2.4n维向量组及其线性相关性
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向量组的线性相关性(3)
(iv) +()=0
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
向量组的线性相关性
推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的 向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
1 2 s
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
n维向量,线性相关性
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
n维向量及向量组的线性相关性
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
a in
T i
a m 1 a m 2 a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
1 (a1, a2, a3, a4, a5)T , 2 (b1,b2,b3,b4,b5)T , 3 (c1, c2, c3, c4, c5)T 也线性无关.
定 理 5 若 n维 向 量 组 1, 2 ,..., s线 性 无 关 ,
则 在 每 个 向 量 中 添 加 m个 分 量 ,得 到 的
2
，
3
3
1
，
2
4
1
0
1
1
1
0
1
例5 试证向量组1, 2 ,
,
中
s
任
意
一
向
量
i (i 1, 2,..., s)可以由向量组线性表出。
例6
已
知
是
1，
2
,
...,
的
t
线
性
组
合
，
且
每一个i
(i
1,
2,...,
t)又是
1,
2 , ...,
的线性
s
组
合
，
证
明
也
是
1
,
2
,
...,
n维向量及其线性相关
线性代数
13
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
-11 1 14 2 9 3
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
a1 a2 a n
线性代数
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如：
5
注意
1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数
6
向量的加法运算 设向量 a (a1,…, an), b (b1,…, bn), 定义
线性代数
20
五、线性相关性的判定 ：
定理 向量组 1 , 2 ,,（当 时）线性相关 m2 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m - 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
T T T
e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
向量组的线性相关性
该文档详细阐述了向量的线性相关性，首先引入了向量组的概念，即由同维数的向量所组成的集合。进而讨论了线性组合，即若干个同维数的向量通过线性运算得到的一个新的向量。在此基础上，文档定义了线性表示，即一个向量可以由其他若干个向量通过线性组合来表示。此外，还探讨了向量组的等价性，如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。文档通过举例和命题的方式，进一步说明了这些概念的应用和性质。例如，通过具体的向量组展示了如何判断一个向量是否可其他向量线性表示，以及向量组之间的等价关系。这些概念和性质在线性代数中具有重要的地位，是理解和应用线性代数知识的基础。
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,
能由
r
向量组B : 1, 2, , s线性表示且r s,
则向量组A线性相关.
推论2.4.8等价的线性无关组含有 相同个数 的向量. 推论2.4.9任意n k(k 1)个n维向量一定 线性相关 .
定义2.4.10
设T是n维向量所组成的向量组.在T中选取r个向量
1,2, ,r，如果满足:
（1）向量组A0 :1, 2 , , r线性无关；
求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
~ A 初等行变换
知R( A) 3，
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 1
0 3
，
0 0 0 0 0
故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 , , m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 , ,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 , ,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 , , km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0，
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
此外，代数中的向量、书写时，上方不带 箭头.与空间向量书写方式不同。
2.向量组的定义
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列 向量 1,2, ,m （或同维数的行向量）所组成 的集合，叫做n维向量组．
其中iT (ai1, ai2, , ain ),i 1,2, , m
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
x1 x3 0, x1 x2 0,
x2 x3 0.
即AX 0
由于此方程组的系数行列式 1 01
A 1 1 0 20 011
知A可逆, 对AX 0两边左乘A1,得 方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
如:向量组A :
1 (1,0,0)T , 2 (0,1,0)T ,3 (0,0,1)T
向量组B :
1 (1,1,1)T ,2 (0,1,1)T ,3 (0,0,1)T
知1 1 2 3,2 0 1 2 3, 3 01 02 3,即B可由A线性表示; 反之,1 1 2 3,2 01 2 3, 3 01 02 3,即A可由B线性表示.
即存在一组不全为零的数k1 2, k2 1, k3 1
使得k11 k22 k33 0成立.
又如一个 3维向量组 1 (1,0,0)T , 2 (0,1,0)T ,3 (0,0,1)T
问: 是否存在一组不全为0的数k1, k2, k3
使得k11 k22 k33 0成立?
1 0 0 0
定理 向量组 1,2 , ,（m 当 m 2时）线性相关
的充分必要条件是1 ,2 , ,m 中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示． 注意：不是
任一个
证明 充分性
设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
故 a1, a2 , a4 ,为列向量组的一个最大无关组.
事实上
2 1 1
（a1 ,a2 ,a4 ) 1 1 1
4 6 2
3 6 7
1 1 1
~ 初等行变换 0 1 1
0 0 1 0 0 0
知R(a1 ,a2 ,a4 ) 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关
要把a3 , a5用a1, a2 , a4线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵.
k11 k2 2 k33 0 k1 0 k2 1 k3 0 0
0 0 1 0 k1 0, k2 0, k3 0
即不存在一组不全为零的数k1, k2, k3使k11 k22 k33 0成立.
换种说法, 就是
只有当k1 0, k2 0, k3 0时, k11 k22 k33 0才成立.
定理2.4.13矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 也等于它的行向量组的秩.
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作R(a1 ,a2 , ,am ) 说明
（1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
例2 设矩阵
2 1 1 1 2
A
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 0 1 0 4
~ A
初等行变换
0 0
0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
3 3 0
即得
a5
a3 a1 a2 , 4a1 3a2 3a4
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
1.向量组的线性相关性的定义
给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1. 若 1 , 2 , , n线性无关,则只有当 1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
例2.4.3设A (1,2, ,n )为n阶可逆矩阵 证明其列向量组1,2, ,n线性无关.
补充: 定理: 若1, ,m , 线性相关,而1, ,m 线性无关,则能由1, ,m线性表示,
2.4.1 n维向量的概念
1.n维向量的定义
n 个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的有序数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai称为第i个分量 (或坐标),分量全为实数的向量 称为实向量.我们只讨论实向量.
例如
(1,2,3, ,n)
n维实向量
n 维向量的表示方法
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有 r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）;
说明:
(1)n维基本单位向量组1 , 2 ,
,
是
n
全体n维向量所组成的集合Rn的一个最大
无关组.
(2)一个向量组的最大无关组不惟一.
一个向量组的任意两个最大无关组
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amnBiblioteka T m向量组T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是 线性相关 .
例1 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
所以向量组A与B等价.
向量组之间的等价关系的性质: (1)反身性, (2)对称性,(3)传递性
定理2.4.6设有向量组A :1,2, ,r和 向量组B : 1, 2, , s ,如果A组能由B组
线性表示且A组线性无关, 则A组所含的 向量个数r不大于B所含向量的个数s, 即r s.
推论2.4.7若向量组A :1,2,
方法2.用3 5特殊情况来判断.
定义2.4.3 给定向量组A:1,2,L ,m和向量b,如果存在 一组数1，2，L ,m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
2.线性相关性定理
注意
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关.
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线
例2 n维基本单位向量组
1
0
0
0 1
0
1
0
,
2
0 ,
且表示式惟一.
定理: 若1, ,r线性相关,则 1, ,r ,r1,m也线性相关.
2.4.3向量组间的关系
定义2.4.5设两个n维向量组 A :1,2, ,r B : 1, 2, , s
如果A中每个向量都可由B中的向量线性表示, 则称向量组A能由向量组B表示;如果B中每个 向量都可由A中的向量线性表示, 且向量组A能 由向量组B表示则称向量组A与向量组B等价.
矩阵与向量组的关系:
例如
矩阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量