双曲线高考知识点及题型总结
双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全)
目录
双曲线知识点 (2)
1双曲线定义： (2)
2.双曲线的标准方程： (2)
3.双曲线的标准方程判别方法是： (2)
4.求双曲线的标准方程 (2)
5.曲线的简单几何性质 (2)
6曲线的内外部 (3)
7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3)
8双曲线的切线方程 (3)
9线与椭圆相交的弦长公式 (4)
高考知识点解析 ........................................................................................................................ 错误!未定义书签。
知识点一：双曲线定义问题 ............................................................................................ 错误!未定义书签。
知识点二：双曲线标准方程问题 .................................................................................... 错误!未定义书签。
知识点三：双曲线在实际中的应用 ................................................................................ 错误!未定义书签。
知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 .................................................................... 错误!未定义书签。
知识点五：双曲线的离心率 ............................................................................................ 错误!未定义书签。
知识点六：直线与双曲线 (6)
考题赏析 .............................................................................................................................................................. 7-13分块讲练 .................................................................................................................................... 错误!未定义书签。
双曲线知识点
1 双曲线定义：
①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数）
）这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；
当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）.这里
222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴
上；如果2
y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标
准方程后，运用待定系数法求解.
5.曲线的简单几何性质
22
a x －22b
y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R
⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：
①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a
b
y ±=
②若渐近线方程为x a
b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x
③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）
④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线
为等轴双曲线，可设为λ=-2
2
y x ；y =
a b x ，y =－a
b x
⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2
，两准线之距为2
122a K K c
=?
⑹焦半径：2
1()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；
2
2()a PF e x ex a c
=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；
当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）
⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b y a x )0(≠λ
⑻与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122
2
2=--+k
b y k a x 6曲线的内外部
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22
00
221x y a b ?
->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200
2
21x y a b
?
-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a
b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）.
8双曲线的切线方程
(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b
-=.
（2）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是
00221x x y y
a b
-=. （3）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是
22222A a B b c -=.
9线与椭圆相交的弦长公式
AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，
则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=
]4)[()1
1(1
1212212122
y y y y k
y y k -+?+
=-?+
=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 双曲线高考知识点
题型一 双曲线定义的应用
已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，
以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．
解 设F (x ，y )为轨迹上任意一点， ∵A 、B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上 ∴|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，
∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝2
∴F 的轨迹方程为：y 2－x 248
＝1 (y ≤－1)． 知识点二 求双曲线的标准方程
设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36
＝1有相同的
焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知
c 2＝36－27＝9，c
＝3.
又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有
?????
42a 2
－(±15)2b 2
＝1，a 2＋b 2＝9，
解得?????
a 2＝4，
b 2＝5.
所以双曲线的标准方程为y 24－x 2
5
＝1.
方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以
2a ＝|
(±15－0)2＋(4＋3)2－
(±15－0)2＋(4－3)2| ＝4，
即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y 24－x 2
5
＝1.
方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为
x 227－λ
＋
y 236－λ
＝
1(27<λ<36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性． 知识点三 双曲线在实际中的应用
A 、
B 、
C 是我方三个炮兵阵地，A 在B
正东6 km ，C 在B 的北偏西30°相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．
解 以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23) ∵|PB |＝|PC |，
∴点P 在线段BC 的垂直平分线上 ∵k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)
∴直线PD ：y －3＝1
3(x ＋4)①
又|PB |－|P A |＝4，
∴P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上
设P (x ，y )则双曲线方程为x 24－y 2
5＝1(x ＞0)②
联立①、②式得x ＝8，y ＝53， ∴P (8,53)，因此k P A ＝53
8－3＝ 3.
故炮击的方位角为北偏东30°.
知识点四 双曲线几何性质的简单应用
已知双曲线渐近线的方程为2x ±3y ＝0.
(1)若双曲线经过P (6，2)，求双曲线方程；
(2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； (3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程． 解 (1)设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线过点P (6，2)， ∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12
∴双曲线的方程为：－x 23＋34y 2
＝1.
(2)设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)． ∵
c 2＝a 2＋b 2，∴13＝a 2＋b 2.
由渐近线斜率得b a ＝23，或a b ＝2
3
，
故由????? b a ＝23，a 2＋b 2＝13，或???
??
a b ＝23，a 2＋b 2＝13.
解得????? a 2＝9，b 2＝4，或?????
a 2＝4，
b 2＝9.
∴所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 24－x 2
9＝1.
(3)由(2)所设方程可得：
????? b a ＝23，2a ＝6.或????? a b ＝23，2a ＝6.解得?????
a ＝3，
b ＝2，或?????
a ＝3，
b ＝92.
故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 29－4x 2
81
＝1.
知识点五 求双曲线的离心率
(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±
3
4
x ，则双曲线的离心率为________；
(2)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(b >a >0)的半焦距为
c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点．已知原点到直
线l 的距离为3
4
c ，则双曲线的离心率为________．
解析 (1)当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意，b a ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b
2
a
2＝
1＋916＝2516
， ∴e ＝54
；
当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a
b
x ，
依题意a b ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋169＝259，
∴e ＝53
.
(2)直线l 的方程为x a ＋y
b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.
于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，即ab ＝34
c 2.
两边平方得16a 2b 2＝3c 4，∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4. 即3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0，∴3e 4－16e 2＋16＝0.
解得e 2＝4，或e 2＝4
3，
∵b >a >0，∴b
2a 2>1，
∴e 2
＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，故e 2＝4，∴e ＝2.
答案 (1)53或5
4
(2)2
知识点六 直线与双曲线
直线l 在双曲线x 23－y 2
2
＝1上截得的弦长
为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .
解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，
由?????
y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，
得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.
设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，
由韦达定理，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝3
10(m 2＋2)．
又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)， ∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝5(x 1－x 2)2
＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝5[3625m 2－4×3
10
(m 2＋2)]．
∵|AB |＝4，∴36
5
m 2－6(m 2＋2)＝16.
∴3m 2＝70，m ＝±210
3
.
∴直线l 在y 轴上的截距为±210
3
.
考题赏析
1．(全国Ⅱ高考)设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2
(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )
A ．(2，2)
B ．(2，5)
C ．(2,5)
D ．(2，5)
解析 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 2
(a ＋1)2＝1，
∴c ＝
2a 2＋2a ＋1.
∴e ＝c a
＝
2＋1a 2＋2
a ＝????1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1
a ＋1<2.
∴1
a 2<4.∴2 2．(重庆高考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝kx (k >0)，离心率e ＝ 5k ，则双曲线方程为( ) A.x 2a 2－y 24a 2＝1 B.x 2a 2－y 2 5a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2 b 2＝1 解析 双曲线的渐近线方程可表示为y ＝±b a x ，由已知可得k ＝b a .又离心率e ＝1＋????b a 2＝5k ，所以k ＝1 2 . 即b a ＝1 2，故a ＝2b . 答案 C 3．(湖北高考) 如图所示，在以点O 圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C 是满足||MA| -|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P. (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； (2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围． 解 (1)方法一 以O 为原点 ，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(-2,0)，B(2,0)，P(3,1)， 依题意得||MA|-|MB|| =|PA |- |PB| ==<|AB|=4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c=2,2a=22，∴a 2=2，b 2 = c 2 - a 2=2. ∴曲线C 的方程为22 122 x y -=. 方法二 同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设双曲线的方程为22 221x y a b -= (a>0，b>0)， 则由2 22211,4,b a b -=?+=? 解得a 2 = b 2 = 2， ∴曲线C 的方程为22 122 x y -= (2)方法一 依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2，代入双曲线C 的方程并整理得 (1-k 2)x 2-4kx -6=0.① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴????? 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2 )>0，?????? k ≠± 1，－3 ∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得 x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－6 1－k 2 ， 于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋k 2·223－k 2 |1－k 2 | . 而原点O 到直线l 的距离d ＝2 1＋k 2 ， ∴S △OEF ＝1 2 d ·|EF | ＝12·2 1＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|. 若△OEF 的面积不小于22，即S △OEF ≥22， 则有223－k 2|1－k 2 |≥22?k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤ 2.③ 综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]． 方法二 依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴????? 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2 )>0，?????? k ≠± 1，－3 ∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ Δ |1－k 2| ＝ 22 3－k 2 |1－k 2| ，③ 当E ，F 在同一支上时(如图(1)所示)， S △OEF ＝|S △ODF －S △ODE |＝1 2 |OD |·(||x 1|－|x 2||) ＝1 2 |OD |·|x 1－x 2|； 当E，F在不同支上时(如图(2)所示)， S△OEF＝S△ODF＋S△ODE＝1 2|OD|·(|x1|＋|x2|) ＝1 2|OD|·|x1－x2|. 综上得S△OEF＝1 2|OD|·|x1－x2|. 于是由|OD|＝2及③式，得S△OEF＝223－k2 |1－k2| . 若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥22，则有 223－k2 |1－k2| ≥22?k4－k2－2≤0，解得－2≤k≤ 2.④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2] . 1．实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 2 16＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 216－x 2 20＝1 答案 B 解析 由题意知2a ＝45，a 2＝20， 若双曲线焦点在x 轴上，则可设方程为x 220－y 2 b 2＝1， 代入点A (2，－5)，得：420－25 b 2＝1，即－25b 2＝1620，矛盾． 因此设双曲线的方程为－x 2b 2＋y 220＝1.代入A (2，－5)，得：4b 2＝－1＋2520＝1 4，∴b 2＝16.故 选B. 2．如果双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2 答案 A 解析 因两条渐近线互相垂直．所以两渐近直线的倾斜角为π4、3 4π.渐近线的方程为y ＝±x ， ∴b a ＝1，即a ＝b ， c ＝ a 2＋ b 2＝2a ，∴e ＝ 2a a ＝ 2. 3．双曲线与椭圆x 216＋y 2 64 ＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 答案 D 解析 由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c 2＝48，又因一条渐近线方程为y ＝x . 所以a b ＝1.即a ＝b ，∴48＝2a 2，a 2＝b 2＝24.故选D. 4．F 1、F 2为双曲线x 24 －y 2 ＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2 的面积是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B 解析 方程变形为y 2 －x 24 ＝1， 由题意????? ||PF 1|－|PF 2||＝2 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2 ② 由①式两边平方得：20－2|PF 1||PF 2|＝4， ∴|PF 1||PF 2|＝8， S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1 2×8＝4. 5．若方程x 2|k |－2＋y 25－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．k <－2，或2 B ．－2 C ．k <－2，或k >5 D ．－2 解析 由题意知：(|k |－2)(5－k )<0，即????? |k |－2>0， 5－k <0， 或????? |k |－2<0. 5－k >0. 解得：k >5，或－2 3 x ，若顶点到渐近线的距 离为1，则双曲线方程为____________． 答案 x 24－34 y 2 ＝1 解析 双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x ＋3y ＝0， ∴1＝a 1＋3 ＝a 2，∴a ＝2. 又b a ＝33，∴b ＝233 ， ∴双曲线方程为x 24－34 y 2 ＝1. 7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________． 答案 x 24－y 2 12 ＝1 解析 由题意知双曲线仅与x 轴有交点， ∴????? x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0， 即x 2－6x ＋8＝0， ∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 2 12 ＝1. 8．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42.设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3. ∴M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)， 且a ＝32，c ＝5.则有b 2＝914 . ∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－3 2 )． 9．椭圆x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线x 2n 2－y 2＝1(n >0)有公共焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交 点，求△F 1PF 2的面积． 解 根据椭圆与双曲线焦点都在x 轴上，不妨设P 在第一象限，F 1是左焦点，F 2是右焦 点，则由椭圆与双曲线定义有? ???? |PF 1|＋|PF 2|＝2m ， |PF 1|－|PF 2|＝2n ， 可解得|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m 2＋n 2)． 又∵两者有公共焦点，设半焦距为c . 则m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，∴m 2＋n 2＝2c 2. ∴|F 1F 2|2＝4c 2＝2(m 2＋n 2)， ∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴∠F 1PF 2＝90°. 又∵m 2－1＝n 2＋1＝c 2，∴m 2－n 2＝2. ∴S △F 1PF 2＝1 2 |PF 1||PF 2| ＝1 8[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝1 2 (m 2－n 2)＝1. 所以△F 1PF 2的面积为1. 10．已知双曲线x 2－y 2＝a 2及其上一点P ，求证： (1)离心率e ＝2，渐近线方程y ＝±x ； (2)P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方； (3)过P 作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值． 证明 (1)由已知得c ＝ a 2＋a 2＝2a ， ∴e ＝2，渐近线方程y ＝±x . (2)设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20 ＝a 2， 又F 1(－2a,0)、F 2(2a,0)， ∴|PF 1||PF 2|＝(x 0＋2a )2＋y 20·(x 0－2a )2＋y 2 ＝ 2x 20＋a 2＋22ax 0·2x 20＋a 2 －22ax 0 ＝|2x 0＋a ||2x 0－a | ＝|2x 20－a 2|＝|x 20＋y 20|＝|PO |2 . ∴P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方． (3)设垂足分别为Q 、R ，则由点到直线距离公式知 |PQ |＝|x 0－y 0|2，|PR |＝|x 0＋y 0|2 ， ∴S PQOR ＝|PQ ||PR |＝12|x 20－y 20|＝12a 2 . ∴该矩形的面积为定值. 讲练学案部分 2．3.1 双曲线及其标准方程 . 对点讲练 知识点一 双曲线定义的应用 如图所示，在△ABC中，已知|AB|=42，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A(-22,0)、 , 0 )． 由正弦定理得sinA = 2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2 c . 从而有|CA| - |CB|=2 1 |AB|=<|AB|. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵，，∴b 2= c 2 - a 2 = 6. 所以顶点C 的轨迹方程为22 1,26 x y -= ()． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而 |PF1|-|PF2|=2a 表示一支． P 是双曲线x 216－y 2 20 ＝1上一点，F 1、F 2 是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝9，求|PF 2|的值． 解 在双曲线x 216－y 2 20 ＝1中，a ＝4，b ＝2 5. 故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝17. 知识点二 求双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P ????3，154，Q ????－16 3，5，且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，且过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)与双曲线x 216－y 2 4 ＝1有相同焦点，且经过点(32，2)． 解 (1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2 n ＝1， ∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴??? 9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1 ，解得? ???? m ＝－16n ＝9， ∴所求双曲线方程为y 29－x 2 16 ＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为：x 2λ－y 2 6－λ＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2 ＝1. (3)设所求双曲线方程为： x 216－λ－y 2 4＋λ ＝1 (其中－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 2 8 ＝1. 【反思感悟】 用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双 高中化学基础知识整理 Ⅰ、基本概念与基础理论： 一、阿伏加德罗定律 1．内容：在同温同压下，同体积的气体含有相同的分子数。即“三同”定“一同”。2．推论 （1）同温同压下，V1/V2=n1/n2 同温同压下，M1/M2=ρ1/ρ2 注意：①阿伏加德罗定律也适用于不反应的混合气体。②使用气态方程PV=nRT有助于理解上述推论。 3、阿伏加德罗常这类题的解法： ①状况条件：考查气体时经常给非标准状况如常温常压下，1.01×105Pa、25℃时等。 ②物质状态：考查气体摩尔体积时，常用在标准状况下非气态的物质来迷惑考生，如H2O、SO3、已烷、辛烷、CHCl3等。 ③物质结构和晶体结构：考查一定物质的量的物质中含有多少微粒（分子、原子、电子、质子、中子等）时常涉及希有气体He、Ne等为单原子组成和胶体粒子，Cl2、N2、O2、H2为双原子分子等。晶体结构：P4、金刚石、石墨、二氧化硅等结构。 二、离子共存 1．由于发生复分解反应，离子不能大量共存。 （1）有气体产生。如CO32-、SO32-、S2-、HCO3-、HSO3-、HS-等易挥发的弱酸的酸根与H+不能大量共存。 （2）有沉淀生成。如Ba2+、Ca2+、Mg2+、Ag+等不能与SO42-、CO32-等大量共存；Mg2+、Fe2+、Ag+、Al3+、Zn2+、Cu2+、Fe3+等不能与OH-大量共存；Fe2+与S2-、Ca2+与PO43-、Ag+与I-不能大量共存。 （3）有弱电解质生成。如OH-、CH3COO-、PO43-、HPO42-、H2PO4-、F-、ClO-、AlO2-、SiO32-、 CN-、C17H35COO-、等与H+不能大量共存；一些酸式弱酸根如HCO3-、HPO42-、HS-、H2PO4-、HSO3-不能与OH-大量共存；NH4+与OH-不能大量共存。 （4）一些容易发生水解的离子，在溶液中的存在是有条件的。如AlO2-、S2-、CO32-、C6H5O-等必须在碱性条件下才能在溶液中存在；如Fe3+、Al3+等必须在酸性条件下才能在溶液中存在。这两类离子不能同时存在在同一溶液中，即离子间能发生“双水解”反应。如3AlO2-+Al3++6H2O=4Al(OH)3↓等。 2．由于发生氧化还原反应，离子不能大量共存。 （1）具有较强还原性的离子不能与具有较强氧化性的离子大量共存。如S2-、HS-、SO32-、I-和Fe3+不能大量共存。 （2）在酸性或碱性的介质中由于发生氧化还原反应而不能大量共存。如MnO4-、Cr2O7-、NO3-、ClO-与S2-、HS-、SO32-、HSO3-、I-、Fe2+等不能大量共存；SO32-和S2-在碱性条件下可以共存，但在酸性条件下则由于发生2S2-+SO32-+6H+=3S↓+3H2O反应不能共在。H+与S2O32-不能大量共存。 3．能水解的阳离子跟能水解的阴离子在水溶液中不能大量共存（双水解）。 例：Al3+和HCO3-、CO32-、HS-、S2-、AlO2-、ClO-等；Fe3+与CO32-、HCO3-、AlO2-、ClO-等不能大量共存。 4．溶液中能发生络合反应的离子不能大量共存。 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +, 双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 第二章 2.3 双曲线 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 高中化学重要知识点详细总结一、俗名 无机部分： 纯碱、苏打、天然碱、口碱：Ｎa2CO3小苏打：NaHCO3大苏打：Na2S2O3石膏（生石膏）：CaSO4.2H2O 熟石膏：2CaSO4·.H2O 莹石：CaF2重晶石：BaSO4（无毒）碳铵：NH4HCO3 石灰石、大理石：CaCO3生石灰：CaO 食盐：NaCl 熟石灰、消石灰：Ca(OH)2芒硝：Na2SO4·7H2O (缓泻剂) 烧碱、火碱、苛性钠：NaOH 绿矾：FaSO4·7H2O 干冰：CO2明矾：KAl (SO4)2·12H2O 漂白粉：Ca (ClO)2、CaCl2（混和物）泻盐：MgSO4·7H2O 胆矾、蓝矾：CuSO4·5H2O 双氧水：H2O2皓矾：ZnSO4·7H2O 硅石、石英：SiO2刚玉：Al2O3 水玻璃、泡花碱、矿物胶：Na2SiO3铁红、铁矿：Fe2O3磁铁矿：Fe3O4黄铁矿、硫铁矿：FeS2铜绿、孔雀石：Cu2 (OH)2CO3菱铁矿：FeCO3赤铜矿：Cu2O 波尔多液：Ca (OH)2和CuSO4石硫合剂：Ca (OH)2和S 玻璃的主要成分：Na2SiO3、CaSiO3、SiO2过磷酸钙（主要成分）：Ca (H2PO4)2和CaSO4重过磷酸钙（主要成分）：Ca (H2PO4)2天然气、沼气、坑气（主要成分）：CH4水煤气：CO和H2硫酸亚铁铵（淡蓝绿色）：Fe (NH4)2 (SO4)2溶于水后呈淡绿色 光化学烟雾：NO2在光照下产生的一种有毒气体王水：浓HNO3与浓HCl按体积比1：3混合而成。 铝热剂：Al + Fe2O3或其它氧化物。尿素：CO（NH2) 2 有机部分： 氯仿：CHCl3电石：CaC2电石气：C2H2 (乙炔) TNT：三硝基甲苯酒精、乙醇：C2H5OH 氟氯烃：是良好的制冷剂，有毒，但破坏O3层。醋酸：冰醋酸、食醋CH3COOH 裂解气成分（石油裂化）：烯烃、烷烃、炔烃、H2S、CO2、CO等。甘油、丙三醇：C3H8O3 焦炉气成分（煤干馏）：H2、CH4、乙烯、CO等。石炭酸：苯酚蚁醛：甲醛HCHO 福尔马林：35%—40%的甲醛水溶液蚁酸：甲酸HCOOH 葡萄糖：C6H12O6果糖：C6H12O6蔗糖：C12H22O11麦芽糖：C12H22O11淀粉：（C6H10O5）n 硬脂酸：C17H35COOH 油酸：C17H33COOH 软脂酸：C15H31COOH 草酸：乙二酸HOOC—COOH 使蓝墨水褪色，强酸性，受热分解成CO2和水，使KMnO4酸性溶液褪色。二、颜色 铁：铁粉是黑色的；一整块的固体铁是银白色的。Fe2+——浅绿色Fe3O4——黑色晶体 Fe(OH)2——白色沉淀Fe3+——黄色Fe (OH)3——红褐色沉淀Fe (SCN)3——血红色溶液FeO——黑色的粉末Fe (NH4)2(SO4)2——淡蓝绿色Fe2O3——红棕色粉末FeS——黑色固体 铜：单质是紫红色Cu2+——蓝色CuO——黑色Cu2O——红色CuSO4（无水）—白色CuSO4·5H2O——蓝色Cu2(OH)2CO3—绿色Cu(OH)2——蓝色[Cu(NH3)4]SO4——深蓝色溶液 BaSO4、BaCO3、Ag2CO3、CaCO3、AgCl 、Mg (OH)2、三溴苯酚均是白色沉淀 Al(OH)3白色絮状沉淀H4SiO4（原硅酸）白色胶状沉淀 Cl2、氯水——黄绿色F2——淡黄绿色气体Br2——深红棕色液体I2——紫黑色固体 HF、HCl、HBr、HI均为无色气体，在空气中均形成白雾 CCl4——无色的液体，密度大于水，与水不互溶KMnO4--——紫色MnO4-——紫色 Na2O2—淡黄色固体Ag3PO4—黄色沉淀S—黄色固体AgBr—浅黄色沉淀 AgI—黄色沉淀O3—淡蓝色气体SO2—无色，有剌激性气味、有毒的气体 SO3—无色固体（沸点44.8 0C）品红溶液——红色氢氟酸：HF——腐蚀玻璃 N2O4、NO——无色气体NO2——红棕色气体NH3——无色、有剌激性气味气体 三、现象： 1、铝片与盐酸反应是放热的，Ba(OH)2与NH4Cl反应是吸热的； 2、Na与H2O（放有酚酞）反应，熔化、浮于水面、转动、有气体放出；(熔、浮、游、嘶、红) 3、焰色反应：Na 黄色、K紫色（透过蓝色的钴玻璃）、Cu 绿色、Ca砖红、Na+（黄色）、K+（紫色）。 4、Cu丝在Cl2中燃烧产生棕色的烟； 5、H2在Cl2中燃烧是苍白色的火焰； 6、Na在Cl2中燃烧产生大量的白烟； 7、P在Cl2中燃烧产生大量的白色烟雾； 8、SO2通入品红溶液先褪色，加热后恢复原色； 9、NH3与HCl相遇产生大量的白烟；10、铝箔在氧气中激烈燃烧产生刺眼的白光； 11、镁条在空气中燃烧产生刺眼白光，在CO2中燃烧 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 （答：，，）-? ?? ???1013 3. 注意下列性质： （3）德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。[] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ∴……） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ∴a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线 2. 双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心 率：c e a = ，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________ 第二章 2.3 双曲线 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ 高二化学知识点归纳大全 相信大家在高一的时候已经选好文科和理科，而理科的化学是理科生最烦恼的。以下是我整理高二化学知识点归纳，希望可以帮助大家把知识点归纳好。 1、化学反应的反应热 (1)反应热的概念： 当化学反应在一定的温度下进行时，反应所释放或吸收的热量称为该反应在此温度下的热效应，简称反应热。用符号Q表示。 (2)反应热与吸热反应、放热反应的关系。 Q>0时，反应为吸热反应;Q<0时，反应为放热反应。 (3)反应热的测定 测定反应热的仪器为量热计，可测出反应前后溶液温度的变化，根据体系的热容可计算出反应热，计算公式如下： Q=-C(T2-T1)式中C表示体系的热容，T1、T2分别表示反应前和反应后体系的温度。实验室经常测定中和反应的反应热。 2、化学反应的焓变 (1)反应焓变 物质所具有的能量是物质固有的性质，可以用称为“焓”的物理量来描述，符号为H，单位为kJ·mol-1。 反应产物的总焓与反应物的总焓之差称为反应焓变，用ΔH表示。 (2)反应焓变ΔH与反应热Q的关系。 对于等压条件下进行的化学反应，若反应中物质的能量变化全部转化为热 能，则该反应的反应热等于反应焓变，其数学表达式为：Qp=ΔH=H(反应产物)-H(反应物)。 (3)反应焓变与吸热反应，放热反应的关系： ΔH>0，反应吸收能量，为吸热反应。 ΔH<0，反应释放能量，为放热反应。 (4)反应焓变与热化学方程式： 把一个化学反应中物质的变化和反应焓变同时表示出来的化学方程式称为热化学方程式，如：H2(g)+ O2(g)=H2O(l);ΔH(298K)=-285.8kJ·mol-1 书写热化学方程式应注意以下几点： ①化学式后面要注明物质的聚集状态：固态(s)、液态(l)、气态(g)、溶液(aq)。 ②化学方程式后面写上反应焓变ΔH，ΔH的单位是J·mol-1或kJ·mol-1，且ΔH后注明反应温度。 ③热化学方程式中物质的系数加倍，ΔH的数值也相应加倍。 3、反应焓变的计算 (1)盖斯定律 对于一个化学反应，无论是一步完成，还是分几步完成，其反应焓变一样，这一规律称为盖斯定律。 (2)利用盖斯定律进行反应焓变的计算。 常见题型是给出几个热化学方程式，合并出题目所求的热化学方程式，根据盖斯定律可知，该方程式的ΔH为上述各热化学方程式的ΔH的代数和。 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 双曲线知识点 知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且） 的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 对称性关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率 渐近线方 程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线 根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） 第一章从实验学化学-1- 化学实验基本方法 过滤一帖、二低、三靠分离固体和液体的混合体时，除去液体中不溶性固体。（漏斗、滤纸、玻璃棒、烧杯） 蒸发不断搅拌，有大量晶体时就应熄灯，余热蒸发至干，可防过热而迸溅把稀溶液浓缩或把含固态溶质的溶液干，在蒸发皿进行蒸发 蒸馏①液体体积②加热方式③温度计水银球位置④冷却的水流方向⑤防液体暴沸利用沸点不同除去液体混合物中难挥发或不挥发的杂质（蒸馏烧瓶、酒精灯、温度计、冷凝管、接液管、锥形瓶） 萃取萃取剂：原溶液中的溶剂互不相溶；②对溶质的溶解度要远大于原溶剂；③要易于挥发。利用溶质在互不相溶的溶剂里溶解度的不同，用一种溶剂把溶质从它与另一溶剂所组成的溶液里提取出来的操作，主要仪器：分液漏斗 分液下层的液体从下端放出，上层从上口倒出把互不相溶的两种液体分开的操作，与萃取配合使用的 过滤器上洗涤沉淀的操作向漏斗里注入蒸馏水，使水面没过沉淀物，等水流完后，重复操作数次 配制一定物质的量浓度的溶液需用的仪器托盘天平（或量筒）、烧杯、玻璃棒、容量瓶、胶头滴管 主要步骤：⑴计算⑵称量（如是液体就用滴定管量取）⑶溶解（少量水，搅拌，注意冷却）⑷转液（容量瓶要先检漏，玻璃棒引流）⑸洗涤（洗涤液一并转移到容量瓶中）⑹振摇⑺定容⑻摇匀 容量瓶①容量瓶上注明温度和量程。②容量瓶上只有刻线而无刻度。①只能配制容量瓶中规定容积的溶液；②不能用容量瓶溶解、稀释或久贮溶液；③容量瓶不能加热，转入瓶中的溶液温度20℃左右 第一章从实验学化学-2- 化学计量在实验中的应用 1 物质的量物质的量实际上表示含有一定数目粒子的集体 2 摩尔物质的量的单位 3 标准状况 STP 0℃和1标准大气压下 4 阿伏加德罗常数NA 1mol任何物质含的微粒数目都是6．02×1023个 5 摩尔质量 M 1mol任何物质质量是在数值上相对质量相等 6 气体摩尔体积 Vm 1mol任何气体的标准状况下的体积都约为 7 阿伏加德罗定律（由PV=nRT推导出) 同温同压下同体积的任何气体有同分子数 n1 N1 V1 n2 N2 V2 8 物质的量浓度CB 1L溶液中所含溶质B的物质的量所表示的浓度 CB=nB/V nB=CB×V V=nB/CB 9 物质的质量m m=M×n n=m/M M=m/n 10 标准状况气体体积V V=n×Vm n=V/Vm Vm=V/n 11 物质的粒子数N N=NA×n n =N/NA NA=N/n 12 物质的量浓度CB与溶质的质量分数ω 1000×ρ×ω M 13 溶液稀释规律 C（浓）×V（浓）=C（稀）×V（稀） 以物质的量为中心 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x 标准方程（焦点在y轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离的差的绝对值是常数（小于 12 F F）的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M2 2 1 = -()21 2F F a< 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1 e>时， 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（1 e>）叫做双曲线的离心率。 范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈ 对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0) O x y P 1 F 2 F x y P x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y P 焦点坐 标 1 (,0) F c- 2 (,0) F c 1 (0,) F c- 2 (0,) F c 焦点在实轴上，22 c a b =+；焦距： 12 2 F F c = 顶点坐 标 （a -,0） (a,0) (0, a -,) (0，a) 离心率e a c e( =>1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a2 2 顶点到 准线的 距离 顶点 1 A（ 2 A）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a a 2 - 顶点 1 A（ 2 A）到准线 2 l（ 1 l）的距离为a c a + 2 焦点到 准线的 距离 焦点 1 F（ 2 F）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a c 2 - 焦点 1 F（ 2 F）到准线 2 l（ 1 l）的距离为c c a + 2 渐近线 方程 x a b y± =x b a y± = 共渐近 线的双 曲线系 方程 k b y a x = - 2 2 2 2 （0 k≠）k b x a y = - 2 2 2 2 （0 k≠） ①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当a MF MF2 1 2 = -时，则表示点M在双曲线左支上； ②注意定义中的“（小于 12 F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边 之和之差小于第三边”。 若2a=2c时，即 2 1 2 1 F F MF MF= -,当21 2 1 F F MF MF= -，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当 2 1 1 2 F F MF MF= -时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线； 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。高中化学知识点总结材料
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