第三章 n维向量组 PPT课件
线性代数课件6第三章向量空间
线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。
第三章 n维向量组 PPT课件
显然
A
1T
,
T 2
,
T 3
，所以
2 0 3
5 1 0
线性412无 关。
0 0 0
解：(1)设
5 2 7 5 2 7
A
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
1 2
1
1
因为该向量组是由3个3维9向量1组成8的，即9满足推1 论81，所以，我
们只需计算
A 527
A 2 1 1 40 18 14 63 32 5 0 9 1 8
所以 1, 2 ,3 线性相关。 (2)作初等行变换
1 2 3 1 2 3
4 1 1 0 A 0 1 1 2
2 1 0 1 2 1 0 2
要 能被向量组 1,2 ,3 线性表出，即要求非齐次线性方程组
4x1 x2 x3 0
x2 x3 2 2x1 x2 1
2x1 x2 2
有解，而由定理4.1.1知，该方程组有解的充要条件是 r(A) r(A)
命题3.2.2：对 m 维向量组1,2, ,n，记 A 1,2 , ,n
下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关；
（2）AX O有非零解； （3）r(A) n 或者也可以换个角度，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性无关；
（2）AX O只有零解； （3）r(A) n
推论1：当m n 时，对 n 个 n 维向量1,2, ,n ，记A
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
(完整版)2.3n维向量的概念
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
线代课件-向量组
,
3
0 1
线性表示。
但3不可由向量组B线性表示，故向量组 A不可由
向量组B线性表示，进而向量组 A与向量组B不等价。
1 0 1
（2）向量组B :
1
0 0
,
2
2 0
,
3
1 0
1 0
与向量组
A
: 1
0 0
,
2
10 等价。
§3.2 向量組的線性相關性
一、定義
【定义 4】 设有向量组1,2 , ,m ，
若存在一组不全为零的数 x1, x2 , , xm，使得
x11 x22 xmm 0， 则称向量组1,2 , ,m 线性相关。
否则，称1,2 , ,m 线性无关。即
当且仅当 x1, x2 , , xm全为零时，才有
x11 x22 xmm 0， 则称1,2 , ,m 线性无关。
例 1 1 1,2,3T ,2 2,3,4T ,3 0,0,0T ; 相關
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
【注 1】若 AB C ，则 C 的列向量组可由 A的列向量组线性表示，( AB C ) C 的行向量组可由B的行向量组线性表示。( AB C )
n维向量空间与线性相关性.ppt
（1）
（加法交换律）
（2） ( ) ( ) （加法结合律）
（3） O O
（4） ( ) O
（5）1
（6） kl kl
（数乘结合律）
（7） k k k （数对向量的分配律）
（8） k l k l （向量对数的分配律）
其中 , , F n ，1,k,l F ， O 为 F n 中的零向量。
即
a1,a 2 , ,a n 。
设 (a1,a 2 , ,a n ) ， b1,b2 , ,bn 都是 n 维向量，则 当且 仅当 ai bi i 1,2, , n
3.1.2 n 维向量的运算 既然向量可看成矩阵，那么，由矩阵运算的定义就可得向
量的运算。
定义 2 设 (a1, a 2 , , a n ) ， b1, b2 , , bn Fn ， k F ，
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F（一般为实数域 R 或复数域C ）上全体 n 维
向量的集合，连同定义在其上的线性运算，称为数域 F 上的
n 维向量空间，仍记为 F n 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空
间，记为 Rn 。
3.2 向量组的线性相关性
本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量
之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念： 线性组合，线性相关与线性无关。
以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行
讨论，不再每次说明。
3.2.1 线性组合与线性表示
定义 1 设有 n 维向量1, 2 , , m 及 ,如果存在一组数
第 3 章 n 维向量及向量组的线性相关性 3.1 n 维向量
线性代数第3章 n维向量与线性方程组
29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无 关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可 由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一 的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个 向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向 量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们 是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无 关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合 定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问： 向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明 因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解 设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性 定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的 线性相关性.
33
大学线性代数课件3.4节N维向量
1
1
0
2
, 2
1 0
0 0
2
,
3
1 1
0
2 2
,
4
0
1 1
2 2
.
由于 i , j
0, 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以1,2 ,3 ,4为一标准正交向量组.
同理可知
1 0 0 0
e1
000,
e2
b2
R
n
bn
a1
,
a1b1
a2b2
anbn
b1, b2 ,, bn
a2
b1
T
a1, a2 ,, an
b2
T
an
bn
即 , T T
向量内积的性质： 设 , 均, 为n维向量， 为实数，则
1 , , 2 , , ,
100,
e3
100,
e4
100.
也 为 一 个 标 准 正 交 向 量组 .
（标准正交向量组不唯一）
注意：正交向量组可作为向量空间的一组基。
正交基与标准正交基 正交向量组为基----正交基 标准正交向量组为基----标准正交基。
欧式空间R n中, 若一组基1 , 2 ,
满足标准正交向量组的条件,
§3.4 内积与向量组的正交化
一、内积的定义及性质 二、向量的长度（模）及性质 三、正交向量组的概念及求法
前面主要介绍了向量的线性运算，向量组的线性 相关与线性无关性，并讨论了向量空间中的基、维 数以及向量的坐标等概念。
但在向量空间中还没有涉及度量性质，即还没有 考虑向量空间中的向量的大小、向量间的夹角等问 题。
n维向量及其运算向量组的线性相关性教学课件
空间向量具有三个分量，可以通过三个空间向量的线性组合来表示出任意一个空间向量，从而可以解决空间几何中的角度、距离、垂直和平行等问题。
空间向量的线性相关性
在几何中的应用
通过建立一元线性方程组，可以用向量表示未知数，利用向量的线性相关性求解方程组。
通过对向量空间的定义和性质的研究，可以建立向量空间的运算和结构，进而研究更为复杂的代数问题。
向量组线性相关性的判定定理
03
向量组的线性表示与矩阵
向量组的线性表示的定义：对于给定向量组A和向量b。存在一组系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
向量组的线性表示的概念与性质
线性表示的性质
唯一性：当且仅当$\mathbf{b}=0$时。存在一组非零系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
数乘运算示例：假设有一个实数k，则k×a=[k×1,k×2,k×3]=[k,2k,3k]。
减法运算示例：假设有一个3维向量c=[7,8,9]，则c-a=[7-1,8-2,9-3]=[6,6,6]，即c-a=[6,6,6]。
n维向量的运算实例
02
向量组的线性相关性
向量组的定义
有限个向量组成的集合称为一个向量组
非零向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 与 $\mathbf{b_1,b_2,...,b_n}$ 线性相关
向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 线性无关的充分必要条件是其中任意不等于零的向量的个数小于等于 $n$
向量组的线性相关性的定义与性质
01
02
在物理中的应用
05
总结与展望
向量组的秩
从定义、性质、计算方法等方面，系统地介绍了向量组的秩的基本概念和基本理论。
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组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该
向量组线性表出。（有的书上用1 (1,0, ,0)，2 (0,1, ,0)， ， n (0,0, ,1) 表示单位向量组。） （4）向量组1,2 , ,m 中任意向量都可以用这个向量组线性 表出，即 i 0 1 0 2 0 i1 1i 0 i1 0 m
则向量 (b1, b2 , , bm ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出的充
分必要条件是线性方程组
a11k1 a21k2 an1kn b1
a12k1
a22k2
an2kn
b2
a1mk1 a2mk2 anmkn bm
有解。
【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 1, 2 ,
（2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即O (0,0, ,0)
（3）向量(a1,a2 , ,an ) 称为向量 (a1, a2 , , an ) 的负
向量，记作
2. 向量的线性运算 （1）向量的加法
定义3.1.2：设 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) ，那么向 量 (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 称为 与 的和，记为 ，即
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组
3
1 1 0
0
2
1
0 2
3
1 1 1 1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 1 2
4 r1 r2 r1r3
0
4
2
2
4
2
1
1 2r2
0
2 1 1 22 1/ 21
0
0
2 2
1 1
1
2
2
3
0
0
2 1 1
2
1
2
2 3
1 1 1 1
2
r2 r3 r2 r4
0
2 1 1
22 1/ 21
a1 b1, a2 b2 , , an bn
【注】由此可知向量的减法
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
（2）向量的数乘
定义3.1.3：设 (a1, a2 , , an ) 为 n 维向量， R ，向量 (a1, a2 , , an ) 称为数 与向量 的乘积，记作
令
1
A
2
n
若 A 0，则向量 (b1, b2 , , bn ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性
表出。
命题1：设 m 维向量组为
1 (a11, a12, , a1m )，2 (a21, a22, , a2m )， ， n (an1, an2, , anm )， (b1,b2, ,bm )
r3 r4
0
0
0 0
0 0
0 1
2 2 2
3 1/ 21 1/ 21
1 1 1 1
2
0
2 1 1
22 1/ 21
0
0
0 0
0 0
1 0
2 2 2
1/ 21 3 1/ 21
所以，向量 不能由向量组 1,2 ,3 线性表出。
同样的题目，我们利用4.1的方法该如何做呢？
解：以 1,2 ,3, 为列向量构造矩阵 A，则有
显然
A
1T
,
T 2
,
T 3
，所以
2 0 3
5 1 0
线性412无 关。
0 0 0
8
则矩阵 A 可由列向量组 1, 2 , 3, 4 表示成 A 1, 2 , 3, 4
二. 向量组的线性组合
1. 定义3.2.2：设 ,1,2 , ,s 都是 n 维向量，如果存在 一组数 k1, k2 , , ks，使得关系式 k11 k22 kss 成立， 则称向量 是向量组 1,2 , , s 的线性组合，并称向量 可由 向量组 1,2 , , s 线性表示（或线性表出）。
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。
（3）向量的线性运算满足的运算规律
( ) ( ) O ( ) O 1 () () ( ) ( )
例：设1 (1,1,0)，2 (0,1,1)，3 (3,4,1)，求1 2 和 31 2 2 3
例：设有四个三维向量
(0,4,2)，1 (1,2,3)，2 (2,3,1)，3 (3,1,2) 试将向量 表示为1,2 ,3 的线性组合。
解：设存在一组数 k1, k2, k3，使得关系式 k11 k22 k33
成立，则有(0,4,2) k1(1,2,3) k2 (2,3,1) k3(3,1,2)，即
,n，共有 n 个向量，且每个向量都是 n 维，而命题1中向量
组是1,2, ,n ，共有 n 个向量，但每个向量都是 m 维。其实， 当m n 时，命题1就是定理3.2.1，所以命题1的使用范围更广。
定理3.2.2：若向量 可由 m 维向量组线性表出，则矩阵
1
2
A 的 行经初等行变换可将其化为零行。
命题3.2.2：对 m 维向量组1,2, ,n，记 A 1,2 , ,n
下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关；
（2）AX O有非零解； （3）r(A) n 或者也可以换个角度，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性无关；
（2）AX O只有零解； （3）r(A) n
推论1：当m n 时，对 n 个 n 维向量1,2, ,n ，记A
根据上述定义，线性无关可定义为：
设有 n 维向量组1,2 , ,m，若只有当 k1 k2 km 0 时，才有 k11 k22 kmm O 成立，则称向量组1,2 , ,
m 线性无关。
2. 几点说明 （1）只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该 向量是零向量；只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件
2k1k123kk2 23kk33
0 4
3k1 k2 2k3 2
由克莱姆法则得 k1 1，k2 1，k3 1，所以向量 可以表示为
向量组 1,2 ,3 的线性组合，且 1 2 3
2. 如何判断一个向量可由一个向量组线性表出 定理3.2.1：设 n 维向量组为
1 (a11, a12, , a1n )，2 (a21, a22, , a2n )， ， n (an1, an2, , ann )， (b1,b2, ,bn )
即 V1 对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。
3.2 向量组及其线性组合
知识点 向量组的概念 向量组的线性组合（即线性表出）
一. 向量组的概念
定义3.2.1：若干个 n 维行向量（列向量）所组成的集合称 为 n 维行（列）向量组。
例如向量组
1 (1,2,1)，2 (3,4,7)，3 (2,1,5)，4 (4,6,1)
解： 1 2 (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) 31 22 3 3(1,1,0) 2(0,1,1) (3,4,1) (0,1,1)
三. 向量空间
定义3.1.4：设 V 为 n 维向量的集合，如果 V 非空，且 V 对 于向量的加法及数乘运算封闭，则集合 V 为向量空间。
4 1 1 0 A 0 1 1 2
2 1 0 1 2 1 0 2
要 能被向量组 1,2 ,3 线性表出，即要求非齐次线性方程组
4x1 x2 x3 0
x2 x3 2 2x1 x2 1
2x1 x2 2
有解，而由定理4.1.1知，该方程组有解的充要条件是 r(A) r(A)
【注】（1）向量 是向量组 1,2 , , s 的线性组合，和向量 可由向量组 1,2 , , s 线性表出是一个意思。
（2）O 向量是任意向量组的线性组合，或者说 O 向量可由任意 向量组线性表出。 （3）设有 n 个 n 维单位向量：
e1 (1,0, ,0)，e2 (0,1, ,0)， ，en (0,0, ,1)
解：(1)设
5 2 7 5 2 7
A
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
1 2
1
1
因为该向量组是由3个3维9向量1组成8的，即9满足推1 论81，所以，我
们只需计算
A 527
A 2 1 1 40 18 14 63 32 5 0 9 1 8
所以 1, 2 ,3 线性相关。 (2)作初等行变换
1 2 3 1 2 3
行向量： a1, a2 , , an
列向量：
也叫行矩阵
b1
b1, b2 ,
, bn T
b2 bn
也叫列矩阵
二. 向量的线性运算
1. 几个常用知识点
（1）若 n 维向量 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) 的对应
分量都相等，即 ai bi (i 1,2, , n) 时，称 与 相等，记作
1,2 , ,n ，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关（无关）；
（2）
有非零解（只有零解）；
AX 0
（3）
推论2A：当0 0 时，则 n 个 m 维向量
性
nm
1,2, ,n
一定线
相关。
例3：讨论下列向量组的线性相关性
(1)1 5,2,9，2 2,1,1，3 7,1,8
(2)1 1,2,0,3，2 2,5,1,0，3 3,4,1,2