山东省日照市2019届高三一模(数学理)

2019年高三阶段训练理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2．第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

在试卷上作答无效。

参考公式：球的表面积公式：24S R π=，其中R 是球的半径；圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 为圆锥底面半径，l 为圆锥母线长。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)在复平面内，复数21i+对应的点所在象限是 (A)一(B)二(C)三(D)四(2)若集合2{1,},{2,4}A m B =，则"2"m =是"{4}"A B =的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)设P 是双曲线2221(0)9x y a a -=>右支上一点，其一条渐近线方程是12320,x y F F -=、分别是双曲线的左、右焦点，若18PF =||，则2PF ||等于 (A)4 (B)12(C)4或12 (D)2或14(4) 222,,sin ,xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰则a b c 、、大小关系是(A) a c b << (B) a b c << (C) c b a << (D)c a b <<(5)某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种 同一种颜色，则不同的种植方法共有 (A)48种 (B)36种 (C)30种 (D)24种 (6)某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结 果，企业统计员制作了如下的统计表格。

由于不小心，表格中A 、C 产 品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是(A)900件(B)800件(C)90件(D)80件(7)已知直线,,l m 平面,αβ、且,,l m αβ⊥⊂给出下列四个命题：①若//,αβ则;l m ⊥②若,l m ⊥则//;αβ③若,αβ⊥则//;l m ④若//,l m 则;αβ⊥ 其中真命题是 (A)①②(B)①③ (C)①④ (D)②④(8)设a 为函数sin ()y x x x =∈R 的最大值，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是(A)192 (B)182 (C)-192 (D)-182 (9)某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为 (A)4π (B)5π (C)8π (D)9π (10)数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1{}1n a +是等差数列，则11a = (A)111(B)0(C)113-(D)17-(11)定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f = (A)1 (B)45 (C)1- (D)45-(12)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其而积的取值范围是22[3,4]b b ，则这一椭圆离心率e 的取值范围是(A)2(B)2[,]32(C) (D)第Ⅱ卷(共90分)注意事项：第Ⅱ卷共2页。

考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在指定答题区域内作答，填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

(13)按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63，则判断框中的整数H 的值是 。

(14)若,x y满足30,10,350,x y x y x y +-≥-+≥--≤设,y kx =则k 的取值范围是 。

(15)在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知2,,3c C ABC π==∆则a b += 。

(16)给出下列四个命题：①命题2",0"x x ∀∈≥R 的否定是2",0"x x ∃∈≤R ；②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若,[0,1],a b ∈则不等式2214a b +<成立的概率是4π； ④函数11x x a --+≤||||||恒成立，则实数a 的取值范围是[2,)+∞。

其中真命题的序号是 。

(填上所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共74分。

(17)(本小题满分12分)若函数2()sin cos (0)f x ax ax ax a =>的图象与直线y m =相切，相邻切点之间的距离为2π。

(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若点00(,)A x y 是()y f x =图象的对称中心，且0[0,]2x π∈，求点A 的坐标。

(18)(本小题满分12分)2019年亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛，已知规则为每轮胜得3分，平得1分，负得0分。

第一轮在2月24日的比赛中，山东鲁能客场l:0战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁。

若山东鲁能主场胜的概率为23，负的概率为112，客场胜、平、负是等可能的。

假定各场比赛相互之间不受影响。

在前三轮中求：(Ⅰ)山东鲁能两胜一平的概率； (Ⅱ)山东鲁能积分的数学期望。

(19)(本小题满分12分)直四棱柱1111A B C D A B C D-中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC 。

(Ⅰ)求二面角1E AC D --的大小；(Ⅱ)在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值，不存在，说明理由。

(20)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且(1)(1)(0)()n n a S a a a n -=->∈*N 。

(Ⅰ)求证数列{}n a 是等比数列，并求n a ；(Ⅱ)已知集合2{(1)},A x x a a x =+≤+|问是否存在实数a ，使得对于任意的,n ∈*N 都有n S A ∈?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。

(21)(本小题满分12分)已知抛物线1C 的方程是2(0),y ax a =>圆2C 的方程是22(1)5,x y ++=直线:2(0)l y x m m =+<是12,C C 的公切线，F 是1C 的焦点． (Ⅰ)求m 与a 的值；(Ⅱ)设A 是抛物线1C 上的一动点，以A 为切点作1C 的切线交y 轴于点B ，若FM FA FBM =+，则点M 在一定直线上，试证明之。

(22)(本小题满分14分)己知2()ln f x x ax bx =--。

(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；(Ⅲ)()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<。

2010年高三阶段训练 理科数学参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确。

均应参照本标准相应评分。

一、选择题(每小题5分，共60分) DAADA BCCCB CD二、填空题(每小题4分，共16分)(13)5； (14) 1[,2]2； (15)4； (16)②④三、(17)解：(Ⅰ)2()sin cos f x ax ax ax =1cos 212sin(2)262ax ax ax π-==-++， ……………………………………3分 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值，所以12m =-或32m = ………………………6分 (Ⅱ)由题设知，函数()f x 的周期为,22a π∴= …………………………………………8分1()sin(4)62f x x π∴=-++令sin(4)06x π+=，得4()6x k k ππ+=∈Z()424k x k ππ∴=-∈Z ，由0()4242k k πππ≤-≤∈Z ，得1k =或2k =因此点A 的坐标为51(,)242π或111(,)242π ……………………………………………………12分(18)解：(Ⅰ)记山东鲁能两胜一平的事件为A ，由于第一轮已经取胜，则事件A 包含第二轮主场胜，第三轮客场平：或第二轮主场平，第三轮客场胜，从而21112111()334391236P A =⨯+⨯=+= …………………………………………………5分 所以山东鲁能两胜一平的概率为1136…………………………………………………………6分(Ⅱ)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量X ，则X 的取值为310、、 由已知得X 的分布列为：211931034124EX ∴=⨯+⨯+⨯=………………9分第三轮得分为随机变量Y ，因胜、负、平概率相等，故14(310)33EY =++⨯=………11分 所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为947934312++= …………………………………12分 (法二)记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量X ，则X 的取值为6、4、3、2、1、0212121111111(6),(4),(3),(2)339363312344312P X P X P X P X ==⨯=====⨯+⨯===⨯=11111111(1),(0)43123912336P X P X ==⨯+⨯===⨯=所以X 的分布列为：21111114364321093641293612EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以前三轮山东鲁能积分的数学期望为437931212+=(19)解：(Ⅰ)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，设爿2AB =，则1(0,1,0),((0,1,0),(0,1,2),A B C D D --设(0,1,2),E h + 则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ……………………3分1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =……………………5分则由,,m CA m AE ⊥⊥得30x y z =++= 令1z =-∴平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-又平面1D AC 的法向量为11112(0,2,1),cos ,2m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --大小为45………………………………………………………………7分(Ⅱ)设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++ …………10分1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-+⨯+-⨯=∴=++∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =…………………………………………12分(20)解：(Ⅰ)当1n =时，111(1)(1),(0)a S a a a a a -=-∴=>…………………………1分2n ≥时，由(1)(1)(0),n n a S a a a -=->得11(1)(1)n n a S a a ---=-1(1)()n n n a a a a a -∴-=-，变形得：1(2)nn a a n a -=≥………………………………………4分 故{}n a 是以1a a =为首项，公比为a 的等比数列，nn a a ∴=………………………………6分(Ⅱ)(1)当1a =时，{1},,n A S n ==只有1n =时,n S A ∈1a ∴=不适合题意 ……………………………………………………7分(2)1a >时，222{1},,,A x x a S a a a S A =≤≤=+>∴∉|即当1a >时，不存在满足条件的实数a ………………………………………………………9分 (3)当01a <<时，{1}A x a x =≤≤| 而2(1)[,)11n n n a a S a a a a a a a=+++=-∈-- 因此对任意的,n ∈*N 要使,n S A ∈只需 01,1,1a a a<<≤-解得102a <≤………………………11分综上得实数a 的范围是1(0,]2……………………………………………………12分 (21)解：(Ⅰ)由己知，圆2C 的圆心为2(0,1)C ，半径r =由题设圆心到直:2(0)l y x m m =+<的距离d ==解得6m =-（4m =舍去）…………………………………………3分设l 与抛物线相切的切点为000(,),A x y 又2,y ax '=得0001122,,ax x y a a=∴== 代入直线方程，得1216,6a a a ==-∴=……………………6分 所以16,6m a =-=(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线1C 的方程为21,6y x =焦点3(0,)2F 设2111(,)6A x x ，由(Ⅰ)知以A 为切点的切线方程为211111()36y x x x x =-+…………8分令0,x =得点B 的坐标为211(0,)6x -所以221111313(,),(0,)6262FA x x FB x =-=-- ……………………………………………10分 1(,3)FM FA FB x ∴=+=-，因3(0,),2F 设13(,),(,)(,3)2M x y FM x y x ∴=-=-3,2y ∴=-即M 点在定直线32y =-上 ……………………………………………………12分(22)解：(Ⅰ)依题意：2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增，1()20f x x b x'∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，∴只需min 1(2)b x x≤+ ……………………………2分10,2x x x>∴+≥当且仅当2x =时取"",b =∴≤ b ∴的取值范围为(,-∞ ……………………………………………………………4分(Ⅱ)当1,1a b ==-时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x x x x---+'∴=-+=-=-……………………………………6分0,01x x >∴<<时，()0;f x '>当1x >时，()0f x '< ∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减 ∴当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=当1x ≠时，()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 ……………………………………………………………9分(Ⅲ)由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln()()()ln ()[()],x xa x x x xb x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ …………11分 由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++-11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+…………………………………12分 令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++ ()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴< ……………………………………………………………………14分。