n维向量知识点
第一节 n维向量
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地,矩阵A1 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
若记A 1 , 2 , , m )和B b1 , b2 , , bs ).B （ （ 能由A线性表示，即对每个向量b j ( j 1, 2, , s )存 在数k1 j , k2 j , kmj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3-1.n维向量
除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：
(1' ) 0α = O , kO = O(其中0为数零, k为任意数 ); ( 2' )若kα = O , 则或者k = 0, 或者α = O;
( 3' )向量方程 α + x = β有唯一解 x = β − α .
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + µ 1b x 2 = λ 2 a + µ 2 b， 则有 x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( µ 1 + µ 2 )b ∈ V ,
证 设x ∈ V1，则 x可由 a1 ,L , am 线性表示 .
线性表示， 因a1 ,L, a m 可由b1 ,L, bs 线性表示，故 x可由b1 ,L, bs 线性表示， 所以x ∈ V2 . 线性表示，
这就是说， 这就是说，若 x ∈ V1，则x ∈ V2， 因此V1 ⊂ V2 .
类似地可证 : 若x ∈ V2 , 则x ∈ V1 ,
向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 满足下列八条运算规则： 算，满足下列八条运算规则： (1)加法交换律 α + β = β + α;
( 2)加法结合律
(α + β ) + γ = α + ( β + γ );
( 3)对任一个向量 α , 有α + O = α ;
(完整版)n维向量及其线性相关剖析
0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
(完整版)2.3n维向量的概念
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
第二章 n维向量
2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量 比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,
2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量 的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有 序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不 相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法 或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果 设 存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关 使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
n维向量空间
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
§ 3-1n维向量
(6)k ( l ) ( kl) (7)k l k l (8)k k k
（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 注： 使得
o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o （3） 0 0; ( 1) ; 0 0. （4）如果 0, 则 0或 0
例 设 （2,0， 1,3）, (1,7,4,2) , (0,1,0,1) .
T T T
(1)求2 3 ; (2)若有x, 满足3 5 2 x 0, 求x.
解
(1)2 3 2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注：它们的区别 只是写法上的不 同.
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如：
T
(3) (1) (a1 ,,an )T ; (4) (1) (a1 b ( 2)( ) ( ) ( 3) 0 (4) 0 (5)1
§ 3.1
n维向量及其线性运算
一、n维向量 二、n维向量的线性运算
一、 n 维向量
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量，
第i个数a i 称为第i个分量 .
或
a1 a2 a ... a n aT a1 , a2 ,..., an
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定义2.3.2一个向量组 的最大线性无关组所含向量个数，称为向量组的秩，记为 或 。
定理2.3.1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。
定理2.3.2设向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，如果向量组 能由向量组 线性表示，则必有 。
推论1等价的向量组有相同的秩。
推论2当 时， 个 维向量组 必线性相关
定理2.3.3给定 维向量组 及向量 ，则有
（1）向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是
（2）向量 能由向量组 唯一线性表示的充分必要条件是
（3）向量 能由向量组 线性表示，但表示法不唯一的充分必要条件是
向量的空间
定义2.4.1设 是 维向量的一个非空集合，如果集合 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，即对任意的 ，都有 ，则 称为向量空间。
定义2.4.2设 为一个空间向量，如果 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任一向量 都可由向量组 线性表示
则向量组 称为向量空间 的一个基，该基中包含的向量个数 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间，记为 。
定义2.4.3设 维向量空间 的一个基为 ，向量 在这组在这组基下的线性组合为 。则 称为向量 在基 下的坐标，记为 。
定理2.2.3（替换定理）设有向量组 与向量组 如果满足条件
（1）向量组 线性无关；（2）量组 能由向量组 线性表示；则必有 ，并且 中存在 个向量用 替换后得到的向量组与 等价。
推论2设有向量组 与向量组 ，如果满足条件
（1） ；
（2）向量组 能由向量组 线性表示；
则向量组 必线性相关。
推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等
向量组的线性相关性
定义设向量组 ，如果存在一组不全为零的实数 ，使得等式 成立，那么向量组 称为线性相关的。否则向量组 称为线性无关。如果向量组 线性无关，且上述等式成立，则只有 。
定理2.2.1向量组 线性相关的充分必要条件是向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。
定理2.2.2设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的。
维向量
维向量及其线性运算
定义2.1.1 个有顺序的数 所组成的 元有序数组 称为 维向量。一般用小写希腊字母 表示，即， 。数 称为向量 的分量（或坐标）， 称为 的第 个分量（或坐标）。
定义2.1.2设 ， 都是 维向量，则向量 称为向量 与 的和，记为 ，即有 。用负向量的概念可以定义向量的减法，即有 。
定义2.1.3设向量 ， 为实数，则向量 称为数 与向量 的乘积，简称为数乘，记作 ，即有 。
定义2.1.4给定向量组 和向量 ，如果存在一组实数 ，使 成立，则向量 称为向量组 的一个线性组合，其中 称为这个线性组合的系数，这时也称为向量 能由向量组 线性表示。
定义2.1.5设有两个向量组 及 ，如果 组中每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示，如果向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
向量组的秩
定义2.3.1设有向量组 ，如果在 中有 个向量 满足
（1）向量组 线性无关
（2） 中任意向量都能由向量组线性表示
则 称为向量组 的一个最大线性无关组，简称最大无关组。
性质1向量组与它的任一个最大无关组都等价。
性质2向量组的任意两个最大无关组都等价。
性质3一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。
定义2.4.4设 是两个空间向量，且 ，则 ，则 称为 的向量子空间，简称钻子空间。
定理2.4.1设向量空间 是空间向量 的子空间，如果 ，则必有 。
定理2.2.4若向量组 线性相关，则再任意添加上 个向量的向量组 也线性相关。
定理2.2.5如果 维向量组 线性无关，则对每个向量再各添上一个分量后，得到的 维向量组 也线性无关。
推论3如果一个 维的向量组线性无关，并对向量组中每个向量的第 分量前（后）再填上任意个 个分量，则这样得到的一个 维向量组也线性无关；反言之，如果得到的 维向量组线性相关，则原来的 维向量组也线性相关。