数学VIP李伟固代数和数论综合

求证:
存在c
>
0使得|{n√a}
−
√ {n b}|
>
cn−3,
∀n
∈
N∗.
33. 已知{1, 2, ..., 1000}的任意5个500元子集中都有两个的交至少含r个元素. 求r的最大值.
2
34. f, g是两个整系数多项式, deg f > max{deg g, 1}.已知存在无穷多个素数p满足pf + g有有理根, 求证:f 有有理根.
+
+
≥ 2.
ab + a + b bc + b + c ca + c + a
13. a, b, c > 0, a + b + c = 1,求证:
1 − a2 1 − b2 1 − c2
+
+
≥ 6.
a + bc b + ac c + ab
14.
a, b, c ≥ 0, a2 + b2 + c2
= 6,
20. n ∈ N ∗, M = {1, 2, ..., 2n + 1}. M 有多少种3分划M = A ∪ B ∪ C, A, B, C ̸= ∅, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅满足:对每个a ∈ A, b ∈ B, a除以b的余数属于C且对每个c ∈ C都存在a ∈ A, b ∈ B使 得a除以b所得余数为c.
代数和数论综合
1. 单调递增正整数列{xn}满足xnxn+1 ≤ 2(x1 + x2 + · · · + xn), ∀n ∈ N ∗. 求xn.
2. 实数x1, x2, x3满足x1 + x2 + x3 = 3, x31 + x32 + x33 = x41 + x42 + x43.求x1, x2, x3.
n
≤
m+1;
(2)
若m
=
n为奇数,
则1的个数介于
n(n−1) 2
,
n(n+1) 2
之间;
(3)
若m为偶数,则n
≤
m 2
+
1.
46. X是一个n元集, X的一个子集族F称为好的,若存在A, B ∈ F, 满足A ⊂ B, |B \ A| = 1. 若任意 含大于m个子集的族都是好的, 求m的最小值c, 并给出所有非好的且含c个子集的族.
37. (1) 求证: 对每个n ∈ N ∗都存在a, b ∈ R \ Z使得ak − bk, 1 ≤ k ≤ n都为正整数; (2) a, b ∈ R. 如 果对任意正整数k, ak − bk都是正整数, 求证:a, b是整数.
38. 有多少个10位数与其逆序数的和是81的倍数.
39. 将一个7元集的所有三元集合染色满足:任两个交为空集的三元集不同色. 至少需要多少种颜色?
47.
S
=
{ | n, a , b (a21+a1−1)(a22+a2−1)···(a2n+an−1) (b21 +b1 −1)(b22 +b2 −1)···(b2n +bn −1)
ii
∈
N ∗}.
求证:S中含无穷多个素数.
48. 求证所有小于2100的素数的倒数和小于10.
3
1
17.
n ∈ N∗,
求证:2√2n
cos(n
arccos
√ 2 4
)为奇数.
18. 单位正方体的6个面上分别写有1到6.对面两数和为7. 27个这样的正方体组成一个3 × 3 × 3的正 方体. 求这个大正方体表面各数之和的所有可能值.
19. 黑板上开始时有10个不同的正整数.每次操作都将黑板上已有的某两数的最小公倍数写到黑板 上. 经过有限次操作后,黑板上至多可以出现多少个不同的数?
min{x1,
1 x1
+
x2,
...,
1 xn−1
+
xn,
1 xn
}
≤
2
cos
π n+2
.
11.
a, b, c, d > 0, abcd = 1. 求证:
1 a+b+2
+
1 b+c+2
+
1 c+d+2
+
1 d+a+2
≤
1.
12. a, b, c > 0, a + b + c = 3,求证:
a2(b + 1) b2(c + 1) c2(a + 1)
5. 求证: a, b ∈ C, |az + bz¯| ≤ 1, ∀z ∈ C, |z| = 1. ⇔ |a| + |b| ≤ 1.
6. a, b非零实数. f (x) = ax若x为有理数; f (x) = bx若x为无理数. 求证f 是单射当且仅当是满射.
7. a, b, c, d为互异复数. 求证:|z − a| + |z − b| ≥ |z − c| + |z − d|, ∀z ∈ C ⇔ ∃t ∈ (0, 1), c = ta + (1 − t)b, d = (1 − t)a + tb.
30. a, b是不同的正实数满足[na]|[nb], ∀n ∈ N ∗. 求证: a, b ∈ N ∗.
31. 给定正整数k ≥ 2, 是否存在N ∗的一个子集族A = {Ai}i∈N∗,满足A中任意k个集合的交是单元 集, 任意k + 1集合的交是空集.
32.
a, b是两个给定非完全平方正整数.
< · · · < xn满足p =
1 x1
+
2 x2
+···+
n xn
.求正整数p的所有
可能值.
28.
单射f
: N∗
→ N ∗满足:
对N ∗的任意一个非空有限子集S,若∑s∈S
1 s
∈
N∗,
则∑ s∈S
1 f (s)
∈ N∗.
求f .
29. n ≥ 2, n ∈ N ∗, S是一个凸4n − 1边形的对角线集. S的一个k分划S1, S2, ..., Sk满足: 对任 意i ̸= j,Si中的某对角线与Sj中的某对角线交于多边形内部. 求k的最大值.
2n−1若x为奇数.
求A = {x ∈
N |f [n](x) = x}.
√
√
√
26. n ≥ 2, n ∈ N ∗, ( 3 2 − 1)n = an + bn 3 2 + cn 3 4. 求证: cn ≡ 1 mod 3 ⇔ n ≡ 2 mod 3.
27.
n ∈ N ∗给定,
已知存在正整数x1
< x2
求√4
−
a2
+
√ 4
−
b2
+
√ 4
−
c2的最大和最小值.
15. a, b, c为互异实数. 求证
a
b
c
+
+
≥ 2.
b−c c−a a−b
16. 求 的值.
√ √√ √
√√
√√
√n
+
0 √
+
√n
+
1 √
+
·
·
·
+
√n
+
n2 √
−
1
+
√n
+
n2 √
n − 0 + n − 1 + · · · + n − n2 − 1 + n − n2
40. 已知存在1, 2, ..., n的一个排列a1, a2, ..., an使得a1 + a2 + · · · + ak, 1 ≤ k ≤ n构成一个完系 mod n. 求n.
41.
n ∈ N∗,
边长为n +
1 2n+1
的正方形至多可以盖住多少个整点?
42. p < q是两个素数, m, n ∈ N ∗已知1 + p + p2 + · · · + pm是q的整数次幂,1 + q + q2 + · · · = qn是p的 整数次幂. 求证: p = 2, q = 2t − 1,其中t是一个素数.
35. n ≥ 3为给定正整数,O是平面上给定一点.D是平面上一个有限闭单位圆盘集合. 已知D中任意
圆盘不含O; 对任意正整数k < n, 以O为圆心k + 1为半径的闭圆盘含D中至少k个圆盘的圆心.
求证:
过O的某条直线至少与D中
2 π
log
n+1 2
个圆盘相交.
36. n ≥ 2为给定正整数, S是{1, 2, 3, ..., 2n}的所有n元子集组成的集合. 求maxM∈S minx,y∈M,x̸=y[x, y].
8. f : Z → Z单且满足|f (x) − f (y)| ≤ |x − y|, ∀x, y ∈ Z.求f .
9. f ∈ C[x], deg f > 0, 1 + f (xn + 1) = f (x)n, ∀x ∈ C. 求f.
10.
n ∈ N ∗, x1, x2, ..., xn
> 0.
求证:
43.
n ∈ N ∗给定,
求证:集合{1, 2, ..., n}存在一个等和m分划当且仅当m ≤