4.1-4.2n维向量空间及向量组的线性表出(1)

Rn ={(a1, a2, …, an)|aiR}—— n 维实向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
加法:
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn),
数乘： k • = (ka1, ka2, …, kan ), k R.
x11 x22 xnn b ——方程组的向量形式 即 即 (1，2x1 x2 X x m
称为满足方程 AX b 的一个解向量。
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二、Rn 的子空间
n 定义 若 V R , 且， V , k R, 有
几何空间(三唯向量空间）（第三章）
推 广
n 唯向量空间（第四章）
推 广
线性空间（第七章）
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4.1
n 维向量空间
一、三维向量空间 二、n 维向量空间 三、Rn 的子空间
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一、三 维向量空间 (几何空间)
（三唯向量）a (a1 , a2 , a3 ) （ai为实数）
并定义向量的线性运算如下： 设
即：
a11 a12 a1n b1 a 21 a 22 a 2 n b2 x1 x2 xn a a a b m1 m2 mn m
k11 k2 2 km m , 则称向量 可由向量组1，2，…，m 线性表出.
或称向量 为向量组1，2，…，m 的线性组合， 例1 零向量是任一向量组的线性组合.
0 01 0 2 0 m .
例2 向量组1, 2, …, m中任一向量都可由这个 向量组线性表出.
加法: 数乘：
(a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 )
(a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
k • =(ka1, ka2, ka3 ). ( k R)
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按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：
(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (6) k(l ) = (kl) ; (3) +O = ; (7) k( +) = k +k ; (4) +(- ) =O ; (8) (k+l) = k +l .
1×n的行矩阵可以视为n维行向量； n×1的列矩阵可以视为n维列向量；
a1 n 1 a2n 2 a in i a mn m
i 称为A的行向量； 1 2
A
a11 a12 a1 j i 称为A的列向量； a 21 a 22 a 2 j A A (1，2， ，n ) a m 1 a m 2 a mj
( ) 2 2 ( )


(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需要6个参数， 可表示为 ( x, y, z , , , )
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二、n 维向量空间的概念
n 维向量:
(a1 , a2 ,, an )
， m ) L (1， 2，
lmm )
klmm
（ L对数乘封闭）
， m ) 是 R n的一个子空间。 所以 L (1， 2，
称L(1,2, …, m) 是由 , , …, 所生成的子空间. 1 2 m 例如:
， m ) 又 ， L (1， 2，
n
l11 l22
其中
1 l2 2 lmm , l1
2 lmm ) (l11 l2
m lm
m ) lm
，l2 ， 为常数, l1，l2， ，lm ; l1 ，lm
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加法与数乘满足下列八条运算规律：
(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) +0 = ; (4) +(- ) = 0 ; n 维实向量 (a1 , a2 ,
(5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( +) = k +k ; (8) (k+l) = k +l . , an ), (ai R)
i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m .
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， m 为n维向量组，证明： 例3 设 1， 2， L(1,2, …, m) = { 1, 2, …, m 线性组合的全体}.
n R 是 的一个子空间。
证明:
L(1，2， ，m ) R
V对加法封闭） V （此时称 , k V ,（此时称V对数乘封闭） 则称V是 Rn 的一个子空间. 由定义知： （1） Rn 的子空间本身也是一个向量空间！ （2）子空间必含零元。
即
若Ｖ没有零元
Ｖ不是子空间．
(V有零元是V为子空间的必要条件!)
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子空间的判别:
V是 Rn 的一个子空间
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
n 称为矩阵A的行向量组． 向量组 1 , 2 , …，
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
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a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组: () ................................................. am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1 1, 2, 3 , 2 3,4,6 ,
3 1,0,4 , 4 3,1, 3
则1 , 2， 3，4 为一向量组。
该向量组向量的维数是3, 向量组所含向量个数为4 . 即该向量组由4个3维的向量组成 .
又如:
------所含向量个数为1
R n ------含无穷多个向量 .
.
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向量组与矩阵的关系:
例如 矩阵A (a ij )
m n
a11 a12 a1 j a 21 a 22 a 2 j A a m 1 a m 2 a mj

1

2

j
a1 n a2n 有n个m维列向量 a mn
例2 设V = {(x, y) | x+ y = 1 }, V是否是 R2 的子空间？ （ 不过坐标原点的直线不是R2的子空间.）
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例3 过坐标原点的平面 V (x, y, z) Ax By Cz 0, A ,B,C 不全为零
为R3的一个子空间； 例4 过坐标原点的空间直线.
x y z W (x, y, z ) , m, n, p不全为零 m n p
)m (lm lm
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(l11 l22
)2 (l1 l1)1 (l2 l2
， m ) （ L对加法封闭） L (1， 2，
k R， L有
k k (l11 l22
kl11 kl22
(1) V R n ,(V ); (2) ， V , 有 V（即 ; V对加法封闭）
(3) k R, V 有 k V（即 , V对数乘封闭）.
例1 设V = {(x, y) | x+y= 0 }, V是否是 R2 的子空间？
（ 即 过坐标原点的直线是R2的子空间.）
为R3的一个子空间 但是，不过坐标原点的平面不是R3的一个子空间； 不过坐标原点的空间直线不是R3的一个子空间.
因为，它们不含零元 0=（0，0，0）.
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4.2
向量组的线性相关性
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性 三、线性相关性与线性组合(表出)的关系
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向量组：同维数的向量所组成的集合. 例如:

1

m
2

j
a1 n a2n 返回 a mn
n
用向量的观点看线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 .......... .......... .......... ......... .......... a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm a11 a12 a1n b1 a 21 a 22 a 2 n b2 x1 x2 xn 可写成： a a a b m1 m2 mn m
由三维实向量 (a1 , a2 , a3 ), (ai R)
的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条
(5) 1 = ;
运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个
三维向量空间(或几何空间)。记为 R3.
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实际问题： 确定飞机在空中的状态： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角

n
A (1，2， ，n )
向量组
1 , 2 ,
n 称为矩阵A的列向量组。