三年级奥数简单数阵与幻方
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三年级奥数简单数阵与幻方
尤新教育奥数标准教程第八讲简单的数阵与幻方【知识点与方法】一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。
（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。
二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。
然后对称找和相等的成对的项。
【经典例题】例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。
例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。
例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。
例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
练习与思考1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。
（2题图）（3题图a）（3题图b）3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
（4题图）（5题图）5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
蔚然教育精品班导学案例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：例题3一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。
奥数幻方与数阵图
幻方与数阵图练习
三阶幻方的口诀是：9子斜排上下对易左右相更四维挺出
角块等于对角两棱快之和的一半
练习
1、用
2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个
数编制三阶幻方，并求幻和。
2、2、用1、2、
3、7、8、9、13、1
4、15这九个
数数编制三阶幻方，并求幻和。
3、在右边的幻方的空格中填入恰当的数，使幻和
等于27.
4、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使
它
成为一个三阶幻方。
9
5、将3、
6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
6、将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条
直线上的三个字之和等于20。
7、将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等
8、将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法) 9 7
5。
小学奥数 数阵与幻方 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。
例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。
例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
小学数学思维方法：幻方与数阵图
幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。
二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。
第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。
第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。
【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
小学数学 拓展专题 幻方和数阵图 带答案
练习4
中心数：60÷3＝20
则这9个数为
14
16、17、18、19、20、21、22、23、24
19 24 17 18 20 22
（右图答案不唯一）
23 16 21
12
准备题5
字母A~E表示5个不同的数，若B+C=D+E，则 A＋B＋C = A＋D＋E。（填写“＞”“＜” 或“=”。）
知识提炼： 根据等式的性质，等式两边同时加上相同的数，等式 __成__立___ （填成立或 不成立）
中间数：60÷5=12 对于连续的奇数个自然数3×3的方格中，形 成幻方，幻和是60，这些自然数分别 是 1_6_、_1_7_、_1_8_、1__9_、2__0_、_2_1_、_2_2_、_2_3_、2__4__
中间数＝60÷3 ＝20
9
例2
写出一个幻和是18的三阶幻方。
首先确定中心数 中心数＝幻和÷行数(或列数)
中心数：18÷3＝6 则这9个数可为 2、3、4、5、6、7、8、9、10 （答案不唯一）
再用例1学到的方法填幻方
5 10 3 46 8 9 27
练习3
中心数：24÷3＝8 则这9个数可为
4、5、6、7、8、9、10、11、112 4
（右图答案不唯一）
7 12 5 6 8 10 11 4 9
同时去掉A得B＋C＝D＋E， 符合条件的有：2＋5＝3＋4＝7，则A＝1；F＝8
1＋5＝2＋4 ＝6 ，则A＝3； F＝9 1＋4＝2＋3 ＝5 ，则A＝5； F＝10
20
准备题8
自然数1~7分别代表字母A~G，且A＋B＋C＝A＋D＋E ＝A＋F＋G＝H。自然数H可能是___1__0_、__1__2_、__1_4________
2021年奥数专题专讲三年级第2讲巧填幻方-2
2021 年奥数专题专讲（三年级）
巧填幻方
这些数字，不管横着加，还是竖着加，还是斜着加，和都是 15。 这就是传说中神秘的幻方，由于这个幻方是 3 行 3 列，所以又称之为 3 阶幻方，也称之为 九宫图。 九宫图口诀： “九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。” “四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。” 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵。
3. 爱岗敬业，教书育人 为师者，一言一行都会对学生产生深 远的影响，特别是师范类学生，自己的形象会对他们日后的教学方式、 工作态度产生潜移默化的影响，进而影响到他们的学生。所以，作为 师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生，而是他们背后的几 代人。所以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求，应该以近乎完美 的苛刻标准来要求自己，评判自己的工作，塑造自己形象，要做一个 甘于物质清贫而精神富足的人。
2. 学高为师，身正为范 不但要有崇高的师德，还要有深厚而 扎实的专业知识。要做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识 结构，拓宽知识视野，自己不断的钻研学习，加强对教材的驾御能力 才能提高自己的教学方法，才能在学生心目中树立起较高的威信。因 此，必须树立起终身学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他 人之长来补己之短，才能使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才 能以己为范，引导学生保持对知识的惊异与敏锐。
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【名师心得】
1. 因材施教，注重创新 所讲授的每门课程应结合不同专业、 不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传 授，更要重视学生学习能力、分析和解决问题能力的培养，因为这些 才是学生终生学习的根本。 注重教学过程创新，不仅要体现在教学 模式、教学方法方面，更主要的是体现在内容的创新与扩充、实践环 节的同步改革上。
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数阵与幻方
【知识点与方法】
一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。
（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。
二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。
然后对称找和相等的成对的项。
【经典例题】
例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。
例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。
例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。
例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
练习与思考
1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。
（2题图）
（3题图a）
（3题图b）
3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
（4题图）
（5题图）
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。