线性代数n维向量空间小结
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1.a j：向量α的第j个分量。
2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。
的加法和数乘运算的合称。
Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；2.R2即2维空间。
3.R n的子集：多个n维实向量构成的一个集合。
4.V是R n的子空间：V具有下列性质的R n的子集。
设V?R n是一个非空集合，V满足：（1）若α、β∈V，则α+β∈V;（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。
6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。
7.线性组合：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，k m，称向量β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。
8.张成：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。
Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+k mαm}；（2）张成是一R n的一个子空间；9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，k m，使β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）10.线性方程的三中表示：（1）矩阵方程Ax=b；（2）向量方程x1α1+x2α2+…+x nαn=β；（3）一般式方程；11.线性相关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k不全为0）；线性无关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k全为0）；12.线性相关的几何解释；（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：（2）若向量组A：α1，α2α3线性相关，则它们共面。
，13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。
Ps：秩：R（A）为系数矩阵的行阶梯形的非零行个数。
4.1 n 维向量空间
ai bi , i 1,2,, n
零向量 负向量
0 (0,0,,0)
(a1 ,a2 ,,an )
三维向量的线性运算满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
是否是 R2 的子空间？
x1 , x2 , x1 x2 0,
y1 , y2 V1
y1 y2 0,
x1 y1 , x2 y2 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) 0
V1
x1 , x2 , R, x1 x2 0, V1
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
n 维向量的线性运算也满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
则 0 或a1 a2 an 0
0或 0
线性方程组的矩阵表示:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1n b1 a11 a12 a a 21 x 22 x a 2 n b2 x1 2 n a a a b m1 m2 mn m
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
线性代数n维向量空间小结
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
n维向量空间 (2)
n维向量空间简介在数学中，向量是一个多维度的数学对象，用于表示方向和大小。
而n维向量空间则是由n个向量组成的空间，可以用于描述和计算n个变量之间的关系。
n维向量空间在各种学科和领域中都有重要的应用，例如线性代数、计算机图形学和机器学习等领域。
本文将介绍n维向量空间的基本概念、性质和常见操作。
基本概念向量一个向量可以由一组有序的数值表示，这组数值被称为向量的分量。
向量通常用小写字母加粗表示，例如v。
在n维向量空间中，一个向量可以表示为：v = (v₁, v₂, …, vₙ)其中v₁, v₂, …, vₙ是向量的n个分量。
n维向量空间n维向量空间可以由n个向量组成，记为{v₁, v₂, …, vₙ}。
这些向量可以是任意长度的向量，但在n维向量空间中，它们的维度必须相同。
n维向量空间中的向量可以进行向量加法和数乘运算。
向量加法是指将两个向量的对应分量相加，数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量。
性质n维向量空间具有以下性质：1.封闭性：对于任意两个向量v和w，它们的和v+w仍然是n维向量空间中的向量。
2.交换律：向量加法满足交换律，即v+w = w+v。
3.结合律：向量加法满足结合律，即(v+w)+u =v+(w+u)。
4.数乘结合律：数乘满足结合律，即(a b)v = a(b v)。
5.分配律：数乘和向量加法满足分配律，即a(v+w) =a v + a w 和 (a+b)v = a v +b v。
常见操作向量点乘在n维向量空间中，可以对两个向量进行点乘运算。
点乘（也称为内积或数量积）的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角。
向量点乘的计算公式如下：v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ其中v和w分别是n维向量空间中的向量，v₁, v₂, …, vₙ和w₁, w₂, …, wₙ是它们的分量。
向量叉乘除了点乘，n维向量空间还可以进行向量叉乘运算。
向量叉乘（也称为外积或矢量积）的结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
n维向量空间
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
线性代数-n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
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,
m
1 1
0 1
1 0
1
1
1
1
1
0
1,2, ,m P
P 0，等价，秩相等。
13
典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
14
一、向量组线性关系的判定
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令 k
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
方法类似：
1 0 1
l 2
1, m3
2,1
3
＝1
,
2
,
3
l 0
1 m
01
P
当 P lm 1 0，可逆时，两向量组等价，无关。
12
4. 1 2 3 m,2 1 3 m, ,
m 1 2 m1，判定两向量组秩的关系。
0 1 1 1
解: 1, 2,
, m 1,2,
判断是最大无关组：任意“n个” “线性无关”的“n维 向量”都是 n 的最大无关组。
6
例：1, ,n n无关 任一n维向量可由1, ,n线性表出；
证：) : 是最大无关组，显然。
)
: 1，
,
可由其表出；
n
1，
, n可由1，
,
表出；
n
等价。所以秩相等。
结论:设向量组T的秩为r，则T中任意r个线性无关
1, ,m (m 2)相关 至少有一个向量可由
其余m 1个线性表出
可由1,
,
线性表出，则表达式唯一
n
1,
,
线性无关。
n
4
(2) 线性表出：
x11 x22 xnn“, 有数”就行
可由1,
,
线性表出
n
AX 有解，A (1, ,n )
R( A) R( A)
秩(1, ,n ) 秩(1, ,n, )
k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()
3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
线性相关.
19
解二
1
1 2
,
2
0 2
1
, 3 0 ,
3
5
2
a11
a21
am1 0
k1
a12
k2
a22
km
am2
0
a1n
a2n
amn 0
整理得线性方程组
15
a11k1 a21k2 am1 km 0,
a12 k1 a22 k2 am2 km 0,
()
a1n k1 a2n k2 amn km 0,
1 0
1 1
0 1
P
当 P 0，
1,2,3 1＋2,2＋3,3 1 P1
所以向量组1＋2,2＋3,3 1与1，2，3等价。 当 P＝0时，R(1 2,2 3,3 1)
min R1,2,3 , R(P) 3
11
此方法对很多问题都有效：
3. 1,2,3线性无关，问l, m满足什么条件时， l2 1, m3 2,1 3线性无关。
矩阵A
(
1 ,
2
,
3)
1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
20
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
第四章 n维向量空间小结
n维向量空间 线性方程组
主要内容：
一．两个重要概念：
线性相关性：
本质上考察 x11 x22
xnn 0
是否“只有”x1＝ ＝xn＝0 时成立；
线性表出：
× 例如:任意向量组，0 1+ +0 n 0 1, ,n线性无关。
2
二、 (1) 向量组1,2,
,
线性相关
“向量组的秩”即为“矩阵的秩”.
对于非齐次线性方程组,首先有没有解，
有唯一解 1, ,n线性无关，R( A) n.
5
三、最大无关组，向量组的秩
最大无关组的两个等价命题： 命题1：(1)线性无关；
(2) 向量组中任何一个可由它们线性表出； 命题2：有r 个线性无关，任意r+1个则相关； 和矩阵的秩类似：有r阶子式≠0，任意r+1阶子式＝0.
8
1. b Rn, Ann X b有解 A 0
任意向量b都可以由A的列向量组线性表出,
1， ,n Rn 线性无关 任一n维向量均可由
其线性表出.
a11x1 a12x2 a1n xn 0
2.
ai1x1
ai2 x2
ainxn 1 对i 1, 2, n都有解
an1x1 an2x2 ann xn 0
若线性方程组()只有唯一零解,则 1 , 2 , , m 线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1 , 2 ,, m
线性相关.
16
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量1, 2 ,, m ,就得到一个 相应的矩阵A (1, 2 ,, m),首先求出R( A).
若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性相关.
17
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
3 5 2 0
18
整理得到
n
AX 0有非零解，A (1, ,n )
R(A) n
n : 未知量个数，向量个数。 矩阵的秩就是向量组的秩。 向量组线性相关 向量组的秩 < 向量个数
3
相关结论：
一个向量线性无关 非零向量 两个向量线性无关 不成比例 向量个数 > 向量维数 相关 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出， 则组(I)的个数<组(II)的个数。
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 krt
其中k1, k2 , , kt是任意常数.