2019高考数学押中5题
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备不等式综合（含解析）【考点导读】能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.假设函数()()()()22112,022x f x x x g x x x -⎛⎫=+>=≠ ⎪-⎝⎭，那么()f x 与()g x 的大小关系是()()f x g x >2.函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒为正，那么a 的取值范围是0＜a ＜23.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x y z =++的最小值是74.f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，那么f (x )·g (x )＞0的解集是22,,22b b a a ⎛⎫⎛⎫⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，那么x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1 【范例导析】例1、集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q〔1〕假设φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。
〔2〕假设方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。
分析：问题〔1〕可转化为2220ax x -+>在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解；从而和问题〔2〕是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数. 解：〔1〕假设φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解xx a 222+->∴ 令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u 所以a>-4,所以a 的取值范围是{}4->a a〔2〕方程()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解那么0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解2121122222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴x x x a当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解点拨：此题用的是参数分离的思想例 2.f (x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，假设m 、n ∈[—1，1]，m+n ≠0时有()().0>++nm n f m f 〔1〕判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； 〔2〕解不等式:⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； 〔3〕假设f (x)≤122+-at t 对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立，求实数t 的取值范围、上为增函数、〔2〕∵f (x)在[—1，1]上为增函数，故有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-123,1121,1111,1211x x x x x x 由此解得 〔3〕由(1)可知：f 〔x 〕在[—1，1]上是增函数，且f (1)=1，故对x ∈[—l ，1]，恒有f 〔x 〕≤1、所以要使f 〔x 〕≤122+-at t ，对所有x ∈[—1，1]，a ∈[—1，1]恒成立， 即要122+-at t ≥1成立，故at t 22-≥0成立、记g(a )=at t 22-对a ∈[—1，1]，g(a )≥0恒成立，只需g(a )在[—1，1]上的最小值 大于等于零、 故()()⎩⎨⎧≥-≤⎩⎨⎧≥>.010010g t g t ，或，， 解得：t ≤—2或t=0、 点拨：一般地，假设()[],,y f x x a b =∈与()[],,y g t t m n =∈假设分别存在最大值和最小值，那么()()f x g t ≤恒成立等价于()()max min f x g x ≤.例3.甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，汽车每小．．时的运输成本．．．．．．〔以元为单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元、〔1〕把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； 〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解 解：〔1〕依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=、故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈、〔2〕由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+、 当且仅当bv va=，即b a v =时上式中等号成立、 假设c b a ≤时，那么bav =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv vas v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc cas y +=、综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b a v =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =、 点拨：此题主要考查建立函数关系式、不等式性质〔公式〕的应用、也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题、 反馈练习： 1.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，那么使0)(<x f 的x 的取值范围是),0(+∞2.一个直角三角形的周长为2P ，其斜边长的最小值122+P3.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差d 的取值范围是833d <≤ 4.如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是____a <-1____5.假设关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，那么实数m 的取值范围为(,3]-∞-6.设实数m ,n ,x ,y 满足ny mx b y x a n m +=+=+则,,2222的最大值ab7、关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，那么a 的取值范围是［－2，2］8.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围13-<>x x 或9..三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路、甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”、乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”、 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”、参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是a ≤1010.设曲线cx bx ax y ++=23213在点x 处的切线斜率为()x k ，且()01=-k ,对一切实数x ，不等式()()1212+≤≤x x k x 恒成立〔0≠a 〕.(1)求()1k的值；(2)求函数()x k 的表达式.解：〔1〕设()c bx ax x k ++=2，()()1212+≤≤x x k x , ()()1112111=+≤≤∴k ,()11=∴k (2)解：⎩⎨⎧==-1)1(0)1(k k ⎩⎨⎧+=+-10b a c b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2121c a b x c x ax ≥++∴212,161,0441,0212≥∴≤-=∆≥+-ac ac c x ax ， 又()16142=+≤c a ac ，即41,161,161161==∴=∴≤≤c a ac ac ()()22141412141+=++=∴x x x x k 11.二次函数f (x)=()0,,12>∈++a R b a bx ax且,设方程f (x )=x 的两个实根为x 1和x 2、〔1〕如果x 1<2＜x 2<4，且函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞—1； 〔2〕如果∣x 1∣<2，∣x 2—x 1∣=2，求b 的取值范围、 解：(1)设g(x)=f (x)—x=()()0242.011212<<<<>+-+g x x a x b ax得，由，且，且g(4)>0，即,81,221443,221443,03416,0124>-<--<<-∴⎩⎨⎧<-+<-+a a a a b a b a b a 得由∴.1814112,4112832-=⋅->-=->->-ab x a a b a 故〔2〕由g(x)=()同号、可知2121,01,011x x ax x x b ax ∴>==+-+、 ①假设0<x 1<2，那么x 2一x 1=2，即x 2=x 1+2>2，∴g(2)=4a +2b —1<0， 又()()()，负根舍去，得01112441222212>+-=+=--=-a b a aa b x x ，代入上式得();41,231122<-<+-b b b 解得②假设-2<x 1<0，那么x 2=－2+x 1<-2，∴g 〔-2〕<0，即4a －2b +3<0，同理可求得47>b 、 故当0<x 1<2时，41<b ；当-2<x 1<0时，47>b 、 12.A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h ，船在静水中的速度为vkm/h(8<v 0v ≤)，假设船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v 0应为多少？分析：此题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间表达了分类讨论这一重要的数学思想，此题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。
衡水中学2019年高考文科数学押题最后一卷
22第I 卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 •已知集合 A = fx X 2-2x <0} , B y = log ? x 2 ,x A?，则 AI B 为（ ）A . 0,1B . [0,1]C . 1,2D . 11,2 ]2 .已知i 是虚数单位，z =◎ _i 2017，且z 的共轭复数为Z ,则z 在复平面内对应的点在（2 +iA .第一象限 B.第二象限Cr r H -3. 已知平面向量 a ， b 的夹角为一，且a3A . 1B .,3 C . 2 D4. 已知命题p : “关于x 的方程X 2 -4x • a = 0有实根”，若一 p 为真命题的充分不必要条件为 则实数m 的取值范围是（ ）A .1, rB . 1, ：：C . :；：一~1D.丨一Q ,11x y 30,5已知实数x ， y 满足x-2y ，6・0,则z=x-y 的最小值为（）3x -y -2 :: 0,A 0B.-1 C . -3D . -56.若lx 1表示不超过x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）•第三象限D •第四象限=1， b=1，贝V a-2b=（）3.2a 3m 1，49800 D . 518677.数列 满足印=2，2a n 1 = a n( a n)，贝V a n =(A . 10n^B10n4C2“ 1-.102Dn 1-.C8 .《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里22的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（uuu uuu一,PF , PF 2=0，双曲线的离心率为 、2「=（）数k 的取值范围是（且不小于70分的学生得到“诗词能手” 绩按照称号的不同进行分层抽样抽选1 2 5 6 B 00124578 022******** 022*********A . 2B . 4C . 59.某几何体的正视图和侧视图如图（1）,它的俯视图的直观图是矩形 OABiG （如图（2））,其中0A =3,0G =1，则该几何体的侧面积及体积为（ 24.2 D . 64, 64.2f x =3sin xcos x-4cos（-0）的最小正周期为二A . -5211213 211.已知双曲线2X_2=1 ( a 0 , b 0)的左、右焦点分别为 F 1 , F 2，点P 在双曲线的右支上，且A .2 B.23 C . 2 2 D .2 J312.已知函数f （X广2-X -4x 5,x _1 ln x, x 1,'若关于x 的方程j1f x 二kx-—恰有四个不相等的实数根，则实2（1）10.已知函数A . 24, 24,2 BA [e1 _J2' e C第U卷（共90 分）、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13•在锐角VABC中，角A ,B所对的边长分别为a ,b，若2岔B 3 £，则o - A %" 丿----------- 14•如图所示，在棱长为2的正方体ABCD - ABC.D,中，E，F分别是CG，AD的中点，那么异面直线D,E和AF所成角的余弦值等于 _____________4 115•若x , y都是正数，且x・y=3，则二—的最小值为x+1 y + 1|2x_1 x 016.已知函数f x 1 1若函数g x = f x r：「3m有3个零点，则实数m的取值范围-x -2x,^0,是__________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .在V ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且.3a cosC 二2b -、一3c cos A .(1)求角A的大小；(2) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 已知等差数列｛a n｝的公差不为零，若a si nA = 1，且a2，a4，a8成等比数列，求〈------------------------ > 的前n项J a n a n 1 I和S n.18•如图，将直角三角形PAO绕直角边PO旋转构成圆锥，四边形ABCD是e O的内接矩形，M为母线PA 的中点，PA=2AO.(1)求证：PC //平面MBD ;(2)当AM =CD =2时，求点B到平面MCD的距离.19•在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生优旁合挤J55表二：女生商序改进153y2参考公式：K2 n-ad一bC，其中n = a b cd.(a+b j(c + d )(a+c)(b+d )2P(K >k0 )0.100.050.01k。
2019年高考押题卷文科数学(二)含答案解析
文 科 数 学（二）本试题卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合0y A yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合(){}10B x x x =->，则A B =R ð（ ） A ．{}|01x x ≤≤ B ．{}|01x x << C ．{}0D ∅2．已知复数z 满足1i 1z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．实轴D ．虚轴3．为了得到函数cos 2y x =的图像，可将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度4．某公司准备招聘了一批员工．有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与公司所需专业不对口的概率是（ ） A ．519B ．119C ．14D ．125．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 6．若变量,x y 满足不等式组120x x y x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≤≥≥，则(),x y 的整数解有（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．2aB2C2 D．28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ）A ．80B ．20C ．180D ．1669．已知直线:21l y x =+与圆C ：221x y +=交于两点A ，B ，不在圆上的一点()1,M m -，若MA 1MB ⋅=，则m 的值为（ ） A ．1-，75B ．1，75C ．1，75-D ．1-，75-10．已知函数()()22e x f x x x =-，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(),-∞+∞； ②函数()f x 是区间()0,2上的增函数；③()f x 是奇函数； ④函数()f x在x =其中推断正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF -的取值范围（ ） A ．()0,2B ．()1,6C．(D ．()0,612．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A ．HF //BE B．2BM =C ．∠MBND ．△MBN第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年高考数学仿真押题试卷(十九)(含答案解析)
专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合[1A =-，1]，，则(AB = )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,1)-D ．[1-，1]【解析】解：(0,1)B =；．【答案】A ．2．已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：设，，∴，∴，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-，此点位于第四象限．【答案】D ．3．已知向量(1,3)a =，||3b =，且a 与b 的夹角为3π，则|2|(a b += )A ．5B C ．7D ．37【解析】解：由题可得：向量(1,3)a =，||2a =，所以，所以，．【答案】B ．4．已知函数，若，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，1]B ．[1-，2]C ．(-∞，2][1-，)+∞D ．(-∞，1][2-，)+∞【解析】解：函数，在各段内都是减函数，并且01e -=，，所以()f x 在R 上递减，又，所以，解得：21a -剟， 【答案】A ．5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的(n )A ．50B ．53C ．59D ．62【解析】解：【方法一】正整数n 被3除余2，得32n k =+，k N ∈； 被8除余5，得85n l =+，l N ∈； 被7除余4，得74n m =+，m N ∈； 求得n 的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得，即输出n 值为53． 【答案】B ．6．已知函数，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以，即6m k ππ=+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 最小为6π． 【答案】A ．7．已知命题p ：函数21()21x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数；命题q ：直线0x =是13()g x x =的切线，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．p ⌝【解析】解：，即()f x 是奇函数，故命题p 是真命题，函数的导数，当0x =时，()g x '不存在，此时切线为y 轴，即0x =，故命题q 是真命题，则p q ∧是真命题，其余为假命题， 【答案】A ．8．已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率为(= )A ．2B C D 【解析】解：取双曲线的渐近线by x a=，即0bx ay -=． 双曲线22221(x y a b-= 0a >，0)b >的渐近线与相切，∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =， ∴1=，化为2b c =，两边平方得，化为2234c a =．∴c e a =【答案】D ．9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由，解得7n =，频率为的音名是(#d )， 【答案】D ． 10．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：当0x <时，，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ． 【答案】A ．11．利用Excel 产生两组[0，1]之间的均匀随机数：(a rand = )，(b rand = )：若产生了2019个样本点(,)a b ，则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A ．673B ．505C ．1346D ．1515【解析】解：由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为，所以，则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，【答案】A ．12．已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则12(x x = )A ．2B ．24pC ．2pD ．4【解析】解：不妨设(2,0)P -，过P 的切线方程设为(2)y k x =+， 代入抛物线方程得，又0k ≠，故124x x =．【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若整数x 、y 满足不等式组，则y z x =的最小值为 12． 【解析】解：整数x 、y 满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、(1,2)D ，AO 连线的斜率是最小值．则y z x =的最小值为：12． 故答案为：12．14．已知椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内切于点P ，则12PF F S= ．【解析】解：椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C内切于点P ， 可得1b c ==， 所以．故答案为：1．15．定义在R 上的函数()f x 满足，若，且(2)2gl n =-，则1()2g ln = ． 【解析】解：根据题意，，则，变形可得，，又由122ln ln =-，且，则，则；故答案为：4．16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若，则m 的取值范围为．【解析】解：由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心， 则点O 为三角形三边中垂线的交点， 由向量投影的几何意义有：，则， 所以则，由正弦定理得：，所以，所以2sin m A =， 又[3A π∈，)2π，所以m ∈2)，故答案为：，2)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC ABC ∆的面积；（2）若，4AD =，求CD 的长．【解析】解：（1）在ABC ∆中，，，解得BC ，∴．（2），∴，∴在ABC∆中，，∴，，∴CD=18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：参考数据：【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取（人)，从非示范性高中抽取（人)；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人)，且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆的左右顶点，直线BP交C于点Q，ABP∆是等腰直角三角形，且35PQ PB=．（1）求C的方程；（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点．当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率． 【解析】解：（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则2a =，(2,0)B ， 设点0(Q x ，0)y ，由35PQ PB =，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+， 则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得， ∴△，解得234k >， ，，当MON ∠为直角时，1OM ON k k =-，，则，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角． 20．如图，在直三棱柱中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --，求AD 的长．【解析】解：（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，，BC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥． 又D 是1AA 的中点，AC AD =，且90CDA ∠=︒，，同理．，则1DC DC ⊥，1DC ∴⊥平面BCD ；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设AD h =，则(1D ，0，)h ，(0B ，1，0)，1(0C ，0，2)．由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取(1m =，0，0)为平面1BC C 的法向量． 设平面1DBC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则n BD ⊥且1n BC ⊥，，，∴，取1z =，得．由，解得12h =，即12AD =．21．已知函数在0x x =处取得极小值1-．（1）求实数a 的值； （2）设，讨论函数()g x 的零点个数．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，，函数在0}x x =处取得极小值1-，∴，得01,1a x =-⎧⎨=⎩当1a =-时，()f x lnx '=，则(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1x ∴=时，函数()f x 取得极小值1-， 1a ∴=-（2）由（1）知，函数，定义域为(0,)+∞，，令()0g x '<，得0x <令()0g x '>，得x >()g x在上单调递减，在)+∞上单调递增，当x ()g x 取得最小值2eb -， 当02e b ->，即2eb >时，函数()g x 没有零点； 当02e b -=，即2eb =时，函数()g x 有一个零点；当02eb -<，即02e b <<时，g （e ）0b =>，g g ∴（e ）0<存在1x ∈)e ，使1()0g x =，()g x ∴在)e 上有一个零点1x设，则，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h ∴>（1）0=，即当(0,1)x ∈时，11lnx x>-， 当(0,1)x ∈时，，取{m x min b =，1}，则()0m g x >，，∴存在2(m x x ∈，，使得2()0g x =，()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ，()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，综上可得，当2eb >时，函数()g x 没有零点； 当2eb =时，函数()g x 有一个零点； 当02eb <<时时，函数()g x 有两个零点． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足，点B 的轨迹为2C ．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为(2,)2π，求ABC ∆面积的最小值．【解析】解：（1）曲线1C 的参数方程为为参数），∴曲线1C 的普通方程为，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．设B 的极坐标为(,)ρθ，点A 的极坐标为0(ρ，0)θ， 则||OB ρ=，0||OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=，，08ρρ∴=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=（2）由题意知||2OC =，，当0θ=时，S ABC 取得最小值为2． [选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为t ．（1）求实数t 的值； （2）若，设0m >，0n >且满足，求证：．【解析】解：（1），显然，()f x 在(-∞，1]上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，（1）2=-，2t ∴=-， 证明（2），，由于0m >，0n >，且1122m n+=，，当且仅当22n mm n=，即当12n =，1m =时取“=”， 故。
河北衡水中学2019年高考押题试卷理科数学试题参考答案评分标准
AC ( 3a,0,0) ( 3a,0,0) (2 3a,0,0) ， EF (0, a, 2a) (0, a, 2 2a)
(0, 2a, 2a) .
由（1）可知 EF 平面 AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EF (0, 2a, 2a) .
设平面 AEC 的法向量为 n (x, y, z) ，
3 4b2
1 ，②
由①②联立，解得 b2 1， a2 2 ，
故所求的椭圆方程为 x2 y2 1. 2
（2）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，由 OA OB 0 ，
可知 x1x2 y1y2 0 .
y kx m
联立方程组
x
2
2
y2
，
1
消去 y 化简整理得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0 ，
OA OB ，所以分别以 OA ， OB ， OG 的方向为 x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标
系 O xyz （如图示），
则 O(0, 0, 0) ， A( 3a,0,0) ， C( 3a,0,0) ， E(0, a, 2 2a) ， F(0, a, 2a) ，
所以 AE (0, a, 2 2a) ( 3a,0,0) ( 3a, a, 2 2a) ，
100 25 则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有 800 14 448 .
25 （2）这100 名学生成绩的平均分为 1 (32100 5690 780 3 70 2 60) 91.3，
100 因为 91.3 90 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中 A 级 4 个， B 级 7 个，从而任意
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题39空间向量及其运算(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：B2．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF12CD.因为AE ⊥BC ，〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°. 所以AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0， 因此AE →·BC →>AE →·CD →. 答案：C3． O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 解析：∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B.43 C.53 D.75答案：D5． 在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c.则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案：B6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 aB.66aC.156 a D.153a 解析：以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，答案：A7．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C解析 因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .故选C.8．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1) 答案 B解析 经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°.故选B.9．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)答案A10．已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6 答案 B解析 ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)，|AD →|＝1＋1＋1＝ 3.故选B.11．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B.66 C ．－66D ．± 6 答案 C解析 OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.故选C. 12．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB .12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD .12a －12b ＋c答案 A13．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8 答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.14．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________． 答案 (5,13，－3)解析 设D (x ，y ，z )，则AB →＝DC →.∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．15．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析 由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，又AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－6＋18＝0，x －2＝4，解得x ＝2.16．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，8317．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________． 解析：由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. 答案：－918．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a ＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案：60°19．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 20．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝12＋12＋02＝2， |b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 21．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D.22．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。
全国卷Ⅲ2019年高考数学压轴卷理含解析201905140112
满
足
f 1，
f
0 ，且
的最小值为 ．
4
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）求函数
f
x
在
0,
2
上的单调区间和最大值、最小值．
18．（本题满分 12 分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取 16 名 学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎， 小数点后的一位数字为叶)如下：
何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和15 步，问其内切圆的直径为多
少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
3
A．
10
3
B．
20
C． 1 3 10
D． 1 3 20
7．长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1 ， AD 2 ， AA1 3 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所成 角的余弦值为（ ）
A． 2
B． 3
C． 3 3
D． 2 2
11． 已 知 ������为 抛 物 线 C : y2 4x 的 焦 点 ， A, B, C 为 抛 物 线 C 上 三 点 ， 当
FA FB FC 0 时，称 ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A． 0 个 B． 1 个 C． 3 个 D． 无数个
最大时，求 的值.
20．（本题满分 12 分）
已知双曲线
x2 5
y2
1
的焦点是椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2
2019年【高考快递】江苏省高考数学押题卷及答案
高考数学精品复习资料2019.5高考原创押题卷(二)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i .棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________. {x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝1－b i ，则(a ＋b i)8＝________. 16 [由a ＋i ＝1－b i 可得a ＝1，b ＝－1，从而(a ＋b i)8＝(1－i)8＝(－2i)4＝16.] 3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2＝________.65[数据160,162,159,160,159的平均数是160，则该组数据的方差s 2＝15(02＋22＋12＋02＋12)＝65.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________．4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据下列的伪代码，可知输出的结果S 为________． i ←1While i ＜100 i ←i ＋2S ←2i ＋3End While Print S205 [该程序的作用是输出满足条件i ＝2n ＋1，n ∈N ，i ＝i ＋2≥100时，S ＝2i ＋3的值．∵i ＋2＝101时，满足条件，∴输出的S 值为S ＝2×101＋3＝205.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13 [设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E -A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图219 [连结B 1D 1，设B 1D 1∩A 1C 1＝F ，再连结BF ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线，又根据B 1F ═∥12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52， 即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1qb 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.]11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2， ∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14， 当x ＝0时，有最大值，最大值为2， 则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363 [设椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12， |BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即 e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc 2的最大值为________．32 [由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos C sin C ，即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos C sin C ，∴sin (B ＋A )sin A sin B ＝cos C sin C ，即sin C sin A sin B ＝cos C sin C，∴sin 2C＝sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c22ab ，整理得a 2＋b 2＝3c 2，∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立．]14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x－4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4)[由题意得，f (x )＝(x －4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧ m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. (1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值．[解] (1)∵α为锐角，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，23π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 4分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋π6＝45. 6分(2)又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos α＋⎭⎪⎫π6＝－35. 8分 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－sin α＋⎭⎪⎫π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝35×45－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝2425.14分16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点．图4(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD . [证明] (1)连结AC 1，设交A 1C 于点O ，连结OD . 2分 ∵四边形AA 1C 1C 是矩形，∴O 是AC 1的中点．在△ABC 1中，O ，D 分别是AC 1，AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.4分又∵OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .6分(2)∵CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 10分∵AP⊂平面A1B1BA，∴CD⊥AP.∵BB1＝2BA，BB1＝AA1，BP＝14BB1，∴BPBA＝24＝ADAA1，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴AP⊥平面A1CD. 14分17．(本小题满分14分)如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(km)，沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.图5(1)求S关于θ的函数关系式；(2)试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos θ的值，若不存在，说明理由．[解](1)在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP的面积S△CDP ＝34CP2＝32(5－3cos θ). 4分又因为△COP的面积S△COP ＝12OC·OP sin θ＝32sin θ，所以S＝S△CDP ＋S△COP－S扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512.6分注：当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512.(2)存在．由(1)知，S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)， 令S ′＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝16.当0＜θ＜θ0时，S ′＞0， 所以当θ＝θ0时，S 取得最大值.10分或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．此时cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝－356，cos θ0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6－π6＝1－10512. 14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，4分所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 6分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23， 10分 则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0， 所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x . 联立⎩⎨⎧ y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 13分 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 16分19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列. 4分设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧ a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n . 6分 (2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2.所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3， 10分当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3.于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2).14分 又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *. 16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎝⎛13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )极值点的个数．[解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ， 即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 4分因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2， 记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0，所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞). 6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号．(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ， 10分所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0，所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点，当a ＜0时，f (x )有三个极值点. 16分。
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热烈祝贺高老师在2019高考押中2019高考数学5道题
2019全国一卷理6 我国古代典籍 《周易》用卦描述万物变化.每一重卦由从下到上排列的6个爻组成.爻分为阳爻“－”和阴爻“－－”在所有重卦中随机选取一重卦，则该重卦中恰好有3个阳爻的概率是（ ）
A.
165 B. 3211 C. 3221 D. 16
11 2019高考押中率100％
2019高考高老师押题 在《周易》中长横“－”表示阳爻 两个短横“－－”表示阴爻.又放回的取阳爻和阴爻三次合成一卦共有8种组和方法.这便是《系辞传》中所说的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”所谓的算卦就是两个八卦的叠合。
即又放回的取阳爻和阴爻六次得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，则这六爻中恰好有3个阳爻的概率是（ ）
A. 71
B. 165
C. 169
D. 8
5 2019全国一卷理1设复数Z 满足1=-i z .在复平面内对应的点位（x,y ），则___.
A. (x+1)²+y ²=1
B. (x-1)²+y ²=1
C. x ²+(y-1)²=1
D. x ²+ (y+1)²=1
2019高考押中率100％
2019高考高老师押题复数Z 满足i i z 43+=-，在复平面内对应的点的轨迹是___.
A. (x-1)²+y ²=5
B. (x-1)²+y ²=25
C. x ²+(y-1)²=25
D. x ²+ (y+1)²=25
2019全国一卷理4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长 度之比是215-（2
15-≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
215-若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105cm ，头顶至脖子下端的长度为26厘米其身高可能是______
A. 165cm
B.175cm
C. 185cm
D. 190cm
2019高考押中率100％
2019高考高老师押题 人以肚脐为界，下半身与身高的比例符合“黄金分割”比例，在人的视觉里看，是最完美的比例，那么身高170cm 的人满足“黄金分割”比例的腿长约是______
A. 100cm
B.104cm
C. 105cm
D. 112cm
2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=B F B F AB A F 则C 的离心率___________.
2019高考押中率99％
2019高老师押题过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作直线y=﹣x
的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若
=2，则该双曲线的离心率为_____ 2019全国一卷理12三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形，E,F 分别为PA,AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为____
A ．68π
B ．64π
C ．62π D.6π
2019高考押中率99％
2019高考高老师押题四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O 的表面积为（ ）
A ．8π
B ．12π
C ．16π
D ．32π ()22
2210,0x y C a b a b
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