n维向量及其运算
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线性代数3-1 n维向量及其运算
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
Hale Waihona Puke 第三章 向量与向量空间 n维向量及其运算 向量组的线性相关性 秩 向量空间
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第三章 向量与向量空间
第一节 n维向量及其运算
n 维向量的概念 二、 无穷大 n维向量的运算法则
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一、 n 维向量的概念
定义1（P69） n 个有次序的数
的数组称为 n 维向量，这 a1 , a 2 , , a n 所组成 n个 n 个数称为该向量的
(1) (3) 0 ( 5 ) 1 ( 7 ) k ( ) k k (8 )( k l ) k l ( 2 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 0 ( 6 ) k ( l ) l ( k ) ( kl )
分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
1. 行向量，通常用 a , b , , 等表示，如：
T T T T
a
T
( a 1 , a 2 , , a n )
2. 列向量，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
3. 向量相等
4. 零向量
5. 负向量
§1—n维向量及其线性运算
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
§3.1 n维向量及其线性运算
n 二、 维向量的表示方法
向量通常写成一行，称为行向量。记为 aT ,bT ,T , T ，如
aT (a1 ,a2 , ,an )
行向量
行矩
向量写成一列，称为列向量。记为 a,b, , ，阵如
列矩阵
列向量
a1
第三章 向量组及其线性关系
§3.1 n 维向量及其线性运算
一、 n 维向量概念 二、 n 维向量表示方法 三、线性运算定义及性质 四、小结，思考题
§3.1 n维向量及其线性运算
n 一、 维向量的概念及其表示方法
定义：n 个有次序的数 a1,a2 ,L ,an 所组成的有序数组
a1, a2 ,L , an 称为一个n 维向量。
a21
x1 L
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b
x1
即 Ax b 或 1
2 L
n
x2
M
§3.1 n维向量及其线性运算 n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2, , xn)T x1, x2, , xnR
n维向量空间
x( x1, x2, , xn)T a1 x1a2 x2 an xnb
叫做n 维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
（2） 3 2 3[1,0,4,7]T 2[3,2,1,6]T
3.4 n维向量及其运算
( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量 的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]
第9讲 向量组及其线性相关性
是否有非0解
方法二
考虑由
a1,a 2 ,a 3
组成的行列式
1 30 1 0 0 2 1 1 = 2 7 1 =1(1)11 7 1 = 31 0
10 3 3 1 3 3 10 3
方程组只有0解 所以: 向量组线性无关
定理3 向量组a1，a2， ，am线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余向量
(1) 线性相关与线性无关定义:
设有向量组
a1，a2， ，am
如果存在不全为零的数 l 1，l2， ，lm，
使得 l1a1l2a2 lmam= o
则称向量组a1，a2， ，am线性相关
否则称它线性无关
(2) 线性相关与线性无关的判定
定理2 向量组a1，a2， ，am线性相关
齐次方程组 x1a1 x2a2 xm am =0 有非0
a1,n1
a2,n1
an,n1
r(A) = (a1 ,a2 ,...,an1) n
所以 a1 ,a2 ,...,an1 线性相关
(5) 推论 Rn中的任意n+1个向量一定线性相关 证明 证法二
设a1
,a 2
,...,a n1
为给定的n维向量
因为
a1
,a 2
,..
.
,a
组
n1
能被Rn
中的初单位向量组
a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n
am1 am2 amn
1 =( a11 a12 a1n ) 2 =(a21 a22 a2n )
... ... ...
m = (am1 am2 amn)
a11
a1 =
a21
am1
a12
9n维向量及线性运算
向量数乘运算
• 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。
a1 a2 α = M a m
ka1 ka2 kα = M ka m
5、向量运算八条定律 、
（1）加法交换律成立；a+b=b+a ）加法交换律成立； （2）加法结合律成立；(a+b)+c=a+(b+c) ）加法结合律成立； 向量； （3）存在 向量；a+0=a ）存在0向量 （4）任意向量有负向量；a+b=0 ）任意向量有负向量； （5）k(a+b)=ka+kb ） （6）(k+l)a=ka+la ） ）（kl)a=k(la) （7）（ ）（ （8）1a=a ） 实数， 是向量 是向量。 其中 k,l 实数，a,b是向量。
4、向量加法运算 、
• 向量的加法：类似于矩阵的加法 向量的加法： • 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。 向量的数乘：类似于矩阵的数乘。
a1 a2 α = M a m b1 b2 β = M b m a1 +b1 a2 + b2 α +β = M a +b m m
k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m k L 称为向量组的一个 线性组合， 1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
例题1 例题1
求线性组合： 求线性组合： 2α1 − α 2
+ 3α 3
α1 = (1,3,0,2), α 2 = (2,0,0,−5), α 3 = (1,−1,−1,−2)
3-1 n维向量及其运算
第三章 N维向量与线性方程组
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
第一节 n维向量及其运算
v n维向量的概念 v n维向量的运算
一、n 维向量的概念
定义1 n 个数 a1 , a2 ,L, an 组成的有序数组称为 n 维向量，数 ai (i = 1, 2,L, n)称为该向量的第i 个分 量(或坐标), 分量为实数的向量称为实向量，分量为
2
4. 零向量: 分量皆为零的向量称为零向量.
5. 负向量 称向量 (-a1, -a2 ,L, -an )T 为向量 α = (a1, a2 ,L, an )T 的负向量，记为 -α.
注: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量.
6. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)
矩
阵
A的
列
向
量
组
.
类似地,矩阵A = (aij )m´n 有m个n维行向量
a a a æ
ç 11
L
12
ö 1n ÷
βT 1
aç 21
ç A=ç
M
a 22
M
a L
L
2n ÷
M
÷ ÷
βT 2
a a a ç
ç i1
L
i2
÷ in ÷
βT i
çM M L M÷
a a a ç
è m1
L
m2
÷ mn ø
βT m
向量组
β
T 1
,
β
T 2
,L
β
T m
称为矩阵A的行向量组．
1
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成 一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组α1, α2 ,L, αm A = (α1 , α2 ,L , αm ) 构成一个n ´ m矩阵
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
n维向量及其运算
k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
线性方程组与n维向量的线性运算：
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2 a2nxn
b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
a11
a12
a1n b1
即x1a21x2a22xna2nb2,
am1 am2
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而， 点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直 线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的 语言来刻划。
一、n
几何空间中：
维向量空间的概念
a : O ( a 1 , a P 2 , a 3 )
点P的坐标
n 维向量空间 ( Rn ):
n 维向量:
= ai = bi 零向量： = (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn),
n维向量及其运算
It is applicable to work report, lecture and teaching
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系 后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对 应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{ (a 1 ,a 2,a 3)|a 1 ,a 2,a 3 R }
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
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一、n 维向量空间的概念
几何空间中：
a : OP (a1, a2, a3)
点P的坐标
n 维向量空间
n 维向( R量n:): 有(a1序,a2数,组,a)n )
(
的分量
n 维行向量
n 维列向量 :
b1
b2
实（复）向量 :
bn
分量为实（复）数
同时,我们可以将行向量看成一行矩阵,列向量看成
x1
b1
即 (1, 2 , , n ) X b,
X
x2
,
b
b2
AX b.
xn
bm
二、 Rn 的子空间
定义 若
V Rn,且， V , k R, 有 V , k V ,
则称V是 Rn 的一个子空间.
例1 设V = {(x1, x2) | x1+x2 = 0 }, V是否 是 R2 的子空间？
一列矩阵.对于矩阵A=(aij )mn中的每一行(ai1, ai2 , , ain ) (i 1, 2, , m)都是n维行向量, 称为矩阵A的行向量.
因此, 矩阵A可表示为
1
A
ห้องสมุดไป่ตู้
2
,
其中1,
2
,
m
, m为矩阵A的行向量.
a1 j
同理,A的每一列
a2
j
(
j
1,
2,
amj
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11
a12
a1n b1
即
x1
a21
x2
a22
xn
a2n
b2
,
am1
am2
amn bm
即 x11 x22 xnn b,
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系 后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对 应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
{(a1, a2 , a3) | a1, a2 , a3 R}
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而， 点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直 线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的 语言来刻划。
(2) 向量的数乘运算满足
1) 1 =; 2) k(l ) l(k ) (kl);
(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
线性方程组与n维向量的线性运算：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
, n)是m维列向量,
称为A的列向量.故A也可以表示为
A=(1,2, ,n ) 其中1,2, ,n为A的m维列向量.
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
ππ
( ) (π2 π2)
机身的水平转角 (0 2π)
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
=a1(1, 0, , 0) a2 (0,1, , 0) an (0, 0, ,1) =(a1, 0, , 0) (0, a2, , 0) (0, 0, , an ) (a1, a2 , , an )
例4
设1
(2, 4,1, 1),2
(3,
1, 2,
5 ), 如果 2
向量满足 31 2( 2 ) 0,求向量.
第三章 向量组的线性相关性
本章将介绍n维向量的基本概念及其运 算，讨论n 维向量的线性相关性，并利用 矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性 相关性。这些都是线性代数和近代数学中 的最基本概念和基本性质，并为学习后面 的内容提供了必要的预备知识。
§3.1 n维向量及其运算
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发， 引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …,
bn)
= ai =
零向量：
= (0, 0, …b,i 0)
负向量：
- = (-a1, -a2, …,
Rn :
n-a维n 向) 量的全
体n维. 向量的线性运算:
解: 由题设条件,有 31 2 22 0
所以
3 2
1
2
3 2
(2, 4,1, 1)
(3, 1, 2,
5) 2
=(6,-5,- 1 ,1) 2
= (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, +bn)=，(a1 +b1, a2 +b2, …,
an+ bn),
k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足
1) 交换律 ; 2) 结合律 ( ) ( ); 3) 对任一向量 , 有 0 ; 4) 对任一向量 , 有 ( ) 0;
例2 设V = {(x1, x2) | x1+ x2 = 1 }, V是 否是 R2 的子空间？
例 3 称1 (1, 0, , 0),2 (0,1, , 0), ,n (0, , 0,1) 为n维单位坐标向量组,求a11 a22 ann.
解: 由向量的加法和数乘运算得
a11 a22 ann