第一节n维向量与向量组[1]

三、线性相关性的判定
定理1.向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量(不妨设 能由其余向量线性表示. 即有
α x α x
1 1 2
2

αx
n
n

β
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
T m
T 2
T 1


T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个 n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
1 , 2 , 3线性无关.
定理3 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.反言之, 若向 量组B 线性无关, 则向量组A也线性无关 .
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
由于此方程组的系数行 列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
二、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 a1 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a2 a 注意 a n
am )
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
~
1 1 0 0 1 0
0 0 2 2 5 5
2 2 2 2 7 5
1 0 2 5 r3 r2 2 0 2 2 ， ~ 0 0 0
可见R( 1 , 2 , 3 ) 2，向量组 1 , 2 , 3线性相关； R( 1 , 2 ) 2,向量组 1 , 2线性无关.
若记A （α α , α （β β , β 1, 2, m )和B 1, 2, s ).B 能由A线性表示，即对 每个向量β (j 1,2, , s)存 j 在数k1 j, k 2 j, k m j,使
β j k 1jα1 k 2jα 2 k mjαm
k1 j k2 j （ 1 , 2 ,, m ) , k mj
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当 注意
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
给定一向量组 A： α1， α 2， α m，和 向量β， 以及一 组数λ 1， λ 2， ， λ m，使得
β λ 1α1 λ 2α 2 λ mα m
则向量β是向量组A的 线性组合，这时称向量 β能 由向量组A线性表示
即线性方程组 x11 x2 2 xm m 有解.
k1 1 k2 2 km m 0.
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
例3 已知向量组α α α β 1, 2, 3 线性无关 , 1 α 1 α 2, β β 试证β β β 2 α 2 α 3, 3 α 3 α 1, 1, 2, 3 线性无关 .
证
即
设 有x1 , x2 , x3 , 使 得 x11 x2 2 x3 3＝0
x （ x2 ( 2 3 ) x3 (3 1 ) 0, 1 1 2）
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， B为这一表示的系数 矩阵：
b11 b 21 (η1 , η2 , , ηn ) (α 1 , α 2 , , α s ) b s1 b12 b 22 k s2 b1n b 2n k sn
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算
向量组的线性相关性
向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的判定
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn αn α1 α 2 αj a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
称为n 维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性.
同时，C的行向量组能由 B的行向量组线性表示 ,A 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
从而
k11 k 21 （ 1 , 2 ,, m ) (β1 , β2 ,, βs ) k m1
k12 k 22 km 2
k1 s k2s k ms
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
设矩阵A经初等行变换变成 B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合 ，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示 . 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由 B的行向量组线性表示， 于是A的阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
二、向量组线性相关性的概念
解 分析 对矩阵（ 1， 2， 3），施行初等行变换变
成行阶梯形矩阵 , 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3） 及（ 1， 2）的秩，利用定理 2即可得出结论.
1 0 2 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 1 5 7
r2 r1
r3 r1
第三章 线性方程组
第一节 n维向量
（概念、表示方法、向量空间）
一、 n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量，
第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
2. 对于任一向量组 , 不是线性无关就是 线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对 于 含 有 两 个 非 零 向量的向量组 它 , 线性相关的 充 要 条 件 是 两 向 量 的量 分对 应 成 比 例 ， 几 何义 意 是 两 向 量 共 线 ； 三 个量 向相 关 的 几 何 意 义 是向 三 量共面.
向量组 α1 , α 2 ,, α j ,, αn 称为矩阵A的列向量组
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn