x (0"2)，，x (0)(k))进行中长期预测的优化灰色模型。
优化模型灰色模型的时间响应函数，其形式可写为x(t - • C2由于上式变化速度过快导致了海平面预测值增长速度偏大，因而选取较缓慢的二次函数右支作为激励函数x(t^ at2 bt c (其中a，b，c为待定参数)(1)求解待定参数a，b，c令丫=[x(0)(1)，x(0)(2)，，x(0)(k)]T；U 二[a,b,c]T；广1a a aA=：：：k k b所以丫二A*C ,得U =(A T A)」A T Y用最小二乘法求得u⑵由于得到的是a，b，c的估值x(t)是一个近似表达式(与原数列区分)，对函数表达式x(t)进行离散，做差还原得到x(0)(t) : x(0)⑴=x(t) - x(t - 1)通过以上建立Matlab程序求解得x(t) =4.467t2• 25.56t 50.12由此得到了海平面预测的拟合图:图2用改进后的灰色模型预测深圳海平面高度从而得到2020年、2050年海平面预测高度分别为 181.905mm 和449.925mm. 计算2003-2013年的海平面预测值与实际值的相对误差，得下图由图可看出预测的海平面高度在实际高度上下波动， 幅度不是很大，在短期 预测得到的数据中是有一定的误差的，但对于长期预测应该是具有较好的效果。
高中数学数学建模的基本步骤和应用
高中数学数学建模的基本步骤和应用在高中数学学习中，数学建模是一项重要的技能，它将已学知识应用于实际问题的解决过程中。
本文将介绍高中数学数学建模的基本步骤和应用。
一、基本步骤1. 问题理解与分析：首先，我们需要理解和分析给定的问题。
明确问题的背景、条件和目标，确保对问题有全面的理解，并能提炼出关键信息。
2. 建立数学模型：在理解问题基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。
数学模型是对实际问题的抽象与简化，通常由数学方程、函数或图形表示。
选择合适的模型是解决问题的关键。
3. 模型求解：一旦建立了数学模型，我们就需要求解模型以得到问题的解。
根据具体情况，可以采用解析方法、数值方法或计算机模拟等方式进行求解。
4. 模型验证与优化：完成模型求解后，我们应该对模型进行验证和优化。
验证是指根据问题的实际情况，对模型的可靠性和实用性进行检验。
优化是指对模型进行修改和改进，以得到更准确和可行的结果。
5. 模型分析与应用：最后，我们需要对求解结果进行分析和应用。
分析是指对结果进行解释和说明，找出问题的规律和特点。
应用是指利用结果解决实际问题，为决策提供科学依据。
二、应用案例1. 食品配送问题：假设一家餐厅需要将食品从仓库送到不同的客户处，每个客户对食品的需求量不同，仓库到客户的距离也不同。
我们可以建立数学模型，将餐厅、仓库和客户看作点，建立起点、路径和终点间的数学关系。
通过模型求解，确定最佳配送路径，以提高配送效率和降低成本。
2. 疫情传播模型：在疫情爆发时，我们可以利用数学建模来研究疫情的传播规律和控制策略。
例如，可以建立传染病传播的差分方程模型，通过调整模型中的参数，预测疫情的传播趋势，评估防控措施的效果，为疫情防控提供科学依据。
3. 人口增长模型：人口增长是一个复杂而重要的问题。
通过建立人口增长的微分方程模型，我们可以研究人口数量的变化趋势和影响因素，了解人口增长与资源分配、环境保护等问题之间的关系，以制定科学的人口政策。
最优化模型的建立与求解
最优化模型的建立与求解在现代社会中，各种资源的有限性和复杂性给企业和组织带来了难以解决的问题。
通过数学对各个问题进行建模，并对问题进行求解，是现代数学所解决的核心问题之一。
最优化模型的建立与求解，是一种有效的方法，可以帮助企业和组织更好地规划和管理资源。
一、最优化模型的概念与分类最优化模型是指根据给定的约束条件，通过建立数学模型，求解出最优的决策方案的过程。
按照求解的方式，最优化模型可以分为解析求解和数值求解。
解析求解是利用数学公式进行精确求解，其求解过程较为简单，但适用范围受限，只适用于一些简单的问题。
数值求解是通过计算机进行迭代计算得到方程的近似解或最优解的方法，较为适用于复杂的、高维度的问题，但是需要注意求解误差。
在实际的应用中，最常见的最优化模型有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论等。
其中，线性规划是一种最基本的最优化模型。
其建模过程简单，使用广泛，并且可以通过现有的算法求解。
整数规划是指限制决策变量为整数的线性规划问题，其求解过程相对于线性规划较为复杂，但可以处理更加真实的实际问题。
非线性规划是指决策变量在一定条件下满足非线性约束的最优化模型。
动态规划和图论是一种最优化模型，在解决多阶段决策和网络设计等问题中起着重要的作用。
二、最优化模型的建立方法最优化模型的建立是将实际问题转化为数学公式的过程。
建立方法一般分为以下三步。
1. 确定决策变量和约束条件在建立最优化模型时，需要先明确问题的量化指标，即问题包含哪些参量，以及这些参量之间的关系。
在确定决策变量时，需要考虑决策变量的意义、类型、数量以及相互之间的约束关系。
在确定约束条件时，需考虑问题本身的实际情况，遵循可行性原则，不违反现实约束条件。
2. 确定目标函数目标函数是最优化模型中最重要的部分，它描述了最终优化的具体内容和目标。
在确定目标函数时，应优先考虑问题的核心目标，为保证目标函数的正确性，可能需要对其进行重新构造、转化和调整，以使其符合实际情况。
数学模型的建立与求解
数学模型的建立与求解数学模型是通过对实际问题进行数学抽象和描述来进行分析和求解的工具。
在现代科学和技术领域中，数学模型广泛应用于生物、物理、化学、经济、管理、社会等多个领域。
通过数学模型的建立和求解，可以更好地理解和预测实际问题的发展趋势，并为实际问题的解决提供科学依据和指导。
本文将围绕数学模型的建立与求解进行详细探讨。
一、数学模型的建立数学模型的建立是将实际问题转化为数学问题的一个过程，主要包括以下几个方面：1. 问题的描述在建立数学模型时，首先需要对实际问题进行准确的描述。
问题的描述应该具体、清晰、明确、完整，同时需要考虑到问题的背景、条件、目标等方面的因素。
只有准确描述了问题，才能建立对应的数学模型。
2. 变量的定义在建立数学模型时，需要定义一定数量的变量。
变量通常是指与实际问题相关的物理量、质量、时间、空间等。
通过对这些变量的定义，方便后续建立数学方程进行分析和求解。
3. 建立数学方程建立数学模型的核心是建立数学方程。
数学方程可以是代数方程、微分方程、偏微分方程等。
在建立数学方程时，需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的数学模型，建立相应的方程。
方程的建立需要合理运用数学知识和建模技巧，对问题进行抽象和理想化，同时需要注意方程的可行性和可解性。
4. 模型的验证建立数学模型后，需要对其进行验证。
验证的过程是检验问题解决方案的正确性和可行性。
验证可以通过理论推导、数据比对、实验验证等方式进行。
只有验证通过，才能认可数学模型的有效性和可靠性。
二、数学模型的求解数学模型的求解是对建立的数学方程进行求解，以找到符合实际问题的解决方案。
数学模型的求解通常可以分为以下几个步骤：1. 分析数学方程在对数学模型进行求解时，首先需要对所建立的数学方程进行分析。
分析数学方程可以得到方程的特点、性质、解的形式和范围等信息。
通过分析，可以确定数学方程是否可以求解，求解的方法和步骤。
2. 选择求解方法在对数学方程进行分析的基础上，需要选择合适的求解方法。
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模型的建立与求解
模型一的建立与求解
根据2003-2013年海平面高度数据情况（附件一），运用优化后的灰色模型理论，Matlab 语言编程预测出2020年及2050年的海平面高度。
设2003年为第一年，第k 年的海平面高度记为()k X 0，则有原始数据列))()2()1(()0()0()0()0(k x x x x ，，，⋯=
将原始数据累加，得到一次累加生成数列))()2()1(()1()1()1()1(k x x x x ，，，⋯=，其中k t n x t x t
n ，⋯==∑=,2,1),()(1)0()
1( 对)(t x 建立微分方程为 u ax dt
t dx =+)1()(（其中a ，u 为待定系数） 所以此时时间响应函数为 a
u e a u x t x at +-=+-))1(()1()0( 对叠加数据还原 )1()()()0(--=t x t x t x
得到海平面高度的预测曲线：
由上预测曲线可以发现，在2024年时的预测海平面高度已经超过450毫米，这显然有悖于事实。
在这种预测方式下得到的预测结果偏离了海平面高度变化的客观发展，说明灰色预测模型不适用于中长期的预测，据此我们进行了修正，提
出了针对海平面上升进行中长期预测的优化灰色模型。
优化模型
灰色模型的时间响应函数，其形式可写为 21)1(C e C t x at +=+-
由于上式变化速度过快导致了海平面预测值增长速度偏大，因而选取较缓慢的二次函数右支作为激励函数 c bt at t x ++=2)(（其中c b a ，，为待定参数）
（1） 求解待定参数c b a ，，
令T k x x x Y )]()2()1([)0()0()0(，，，⋯=；T c b a U ],,[=；
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11112k k A
所以 C A Y *=,得 Y A A A U T T 1)(-=
用最小二乘法求得U
(2)由于得到的是c b a ，，的估值)(t x 是一个近似表达式（与原数列区分），对函数表达式)(t x 进行离散，做差还原得到)()0(t x ：)1()()()0(--=t x t x t x 通过以上建立Matlab 程序求解得 12.5056.25467.4)(2++=t t t x
由此得到了海平面预测的拟合图：
图2 用改进后的灰色模型预测深圳海平面高度
从而得到2020年、2050年海平面预测高度分别为181.905mm 和449.925mm. 计算2003-2013年的海平面预测值与实际值的相对误差，得下图
图3 深圳海平面高度预测相对误差
由图可看出预测的海平面高度在实际高度上下波动，幅度不是很大，在短期预测得到的数据中是有一定的误差的，但对于长期预测应该是具有较好的效果。
BP 神经网络的建立与求解
BP 神经网络的建立
(1)对每一层的权值ij W 初始化，网络的权值一般在[0，1]之间取值.
(2)对输入数据的预处理，提供训练样本以及目标输出。
输入训练样本：
))(),(),((310k X k X k X X = 期望输出：))((k Y Y n =
(3)计算各层的输出.
对于第k 层第i 个神经元的输出k i x 有：
11
-+=∑=k j n k j ij k
i
x w U ，111=-+k n x ，θ-=+1in w ，)(k i k i U f x = (4)求各层的学习误差k i d ，对于输出层有m k =，有：
)()1(i m i m i m i k i Y X X X d --=
对于其他各层 1)1(+-=k i ij k i k i k i d w X X d
(5)修正权系数1)()1(--=+k
j k i ij ij X d t w t w η，其中η为学习速率
(6)当求出了各层各个权系数之后，可按给定品质指标判别是否满足要求，如果满足要求，则算法结束；如果未满足要求，则返回（3）执行。
BP 神经网络的求解：
为了使网络有更大的泛化能力，我们没有调用MATLAB 神经网络工具箱，而是选择编写源程序。
由于学习样本数量较少，品质较差，增大网络的训练次数，使之达到50000次，以便使神经网络学习时间充裕。
本实验因为样本数量少，为了测试网络的推测能力，测试阶段使用了与训练输入样本相同的数据，但对于输出样本添加了噪声，选取强度为0.01，避免了网络的过渡拟合。
激励函数选取Logsig 函数，为了使神经网络有较好的推测能力，使用了Premnmx 函数进行归一化操作。
本网络结构采用了如下图所示常规的三层网络结构形式：
包括输入层、中间层（隐含层）和输出层。
上下层之间实现全连接，而同一层的神经元之间无连接，输入神经元与隐含层之间是网络的权值，其意义是两个神经元之间的连接强度。
隐含层或输出层任一神经元将前一层所有神经元传来的信息进行整合，在整合过的信息中添加一个阙值，这主要是模仿生物学中神经元必须达到一定的阙值才会接触的原理，然后将整合过的信息作为该层神经元输入。
当一对学习样本提供给输入神经元后，神经元的激活值（该层神经元输出值）从输入层经过隐含层向输出层传播，在输出层的个神经元获得网络的神经输入响应，然后按照减少网络输出与数据样本之间的误差的方向，从输出层反向经过隐含层回到输入层，从而逐步修正各连解权值，这种算法称为误差反方向传播算法，即BP 算法。
随着这种误差逆向传播修正的反复进行，网络对输入模式相应的正确率也不断上升。
BP 算法的核心是数学中的“负梯度下降”理论，即BP 网络的误差调整方向总是沿着误差下降最快的方向进行，该三层BP 网络权值和阙值调整公式如下：
)()1(t E t ij ij
ij ωωηω+∂∂-=+ )()1(t E t jk jk
jk ωωηω+∂∂-=+ )()1(t B B E t B ij ij ij +∂∂-=+η )()1(t B B E t B jk jk
ij +∂∂-=+η
其中，E为网络输出与实际输出样本之间的误差平方和；η为网络的学习速
ω为t时刻输出层第i个神经元与隐含层第j个神经元的率即权值调整幅度；)
(t
ij
ω为1+t时刻输入第i个神经元与第j个神经元的连接权值；连接权值；)1
(+
t
ij
ω为t时刻输入隐含层第j个神经元与输出层第k个神经元的连接权值；
)1
(+t
ij
ω为1+t时刻隐含层第j个神经元与输出层第k个神经元的连接权值；B )1
(+t
jk
为神经元的阙值，下标的意义与权值相同。