n维向量,

P ={ a ,a2,⋯an)ai ∈P i =12⋯n (1 , , ,, , }
n
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[注] 所谓 维向量空间是把数域 上全体 维向量 注 所谓n维向量空间是把数域 上全体n维向量 维向量空间是把数域P上全体 的集合组成一个有加法及数量乘法的代数结构 代数结构。 的集合组成一个有加法及数量乘法的代数结构。 当P=R时， n ={ a ,a2,⋯an)ai ∈R i =12⋯n 时 R (1 , , ,, , }
α 记作 k 。向量的这种运算称为向量的
数乘运算。 数乘运算。 k =(k 1,k 2,...,k n) α a a a [注] 1.向量的加法及数乘运算统称为向量的 注 向量的加法及数乘运算统称为向量的 线性运算； 线性运算； 2. 向量的线性运算的运算规律： 向量的线性运算的运算规律：
∀ ,β,γ 是 n α 维向量， 是常数， 维向量，k，l是常数，则： 是常数
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(1 α+β =β +α )
(交 律 换 ）
(2 ( +β)+γ =α+(β +γ) (结 律 )α 合 ) (4 α+(− ) =ο ) α (3 α+ο =α ) ) α α β (5 (k+l) =k +lα (6 k( +β) =k +k ) α α
(7 (k ) =k(lα) ) lα (8 1⋅α=α ) 定义4 以数域P中的数作为分量的 中的数作为分量的n维向量的全 定义 以数域 中的数作为分量的 维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律 条运算规律， 乘法满足上述的 条运算规律，则称此集合 为数域P上的 维向量空间， 上的n维向量空间 为数域 上的 维向量空间，记作 Pn.
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2
例如
(1,2,3,⋯, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,⋯, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
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第n个分量 个分量
3
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， T T T 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a ,b ,α ,βT 等表示，如：
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系数矩阵的列向量组。 系数矩阵的列向量组。 列向量组
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六、向量的运算
β 1 2 定义2 定义 设 α =(a ,a ,...,a )， =(b ,b ,...,b ) ， 1 2 n m = 如果 m=n，称n维向量 维向量
的和， 为向量 α与 β 的和，记作α+β 。
(a +b ,a2 +b ,...,an +b ) 1 1 2 n
向量与线性方程组Biblioteka 2011-10-241
一、n维向量的概念
定义1 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 ,⋯ , an 所组成的数 维向量， 个分量， 组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
α 1 , α 2 , ⋯α s可由向量组 β 1 , β 2 , ⋯ β t线性表示 .
（反身性，传递性） 反身性，传递性） 如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为等价. 如果两个向量组可以互相线性表示，则称它们为等价. （反身性，对称性，传递性） 反身性，对称性，传递性）
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α+β =(a +β ,a2 +β2,...,an +βn) 1 1
[注] 1. 两个向量相加必须它们的维数相等时， 注 两个向量相加必须它们的维数相等时， 才有意义。 才有意义。 2. 向量的减法：α−β =α+(−β) 向量的减法：
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定义3 是一个常数， 定义 设 α =(a ,a ,...,a )，k是一个常数，称 是一个常数 1 2 n (k 1,k 2,...,k n) 为向量 α与数 的乘积， a a a 与数k的乘积 的乘积，
标 系
几何 线
： 空间 线 空间
代数 间
： 向量空 的
{(x, y,z)ax+by+cz=d} {r=(x, y,z) ax+by+cz=d}
T
P x, y,z) (
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r =(x, y,z)
T
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四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m n 有n个m 维列向量 × aj a a a 1 2 n a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n a 21 a 22 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a m 2 ⋯ a mj ⋯ a mn m1
算 计 α−2β +γ
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反之， 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 成一个矩阵
m 个n维列向量所组成的向量 组α 1 ,α 2 ,⋯,α m , 构成一个 m × n矩阵
A=( 1,α2,⋯ m) ,α α
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,⋯ β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
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βT 1T β2 B= ⋮ T β m
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线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm .
a T = ( a 1 , a 2 ,⋯ , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 维向量写成一列，称为列向量 列向量， , 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 a,bα,β等表示，如： a1 a2 a= ⋮ a n
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⋯ a1 n ⋯ a2n ⋯ ⋮ ⋯ a in ⋯ ⋮ ⋯ a mn
T m
α T α2
T 1
α
α
T i
T m
的行向量组． 向量组 α , α , …，α 称为矩阵 的行向量组． ， 称为矩阵A的行向量组
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线性方程组
+ 1 n 1 a 1x +a 2x +⋯ a nx =b 1 1 1 2 a x +a x +⋯ a x =b + 2n n 2 21 1 22 2 .................................... m x +a 2x +⋯ a nx =b a + m n m 1 1 m 2
a1 x1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 一一对应
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定义
如果向量组 α 1 , α 2 , ⋯α s中的每一向量 α j ( j = 1, ⋯ s ) 线性表示， 都可由向量组 β 1 , β 2 , ⋯ β t线性表示，则称向量组
1 2 n 向量组 a, a ,⋯, a 称为矩阵 A的列向量组 .
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类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 ⋮ ⋮ A= ai1 ai 2 ⋮ ⋮ a m1 a m 2
T 1 T 2
, 表示实数的全体，称为一维向量空间 表示实数的全体，称为一维向量空间 一维向量空间; 当 n=1 R 二维向量空间; 当n=2 R表示平面上所有的点，称为二维向量空间; = , 2表示平面上所有的点，称为二维向量空间 三维向量空间. 当n=3 R表示空间中所有的点，称为三维向量空间 = , 3表示空间中所有的点，称为三维向量空间 ，） （ ，） （ ， ， （ ， ， ，， ， ） 1 例 α= 1204 β = −12 −41 γ = −2 301 ，
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量 列向量. 都当作列向量
(1 )
a 1 a2 a n 1 1 1 a21 a22 a2n α 称 α = ⋮ ,α = ⋮ ,⋯ n = ⋮ 为方程组 1 2 a a a n m1 m2 m
线性代数
第四章
17 17
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向量
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
(n≤3 ) 坐