2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案第一讲总复习导学案 Word版含解析
高中数学人教A版选修4-5导学案4.1数学归纳法
4.1 数学归纳法教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？ 得出结论：证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 的两个步骤： （1）证明当1n =时，命题成立； （2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
2018-2019高二数学人教A版选修4-5课件：第一讲总复习
2．基本不等式 (1)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． a＋b (2)a>0，b>0⇒ 2 ≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)． (3)a>0，b>0，c>0⇒ a＋b＋c 3 3 ≥ abc(当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立)．
熟悉以上三个基本不等式及它的变形应用，如 a ＋b≥2 ab， a＋b＋c 3 abc≤ .在应用等号求最值时，要满足“一正、二定、三相 3 等”的条件，否则等号不一定成立． 还有由基本不等式推出的常用不等式： a2＋b2≥2|ab|≥2ab；(a＋b)2≥4ab； a＋b 2 2 a ＋ b 1 a2＋b2≥ (a＋b)2； ≥ 2 2； 2 2 b a b a ＋ ≥2(ab>0)； ＋ ≤－2(ab<0)． a b a b
第一讲总复习
必修4-5
本节目标
1．了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方 法， 会进行简单的应用.
2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决
最值问题；
前置学习
1．已知 y＞x ＞0，且 x ＋y＝1，那么( x ＋y A．x ＜ ＜y＜2xy 2 x ＋y C ．x ＜ ＜2xy＜y 2
(Ⅰ)分区间讨论法：它虽然麻烦一些，但具有普遍性．如：|x －a|＋|x－b|≤c(c>0)．不妨设 a<b，可将原不等式转化为三个不等
x≤a， 式组 a－x＋b－x≤c； a<x<b， 或 x－a＋b－x≤c； x≥b， 或 x－a＋x－b≤c.
原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集．
解析：选 C ∵ab＞0，∴a，b 同号．又 a3＞b3， a b 1 1 ∴a＞b.∴ ＞ .∴ ＞ . ab ab b a
人教版数学高二A版选修4-5学案第一讲一不等式(第3课时)
3.三个正数的算术－几何平均不等式1．了解三个正数的算术－几何平均不等式．2．会应用三个正数的算术－几何平均不等式解决简单问题．1．三个正数的算术－几何平均不等式如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥________，当且仅当________ 时，等号成立． 【做一做1－1】 若x ＞0，则4x ＋9x 2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在【做一做1－2】 若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.2333 C.332 D.2232．n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术－几何平均不等式对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均______它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n____________. 当且仅当____________时，等号成立．从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点．【做一做2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥______.答案：1.3abc a ＝b ＝c【做一做1－1】 B ∵x ＞0，∴4x ＋9x 2＝2x ＋2x ＋9x 2≥3336，当且仅当2x ＝9x2，即x ＝12336时等号成立． 【做一做1－2】 A ∵log x y ＝－2，∴x ＞0且x ≠1，y ＞0，且y ＝x －2.∴x ＋y ＝x ＋x －2＝x 2＋x 2＋1x 2≥3314＝3322.当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时等号成立． 2．不小于 ≥n a 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n【做一做2】 9 (a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c) ＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab≥3＋66bc a 2·ac b 2·ab c 2·a 2bc ·b 2ca ·c 2ab＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．1．三个正数或三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数的或者n 个数的算术－几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别． 2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术－几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 应用三个正数的算术－几何平均不等式求函数的最值【例1】 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方． 反思：拼凑数学结构，以便能利用算术－几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12(x ＋2－2x ＋1＋x 3)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．题型二 应用三个正数的算术－几何平均不等式证明不等式【例2】 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9. 分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术－几何平均不等式证明．反思：三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．题型三 应用三个正数的算术－几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→将它代入E ＝k sin θr2―→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解反思：处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．答案：【例1】 解：∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12(2x 2＋1－x 2＋1－x 23)3＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号成立． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239. 【例2】 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc . ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 【例3】 解：∵r ＝2cos θ， ∴E ＝k ·sin θcos 2θ4(0＜θ＜π2)， ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·(2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ 3)3＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号，即tan 2θ＝12，tan θ＝22， ∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． ∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．1．已知θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．2．求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．3．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2(1－x )的最大值．4．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：333111abc a b c+++≥答案：1．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因式的和为定值．要特别注意sin 2θ＋cos 2θ＝1的应用．解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×32()3＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝3时取等号．此时y max ＝9. 2．证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥而这里A 为定值，即A ≥V xy ＝yz ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立．所以当所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．3．分析：本题积结构中x 2＝x ·x ，所以y ＝x 2(1－x )＝x ×x (1－x )，为使“和”为定值，还需拼凑系数．解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤3122()23x x x ++-＝18227⨯＝427. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号． 此时，y 的最大值为427. 4．证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，由算术－几何平均不等式可得333111a b c ++≥即333111a b c ++≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以333111abc a b c +++≥3abc abc +.而3abc abc+≥＝当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)，所以333111abc a b c+++≥当且仅当a ＝b ＝c )．。
高中数学人教A版选修 选修4-5 第一讲 小结与复习 导学案 精品
第一讲 不等式和绝对值不等式典型例题本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则( ) A ．a 2＞b 2 B.a b＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝⎛⎭⎫12a＜⎝⎛⎭⎫12b1．证明不等式不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1x ·⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥9.若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92.2．求函数的最值在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x 、y 为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2xsin 2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 33．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y ＝x ＋ax 的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？ (2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？1．公式法|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )； |f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )． 2．平方法|f (x )|＞|g (x )|⇔[f (x )]2＞[g (x )]2. 3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x 的不等式： (1)|x －x 2－2|＞x 2－3x －4； (2)|x ＋1|＞|x －3|；(3)|x2－2|x|－2|≤1；(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；(5)|2x－1|＜|x|＋1.若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为不等式恒成立问题，常用的解决方法有：(1)实根分布法涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根分类讨论去解决问题．(2)最值法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(3)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(4)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是空集，求a的取值范围．课堂练习一、选择题1．已知y ＞x ＞0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x ＜x ＋y 2＜y ＜2xy B ．2xy ＜x ＜x ＋y2＜yC ．x ＜x ＋y 2＜2xy ＜yD ．x ＜2xy ＜x ＋y2＜y2．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－3，6) C ．(－3，3) D ．(1，4) 3．下列命题正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2>bc 2 B.a c ＞bc ⇒a ＞bC.⎭⎪⎬⎪⎫a 3＞b 3ab ＞0⇒1a ＜1b D.⎭⎪⎬⎪⎫a 2＞b 2ab ＞0⇒1a ＜1b 4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞22，|β|＞22，则下列结论：①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5； ④|α＋β|≤5.其中正确的有( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 二、填空题5．(陕西高考)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．6．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．7．(江西高考)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．8．a ＞0，b ＞0，给出下列四个不等式： ①a ＋b ＋1ab≥22； ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4； ③a 2＋b 2ab ≥a ＋b; ④a ＋1a ＋4≥－2.其中正确的不等式有________(只填序号)． 三、解答题9．设a ＞0，且a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．10．求当x ≠0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域．11．已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x );(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．。
高二数学人教A版选修4-5导学案 1.1.2基本不等式导学案 Word版含解析
基本不等式
预习案
一、预习目标及范围
．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．
．理解定理和定理(基本不等式)．
．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．
二、预习要点
教材整理两个定理及算数平均与几何平均
．两个定理
定理内容等号成立的条件
定理＋≥(，∈)当且仅当时，等号成立定理≥(，＞)当且仅当时，等号成立.算术平均与几何平均
如果，都是正数，我们称为，的算术平均，为，的几何平均．
教材整理利用基本不等式求最值
已知，为正数，＋＝，＝，则
()如果是，那么当且仅当时，取得最小值；
()如果是，那么当且仅当＝时，取得最大值.
三、预习检测
．下列不等式中，正确的个数是()
①若，∈，则≥；
②若∈，则＋＋≥；
③若∈，则＋＋≥；
④若，为正实数，则≥.
．．．
．若≠，则()＝－－的最大值是，取得最值时的值是.
．已知，是正数，求证：
()≥；
()≥.
探究案
一、合作探究
题型一、利用基本不等式证明不等式
例已知，，都是正数，求证：＋＋≥＋＋.
【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．
[再练一题]
．已知，，均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
题型二、利用基本不等式求最值
例设，，均是正数，－＋＝，则的最小值为．
【精彩点拨】由条件表示，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．
[再练一题]。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.3排序不等式导学案 Word版含解析
3.3 排序不等式学习目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究使用排序不等式的关键是什么？名师点拨：1．排序原理的本质含义两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．2．排序原理的思想在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．3．排序原理的推论对于实数a1，a2，…，a n，设ai1，ai2，…，ai n为其任一个排列，则有a1ai1＋a2ai2＋…＋a n ai n≤a21＋a2＋…＋a2n.4．利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．5．排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商品中单价为3元，2元和1元的礼品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？【变式训练1】 设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值．【例2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.【变式训练2】 已知a ，b ，c 都是正数，求证：1a ＋1b ＋1c ≤a8＋b8＋c8a3b3c3.【例3】 设x >0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【变式训练3】 已知a ，b ，c 为正数，用排序不等式证明：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．参考答案二、合作探究探究1：两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．探究2：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．探究3：对于实数a 1，a 2，…，a n ，设ai 1，ai 2，…，ai n 为其任一个排列，则有a 1ai 1＋a 2ai 2＋…＋a n ai n ≤a 21＋a 2＋…＋a 2n .探究4：利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．探究5：(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】【解】 由题意可知，(a 1，a 2，a 3)＝(2,4,5)，(b 1，b 2，b 3)＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．【变式训练1】解 不妨设a 3>a 1>a 2>0，则1a3<1a1<1a2， 所以a 1a 2<a 2a 3<a 3a 1.设乱序和S ＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2. 由排序不等式得a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a 1＋a 2＋a 3＝1. 所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1. 【例2】【分析】 观察需证不等式可以发现左、右两边的次数相等．因此，应该进行适当的拼凑，使其成为积的形式．【证明】 不妨设a ≥b ≥c >0，则1bc ≥1ca ≥1ab>0，且a 12≥b 12≥c 12>0. ∴a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ac ＝a11b ＋b11c ＋c11a ≥a11a ＋b11b ＋c11c＝a 10＋b 10＋c 10. 【变式训练2】证明 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，则1c ≥1b ≥1a. 因而1b3c3≥1c3a3≥1a3b3. 又a 5≥b 5≥c 5，由排序不等式，得a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥a5c3a3＋b5a3b3＋c5b3c3＝a2c3＋b2a3＋c2b3.又由不等式性质，知a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3.根据排序不等式，得a2 c3＋b2a3＋c2b3≥a2a3＋b2b3＋c2c3＝1a＋1b＋1c.由不等式的传递性知1 a＋1b＋1c≤a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3＝a8＋b8＋c8a3b3c3.【例3】【分析】题中只给出了x>0，但是对于x≥1，x<1并不确定，因此，需要分类讨论．【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由排序原理知，1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥x n·1＋x n－1·x＋…＋1·x n，∴1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又∵x，x2，…，x n,1为1，x，x2，…，x n的一个排序，于是由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋1·x n≥1·x n ＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，∴x＋x3＋…＋x2n－1≥nx n.②①＋②，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.(2)当0<x<1时，1>x>x2>…>x n，同理可得．综合(1)与(2)，所以当x>0时，1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.【变式训练3】证明取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3＋b3＋c3都是顺序和，而a2b＋b2c＋c2a，及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和．因此，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b.∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．。
2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：4.1数学归纳法导学案 Word版含解析
4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究 探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n ＝n 0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n ＝n 0时，命题成立，n ＝n 0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)就有了依据，在n ＝n 0成立时，n 0＋1成立，n 0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n ＝k ＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n ＝n 0(n 0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋时)，命题成立，利用假设证明n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n ≥n 0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n ＝n 0是基础，找准n 0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明：1－2＋4－8＋…＋(－1)n －1·2n －1＝(－1)n －1·＋. 2n 313 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝＋＝1，等式成立．2313(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k －12k －1＝(－1)k －1·＋.2k 313则当n ＝k ＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k ·2k＝ ＝－ ＝－(－1)k ＋1· ＝(－1)k ·＋.1－ －2 k ＋11－ －2 13 －2 k ＋13132k ＋132k ＋1313这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)与(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，＋＋…＋＝.11×313×51 2n －1 2n ＋1 n 2n ＋1【例2】 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：x n ＋2＋(x ＋1)2n ＋1能被x 2＋x ＋1整除．【变式训练2】 求证：二项式x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．【例3】 平面上有n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线把平面分割成f (n )＝块区域．n 2＋n ＋22【变式训练3】 已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n ＝k ＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n ＝k ＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k 2k＝(－1)k －1·＋＋(－1)k ·2k 2k 313＝－(－1)k ·＋(－1)k ·2k ＋2k 313＝(－1)k ·2k ＋(－13＋1)13＝(－1)k ·＋.2k ＋1313即当n ＝k ＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，11×31312×1＋113左边＝右边，∴等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即＋＋…＋＝.11×313×51 2k －1 2k ＋1 k 2k ＋1则当n ＝k ＋1时，＋＋…＋＋11×313×51 2k －1 2k ＋1 1 2k ＋1 2k ＋3＝＋＝＝k 2k ＋11 2k ＋1 2k ＋3 2k 2＋3k ＋1 2k ＋1 2k ＋3 2k ＋1 k ＋1 2k ＋1 2k ＋3＝＝.k ＋12k ＋3k ＋12 k ＋1 ＋1即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)，(2)可知对一切n ∈N ＋等式成立．【例2】【证明】 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2]＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立．(2)假设n ＝k 时，结论成立，即x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1＝x ·x k ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1 ＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)(x ＋1)2k ＋1.由假设知，x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，∴命题成立．(2)假设n ＝k 时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除，那么n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－y 2(k ＋1)＝x 2·x 2k －y 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋x 2y 2k －y 2·y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)．∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，∴x 2(x 2k ＋y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除．即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 命题成立．【例3】【证明】 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分割成2块．而f (1)＝＝2，命题成立．12＋1＋22(2)假设n ＝k 时，k 条直线把平面分成f (k )＝块区域，那么当n ＝k ＋1时，设k ＋1条直k 2＋k ＋22线为l 1，l 2，l 3…l k ，l k ＋1，不妨取出l 1，余下的k 条直线l 2，l 3…，l k ，l k ＋1将平面分割成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域， 直线l 1被这k 条直线分割成k ＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k ＋1块区域，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝＋k ＋1＝＝，这就k 2＋k ＋22k 2＋3k ＋42 k ＋1 2＋ k ＋1 ＋22是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．【变式训练3】证明 (1)当n ＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋2.所以当n ＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为(k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，命题对n∈N＋都成立．。
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第一讲总复习
学习目标
充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合
的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究
本讲是中学数学的重要内容，可渗透到好多章节，且在现实生活中有广泛的应用，是近几年高考的热点．
．不等式的基本性质
()>⇔<.
()>，>⇒>.
()>⇔＋>＋.
()>，>⇒>.
>，<⇒<.
()>>⇒>(∈，≥)．
()>>⇒>(∈，≥)．
通过语言叙述可以加深对性质的理解，以下几条性质也经常会用到：
()>，>⇒＋>＋.
()>>，>>⇒>.
()>，>⇒<.
()>，<⇒－>－.
()>>，>>⇒>.
．基本不等式
()，∈⇒＋≥(当且仅当＝时，等号成立)．
()>，>⇒≥(当且仅当＝时，等号成立)．
()>，>，>⇒≥(当且仅当＝＝时，等号成立)．
熟悉以上三个基本不等式及它的变形应用，如＋≥，≤.在应用等号求最值时，要满足“一正、二定、三相等”的条件，否则等号不一定成立．
还有由基本不等式推出的常用不等式：
＋≥≥；(＋)≥；
＋≥(＋)；≥；
＋≥(>)；＋≤－(<)．
．绝对值三角不等式
()，∈，则＋≤＋，当且仅当≥时，等号成立．
()，，∈，则－≤－＋－，当且仅当(－)(－)≥时，等号成立．
应用公式时，正用、逆用、还是变形用都要正确无误，还要注意等号成立的条件，完整的绝对值三角不等式：
－≤±≤＋.
当，表示向量时，有明显的几何意义，三角形任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
．绝对值不等式的解法
绝对值不等式都要转化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解．其转化的常用方法(也就是化去绝对值符号的方法)有：
()由实数绝对值的意义，即＝
()不等式两边平方(平方前不等式两边非负)．。