n维向量、向量组的秩及其线性相关性讲解
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向量组的线性相关性
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
三、应用举例
例1 设 1 1,1,0T ，2 0,1,1T ， 3 (3,4,0)T
3 1
求
,
,
其中(
,
)
(1
,
2
,
3
)
2 1
1 1
.
解
，
31
22
，
3
1
2
3
1 0 3 0
31 22 3
k k ka1, ka2, , kan
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律）
（2） ( ) ( ) （结合律） （3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） () ( ) ( ) （7） ( )
二、向量的运算
1、加法 (a1,a2,...,an ), (b1,b2,...,bn ),
a1 b1, a2 b2 , , an bn
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
向量线性相关性与秩
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
1 0 0 0 1 0 E (e1 , e2 ,, en ) 0 0 1 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
(2, 1,1, 1) 2
(3,1, 0,1) 3
方程1加方程2可以消去方程3， 说明方程3多余．
1 2 3
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，如果存在一
组数k1，k2， , km， 使得 k11 k2 2 km m 则称向量 可以由向量组1 , 2， , m的线性表示，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
1 0 0 0 1 0 E (e1 , e2 ,, en ) 0 0 1 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
(2, 1,1, 1) 2
(3,1, 0,1) 3
方程1加方程2可以消去方程3， 说明方程3多余．
1 2 3
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，如果存在一
组数k1，k2， , km， 使得 k11 k2 2 km m 则称向量 可以由向量组1 , 2， , m的线性表示，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性资料
e1,e2,…,en线性表示.
a (a1,a2, ,an )T , e1 (1,0, ,0)T ,
e2 (0,1, ,0)T , ,en (0,0, ,1)T
a1 1 0
a2
a1
0
a2
1
an
注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 o
（2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o
（3） 0 0; (1) ; 0 0. （4）如果 0, 则 0或 0
n 维向量的实际意义
k11 k22 kmm 0
11k1 21k 2
齐次线性方程组
12k
1
22
k
2
1nk1 2nk 2
有非零解
m1k m 0, m2k m 0,
mnk m 0,
定理1 设有n个n维向量i (ai1, ai2 , ain ), (i 1,
10 2
1 2 4 0
15 7
故向量组线性相关.
例4 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关.
证 设有k1, k2, k3使
k1b1 k2b2 k3b3 0
即 k（1 1 2） k2 (2 3) k3(3 1) 0,
整理得线性方程组
a11k1 a21k2 am1 km 0,
6.六、向量组的线性相关性,秩,极大无关组,向量空间维数
求 V的 维 数 和 一 个 基 。 1 T T T T 1 解 ： 设 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 行 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
线性无关 仅当所有 kj 0 时，才有 k 1 1 L k m m 0 向量组秩= m r a n k A m， 其 中 A ( 1， , m ). . . . . . .列 向 量 L 1 A 2 M m . . . . . . . . . . . . .行 向 量
1 , 1 , 2,
2, 4 ; 3, 4 ; 3, 4 ;
注 ： 1 , 2 , 3 不 是 极 大 无 关 组 。 同 类 题 ： 9 . 5, 一 . 3, p 3 9 : 先 化 为 列 向 量 '9
3. 向量空间的维数与基
命题： 1 .V L 1 , 2， , m 的 维 数 等 于 向 量 组 1 , 2， , m 的 秩 ； L L
0
2 .向 量 组 1 , 2， , m 的 极 大 无 关 组 是 V 的 一 个 基 。 L
0
1
'9 7 . 1 0 , 一 ， p 1 3 1,
解 ： 4 1 2 3 v 由 0 k1 1 k 2 2 k 3 3 k1 1
0 1 1 0 0 0 L 0 0 0 1 1 0 L
r a n k A 2, d i m V d i m S n 2 . 2 同解方程组 x1 x n , x 2 x3 x n
基 ： 1 (0, 0, 0,1, 0,L , 0 , 0 )
线性无关 仅当所有 kj 0 时，才有 k 1 1 L k m m 0 向量组秩= m r a n k A m， 其 中 A ( 1， , m ). . . . . . .列 向 量 L 1 A 2 M m . . . . . . . . . . . . .行 向 量
1 , 1 , 2,
2, 4 ; 3, 4 ; 3, 4 ;
注 ： 1 , 2 , 3 不 是 极 大 无 关 组 。 同 类 题 ： 9 . 5, 一 . 3, p 3 9 : 先 化 为 列 向 量 '9
3. 向量空间的维数与基
命题： 1 .V L 1 , 2， , m 的 维 数 等 于 向 量 组 1 , 2， , m 的 秩 ； L L
0
2 .向 量 组 1 , 2， , m 的 极 大 无 关 组 是 V 的 一 个 基 。 L
0
1
'9 7 . 1 0 , 一 ， p 1 3 1,
解 ： 4 1 2 3 v 由 0 k1 1 k 2 2 k 3 3 k1 1
0 1 1 0 0 0 L 0 0 0 1 1 0 L
r a n k A 2, d i m V d i m S n 2 . 2 同解方程组 x1 x n , x 2 x3 x n
基 ： 1 (0, 0, 0,1, 0,L , 0 , 0 )
3-1 向量组的线性相关性
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例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
第三章n维向量空间与线性相关性
所以的极大线性无关组所含向量的个数为由于任一矩阵的秩既等于其行秩也等于其列秩又知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩因此矩阵的初等变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩据此求向量组的秩可转化为求以向量组为列行的矩阵的秩
QQ空间
第3章 3.1
n 维向量
n 维向量及向量组的线性相关性
其中 , , F n ， 1, k , l F ， O 为 F n 中的零向量。
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ） 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： （1） （2） ( )
( )
（加法交换律） （加法结合律）
（3） O O （4） ( ) O （5） 1 （6） k l kl （8） k l k l （数乘结合律） （7） k k k （数对向量的分配律） （向量对数的分配律）
k 2 1 , k 3 1 。故，
所以方程组有唯一解 k1 1 ,
能由向量组
1 , 2 , 3 线性表示，且 1 2 3
例 3 设 有 向 量 1 1 , 0 , 1 ， 2 1 , 1 , 1 ，
3 3 , 1 , 1 ， 5 , 3 , 1 ，试问向量 能否由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。其中 k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数。
特别地, （1） 设有两个向量 , ，若存在数 k ，使得
QQ空间
第3章 3.1
n 维向量
n 维向量及向量组的线性相关性
其中 , , F n ， 1, k , l F ， O 为 F n 中的零向量。
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ） 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： （1） （2） ( )
( )
（加法交换律） （加法结合律）
（3） O O （4） ( ) O （5） 1 （6） k l kl （8） k l k l （数乘结合律） （7） k k k （数对向量的分配律） （向量对数的分配律）
k 2 1 , k 3 1 。故，
所以方程组有唯一解 k1 1 ,
能由向量组
1 , 2 , 3 线性表示，且 1 2 3
例 3 设 有 向 量 1 1 , 0 , 1 ， 2 1 , 1 , 1 ，
3 3 , 1 , 1 ， 5 , 3 , 1 ，试问向量 能否由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。其中 k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数。
特别地, （1） 设有两个向量 , ，若存在数 k ，使得