n维向量及其线性相关
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线性相关
具有反身性、对称性、传递性
第二节
线性相关, 线性无关及其几何说明
1、定义 给定向量组 A : α 1 , α 2 , , α m , 如果存在不全为零实数 k 1 , k 2 ,
使 k 1α 1 + k 2α 2 +
, km ,
+ k mα m = 0
称向量组 A线性相关 , 否则称向量组 A线性无关 .
例1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量 o,α , β , γ 线性______关。 相 (2) 向量 α ,α , β , γ 线性______关。 相
结论1： 包含零向量的任何向量组线性相关； 结论2： 有两个向量相等的向量组线性相关； 结论3： 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； 结论4：两个向量对应分量成比例，线性相关 几何意 义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面.
1 2 3⎞ ⎛ 2 1 3 5⎟→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ 0 ⎠ 3⎞ ⎛ 2 0 1 1 ⎟→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝
一个极大无关组。 求向量组的秩和
⎛ −7 ⎜ −2 解：8
3 1
5 3 −7 0 5 −1 1 8
−1 4 ⎛ 1 ⎜ −2 →⎜ ⎜ −7 ⎜ ⎝ − 11
−4 ⎞ −2 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ − 11 ⎠ −1 −7 1 3 3 5 4 0
1 ⎞ −2 ⎟ ⎟ −4 ⎟ ⎟ − 11 ⎠
2. 向量组的秩
定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 r (α 1 ,α 2 ,
,α s )
⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎟ ,α 2 = ⎜ ⎟ ,α 3 = ⎜ ⎟ 的 例如： 向量组 α 1 = ⎜ ⎜ 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ −1 ⎠
n维向量、向量组的秩及其线性相关性
1, 2, …, t 是线性相关的.
推论2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, 则 r{1, 2, …, t} = r{1, 2, …, s}. 推论3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 且相互等价, 则s = t.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例6. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 3 + 2 1.
证明: 1, 2, 3线性无关1, 2, 3 线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
作业
P81-82: 1(2)(4), 2, 3, 5, 6
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例5. 设1, 2, 3线性无关, 1 = 1 + 22,
2 = 2 + 23, 3 = 3 + 21. 试证明: 1, 2, 3线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论1. 若向量组1, 2, …, t可由向量组1, 2, …, s 线性表示, 并且t > s, 则向量组
, 2 =
0 1 … 0
, … , n =
0 0 … 1
.
- - - n维基本单位向量组
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例4. 设 1 0 0 , = 1 , = 1 = 2 3 1 -1 0 2 1 1 , 1 1
求该向量组的秩,并判断其是否线性相关.
第二章 n维列向量
a12 a22 … an2
… … … …
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
n维向量,线性相关性
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
3.2 n维向量及其线性相关
证 设向量组 a1 , a2 ,, an中有某一部分组线性 相关.不妨设 a1 , a2 ,, a s ( s < m )线性相关,则存在 线性相关, 相关. s个不全为零的数 k1 , k2 ,, k s , 使得
于是得
k1a1 + k2a2 + + k s a s = θ
k1a1 + k2a2 + + k s a s + 0a s +1 + + 0am = θ
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为实数的向量称为实向量, 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
第n个分量 个分量
二,n维向量的表示方法
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行 维向量写成一行,称为行向量 行向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 aT , bT ,αT , βT 等表示,如:
a T = ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列 维向量写成一列,称为列向量 列向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 a,b,α, β 等表示,如: a1 a2 a= a n
不全为零, 因为k1,k2, ,k s , 0,,0不全为零, 线性相关. 故由定义知 a1 , a2 ,, am 线性相关.
定理 向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m线性相关的充分必 要条件是: 要条件是:至少存在一个 α i (1 ≤ i ≤ m ) 可有其余 线性表出. 向量 α 1 ,α 2 ,...,α i 1 ,α i +1 ,...,α m 线性表出. 证明 充分性 中有一个向量( 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量(比如 能由其余向量线性表示. 能由其余向量线性表示 即有
n 维向量及向量组的线性相关性
能线表却不唯一
不能线表
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有唯一解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有无穷解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 无解
例:判断向量 能否由向量组 , , , 线性表出，
若能，求出一 组组合系数，其中
证 设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（
1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
矩阵方程
研究向量之间的关系
线性组合
例：1 = (2, −4,1, −1) ,
2
若满足31 − 2 + 2 = 0, 求.
解： =
1
− (21
2
− 32 )= −2 +
1
= (6, −5, − , 1)
2
3
1
2
唯一线表
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量
mn
a11 a12 a1 j a1n
a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A
a m 1 a m 2 a mj a mn
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
n维向量的线性相关性
例如 对向量α=(1, 1, 0), β=(2, 1, 1), γ=(1, 0, 1),
β=α+γ, β是α, γ的线性组合.
在n维向量空间中，设
1,0,,0, 0,1,,0, , 0,0,,1,
1
2
则对任何一个n维向量
(a ,a ,,na )
12
n
都有 a11 a2 2 an n .
证 用反证法，利用性质2即得。
4．若向量组i=(ai1, ai2,…, ain), i=1, 2, …, m, 线
性相关， 则去掉最后r个分量(1≤r<n)后，所得 到的向量组： βi=(ai1, ai2,…, ain-r) , i=1, 2, …, m 也线性相关.
证 由 α1, α2, …, αm 线性相关，故存在着
a ,a ,,a i 1,2,,n
i
i1 i2
in
线性相关的充分必要条件为
a a a
11
21
n1
a a a
D
12
22
n2
0.
a a a
1n
2n
nn
向量组的线性相关与线性无关的性质
1．含有零向量的向量组必线性相关.
证 不失一般性，设所给的m个向量为
0, ,, .
1
2
m
从而存在不全为零的数1,0,…,0，使得
解 设 k k k 0,
11
22
33
即 系数行列式
k 1
2k 2
k 3
0
2k
1
k
2
3k 3
0
2k 1
k 2
k 3
0
1 2 1
不能用克莱
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线性代数
13
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
-11 1 14 2 9 3
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
a1 a2 a n
线性代数
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如：
5
注意
1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数
6
向量的加法运算 设向量 a (a1,…, an), b (b1,…, bn), 定义
线性代数
20
五、线性相关性的判定 ：
定理 向量组 1 , 2 ,,（当 时）线性相关 m2 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m - 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
T T T
e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
解
n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E (e1 , e2 ,, en )
是n阶单位矩阵.
由 E 1 0，知r ( E ) n.
向量组 a1 , a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
线性代数
9
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
即r ( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
线性代数
26
例3
已知 1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7
试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.
1 1
2 2
i i
m m
向量组
,
1
2
,,
m
称为矩阵A的行向量组.
10
线性代数
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵 A ( 1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m , 构成一个m n矩阵
线性代数
8
三、向量、向量组与矩 阵：
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
线性代数
24
定理2
向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要
条件是它所构成的矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 r ( A) m .
证明
（略）
下面举例说明定理的应用.
线性代数
25
例2
n 维向量组
2. 对于任一向量组 ,k n 0时, 才有
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4. 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的充要 条件是两向量的分量对 应成比例，几何意义是 两向 量共线；三个向量相关 的几何意义是三向量共 面.
am）
am 1 1 2 2 m-1 m-1
线性代数
21
故
1 1 2 2 m-1 m-1 - 1am 0
因 1 , 2 , , m -1 , - 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
线性代数
23
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程 是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多 余的，这时称方程组（ 各 个方程）是线性相关的 ；当方程组中没有多余 方 程，就称该方程组（各 个方程）线性无关（或 线 性独立） .
结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
T T T (a1 , a2 ) x b1 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . T T T (a1 , a2 ) x b2 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
1 2 4 4 2 -1 3 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 0 5 1 11 11 1 2 4 4 1 0 2 0 -5 -5 -5 0 1 1 r r 0 3 3 4 0 0 0 0 9 9 9 0 0 0
k1 1 k2 2 km m 0.
线性代数
22
因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
k2 k3 km 1 - 2 - 3 - m . k1 k1 k1
a b (a1 b1 ,, an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1,…, an), k为实数, 定义 ka ( ka1 ,, kan ) 称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定 b - a b (-a ) • 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
x11 x2 2 x3 3
3 x1 2 x 2 6 x 3 6 3 x1 5 x 2 9 x 3 9 6 x 4 x 15x 6 2 3 1
线性代数
15
3 x1 2 x 2 6 x 3 6 3 x1 5 x 2 9 x 3 9 6 x 4 x 15x 6 2 3 1
1 2 B m
11
线性代数
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
解 分析
对矩阵（ 1， 2， 3 ），施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3 ） 及（ 1， 2 ）的秩，利用定理2即可得出结论.
2 1 1 0
线性代数
18
四、线性相关性的概念 ：
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 , , n线性无关, 则只有当 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
14
6 3 2 例1 向量 9 能否由向量组 1 3 , 2 5 , 6 6 4 6 3 9 线性表示。 15
设向量可由向量组1， 2， 3线性表示为：
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角
(-
2
2
)
( - ) (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
3 2 6 6 3 5 9 9 6 4 15 6
1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 - 2
x1 4, x2 3, x3 -2
故向量可由向量组1， 2， 3线性表示为：
41 3 2 - 2 3
线性代数
3
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量
第1个分量
第n个分量
线性代数
4
二、n维向量的表示： 向量通常用 a , b, , 等表示