§2.2 n维列向量

因为零向量组线性相关, 所以, 任意包含零向 量的向量组必线性相关.
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定理2.2.6 设
1 (a11 , a21 , ..., an1 )T , 2 (a12 , a22 , ..., an 2 )T ,
.....................
a11 x1 a12 x2 ... a 1 s x s b1 a21 x1 a22 x2 ... a 2 s x s b2 ...... an1 x1 an 2 x2 ... a ns x s bn
有解. 进一步, 表示法唯一的充分必要条件是方程组 有唯一解; 表示法不唯一的充分必要条件是方程组 有无穷多解.
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定理2.2.3 向量组 1 , 2 , ..., s ( s 2) 线性相 关的充分必要条件是其中至少有一个向量 是其余向量的线性组合.
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定理2.2.4 设 1 , 2 ,..., s F , 记 A (1 , 2 ,..., s ).
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定理2.2.2 设 a11 a2 2 ... as s , 则表示法唯一的充分必要条件是 1 , 2 ,..., s 线性无关.
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一个向量 线性相关的充分必要条件是 0; 两个向量 , 构成的向量组线性相关的充分 必要条件是 , 各分量成比例; R 3 上两个非零向量线性相关的充分必要条件 是两个向量共线. 三个向量线性相关的充分 必要条件是三个向量共面. n维标准单位列向量 1 , 2 ,..., n 线性无关; T T T 1 (2,0, 2) , 2 (1,0, 1) , 3 (1,1,1) 线性 相关.
n
则 1 , 2 ,..., s 线性相关的充分必要条件是 线性方程组AX = 0有非零解; 1 , 2 ,..., s 线性无关的充分必要条件是线性方程组 AX = 0只有零解.
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推论2.2.1 设 1 , 2 , ..., n F , 记 A (1 , 2 ,..., n ). 则 1 , 2 ,..., n 线性相关的充分必要条件是 det A = 0.
n
,0)T ,( 1,4,0)T ,(0,0, 2)T
是线性相关还是线性无关.
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定理2.2.5 若 1 , 2 , ..., s 是线性相关的向量, 则任一包含这组向量的向量组必线性相关.
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定理2.2.1 F n中 1 (a11 , a21 , ..., n1 )T , 2 (a12 , a22 , ..., n 2 )T , ..., s (a1s , a2 s , ..., ns )T , (b1 , b2 , ..., bn )T , 则 可由 1 , 2 , ..., s 线性表出的充分必要条件是 线性方程组
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例2 设 1 (1, 2,0)T , 2 (1, a 2, 3a )T T T 3 ( 1, b 2, a 2b) , (1, 3, 3a ) . 试讨论当 a , b 为何值时, (1) 不能由 1 , 2 , 3 线性表出; (2) 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 并求出 表示式; (3) 可由 1 , 2 , 3 线性表出, 但表示式不 唯一, 并求出表示式.
第二章 线性方程组
§2.2 n维列向量
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记数域F上的全体n维列向量的集合为Fn. 如 果没有特别说明, 本节向量均指数域F上的n 维列向量.
线性方程组(1)可以表为 x1A1 + x2A2 + … + xnAn =β 其中A1 , A2 , … , An 是系数矩阵A的列向量, 即(A1 , A2 , … , An) , 而添上β是增广矩阵 A 的列向量, 即 A = (A1, A2 , … , An ,β). 若方程 组(1)有解, 则存在一组x1= c1, x2= c2, …, xn= cn, 使得 c1A1 + c2A2 + … + cnAn =β.
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定义2.2.1 对于向量组 1 , 2 ,..., s 和 , 若存 在数域 F 中的常数b1 , b2 , … , bn使得 b11 b2 2 ... bs s , 则称 是 1 , 2 ,..., s 的线性组合, 或称向量 可由 1 , 2 ,..., s 线性表出.
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定义2.2.2 向量组 1 , 2 ,..., s 称为线性相关, 如果存在不全为零的数 a1 , a2 ,..., as F , 使 a11 a2 2 ... as s 0,
不是线性相关的向量组称为线性无关. 等价 的说, 向量组 1 , 2 ,..., s 称为线性无关, 若存 在 a1 , a2 ,..., as F , 使得 a11 a2 2 ... as s 0. 则必有 a1 a2 ... as 0.
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........................
s (a1 s , a2 s , ..., ans , an1, s , ..., an m , s )T , 则 1 , 2 , ..., s 线性相关. 厦门大学数学科学学院
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定理2.2.7 若 1 , 2 ,..., s线性无关, 1 , 2 ,..., s , 线性相关, 则 可由 1 , 2 ,..., s 线性表 出且表示法唯一.
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零向量可以由任意的 1 , 2 ,..., s 线性表出 0 01 0 2 ... 0 s ;
在F3中, 3不能由 1 , 2 线性表出; 而在F3中, 任意向量都可以表示为 1 , 2 , 3 的 线性组合. T T 3 在F 中, 令 (1,1) , (1,0) , 则 ( 1) 0 1 2 , 同时 0 (1) 1 0 2 .
s (a1 s , a2 s , ..., ans )T , 线性无关. 设每个向量在相同位置加上m个分量, 得到向量组 1 (a11 , a21 , ..., an1 , an1,1 , ..., an m ,1 )T ,
2 (a12 , a22 , ..., an 2 , an1,2 , ..., an m ,2 )T ,