21.2 1.二次函数y=ax2的图象和性质
九年级数学上册21.2二次函数的图象和性质21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质同步练习
21.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象和性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象画法1．请你帮小明完成用描点法画函数y ＝4x 2图象的有关步骤： 列表：图21－2－1知识点 2 二次函数y ＝ax 2的图象特征与有关概念 2．关于二次函数y ＝－23x 2的描述错误的是( )A ．它的图象关于y 轴对称B ．该抛物线开口向下C ．原点是该抛物线上的最高点D ．当x 为任意实数时，函数值y 总是负数3．若抛物线y ＝(6－a )x 2的开口向上，则a 的取值范围是( ) A ．a >6 B ．a <6 C ．a >0 D ．a <0 4．已知二次函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2，下列说法错误的是( )A ．它们的图象都关于y 轴对称B ．它们的图象的顶点相同C ．二次函数y ＝53x 2的图象都在二次函数y ＝－53x 2的图象上方D ．二次函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2的图象关于x 轴对称5．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P (－2，4)，则该图象必经过点( )A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，2)D ．(4，－2)6．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2与y ＝－12x 2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：①由图象可知抛物线y ＝2x 2与抛物线________的形状相同，且关于________轴对称；同样，抛物线y ＝12x 2与抛物线________的形状相同，也关于________轴对称；②当|a |相同时，抛物线开口大小________；当|a |变大时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)；当|a |变小时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)．知识点 3 二次函数y ＝ax 2的性质7．二次函数y ＝14x 2不具有的性质是( )A ．函数图象的开口向上B ．图象关于y 轴对称C ．y 随x 的增大而增大D ．函数的最小值是08．抛物线y ＝－3x 2的顶点坐标是________，该抛物线上有A (2，y 1)，B (12，y 2)两点，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)．9．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A (－1，－12)，则这个二次函数的表达式为________，当x ________时，函数y 随x 的增大而增大．10．如图21－2－2，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )A ．4B ．8C ．12D ．16图21－2－211．若A (－14，y 1)，B (－1，y 2)，C (12，y 3)为二次函数y ＝－x 2的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y312．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )图21－2－313．若对任意实数x，二次函数y＝(a＋1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是________．14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，－8)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)说出函数在x取什么值时，有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少；(3)当x为何值时，函数y随x的增大而减小？15．如图21－2－4所示，直线l经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为4.(1)求直线AB的函数表达式和点P的坐标；(2)求a的值．图21－2－416．如图21－2－5①，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B 两点，点A，B的横坐标分别为m，n(m<0，n>0)．(1)当m＝－1，n＝4时，k＝______，b＝______；当m＝－2，n＝3时，k＝______，b＝______；(2)根据(1)中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED.①当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为____________；②当四边形AOED为正方形时，m＝________，n＝____________．图21－2－51．解：列表：描点并连线如图：2．D3．B [解析] 因为抛物线的开口向上，所以6－a>0，解得a<6.故选B .4．C [解析] 函数y ＝53x 2与y ＝－53x 2都是关于y 轴对称的抛物线，顶点都是原点，故A ，B 选项正确．由于它们的图象大小和形状都相同，开口方向相反，所以它们的图象关于x轴对称，故D 选项正确．5．A [解析] 二次函数y ＝ax 2的图象是轴对称图形，且对称轴是y 轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(－2，4)关于y 轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A .6．解：(1)略．(2)①y＝－2x 2x y ＝－12x 2 x②相同 小 大7．C [解析] 二次函数y ＝14x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x的增大而减小．8．(0，0) ＜ [解析] 抛物线y ＝ax 2的顶点坐标是(0，0)，比较函数值可以代入计算，也可以利用函数的性质：抛物线开口向下，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，所以y 1＜y 2.9．y ＝－12x 2＜010． B[解析] 由二次函数图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.11． C[解析] 由二次项系数的正负性就可以知道抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，那么可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再进行判断．因为－1＜0，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，又由抛物线的对称性知，y 3的值等于x ＝－12时的函数值．因为0>－14>－12>－1，所以y 2＜y 3＜y 1.故选C .12．D [解析] ∵ab＞0，∴a ，b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，直线过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，直线过第二、三、四象限．故D 选项符合题意．13． a>－114．解：(1)把x ＝2，y ＝－8代入y ＝ax 2，得－8＝22·a ，解得a ＝－2，∴二次函数的表达式为y ＝－2x 2.(2)由于a ＝－2，故抛物线的顶点为最高点， ∴当x ＝0时，函数有最大值，最大值为0.(3)由于抛物线开口向下，在对称轴的右边，即x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．15．解：(1)设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线AB 的函数表达式为y ＝－x ＋4. 过点P 作PC⊥OA 于点C. 由题意，得12×4·PC＝4，∴PC ＝2.把y ＝2代入y ＝－x ＋4，得2＝－x ＋4， ∴x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2)．(2)将点P(2，2)代入y ＝ax 2，得4a ＝2， ∴a ＝12.16．解：(1)当m ＝－1时，可求得纵坐标y ＝1；当n ＝4时，可求得纵坐标y ＝16，即点A 的坐标为(－1，1)，点B 的坐标为(4，16)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，4k ＋b ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝4. 当m ＝－2时，可求得纵坐标y ＝4；当n ＝3时，可得纵坐标y ＝9，即点A 的坐标为(－2，4)，点B 的坐标为(3，9)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝4，3k ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝6.故答案为3，4，1，6.(2)k ＝m ＋n ，b ＝－mn.证明如下：设点A 的坐标为(m ，m 2)，点B 的坐标为(n ，n 2)．把点A 、点B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧mk ＋b ＝m 2，nk ＋b ＝n 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝m ＋n ，b ＝－mn.(3)由题意，得点D(0，－mn)，点A(m ，m 2)．①当四边形AOED 为菱形时，有－mn ＝2m 2，则n ＝－2m.故答案为n ＝－2m.②当四边形AOED 为正方形时，有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2m ，－mn ＝－2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.故答案为－1，2.。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
沪科版九年级上21.2.1二次函数的图象和性质(共21张PPT)
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
描点,连线
y 2
驶向胜利 的彼岸
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
观察图象,回答问题
描点,连线
驶向胜利 的彼岸
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/272021/8/27August 27, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/27
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
21.2 二次函数的图象和性质(2)
1 2 y 2x 图像的开口比y x 图像的开口小 2
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0
y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
的图象，分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点 坐标。抛物线有最高点还是最低点？图象何时上升， 下降？
2 -10 -5 5 10 -2
-4
-6
-8
1 y=- x2 2
-10
y=-2x2
-12
y=-x 2
y 2x
抛物线y=ax2（a≠0） 1 2 y x 的图象是顶点在原 2 点、对称轴是y轴所 在直线的抛物线.
m2 m
练习： 已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1）求a的值； （2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 1、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 2、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标， 并求出△MON的面积。
例题：已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
21.2.1_y=ax2的图象和性质--已修订
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时，
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的
3
上 方（除顶点外）。 增大而增大 ；当x〉0时，y随着x
（2）抛物线 y 2 x 2 在x轴的 下 方（除顶点外），当x
〈0时，y随着x的
的 0是
增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最大值
轴 顶点y 是
向上 ,对称轴是
,
;
(0,0) y轴 ,顶点是 ;
3、函数y=3 x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 高 顶点是抛物线的最 点 (0,0)
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 y轴 (0,0) 是 ,顶点是___ 顶点是抛物线的最 点 低 4、函数y= －0.2x2的图象的开口 向下 ,对称轴是___,y轴 顶点是 (0,0) ;
y ax
2
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线, 二次函数的图像是 什么形状呢?通常怎样画一个函数的图像?
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？
观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是( A ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
o x
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） , 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
《二次函数y=ax^2的图象与性质》知识点解读
《二次函数y=ax²的图象与性质》知识点解读知识点1 二次函数y=ax²的图象及有关概念二次函数的图象函数y=ax2（a≠0）的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。
通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。
实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。
连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
知识点2 二次函数y=ax²的性质（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线。
我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2。
（2）抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x 轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x 的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x 的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。
（5）当a 的绝对值越大，图象越靠近y 轴，抛物线开口越窄；当a 的绝对值越小，图象越远离y 轴，抛物线开口越宽。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第1课时 二次函数y=ax^2的图像和性质
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】会用描点法画出函数y=ax 2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.◇教学重难点◇【教学重点】理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【教学难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.◇教学过程◇一、情境导入从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?二、合作探究探究点1 二次函数y=ax 2的图象典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象. (2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象.[解析] (1)y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象如图所示.(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象如图虚线所示.已知y=(k+2)x k2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.[解析](1)∵y=(k+2)x k2+k为二次函数,∴{k 2+k=2,k+2≠0,解得k=1.(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.探究点2二次函数y=ax2的性质典例2已知点(-3,y1),(1,y2),(√2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[解析]方法一:把x=-3,1,√2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>√2>1,∴y1>y3>y2.(1)求m的值.(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数图象的增减性.[解析] (1)∵函数y=(m+3)x m 2+3m -2是关于x 的二次函数,∴m 2+3m-2=2,m+3≠0,解得m 1=-4,m 2=1.(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,∴当m=1时,该函数有最小值.(4)当m=1时,x>0时,y 随x 的增大而增大,x<0时,y 随x 的增大而减小;当m=-4时,x>0时,y 随x 的增大而减小,x<0时,y 随x 的增大而增大.二次函数y=ax 2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,三、板书设计二次函数y=ax 2的图象和性质二次函数y=ax 2的图象和性质{ 开口方向顶点坐标:(0,0)对称轴:y 轴最值增减性◇教学反思◇本节课的内容主要是研究二次函数y=ax 2在a 取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
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不在 ____
(填“在”或“不在”)该函数图象上．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳] 二次函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，当 a＞0
下 ， 时，抛物线开口向 上 ____，当 a＜0 时，抛物线开口向____ 0) ． 抛物线的对称轴是 y轴 ____，顶点坐标是 (0，____
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
②描点、连线，如图21－2－3所示．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳总结] 画函数图象时，要注意自变量的选取具有对 称性．所画图象的两个端点要向两侧适当延伸．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
探究问题二 利用函数图象上点的坐标与函数对应值的关系， 判断点是否在函数图象上
例2 已知点 A(－2，1)在抛物线 y＝ax2 上，则下列各
课 堂 小 结
二次函数 y＝ax2 的图象和性质 顶点 原点 对称轴 y轴 a 的值 a＞ 0 a＜ 0 开口方向 向上 向下 增 y随x的 y随x的 当 x＞0 时 增大 减小 减 增大而_______ 增大而_______ 情 y随x的 y随x的 当 x＜0 时 增大 减小 况 增大而_______ 增大而_______ 最值 当 x＝0 时 y 最小＝0 y 最大＝0
2
1 2 ∴抛物线的关系式是 y＝ x . 4 1 当 x＝2 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝ ； 4 1 1 当 x＝0 时，y＝0；当 x＝－ 时，y＝ ， 2 16 故(1，－2)不在抛物线上．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳总结] 已知点在函数图象上，点的坐标就能使函数
关系式成立，将点的坐标对应的变量的值代入到函数关
＝ax2 的开口方向、对称轴和顶点坐标 1 4．二次函数 y＝ x2 的图象是开口向 上 ____的抛物线， 3
0) ． 对称轴是 y轴 ____，顶点坐标是 (0， ____
1 2 5． 二次函数 y＝－ x 的图象是开口向 下 ____的抛物线， 3 对称轴是 y轴 ____，顶点坐标是 (0，0) ____．点(－1，3)
系式中，即可求出函数关系式或点的另一个坐标．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
探究问题三 利用二次函数y＝ax2的性质，根据图象判断其增 减性 例 3 [2014· 安徽凤阳三中月考] 已知点 A(－3，y1)，B(－1，
2 2 y2)，C(2，y3)在抛物线 y＝ x 上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) 3 A．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 B．y1＞y2＞y3 D．y2＜y3＜y1
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
解：(1)设二次函数的表达式为 y＝ax2(a≠0)，则－3＝a×12， 解得 a＝－3，所以 y＝－3x2. (2)∵a<0，∴二次函数的图象在对称轴右侧部分 y 随 x 的增大 而减小． (3)∵a＝－3＜0，∴函数有最大值，当 x＝0 时，函数的最大 值为 0.
点或更多的点；
描点 (2)________ ：先将 y 轴一侧的点描出来，再根据对称性描出 y
轴另一侧的点； 连线 (3)________ ：按自变量从小到大或从大到小的顺序将描出的点 平滑的曲线 用__________________ 连接起来．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
学习目标 2
阅读教材例 2 与探究内容，知道二次函数 y
[归纳总结] 当所给的点不在抛物线对称轴的一侧时，要根据它
的对称性，将其转化为在对称轴一侧的点，然后再根据增减性
比较函数值的大小．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
探究问题四 利用|a|对函数y＝ax2的影响，根据|a|比较抛物 线的开口大小
例 4 [2013· 安徽淮北“五校”联考]下列抛物线开口最大的是( A ) 1 2 1 2 A．y＝－ x B．y＝－ x 3 2 5 2 C．y＝ x D．y＝(2＋ 2)x2 3 1 1 5 [解析] 四个选项中 ，二次项系数的绝对值依次为 ， ， ， 3 2 3 1 1 5 1 2 2＋ 2，且 ＜ ＜ ＜2＋ 2，所以 y＝－ x 的开口最大 ，故选 A. 3 2 3 3
1 2 9．观察探究二次函数 y＝－ x 的图象，在对称轴的左 2 侧，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而 增大 ____；在对称轴的右侧， 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而 减小 ____．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳] 对二次函数y＝ax2，当a＞0时，在对称轴的左侧，即 x＜0时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0时，y
y＝3x2 „
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
2.在所给的方格纸中，用描点法作出题1中的函数图象．
[答案] 略
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
3．观察上题所作的图象可知，y＝3x2 的图象是一条 ____， 图象关于 抛物线 ____ 图象上除了点(____ 0 ， y轴 对称，
0 ，其余都在 x 轴的上方，故这一点是它的顶点． ____) [ 归 纳 ] 由 函 数 表 达 式画 二 次 函数 y ＝ ax2 的 图 象 ， 一 般用 描点法 ，其一般步骤是： ________ 列表 (1)________ ：先取原点(0，0)，然后在 y 轴两侧对称地取 3 对
1.二次函数y＝ax2的图象和性质Байду номын сангаас
[归纳总结] 抛物线 y＝ax2 中 a 的绝对值越大，开口越小．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
探究问题五 根据二次函数y＝ax2的图象和性质，综合运用 相关知识解答问题
例 5 [2014· 安徽宁国黄冈实验学校阶段测试] 已知一个二 次函数图象的对称轴是 y 轴，顶点是原点，且经过点(1，－3)． (1)写出这个二次函数的表达式； (2)该图象在对称轴右侧部分，y 随 x 的增大怎样变化？ (3)指出这个函数有最大值还是最小值，并求出这个值．
出下列函数的图象， 并比较两个图象之间的关系： (1)y＝4x2; (2)y＝－4x2.
解：①列表：
x y＝4x2 y＝－4x2 3 1 1 3 1 „ － －1 － 0 „ 2 2 2 2 4 1 0 1 4 9 „ „ 9 „ －9 －4 － 1 0 －1 －4 －9 „
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
2 2 [解析] 抛物线 y＝ x 的开口向上，顶点为(0，0)，对称轴是 y 轴， 3 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，设 C(2，y3)关于 x＝1 的对称点 为(－2，y4)，则 y4＝y3.又∵－3＜－2＜－1，∴y1＞y4＞y2，即 y2 ＜y3＜y1.故选 D.
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
1 2 小 值， 7． 已知二次函数 y＝ x ， 当 x＝____ y 有最____ 0 时， 5 是____ 0 ．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳] 二次函数 y＝ax2，当 a＞0，x＝____ 0 时，函数值
0 ；当 a＜0，x＝____ y 有最小值，最小值是___ 0 时，函数值 y 0 ． 有最大值，最大值是____
随x的增大而增大．当a＜0时，在对称轴的左侧，即x＜0时，y
随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大 而减小．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质 重难互动探究 探究问题一 利用画二次函数图象的方法，画二次函数y＝
ax2的图象 例 1 [教材例题变式题] 在同一平面直角坐标系中，画
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
学习目标 4 知道二次函数 y＝ax2 的图象，会根据图象分析 它的增减性 1 2 8．观察例 2 中二次函数 y＝ x 的图象，在对称轴的左 2
侧，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而 减小 ____；在对称轴的右侧， 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而
增大 ____．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[反思] 二次函数 y＝ax2 的图象是抛物线， 其形状是由 a 的绝对值决定的，当 a 相等时，抛物线的形状相同，那么二 次函数 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 的图象有什么关系？ [答案] 作出二次函数 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 的图象，找 出它们之间的关系，即二次函数 y＝ax2＋k 的图象与 y＝ax2 的图象形状相同，只是沿 y 轴向上或向下平移了．
数 学
新课标（HK） 九年级上册
21.2 二次函数的图象和性质
1. 二次函数 y＝ax2 的图象和性质
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
基础自主学习 学习目标1 知道画函数图象的步骤，会画二次函数y＝ax2 的图象
1．填表，根据所给的自变量 x 的值，计算出对应的函 数值．
x „ － 3 1 －1 － 0 2 2 27 3 3 0 4 4 1 1 2 3 3 4 3 „ 2 27 „ 4
点不在此抛物线上的是( B ) A．(2，1) C．(0，0) B．(1，－2)
1 1 D.－2，16
[解析] 根据点在抛物线上，先求出抛物线的关系式，然
后判断选项中各点的坐标是否适合抛物线的关系式．
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
∵点 A(－2，1)在抛物线 y＝ax2 上， ∴把 x＝－2，y＝1 代入到 y＝ax2 中， 1 得 1＝a×(－2) ，即 a＝ ， 4
学习目标 3 知道二次函数 y＝ax2 的最值，会根据图象 求它的最值
6．二次函数 y＝－2x2 的图象是一条抛物线，且关于 y
0 ，____) 0 ，图象 轴对称，对称轴与抛物线的交点坐标是(____
上除该点外，所有的点都在 x 轴的 下方 ____，故函数有最大
0 时，y 最大＝____ 0 ． 值，即当 x＝____
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
[归纳总结] 1.根据二次函数的图象设出函数表达式 y＝ax2， 然后利用图象上点的坐标代入求解． 2．二次函数 y＝ax2 的增减性取决于二次项系数 a 的符号及 图象相对于对称轴的位置，在判断其增减性时，应先识别 a 的符 号和点的位置．