n维单位坐标向量组构成的矩阵

两边左乘 A得 ABX = 0 ，即 EX = 0，从而X = 0，所以 β1, β2 , … , βn 线性无关。
例6 设向量 β 可由向量组α1，α2，… ， αm线性表示， 但不能向量组 (Ⅰ) α1，α2，… ,αm-1 线性表示，记向量组 （Ⅱ） β，α1，α2，… ,αm-1 ，则αm能由（Ⅱ） 线性表示， 但不能由(Ⅰ)线性表示。 证 由于β 可由α1，α2，… ， αm线性表示，即 β ＝ λ 1α1+ λ2α2+ … + λ m αm 又因为β不能向量组 α1，α2，… ,αm-1线性表示，所以λ m≠0， 从而
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x1 + x3 = 0 x1 + x2 = 0 x + x = 0 2 3
由于此方程组的系数行列式
1 1 0
0 1 1
1 0 =2≠0 1
故方程组只有零解 x1= x2 = x3 = 0，所以向量组 β1 ,β2 ,β3 线性无关。
定理5 定理 （1）若向量组 A: α1 ,α2,… , αm 线性相关，则 向量组 B :α1, α2 ,…, αm , αm+1也线性相关。反言之，若向量 组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。 证:记 A = ( α1 ,α2,… ,αm ) , B = ( α1, α2 ,…,αm ,αm+1 ) 有 R(B) ≤ R(A) + 1 ，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A) < m ,从而 R(B) ≤ R(A) + 1< m + 1,再由定理4知向量组 B 线 性相关。 由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组， 则该向量组必线性相关。特别地，含有零向量的向量组一 定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都 线性无关。
（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的 个数m时一定线性相关。 证 m个n维向量α1,α2,…,αm构成的矩阵 An×m = (α1,α2,…,αm), 有R(A) ≤ n. 若n < m,则R(A) < m,故m个向量α1,α2,…,αm线性相关。
例4 设有向量组αiT = (ai, ai2, … ,ain ),(i = 1,2,…,m. m ≤ n ), 试证向量组α1T,α2T,…,αmT,线性无关，其中a1, a2,…, am 为m 个互不相等且不等于零的常数。 证 因为 α1T = (a1, a12, … a1m,…,a1n ) α2T = (a2, a22, … a2m,…,a2n ) αm
(2) 设
a1 j a1 j M , α j = M ,β j = arj arj ar 1 j +
( j = 1,2,…,m )
即向量αj添上一个分量后得向量βj,若向量A:α1, α2,…, αm 线性无关,则向量组B:β1,β2 ,…,βm也线性无关, 反言之,若向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关. 证 记Ar×m = ( α1,α2,…,αm ), B(r+1)×m = ( β1, β2 , …, βm ),有 R(A) ≤ R(B).若向量组A线性无关，则R(A) = m,从而R(B) ≥ m. 但 R(B) ≤ m,故 R(B) ＝ m ，因此向量组 B 线性无关。 推论 若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都 添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。
L am
= a1a2 L am
从而向量组
1≤ j p i ≤ m
∏ (a
j
ai ≠ 0
)
β1T = (a1, a12, … a1m) β2T = (a2, a22, … a2m)
………………………
βmT = (am, am2, … amm) 线性无关，所以增加分量后所得的向量组 α1T , α2T, …, αmT 线性无关。
试讨论向量组 α1，α2，α3 及向量组 α1，α2 的线性相关性。
解 对矩阵（ α1，α2，α3 ）施行初等行变换，使之变 成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 (α1，α2，α3) 及矩阵 （α1，α2）的秩，由定理 4 即可得出结论。
1 0 2 （α1，α2，α3）＝ 1 2 4 1 5 7 1 0 2 = 0 2 2 0 5 5
a1 a1 a1
2
……………………… ………… T = (a , a 2, … a m,…,a n )
m m m m
前m个分量作成的行列式
a2 a2 a2
2
L L L L
am am am
2
1 = a1a2 L am a1 L a1
m 1
1 a2 L a2
m 1
L L L
1 am L
m 1
L
m
L
mLLeabharlann m例5 设A是 n×m 矩阵，B是 m×n 矩阵，其中n<m， 若AB = E，证明B 的列向量线性无关。 证 设B = ( β1, β2, … , βn )，其中β1, β2 , … , βn 是 B 的列 向量，若 x1 β1 + x2 β2 + … + xn βn = 0
即
x1 x … , β ） 2 = BX = 0 （ β1, β2 , n M x n
1 0 2 = 0 1 1 , 0 0 0
可见 R( α1，α2 ，α3) = 2,由定理4知向量组 α1,α2 ,α3 线性相关； R( α1，α2)＝2，向量组 α1,α2 线性无关。
例3 已知向量组α1, α2 , α3线性无关 ,令 β1 = α1 + α2 , β2 = α2 + α3 , β3 = α3 + α1,试证向量组β1 , β2 , β3线性无关。 证 设有x1 , x2 , x3使 x1 β1+ x2 β2 +x3 β3 = 0, 即 x1 ( α1 + α2 ) + x2( α2 + α3 ) + x3 ( α3 + α1 ) = 0 亦即 ( x1 + x3 ) α1 + ( x1 + x2 ) α2 + ( x2 + x3 ) α3 = 0 因 α1, α2 , α3 线性无关 ，故有
λm 1 λ1 λ2 αm = β α1 α 2 L α m 1 λm λm λm λm
1
故则 αm 能由（Ⅱ） 线性表示。
假设αm能由(Ⅰ)线性表示，则有 αm ＝ k1α1 + k2α2 + … + km-1αm-1 所以 β ＝ λ 1 α1+ λ2 α2+ … + λ m αm ＝ λ1α1+ λ2α2+ … + λ m ( k1α1+k2α2+… +km-1αm-1) ＝(λ1+ λmk1)α1+(λ2 +λmk2)α2+… +(λm-1+ λmkm-1)αm-1 这与 β 不能由(Ⅰ)线性表示矛盾，故 αm不能由(Ⅰ)线性表 示。
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E = ( e1， e2，… ， en ) 是 n 阶的单位矩阵。由 |E| = 1 ≠ 0，知R(E) = n ，即 R(E) 等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无 关的。 例2 已知
1 0 2 α 1 = 1 ,α 2 = 2 ,α 3 = 4 . 1 5 7