n维向量组的线性相关性
n维向量的定义线性运算和线性相关性
x 1
AX
1 , 2
n
x2
xn
x 1 1
x 2 2
x n n
二、向量组的线性相关性
定义２ 对于向量组A: 1, 2, …, m, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式
k 11 k 22 .. k .mm 0
成立,则称向量组1, 2, …, m 线性相关.
例1：设有向量
1
1 4
2 2 3
1
0
n阶单位矩阵 I n 的n个列向量分别记为：
1
0
0
e 0 ,e 1 e
1 2
n 0
0
0
1
称为n维基本向量
第二节 n维向量的线性运算
定义1 设 (a 1 ,a 2 , ,a n )T , (b 1 ,b 2 , ,b n )T 是 n 维实
K是实数域中的一个数，则向量的加法
和数乘k向 分量 别定义
8 1 即数 1是数乘向量运算的单位 元
例1
1 ， 2 ， 3 ， 4 T 1 ， 2 ， 3 ， 4 T
(1) 求，的负向量
(2) 计算 43
第三节 向量组的线性相关性
一、线性组合
定义１:
给 定 向 量 组 A:{1， 2， L， m}， iRn,i1,2,L,m 对 任 何 一 组 实 数 k1,k2,L,km,称 k11k22Lkmm
例如 矩阵 A(aij)mn有n个m维列向量
aa 11
aa 22
aj
an
a11 a12 a1j a1n
Aa 21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向a量 1,a 2 , 组 ,a n称为 A 的 矩 列 .阵 向
n维向量、向量组的秩及其线性相关性
1, 2, …, t 是线性相关的.
推论2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, 则 r{1, 2, …, t} = r{1, 2, …, s}. 推论3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 且相互等价, 则s = t.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例6. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 3 + 2 1.
证明: 1, 2, 3线性无关1, 2, 3 线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
作业
P81-82: 1(2)(4), 2, 3, 5, 6
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例5. 设1, 2, 3线性无关, 1 = 1 + 22,
2 = 2 + 23, 3 = 3 + 21. 试证明: 1, 2, 3线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论1. 若向量组1, 2, …, t可由向量组1, 2, …, s 线性表示, 并且t > s, 则向量组
, 2 =
0 1 … 0
, … , n =
0 0 … 1
.
- - - n维基本单位向量组
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例4. 设 1 0 0 , = 1 , = 1 = 2 3 1 -1 0 2 1 1 , 1 1
求该向量组的秩,并判断其是否线性相关.
第二章 n维列向量
a12 a22 … an2
… … … …
n维向量组a1a2a3a4线性相关
n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。
只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。
维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。
2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。
3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。
4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。
5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。
6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。
7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。
8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。
9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。
10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。
06高数—— 向量组的线性相关性知识点速记
向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。
设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。
称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。
分量全为0的向量称为零向量。
向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。
向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。
向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。
（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。
2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。
3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。
通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
n维向量,线性相关性
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
3-2 向量组的线性相关性
一、解的判定定理 二、方程组的求解
顾
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结束
第二节 向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质
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即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
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1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线 性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理 向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
n 维向量及向量组的线性相关性
能线表却不唯一
不能线表
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有唯一解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有无穷解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 无解
例:判断向量 能否由向量组 , , , 线性表出，
若能，求出一 组组合系数，其中
证 设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（
1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
矩阵方程
研究向量之间的关系
线性组合
例：1 = (2, −4,1, −1) ,
2
若满足31 − 2 + 2 = 0, 求.
解： =
1
− (21
2
− 32 )= −2 +
1
= (6, −5, − , 1)
2
3
1
2
唯一线表
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量
mn
a11 a12 a1 j a1n
a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A
a m 1 a m 2 a mj a mn
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
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即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由 a1，a2 ，a3线性表示.
下页
7.1 线性组合与线性表示
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数
k1，k2， ，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)， 则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合.
例3．零向量是任何一组向量的线性组合.
这是因为 o=0a1+ 0a2+ + 0 am . 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量ai(1im)都是
此向量组的线性组合.
这是因为 ai=0a1+ + 1ai + + 0 am .
下页
例5．线性方程组的向量表示(向量方程)
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2
k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有
当k1，k2， ，km全为0时
k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.
线性相关性判定方法 一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义、
判 定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可 使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形下页. 可通过行列式判定.
观察法举例
例6. 讨论下列向量组的线性
相关性. 1
0
2
α1
=
1 1
,
α2
=
2 1
,
α3
=
4
3
1
3
5
解: 对于向量组，显然有
α3 = 2α1 + α2 , 整理得 2α1 +1α2 + (-1)α3 = o,
即存在一组不全为零的数
附：本节与第3章的核心内容提要
⑴ 一个核心概念－线性相关性 ⑵ 两个流程框图－齐次/非齐次线性方程组解法 ⑶ 三个重要方法－求向量组的秩/求极大线性无关组/用极大
线性无关组表示其余向量 ⑷ 四个常用性质－齐次/非齐次线性方程组解的性质 ⑸ 五个判定定理－线性相关性定理
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7.1 线性组合与线性表示
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0
...
a1n a2n
ann 0
或
a12k1 + a22k2 +L LL
a1nk1 + a2nk2 +L
+ an2kn = 0 + annkn = 0
(2)
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)是否只有零解?
这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en .
注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组.
下页
7.1 线性组合与线性表示
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数
k1，k2， ，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
ann 0
a11k1 + a21k2 +L + an1kn = 0
a12k1 + a22k2 +L LL
+ an2kn = 0
a1nk1 + a2nk2 +L + annkn = 0
从而得向量组a1，a2， ，an，线性无关的充分条件是:
a11 D = a12
M
a21 L a22 L M
an1
an2 M
0.
注：以后还会看到，它 也是线性无关的必要条件.
a1n a2n L ann
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特殊方法的解题步骤
①设有一组数k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11 a21
an1 0 a11k1 + a21k2 +L + an1kn = 0
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o,
所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
例7. 讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1
0
2
6
α1
=
0
,
α2
=
1
,
α3
=
2 ,
α4
=
6
.
解: …
下页
特殊问题的特殊方法
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数
其中,
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
a11
a12
a1n
b1
a1 j
a
j
=
a2 j M
,
j
= 1, 2,..., n
;
amj
a21
x1+
a22
x2+ +
a2n
xn =
b2
k1，k2， ，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合.
am1 am
amn
bm
2
b1
b
=
b2
M
.
即
a1 x1 + a2 x2 +L + an xn = b,
bm
或
x1 a1 + x2 a2 +L + xn an = b.
下页
7.2 线性相关与线性无关
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组
不全为零的数 k1，k2， ，km，使