结构非线性作业参考-方志老师
结构非线性分析
结构非线性分析理论1.结构设计方法结构设计方法从传统的容许应力设计法发展到了基于概率统计的极限状态设计法。
传统的容许应力设计法是基于线弹性理论，依照经验选取一定的安全系数，以构件危险截面某一点的计算应力不超过材料的容许应力为准则，目前在某些领域仍在使用。
安全系数，是一个单一的根据经验确定的数值，没有考虑不同结构之间的差异，不能保证不同结构具有同等的安全水平。
此外，容许应力设计法以弹性理论计算内力，对那些发展塑性变形能提高承载力的构件或结构(如受弯构件)，比那些发展塑性变形不能提高承载力的构件或结构(如轴心受力构件)具有较大的安全储备。
概率极限状态设计法是采用数理统计方法按照一定概率确定荷载或材料的代表值，并给出结构的功能函数，用结构失效概率或可靠指标度量结构的可靠性。
《建筑结构可靠度设计统一标准》将极限状态分为两类：(1)承载能力极限状态，是指结构或结构构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形；(2)正常使用极限状态，是指结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。
结构按极限状态设计应符合下列要求：()0,21≥n X X X g （1.1）式((1.1)中g(X i )为结构功能函数，X i (i =1， 2……n)为基本变量，是指影响该结构功能的各种作用、材料性能、几何参数等。
目前我国结构设计规范基本都是采用以概率理论为基础的极限状态设计方法，用分项系数设计表达式进行计算。
美国的钢结构设计采用了两种设计方法：ASD(Allowable Stress Design)和LRFD(Load and Resistance Factor Design)，即容许应力设计法和分项系数设计法，McCormac 指出LRFD 相比ASD ，并不一定节省材料，虽然在很多情况下可以取得这样的效果，而在不同荷载作用下能给结构提供等同的可靠性，对于活载和恒载，ASD 采用的安全系数是一样的，而LRFD 对恒载则采用了一个较小的荷载系数(恒载比活载能更准确的确定)，也就是说如果恒载大于活载，LRFD 比ASD 节省材料。
第2章-结构几何非线性
尤拉描述法（Eulerian Formulatlon） 独立变量是质点P当前时刻的位置xn+1与时 间tn+1。 现在用得最为广泛的是Lagriangian列式， 因此下面主要讲述T.L和U.L下几何非线性 有限元方程的建立。
第2章
6
三. 线弹性杆单元刚度矩阵建立的步骤 1.选择插值函数描述体内任一点的位移 u
i xi ui
第2章 16
Lagrange 描述－Green应变张量
x3
Q( xi dxi )
Q '(i di )
ds
P' (i )
ds0
P( xi )
O
x2
x1
第2章 17
图示两相邻点P和Q，变形前其坐标分别为xi 和xi dxi，
单元PQ的长度为ds0；变形后两点分别变位至P ' 和Q '， 其坐标分别为i 和i di，P ' Q '的长度变为ds。点P的 位移向量为ui。 很明显，若ds ds0，则单元没有变形，仅发生刚体平
第2章 20
若计轴x1 , x2 , x3分别对应x, y, z轴，u , v, w分别 为x, y, z方向的位移分量，则有工程符号表达 的 xx 和 xy为： u 1 u 2 v 2 w 2 xx 11 ( ) ( ) ( ) x 2 x x x u v u u v v w w xy 2 xy 212 ( ) y x x y x y x y
第2章
4
全拉格朗日列式法（ T.L列式法－ Total Lagrangian Formulation）。选取to=0时刻 未变形物体的构形Ao作为参照构形进行分 析。 修正的拉格朗日列式法（ U.L列式法－ Updated Lagrangian Formulation）。选取 tn时刻的物体构形An为参照构形。由于An随 计算而变化，因此其构形和坐标值也是变 化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时 增量步的开始时刻。
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
结构非线性
10.1 非线性问题分类及求解 10.2 非线性问题求解方法 10.3 材料非线性 10.4 几何非线性 10.5 边界非线性 10.6 非线性弹性稳定性问题 10.7非线性分析特点 10.8 ANSYS非线性结构计算示例 10.9ANSYS稳定性计算示例
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.2.3 载荷增量法
, K T P 0
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ， 对应于 ，则 , 0
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
10.4.2 几何非线性有限元分析
由虚功原理
T * e
F dxdydz dV
t
Dt mD 1 mDP
0＜m＜1
其中，m为加权因子．当m＝1时为完全弹性；m＝0 为完全塑性。m值的物理意义见图10-7。
图10-7 m值的物理意义
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 弹塑性有限元解法
弹塑性问题求解常用切线刚度法、初应力法或切线 刚度法等增量法。 同样，弹塑性问题的平衡方程可以表示为
式中
s
——屈服应力，
H ——塑性强化模量。
岩石在承受 的荷载超过 一定值时， 如较高的围 岩压力时表 现出理想塑 性特性。
第十章 结构非线性分析的有限单元法简介
弹塑性变形时总应变包括 两部分。
弹塑 性 元件 应力足够大 式中 e ——弹性应变， 时的金属、 岩石、土壤。 p ——塑性应变。 加载时使用增量理论。
结构力学模拟中的三类非线性问题
1. 线性分析外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。
通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。
此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。
这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。
2. 非线性分析非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。
所有的物理结果均是非线性的。
线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。
但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。
一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。
线性弹簧，刚度是常数非线性弹簧，刚度不是常数由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。
在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。
在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。
非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。
每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。
3. 非线性的来源在结构的力学模拟中有三种：材料非线性、边界非线性（接触）、几何非线性。
(1) 材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。
橡胶材料等也是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。
材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。
应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。
材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。
(2) 边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。
非线性本构理论及方程
非线性本构理论及方程非线性本构理论及方程是构成工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文将介绍非线性本构理论及其相关方程，包括非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
首先，介绍非线性本构模型。
非线性本构模型是描述材料性质的基本概念，它涉及材料物理本质，模型可以用来研究材料在加载过程中的全局响应，以及材料力学和结构力学性质。
常见的非线性本构模型有弹性-塑性模型、扭转模型、粘弹性模型等。
其次，介绍非线性本构方程。
非线性本构方程是描述材料性质的基本方程，它涉及材料物理本质，可以用来研究材料在加载过程中响应的性质和行为规律。
常见的非线性本构方程有Jaumann函数、等因式能量函数、Rice-Salamon函数等。
再次，介绍压缩圆柱模型。
压缩圆柱模型是用来描述材料性质的一种模型，它是一种压缩材料的流变特性模型，可以用来描述材料在压缩方向的性质，同时也可以用来分析材料的非线性行为。
压缩圆柱模型的一般形式为：σ=K_0*[1+e~(-K~2*ε)]^(-n)其中，K_0是已知的参数，e~(-K~2*ε)是可以计算的，n是未知的参数，σ是应力，ε是压缩应变。
最后，介绍等因式能量函数。
等因式能量函数是用来描述材料性质的常用方程，它是建立材料屈服条件的重要函数，可以用来表征材料在上下线性段之间的行为规律。
等因式能量函数的一般形式为：W=K_1ε^2*(1+K_2ε^n)其中，K_1、K_2和n是未知参数，W是能量，ε是应变。
综上所述，非线性本构理论及其相关方程是工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文介绍了非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
将本构理论和方程应用到工程设计中，将有助于更好地使用材料以解决工程问题。
5 桥梁结构的材料几何非线性分析
几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大 位移大应变即有限应变理论两种。
桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。 一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题
，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载 作用下的大挠度问题等。
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。
以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
[B]T { }dV {F}
{ } [B]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍
然成立，但物理方程是非线性的，可以写成
方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。
在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。
材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。
但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解 （3）接触问题
若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束 假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。
如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。
（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料
非线性分析实例
ansys非线性分析实例(1) 设定分析参数，在ANSYS顶部菜单Parameters->Scalar Parameters，在弹出的Scalar Parameters窗口中输入，FORCE=100，OFFSET=0.1。
(2) 建立模型，在本算例中，我们将接触两种新的单元，三维梁单元Beam 4和三维索单元Link 10。
Beam 4单元在参数定义等方面比前面介绍的Beam 188单元简单，对于常见的矩形弹性截面，也是一个很实用的单元。
Link 10单位为ANSYS提供的空间索单元，用户可以控制该单元只能受压或者只能受拉，默认该单元只能受拉。
(3) 在ANSYS主菜单Preprocessor->Element type->Add/Edit/Delete中选择Beam 4单元和Link 10单元(4) Beam 4单元和Link 10单元都可以通过实参数来设置截面属性。
首先设置Beam 4单元的截面。
我们要建立的截面是一个0.1m×0.12m的矩形截面。
Beam 4单元如果没有指定截面主轴方向，则截面局部坐标系的Y轴方向将和整体坐标系的X-Y平面平行。
在ANSYS 主菜单Preprocessor->Real Constants->Add/Edit/Delete，选择Add，指定实参数的关联单元类型为Beam 4单元，输入截面参数为AREA: 0.1*0.12, IZZ: 0.12*0.1**3/12, IYY:0.1*0.12**3/12, TKZ: 0.12, TKY: 0.1, 如下图所示(5) 继续添加第二个实参数类型，指定第二个实参数与Link 10单元相关。
取Link 10单元的截面积为4×10-6m2，初始应变为2×10-3，这里正的表示初始应变为拉应变。
(6) 下面设定材料属性，在本例子中为了简单起见，所有材料都设定为钢材。
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《工程结构非线性》作业
学院：土木工程学院
专业：桥梁工程
姓名：刘万事
学号：S140110021
教师：方志（教授）
结构非线性作业一
（1） 求出荷载—柱中点侧移的解析解及第一类失稳荷载；
（2） 以具体的实例给出几何非线性效应的数值解（可用有限元程序计算,但应给出有限元程
序理论背景的详细描述），并与解析解结果对比；
（3） 对结构几何非线性和稳定的关系进行讨论。
1、偏压柱的跨中最大挠度的解析解
图1 计算简图
1.1跨中弯矩为： ()M P e y =+ （1）
1.2由材料力学中梁挠曲线的近似微分方程可以得到： 22d y M
dx EI
=- 将（1）式代入其中得
''()P e y P Pe y y EI EI EI
+=-=+
解微分方程得：
[]csc sin ()csc sin sin ()sin csc l x x y e l l x e l x l l e l x x l e
ααααααα-⎡⎤⎡
⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+-
其中α=
1.3 求跨中侧移：当2l
x =
时 max
2sin csc (sec 1)22
l l
y e l e e ααα=-=-
2、用有限元软件ansys 建立题中所给的弯压柱的力学模型，并计算跨中最大挠度
2.1 给出一个实例：
假设题中所给弯压柱所受荷载P=10KN, 偏心距e=0.05m ，柱高为L=5m ，采用屈服
强度为345MP 的钢材，弹性模量E=2.06x105
MP, 柱的截面尺寸如所示：
图1 计算截面
2.2 确定材料的本构模型
采用韩林海（2007）中的二次塑性流模型来模拟钢材，
其应力-应变关系曲线,分为弹性段(Oa)、弹塑性段(ab)、塑性段 (bc)、强化段(cd)和二次塑流(de)等五个阶段，如图1所示。
图1中的点划线为钢材实际的应力-应变关系曲线，实线所示为简化的应力-应变关系曲线，模型的数学表达式如式(3-1)。
其中：
e1e3e1e2e e1s y e 100,10,5.1,/8.0εεεεεεε====E f ； f p 、f y 和 f u 分别为钢材的比例极限、屈服极限和抗拉强度极限。
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧>≤<⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--+≤<≤<++-≤=e3
s y e3s e2e2e3e2s y e2s e1y
e1
s e s 2s e s s s s 6.16.01εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεσf f f C B A E (3-1)
由该本构模型计算出材料的应力—应变关系
表1 计算的钢管的力学参数与应力——应变曲线
应
变 分
段
点 0ε
0.001729612
e ε 0.001383689 1
e ε
0.002075534 2e ε 0.02075534 3e ε
0.218143 系 数
A
1.48877E+14 B
6.18E+11
C -285040000
2.3 建立有限元模型
建立一个新的文件，将材料、截面形状、截面特性进行设置，支座为两端铰支，梁划分成100个单元，具体模型如下图。
施加偏心荷载，将荷载划分为轴向力和一个弯矩，加载图如下。
计算前将进行如下设置，按大位移计算，打开预应力开关，具体如图。
计算结果，位移图如下。
计算所得柱中心位移为1.54mm。
3.5结果分析
ansys模拟计算出来跨中最大挠度为：1.54mm 利用前面建立的理论公式计算跨中挠度：
max
2sin csc 12l y e l e e αα⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10000P N =
206000000000E Pa =
3
12
bh I = b=0.1m h=0.1m t=0.01m
I =（0.1x 0.13-0.08x 0.083）/12= 4.92x 10-6 l =5m e=0.05m
所以：
=1.582mm
对比有限元软件结果1.54mm 与理论公式结果1.58mm ，差异度只有2%左右。