n维向量的运算
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线性代数3-1 n维向量及其运算
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
Hale Waihona Puke 第三章 向量与向量空间 n维向量及其运算 向量组的线性相关性 秩 向量空间
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第三章 向量与向量空间
第一节 n维向量及其运算
n 维向量的概念 二、 无穷大 n维向量的运算法则
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一、 n 维向量的概念
定义1（P69） n 个有次序的数
的数组称为 n 维向量，这 a1 , a 2 , , a n 所组成 n个 n 个数称为该向量的
(1) (3) 0 ( 5 ) 1 ( 7 ) k ( ) k k (8 )( k l ) k l ( 2 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 0 ( 6 ) k ( l ) l ( k ) ( kl )
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
1. 行向量，通常用 a , b , , 等表示，如：
T T T T
a
T
( a 1 , a 2 , , a n )
2. 列向量，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
3. 向量相等
4. 零向量
5. 负向量
向量组的线性表示
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
向量
解析几何
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐 标 有次序的实数组成的数组 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
§1—n维向量及其线性运算
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
§3.1 n维向量及其线性运算
n 二、 维向量的表示方法
向量通常写成一行，称为行向量。记为 aT ,bT ,T , T ，如
aT (a1 ,a2 , ,an )
行向量
行矩
向量写成一列，称为列向量。记为 a,b, , ，阵如
列矩阵
列向量
a1
第三章 向量组及其线性关系
§3.1 n 维向量及其线性运算
一、 n 维向量概念 二、 n 维向量表示方法 三、线性运算定义及性质 四、小结，思考题
§3.1 n维向量及其线性运算
n 一、 维向量的概念及其表示方法
定义：n 个有次序的数 a1,a2 ,L ,an 所组成的有序数组
a1, a2 ,L , an 称为一个n 维向量。
a21
x1 L
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b
x1
即 Ax b 或 1
2 L
n
x2
M
§3.1 n维向量及其线性运算 n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2, , xn)T x1, x2, , xnR
n维向量空间
x( x1, x2, , xn)T a1 x1a2 x2 an xnb
叫做n 维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
（2） 3 2 3[1,0,4,7]T 2[3,2,1,6]T
3.4 n维向量及其运算
( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量 的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换 初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相 关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性 无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.
线性代数-3n维向量
α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量 维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量 维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量 分量的个数称为向量的维数 其中 ai (i=1,2…n)是实数 称为分量 分量的个数称为向量的维数 是实数 称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 设 1.相等 相等 2.加法 加法 3.数乘 数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组 必含有相同个数的向量 必含有相同个数的向量; 推论 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关 维向量组必然线性相关. 推论 任意 个 维向量组必然线性相关 二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组 设一个向量组的某一部分组是线性无关的 并且从该向量组 中的其余向量中任取一个添进去 所得的新的向量组线性相关 所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关 则称该部分组为一个极大线性无关组 则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组
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3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α) 求向量α. 解 将上式合并同类项，得
6α=3α1+2α2－5α3
n维向量的运算
n维向量的运算
【例3-2】
用向量表示线性方程组
n维向量的运算
n维向量的运算
反之，若是给出向量组（3-2），作向量方程（3-3）， 可得线性方程组（3-1）.通常将向量方程（3-3）称为线性方 程组（3-1）的向量形式.
（1）α+β=β+α（加法交换律）. （2）α+(β+γ)=(α+β)+γ（加法结合律）. （3）α+0=α. （4）α+(-α)=0. （5）k(α+β)=kα+kβ（数乘分配律）. （6）(k+l)α=kα+lα（数乘分配律）. （7）(kl)α=k(lα)（数乘结合律）. （8）1·α=α. 其中，α，β，γ是n维向量，0是n维零向量，k和l是 任意实数.
n维向量的运算
定义3-5
设k为常数，数k与向量α=(a1，a2，…，an)的各分量的乘 积所构成的n维向量，称为数k与向量α的乘积（简称数乘），记 为kα，即
kα=（ka1，ka2，…，kan） 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.利用上述定 义，不难验证向量的线性运算满足下述八条运算律：
n维向量的运算
n维向量的运算
n维向量的运算
定义3-2
所有分量都是0的向量称为零向量，记为 0=（0,0，…，0） 由n维向量α=(a1，a2，…，an)各分量的相反数 构成的向量，称为α的负向量.记为 -α=（-a1，-a2，…，-an）
n维向量的运算
定义3-3
如果n维向量α=(a1，a2，…，an) 与β=(b1，b2，…，bn)对应的分量相等， 即ai=bi（i=1，2，…，n），那么称这 定义3-6
设n维向量α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…， bn)，则向量α与βT的乘积为一阶方阵，即一个数，即
n维向量的运算
向量αT与β的乘积为n阶方阵，即
n维向量的运算
【例3-1】
设向量α1=(2,5,1,3)T，α2=(10,1,5,10) T，α3=(4,1,-1,1)T， α满足
n维向量的运算
定义3-4
设n维向量 α=（a1，a2，…，an），β=（b1,b2,…,bn） α与β对应分量的和所构成的n维向量称为向量α与β的 和,记为α+β.即 α+β=（a1+b1,a2+b2,…,an+bn） 由向量的加法和负向量的定义，还可以定义向量的减 法，记为α-β.即 α－β=α+－β=（a1－b1,a2－b2,…,an－bn）