高中数学3.3.3-3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课时作业新人教A版必修2
高中数学3.3.3、3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离练习新人教A版必修2
3.3.3 点到直线的距离 3．3.4 两条平行直线间的距离一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1 B.3 C ．2 D.52．两条平行线l 1：4x －3y ＋2＝0与l 2：4x －3y －1＝0之间的距离是( ) A ．3 B.35 C.15D ．13．经过直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且与原点间的距离为1的直线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离d 的取值范围为( )A ．(0，5]B ．(0，5)C ．(0，＋∞)D ．(0，17]5．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13D.79或136．若P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(1，2)或(2，－1)D ．(2，1)或(－1，2)7．点P (－1，3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．3 2 D ．2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．在经过点M (3，5)的所有直线中，距离原点最远的直线的方程是 ________．9．已知点M 是点P (4，5)关于直线y ＝3x －3的对称点，则过点M 且平行于直线y ＝3x －3的直线的方程是________________．10．若直线mx －(m ＋2)y ＋2＝0与3x －my －1＝0互相垂直，则点(m ，1)到y 轴的距离为________．11．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．12．(12分)已知三角形的三个顶点分别是A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求角A的平分线的方程．13．(13分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．14．(5分)已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y 轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( ) A．6 B．3C.6 55D.9 51015．(15分)已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程．(2)求过P点且与原点的距离最大的直线l的方程和最大距离．(3)是否存在过P点且与原点的距离为6的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．3．3.3 点到直线的距离 3．3.4 两条平行直线间的距离.5＝|－5|1＋22＝d 由点到直线的距离公式得] 解析[ D ．1 －x 4：2l 与0＝2＋y 3－x 4：1l 由两平行线间的距离公式易知两条平行线] 解析[ B ．2.35＝||2＋142＋32＝d 之间的距离0＝1－y 3 的0＝y －x 3和0＝10－y 3＋x 故直线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －10＝0，3x －y ＝0，由] 解析[ C ．3交点坐标为(1，3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：若直线的斜率不存在，则直线的方程为x ＝1，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线的方程为y －3＝k (x －1)，整理得kx －y ＋3－k ＝0，，1＝|3－k|1＋k2，则由点到直线的距离公式得1若其到原点的距离为 ．1)－x (43＝3－y ，所以所求直线的方程为43＝k ，解得1＝k 6－9即 综上所述，满足条件的直线有2条．4．A [解析] 借助两条直线的图形可得两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，的取值d 之间的距离2l ，1l 故5.＝（2＋1）2＋（－1－3）2＝|PQ |由两点间的距离公式得范围为(0，5]．，|－3a －4＋1|a2＋1＝|6a ＋3＋1|a2＋1公式知由题意及点到直线的距离] 解析[ C ．5 .79＝－a 或13＝－a 解得 |x －5＋3x －1|12＋（－1）2＝d ，则由点到直线的距离公式得)x 3－5，x (点坐标为P 设] 解析[ C ．6．1)，－(2或2)，(1点坐标为P ∴，2＝x 或1＝x ∴，±2＝6－x ∴4，2＝6|－x |4，即2＝ 7．C [解析] 把直线l 的方程化成一般式为kx －y －2k ＝0，由点到直线的距离公式得上式中∵，≥0)d 0(＝9－2d ＋k 18－2k 9)－2d (，可化简为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k －3－2k 1＋k2＝d 的距离l 到直线P 3的距离的最大值为l 到直线P ，故点2≤3 d 0≤，解得0≥29)－2d 4(－218＝Δ∴有解，k .2 8．3x ＋5y －34＝0 [解析] 数形结合可知过点M (3，5)且垂直于OM 的直线为所求的直0.＝34－y 5＋x 3，即3)－x (35＝－5－y 求直线的方程为，故所35＝－k 线，则 9．3x －y ＋1＝0 [解析] 因为点M 是点P (4，5)关于直线y ＝3x －3的对称点，所以两点到直线y ＝3x －3的距离相等，即过点M 且平行于直线y ＝3x －3的直线与y ＝3x －3之间的|3×4－5－3|12＋32离为距0＝3－y －x 3到直线5)，(4P 的距离，点3－x 3＝y 到直线P 距离等于点所以由两平行线间的，0＝c ＋y －x 3平行的直线的方程为3－x 3＝y 且与直线M 设过点.410＝－x 3，即所求直线的方程为7＝－c 或1＝c ，解得4＝3|＋c |，即410＝|－3－c|12＋32距离公式有y －7＝0或3x －y ＋1＝0.由于点P (4，5)在直线3x －y －7＝0上，故过M 点且平行于直线y ＝3x －3的直线方程是3x －y ＋1＝0.10．0或5 [解析] 当m ＝0时，mx －(m ＋2)y ＋2＝－2y ＋2＝0，即y ＝1，3x －my －1＝时，由题意0≠m ；当0距离为轴的y 到1)，m (，此时两直线互相垂直，点13＝x ，即0＝1－x 3有3m ＋m (m ＋2)＝0，解得m ＝－5，故点(m ，1)到y 轴的距离为5.与直线垂直时OP 点的距离的平方，易知可看成是原点到直线上的2y ＋2x ] 解析[ 8．118.的最小值为2y ＋2x ，所以22 ＝|－4|2＝d 最短， 12．解：设P (x ，y )为角A 的平分线上任一点，则点P 到直线AB 与到直线AC 的距离相等，因为直线AB ，AC 的方程分别是4x －3y －13＝0和3x ＋4y －16＝0，所以由点到直线的距，||3x ＋4y －1632＋42＝||4x －3y －1342＋（－3）2离公式有 ，||3x ＋4y －16＝||4x －3y －13即 ，()3x ＋4y －16±＝13－y 3－x 4即 整理得x －7y ＋3＝0或7x ＋y －29＝0.易知x －7y ＋3＝0是角A 的外角平分线的方程，7x ＋y －29＝0是角A 的平分线的方程．0.①＝b －a －2a ，即0＝b －1)－a (a ∴，2l ⊥1l (1)∵解：．13 0.②＝4＋b ＋a 3－∴上，1l 在直线1)，－3－(点∵又 由①②得a ＝2，b ＝2. .a1－a＝b ∴，a －1＝a b ∴，2l ∥1l (2)∵ 的方程可分别表示为2l 和1l 故直线 0.＝a1－a ＋y ＋x 1)－a (，0＝4（a －1）a ＋y ＋x 1)－a ( 的距离相等，2l 与1l 原点到∵又 .⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a 4，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a （a －1）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4（a －1）a （a －1）2＋1由点到直线的距离公式得∴ 2.＝b ，23＝a 或2＝－b ，2＝a ∴.23＝a 或2＝a ∴的3l 到直线P 上一点1l ，则直线3l ∥1l 如图所示，结合图形可知，直线] 解析[ C ．14，3＋x 2＝－y 的方程为2l 轴对称，故x 关于2l 与1l 之间的距离．由题意知3l 与1l 距离即为间的距离3l 与1l 由两平行线间的距离公式得3.＋x 2＝y 的方程为3l 轴对称，故y 关于3l 与2l .5 65的距离为3l 到直线P ，即5 65＝|3－（－3）|12＋22＝d 15．解：(1)根据题意，过P 点的直线l 与原点的距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，故其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.，34＝k ，解得2＝|－2k －1|k2＋1线的距离公式得由点到直 此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)易知过P 点且与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线．由l ⊥OP ，2.＝1kOP＝－l k ，所以1＝－OP k ·l k 得 由直线的点斜式方程得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0， 即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 的距离最大的直线，.5＝|－5|5距离为由点到直线的距离公式得最大 (3)由(2)易知，不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．。
高中数学3.3.33.3.4点到直线距离两条平行直线间距离课时作业新人教A版必修2
点到直线的距离两条平行直线间的距离【课时目标】1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂夹在两条平行直线段的长度线间____________的长图示(0，0)到直线：＋两条平行直线l1：Ax＋By＋C1P AxBy＝2：＋＋2＝0之x0与间公式(或求法)＋C＝0的距离d＝AxByC的距离d＝__________________________________一、选择题1．点(2,3)到直线y＝1的距离为()A ．1．－1C．0D．22．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是()267262427A．B．5C．5D．53．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，那么|OP|的最小值是() A．10B．22C．6D．24．、分别为3＋4－12＝0与6＋8＋6＝0上任一点，那么||的最小值为()xPQ18A ．5．5C．3D．65．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是()A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝06．两平行直线1，2分别过点(－1,3)，(2，－1)，它们分别绕、旋转，但始终P Q PQ保持平行，那么l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[ 0,5]C．(0,5]D ．[0，17]二、填空题7．过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．A8．假设直线 3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，那么此圆的面积为________．9．直线 3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，那么它们之间的距离是________．三、解答题310．直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－．(1) 4求直线l的方程；假设直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．11．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3) ．求BC边的高所在直线方程；求△ABC的面积S．能力提升12．如图，直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．l1向上平移到直线l2的位置，假设l2、13．正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点： 假设方程不是一般式，需先化为一般式．当点P 在直线上时，公式仍成立，点P 到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中 x ， 的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数〞想“形〞，以 “形〞助“数〞．3．3．3点到直线的距离3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理|0＋0＋||2－1|AxByCCC公垂线段A 2＋B 2A 2＋B 2作业设计1．D[画图可得；也可用点到直线的距离公式．]2．B3．B[|OP|最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0 的距离，∴d＝|－4|＝2 2．]24．C[||的最小值即为两平行线间的距离，＝|3＋12|＝3．] PQ55．C[①所求直线平行于，ABkAB＝－2，∴其方程为y＝－2x＋1，即2x＋y－1＝0．②所求直线过线段AB的中点M(4,1)，∴所求直线方程为y＝1．]6．C[当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d到达最大值，此时＝2＋12＋－1－32＝5．d0<d≤5．]7．2x＋y－5＝0解析如下列图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，1此时kOA＝2，∴kl＝－2，∴方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0．4978．16π139．26解析直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|713 62＋42＝26．10．解(1)由点斜式方程得，＋2)，－5＝－(3x ＋4y －14＝0．设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，那么由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29．∴ 3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．11 / 121111．解(1) 设BC 边的高所在直线为 l ， 由题知k ＝3－－1＝1，BC2－－2－1那么kl ＝kBC ＝－1， 又点A(－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0． BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A(－1,4)到BC 的距离|－1－4＋1| 2＝2d ＝2－12，1＋又|BC|＝－2－22＋－1－32＝421那么S △ABC＝·|BC |·d2 1＝2×42×22＝8．12．解设l2的方程为y ＝－x ＋b(b>1)，那么图中A(1,0) ，D(0,1)∴|AD|＝2，|BC|＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l2的距离，|1＋0－||－1|－12＋bb故h ＝＝22b 2＝9，b＝±3．但b>1，∴b ＝3． 从而得到直线l2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋程为＋3 ＋＝0．yc2x －y ＋2＝0由得心x ＋y ＋1＝0由点P 到两直线l ，l1相|－1－5| |－1＋那么 22＝ 22 1＋31＋3得c＝7或c ＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．又∵正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边方程为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0．∵正方形中心到四条边的距离相等，|－3＋a||－1－5|∴22＝22，得a＝9或－3，3＋11＋3∴另两条边所在的直线方程为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0．B(b,0)，C(0，b)．2b b－1×＝4，212 / 1212。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离练习(含解析)新人教A
第27课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离对应学生用书P73知识点一点到直线的距离 1．若点(1，a)到直线x －y ＋1＝0的距离是32，则实数a 为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3 答案 C解析 由点到直线的距离公式得|1－a ＋1|2＝322，∴a＝－1或5．2．已知两点A(1，1)和B(－1，4)到直线x ＋my ＋3＝0的距离相等，则m 为( ) A ．0或－23 B ．23或－65C ．－23或23D ．0或23答案 B解析 由题意知直线x ＋my ＋3＝0与AB 平行或过AB 的中点，则有－1m ＝4－1－1－1或1－12＋m×1＋42＋3＝0，∴m＝23或m ＝－65．知识点二两平行线间的距离A ．1110B ．85C ．157D ．45答案 A解析 由两直线平行，得m ＝6，所以mx －8y ＋5＝0可化成3x －4y ＋52＝0，因此两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－5232＋42＝1110，故选A ．4．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0平行且距离相等，则l 的方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x －y ＋c ＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－12＝|1＋c|22＋－12，解得c ＝1，故直线l 的方程为2x －y ＋1＝0．知识点三距离公式的应用5．已知点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋5＝0上任意一点，则m 2＋n 2的最小值为________． 答案5解析 因为m 2＋n 2是点P(m ，n)与原点O 间的距离，所以根据直线的性质，原点O 到直线2x ＋y ＋5＝0的距离就是m 2＋n 2的最小值．根据点到直线的距离公式可得d ＝522＋12＝5．故答案为5．6．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程(如图)．解 ∵l 1∥l 2，可设l 2的方程为x ＋y －m ＝0． l 2与x 轴，y 轴分别交于B ，C ， l 1与x 轴，y 轴分别交于A ，D ，得A(1，0)，D(0，1)，B(m ，0)，C(0，m)． ∵l 2在l 1的上方，∴m>1．∵S 梯形ABCD ＝S △OBC －S △AOD ，∴4＝12m 2－12，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)． 故所求直线的方程为x ＋y －3＝0．对应学生用书P73一、选择题1．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B ．12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B 解析 依题意得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，即|3m ＋5|＝|m －7|，∴(3m＋5)2＝(m －7)2，展开合并同类项得8m 2＋44m －24＝0，即2m 2＋11m －6＝0，解得m ＝12或m ＝－6．2．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16 答案 A解析 由题知所求即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即0＋0－4212＋12＝162＝8．故选A ．3．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －11＝0和l 2：x ＋y －1＝0上移动，则AB 中点M 所在直线的方程为( )A ．x －y －6＝0B ．x ＋y ＋6＝0C ．x －y ＋6＝0D ．x ＋y －6＝0 答案 D解析 由题意，得点M 所在的直线与直线l 1，l 2平行，所以设为x ＋y ＋n ＝0，此直线到直线l 1和l 2的距离相等，所以|n ＋11|2＝|n ＋1|2，解得n ＝－6，所以所求直线的方程为x ＋y－6＝0．故选D ．4．直线2x ＋3y －4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －4＝0 B ．2x ＋3y ＋6＝0 C ．3x －2y －10＝0 D ．2x ＋3y －10＝0 答案 D解析 设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|4＋3－4|22＋32＝|4＋3＋C|22＋32． ∴C＝－4(舍)或C ＝－10，故所求直线的方程为2x ＋3y －10＝0．5．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2C ． 2D ．4 答案 A解析 由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝32．二、填空题6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数为________．答案 3解析解方程6m2＋m4＝|4m－m2＋6|m2＋m4(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4．7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．答案x－y－1＝0或x＝1解析显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．8．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．①y＝x＋1 ②y＝2 ③y＝43x ④y＝2x＋1答案②③解析可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．①d＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝20 32＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝115＝1155>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③．三、解答题9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0．(1)若b＝0且l1⊥l2，某某数a的值；(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．解(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，当l 1∥l 2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －3a －2＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0，则 它们之间的距离为d ＝|9－1|32＋32＝423． 10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x ，y 轴的正半轴于点A ，B ，若四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求直线AB 的方程．解 设直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴A(a，0)，B(0，b)． ∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a ＝10－2b ．∵a＞0，b ＞0，∴0＜b ＜5，0＜a ＜10． ∵直线AB 的一般式方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴点M 到直线AB 的距离d ＝|2b ＋4a －ab|a 2＋b2． ∴△MAB 的面积S 1＝12d|AB|＝12|2b ＋4a －ab|＝|b 2－8b ＋20|＝b 2－8b ＋20，△OAB 的面积S 2＝12ab ＝5b －b 2．∵直线AB 平分四边形OAMB 的面积， ∴S 1＝S 2，可得2b 2－13b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，a ＝5.∴所求直线AB 的方程为x ＋2y －5＝0或2x ＋y －4＝0．。
高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课件新人教A版必修2
1.(点到直线的距离)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D )
(A)1
(B) 3 (C)2
(D) 5
2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B ) (A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 (C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0
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1.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
(1)点到直线的距离公式:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= A2 B2 (当
A=0 或 B=0 时,也成立).
(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.
的最小值是( )
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)2 3
解 析 : 因 为 (m,n) 在 4x+3y-10=0 上 , 所 以 m2+n2 的 最 小 值 表 示 原 点 到 直 线 4x+3y-10=0 的距离的平方,即( 10 )2=4.故选 C.
42 32
【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线的方程.
数m=
.
解析:(1)由题意,得 | 9 16 7 | = |18 4m 7 | ,
5
5
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离~两条平行直线间的距离
时，利用 yx－ －yx00·－AB＝－1，
可以求点P′的坐标.
x0＋x y0＋y A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0，
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策
略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心
素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
解 3y＝4可化为3y－4＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|－30×2＋3－324|＝133. ③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0， 则点 P(2，－3)到该直线的距离为|2－1 3|＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
反思
感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是 特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
A.1
√B.2
C. 1 2
D.4
解析 由两条直线平行可得－34＝－m6 ，解得 m＝8.由两条平行线间的距离公式得 d＝ |－332＋－472|＝2.
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距 离最大时，直线l1的方程是__x_＋__2_y－__3_＝__0__.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1).
高中数学3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课时作业新人教A版必修3
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
当 k＝ 5 时， l1： 2x－ y＋1＝0， l2： 4x－ 2y＋ 3＝ 0，
此时 l1 与 l 2 间的距离为
|3 － 2|
5
42＋
－2
2＝
. 10
8．过点 A(－ 3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是
__3x－ y＋10＝ 0__.
然后利用点到直线的距离公式得 | PQ| 的最小值为 3.
2． (2016·潍坊高一检测 )与直线 l： 3x－ 4y－ 1＝0 平行且到直线 l 的距离为 2 的直线方
程是 ( A )
A． 3x－ 4y－ 11＝ 0 或 3x－ 4y＋ 9＝ 0
B． 3x－ 4y－ 11＝ 0
C． 3x－4y＋ 11＝0 或 3x－ 4y－ 9＝ 0 D． 3x－ 4y＋ 9＝ 0
(2)∵∠ A 的平分线所在直线方程为 y＝ 0， ∴设 A(a,0)． 又点 A 在直线 AD 上，∴ a－ 0＋ 1＝ 0， ∴ a＝－ 1. ∴ A(－ 1,0)， ∴直线 AB 方程为： y＝ x＋ 1.即 x－y＋ 1＝ 0. 2．已知直线 l 经过点 A(2,4)，且被平行直线 l1： x－y＋ 1＝ 0 与 l2： x－ y－ 1＝0 所截得的 线段的中点 M 在直线 x＋ y－ 3＝ 0 上．求直线 l 的方程 . [解析 ] 解法一：∵点 M 在直线 x＋ y－ 3＝ 0 上，
10
解得 p1＝－ 3， p2＝ 9 和 q1＝－ 5，q2＝ 7，
∴所求方程为 3x－ y－ 3＝0,3x－ y＋ 9＝ 0， x＋ 3y＋ 7＝ 0.
10．已知三条直线 l1： 4x＋y－ 4＝ 0， l2： mx＋ y＝ 0， l3： 2x－ 3my－ 4＝ 0.求 m 的值，使
高中数学第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课时作业新人教A版必修
高中数学第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课时作业新人教A版必修211186323.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离选题明细表知识点、方法题号点到直线的距离1,2,11两平行直线间的距离3,6综合应用4,5,7,8,9,10,12,13基础巩固1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是( B )(A)3 (B)(C)1 (D)解析:点P(1,-1)到直线l的距离d==,选B.2.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m等于( D )(A)0 (B)(C)3 (D)0或解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=,选D. 3.若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2的距离为( B )(A)(B)(C)(D)解析:若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则=≠,解得a=-4,故l1:x-2y+1=0与l2:x-2y-1=0的距离d==.故选B.4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( C )(A)3x-y-13=0 (B)3x-y+13=0(C)3x+y-13=0 (D)3x+y+13=0解析:由已知可知,l是过点A且与AB垂直的直线,因为k AB==,所以k l=-3,由点斜式得,y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C 到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.6.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,则它们之间的距离是.解析:因为直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,直线6x+my+12=0即为3x+y+6=0.它们之间的距离为=.答案:7.已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程是.解析:由题意可设直线l的方程为2x-y+c=0,于是有=,即|c-3|=|c+1|.所以c=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=08.求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.解:直线l与已知直线平行,可设l的方程为3x-y+m=0,点P(2,-1)到直线3x-y-4=0的距离d=,由于点P(2,-1)到两直线距离相等,所以=,解得m=-10或m=-4(舍去),所以直线l的方程为3x-y-10=0.能力提升9.两平行线分别经过点A(5,0),B(0,12),它们之间的距离d满足的条件是( B )(A)0<d≤5 (B)0<d≤13(C)0<d<12 (D)5≤d≤12解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=13,所以0<d≤13.10.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值是( A )(A)3(B)2(C)3(D)4解析:由题意,结合图形可知点M必然在直线x+y-6=0上,故M到原点的最小距离为=3.11.直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .解析:显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.因为点A,B到l的距离相等,所以=.所以|1-3k|=|3k-5|,所以k=1,所以l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案:x=1或x-y-1=012.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程. 解:由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx.由题意知=3,解得k=.若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.由题意知=3,解得a=1或a=13.故所求直线l的方程为y=x,y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.探究创新13.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).试求(a+2)2+(b+2)2的取值范围. 解:设Q(-2,-2),又P(a,b),则|PQ|=,如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即=.当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0. 则Q点到直线AB的距离d===, 所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.。
2020学年高中数学第三章直线与方程3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离课时作业新人教A版必修2
3.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离选题明细表基础巩固1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是( B )(A)3 (B)(C)1 (D)解析:点P(1,-1)到直线l的距离d==,选B.2.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m等于( D )(A)0 (B)(C)3 (D)0或解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=,选D.3.若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2的距离为( B )(A)(B)(C)(D)解析:若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则=≠,解得a=-4,故l1:x-2y+1=0与l2:x-2y-1=0的距离d==.故选B.4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( C )(A)3x-y-13=0 (B)3x-y+13=0(C)3x+y-13=0 (D)3x+y+13=0解析:由已知可知,l是过点A且与AB垂直的直线,因为k AB==,所以k l=-3,由点斜式得,y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.6.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,则它们之间的距离是.解析:因为直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,直线6x+my+12=0即为3x+y+6=0.它们之间的距离为=.答案:7.已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程是.解析:由题意可设直线l的方程为2x-y+c=0,于是有=,即|c-3|=|c+1|.所以c=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=08.求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.解:直线l与已知直线平行,可设l的方程为3x-y+m=0,点P(2,-1)到直线3x-y-4=0的距离d=,由于点P(2,-1)到两直线距离相等,所以=,解得m=-10或m=-4(舍去),所以直线l的方程为3x-y-10=0.能力提升9.两平行线分别经过点A(5,0),B(0,12),它们之间的距离d满足的条件是( B )(A)0<d≤5 (B)0<d≤13(C)0<d<12 (D)5≤d≤12解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=13,所以0<d≤13.10.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值是( A )(A)3(B)2(C)3(D)4解析:由题意,结合图形可知点M必然在直线x+y-6=0上,故M到原点的最小距离为=3. 11.直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .解析:显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.因为点A,B到l的距离相等,所以=.所以|1-3k|=|3k-5|,所以k=1,所以l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案:x=1或x-y-1=012.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程. 解:由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx.由题意知=3,解得k=.若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.由题意知=3,解得a=1或a=13.故所求直线l的方程为y=x,y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.探究创新13.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).试求(a+2)2+(b+2)2的取值范围. 解:设Q(-2,-2),又P(a,b),则|PQ|=,如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即=.当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0. 则Q点到直线AB的距离d===,所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.。
高中数学3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离课时提升作业(二十三)4
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课时提升作业(二十三)点到直线的距离两条平行直线间的距离一、选择题(每小题3分,共18分)1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( )A. B. C. D.【解析】选B.由y=2x得:2x-y=0,所以由点到直线的距离公式得:d==,故选B.2.(2014·台州高一检测)已知点P(m,n)是直线2x+y+5=0上的任意一点,则的最小值为( )A. B. C.5 D.10【解析】选A.求的最小值,即求点P(m,n)与点(0,0)的距离的最小值,也就是点(0,0)到直线2x+y+5=0的距离,所以的最小值d==,故A正确.3.(2014·菏泽高一检测)已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m等于( )A. B.- C.1 D.或-【解析】选D.由题意得=,解得m=或m=-.4.过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方程为( )A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0【解题指南】由点斜式设出直线方程,根据点到直线的距离公式,建立关系求解. 【解析】选D.显然直线斜率存在,设直线方程为:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,A,B 到直线距离相等,则=,解得k=-4或k=-,代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.【误区警示】此题易错在用直线的点斜式方程,不考虑斜率不存在时不成立.其次求出两个解,只考虑与直线AB平行不考虑相交情况舍掉一个解.【变式训练】(2014·石家庄高一检测)已知直线l过点(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( )A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】选D.设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.由已知有=,所以k=2或k=-,所以直线方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.5.(2014·大连高一检测)已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m等于( )A. B.- C.- D.【解析】选C.由题意知=1,即(m+3)2=m2+1,故m=-.6.(2014·武汉高一检测)点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )A.(8,0)B.(-12,0)C.(8,0)或(-12,0)D.(0,0)【解析】选C.设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12,所以点P的坐标为(8,0)或(-12,0).二、填空题(每小题4分,共12分)7.若直线3x+4y+12=0和6x+8y-11=0之间的距离为一圆的直径,则此圆的面积为________.【解题指南】先求两平行直线之间的距离即为圆的直径,然后利用圆的面积公式求出此圆的面积.【解析】设圆的半径为R,因为d===,所以R==,所以S=πR2=π.答案:π8.(2014·海口高一检测)已知点A(0,4),B(2,5),C(-2,1),则BC边上的高等于____________.【解析】直线BC:x-y+3=0,则点A到直线BC的距离d==,即BC边上的高等于.答案:9.点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值即为原点O到直线x+y-4=0的距离d==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,已知直线l 1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,求l2的方程.【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1),则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).所以AD=,BC= b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离,故h===(b>1),由梯形面积公式得×=4,所以b2=9,b=±3.但b>1,所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.11.在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求点C的坐标.【解析】由题知|AB|==5,因为S△ABC=|AB|·h=10,所以h=4.设点C的坐标为(x0,y0),而AB的方程为y-2=-(x-3),即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1,0)或.一、选择题(每小题4分,共16分)1.两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是( )A.b1-b2B.C.|b1-b2|D.b2-b1【解析】选B.两平行线的一般式方程为:y-kx-b1=0及y-kx-b2=0.故d==.2.(2014·大连高一检测)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0【解析】选 A.由已知得,所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,所以所求直线的斜率k=-,所以y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.3.已知两点A(1,6),B(0,5)到直线l的距离都等于a,且这样的直线l可作4条,则a的取值范围为( )A.0<a<1B.a≥1C.0<a≤1D.0<a<2【解析】选A.直线l只有两种情况:过AB线段的中点或平行于直线AB,当l过AB 中点时,距离0<a<1,l∥AB时,a>0,由题意,应选A.4.(2013·龙岩高一检测)直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐标轴围成的四边形的面积为( )A. B.C. D.【解题指南】结合图形,把四边形分割成几个规则的几何图形求其面积,利用点到直线的距离公式求距离.【解析】选B.直线8x+y-18=0与x轴的交点为M,直线x-4y+6=0与y轴的交点为N,则|MN|==,如图所示:则由两点式可得直线MN的方程为4x+6y-9=0,由解得此为两直线的交点P(2,2).根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为d===.故S四边形OMPN=S△OMN+S△PMN=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.与直线5x+12y-31=0平行,且距离为2的直线方程是____________.【解析】设所求直线方程是5x+12y+b=0,由平行线间的距离是2,则2=,解得b=-5或b=-57,故所求直线方程为5x+12y-5=0或5x+12y-57=0.答案:5x+12y-5=0或5x+12y-57=0.【举一反三】此题改为“求与两平行直线5x+12y-5=0和5x+12y-57=0距离相等的直线方程”,结果如何?【解析】设所求直线上任意一点P的坐标为(x,y),则可得=,整理得5x+12y-31=0.答案:5x+12y-31=06.直线l1:2x+4y+1=0与直线l2:2x+4y+3=0平行,点P是平面直角坐标系内任一点,P到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值是____________.【解析】l1与l2的距离d==,则d1+d2≥d=.即d1+d2的最小值是.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·晋江高一检测)直线l经过点P(2,-5),点A(3,-2)和B(-1,6)到直线l 的距离之比为1∶3.求直线l的方程.【解析】若直线l的斜率是k,则其方程为y+5=k(x-2),即kx-y-2k-5=0.由条件得=,解得k=-.此时直线l的方程为x+3y+13=0.若直线l斜率不存在,则其方程为x=2.点A到直线l的距离为1,点B到直线l的距离为3,符合题意.所以,直线l的方程为x=2或x+3y+13=0.8.已知直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P 点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,请说明理由.【解析】(1)l2即2x-y-=0,所以l1与l2之间的距离d==.所以=,所以|a+|=.因为a>0,所以a=3.(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+C=0上,且=·,即C=或C=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,有=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.由于P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,由于P在第一象限,所以此解舍去.由2x0-y0+=0,x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=.所以P即为同时满足三个条件的点.关闭Word文档返回原板块。
高中数学3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离课时提升作业(二十三)
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课时提升作业(二十三)点到直线的距离两条平行直线间的距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )A. B. C. D.【解析】选C.d==.【补偿训练】点A(-2,1)到直线y=2x-5的距离是( )A.2B.C.D.2【解析】选D.d==2.2.点P(x,y)在直线x-y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.OP垂直于直线x-y-4=0时,|OP|最小,此时|OP|==2.【补偿训练】P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为( )A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)【解析】选C.设P点坐标为(a,5-3a),由题意知:=,解之得a=1或a=2,所以P点坐标为(1,2)或(2,-1),故选C.3.(2015·福州高一检测)直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0的距离为,则c的值为( )A.-1B.19C.-1或19D.无法确定【解析】选C.在x+3y-9=0上取一点(0,3),则=,解得c=-1或c=19. 【补偿训练】平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程为( )A.3x+4y+3=0或3x+4y+7=0B.3x+4y-3=0或3x+4y+7=0C.3x+4y+3=0或3x+4y-7=0D.3x+4y-3=0或3x+4y-7=0【解析】选C.设所求的直线方程为3x+4y+a=0,则d==1,解得a=3或a=-7,故所求的直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.4.(2015·贵阳高一检测)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点A的坐标为( )A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,-2)或(2,4)D.(1,1)【解题指南】利用点到直线的距离公式,以及分类讨论思想.【解析】选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).【补偿训练】与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是( )A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y-2=0或2x+y=0D.2x+y=0或2x+y+2=0【解析】选D.经验证知直线2x+y=0与2x+y+1=0的距离为,直线2x+y+2=0与2x+y+1=0的距离为,故选D.5.两平行线分别经过(3,0),(0,4),它们之间的距离为d,则d的取值范围是( ) A.0<d≤3 B.0<d<4C.0<d≤5D.3≤d≤5【解析】选C.分别经过(3,0),(0,4)的两平行线间的最大距离为两点(3,0),(0,4)间的距离,即d==5,故d的取值范围是(0,5].二、填空题(每小题5分,共15分)6.点P(m-n,-m)到直线+=1的距离为.【解题指南】将直线化为一般式,代入点到直线的距离公式求解.【解析】将直线化为一般式,得nx+my-mn=0,由点到直线的距离公式得d==.答案:7.(2015·三亚高一检测)经过点(1,3)且与原点距离是1的直线方程是. 【解析】当l的斜率不存在时,方程为x=1,满足与原点距离为1;当l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1),由=1,解得k=,直线方程为4x-3y+5=0.答案:4x-3y+5=0,x=1【延伸探究】将本题的“原点”改为“点(2,0)”,其他条件不变,又如何求解? 【解析】当l的斜率不存在时,方程为x=1,满足与点(2,0)的距离为1;当l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1),由=1,解得k=-,故直线方程为4x+3y-13=0.综上,满足条件的直线方程为x=1,4x+3y-13=0.8.(2015·沧州高一检测)已知直线l1:2x-y+a=0,4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a= .【解析】由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2的距离为=,整理得=,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.答案:3【补偿训练】若点O(0,0),A(4,-1)到直线ax+a2y+6=0的距离相等,则实数a= .【解析】由题意得=,即4a-a2+6=±6,解得a=0,或a=-2,或a=4,或a=6.经检验得,a=0不合题意,舍去,所以a=-2,或a=4,或a=6.答案:-2或4或6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·佛山高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,求这两条平行线间的距离.【解题指南】先求出直线方程,然后根据两平行线间的距离公式求解.【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m,所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以化为3x+2y+=0,由两条平行直线间的距离公式可得:d===.故两平行线间的距离为.10.求与两平行线l1:3x+4y-10=0和l2:3x+4y-12=0距离相等的直线l的方程. 【解析】由题意设所求直线l的方程为3x+4y+C=0(-12<C<-10),则由=,解得C=-11,故直线l的方程为3x+4y-11=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·天津高一检测)直线l经过点P(-2,1)且点A(-2,-1)到直线l的距离等于1,则直线l的方程是( )A.x-y+1+2=0B.-x-y+1-2=0C.x-y+1+2或-x-y+1-2=0D.x-y+1+2=0或x+y-1-2=0【解题指南】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,不成立;当直线l 的斜率存在时,设直线l;kx-y+2k+1=0,则=1,由此能求出直线l的方程.【解析】选C.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,不成立;当直线l的斜率存在时,设直线l:y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,因为点A(-2,-1)到直线l的距离等于1,所以=1,解得k=±,所以直线l的方程为x-y+1+2=0或-x-y+1-2=0.【补偿训练】已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a= ( ) A. B.2-C.-1D.+1【解析】选C.由点到直线l的距离公式得d==1,且a>0,解得a=-1. 2.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB 的中点M到原点距离的最小值是( )A.3B.2C.3D.4【解析】选A.由题意,结合图形可知点M必然在直线x+y-6=0上,故M到原点的最小距离为=3.【方法技巧】巧用“数形结合”解题“数形结合”是数学的常用思想方法之一.数缺形时少直观,形离数则难入微.借助图形做题形象直观,化难为易是一种好的转化方法.有些题目,虽然是代数问题,但通过分析其代数式的几何意义,将代数问题转化为几何问题处理更便捷. 【延伸探究】本题中,求|AB|的最小值.【解析】|AB|的最小值即为两平行线间的距离,即d==.【补偿训练】过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x+3y-5=0【解析】选A.所求直线与两点A(1,2),O(0,0)连线垂直时与原点距离最大.k OA=2,故所求直线的斜率为-,方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.3.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于.【解题指南】利用点到直线的距离公式,建立等式求解即可.【解析】依题意得=,所以|3m+5|=|m-7|,所以3m+5=m-7或3m+5=7-m.解得m=-6或m=.答案:-6或【补偿训练】到直线3x-4y-1=0距离为2的点的轨迹方程是.【解析】设所求轨迹上任意点P(x,y),由题意,得=2,化简得3x-4y-11=0或3x-4y+9=0.答案:3x-4y-11=0,3x-4y+9=04.(2015·厦门高一检测)若直线l被两条平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为2,则直线l的倾斜角可以是:①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°,其中正确答案的序号是.【解题指南】利用点到直线的距离公式,直线倾斜角与斜率的概念,以及分类讨论思想.【解析】易求两条平行线l1,l2之间的距离为d==.画示意图可知,要使直线l被两条平行线l1,l2截得的线段长为2,必须使直线l与直线l1,l2成30°的夹角.因为直线l1,l2的倾斜角为45°,所以直线l的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.答案:①⑤5.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.(1)求直线l的方程.(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.【解析】(1)由点斜式方程得,y-5=-(x+2),所以l的方程为3x+4y-14=0.(2)设m的方程为3x+4y+C=0,则由平行直线间的距离公式得,=3,C=1或-29.所以直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.6.(2015·青岛高一检测)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.【解题指南】利用中点坐标公式求出AB的中点坐标,再求得AB的垂直平分线的方程,结合点到直线的距离公式建立等式求解.【解析】AB的中点坐标为(3,-2),k AB==-1,所以线段的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0,设点P(a,b),则P在直线x-y-5=0上,故a-b-5=0,又=2,解得或故所求的点为P(1,-4)和P.【补偿训练】已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.【解析】因为AB∥CD,所以可设AB边所在的直线方程为x+3y+m=0.又因为AD⊥CD,BC⊥CD,故可设AD,BC边所在的直线方程为3x-y+n=0.因为中心M(-1,0)到CD的距离为d==,所以点M(-1,0)到AD,AB,BC的距离均为.由=,得|n-3|=6,解得n=9或-3.由=,得|m-1|=6,解得m=7或-5(舍去).所以其他三边所在的直线方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.关闭Word文档返回原板块。
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3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离
【课时目标】1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．
一、选择题
1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( ) A ．2677 B ．265 C ．245 D ．275
3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．2
4．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95 B ．18
5
C ．3
D ．6 5．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1
B ．2x ＋y －1＝0
C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0
D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0
6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0,5]
C ．(0,5]
D ．[0，17] 二、填空题
7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．
9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
三、解答题
10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4
．
(1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
11．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S．
能力提升
12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
13．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．
1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：
(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．
(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．
2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．
3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．
3．3．3 点到直线的距离
3．3．4两条平行直线间的距离
答案
知识梳理
公垂线段|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
|C2－C1|
A2＋B2
作业设计
1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B
3．B [|OP|最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，
∴d ＝|－4|2
＝22．]
4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|
5
＝3．]
5．C [①所求直线平行于AB ，
∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)， ∴所求直线方程为y ＝1．]
6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时
d ＝2＋12＋－1－32
＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析
如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，
此时k OA ＝1
2
，∴k l ＝－2，
∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326
解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，
∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋4
2
＝713
26． 10．解 (1)由点斜式方程得，
y －5＝－3
4
(x ＋2)，
∴3x ＋4y －14＝0．
(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|
5
＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．
11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，
由题知k BC ＝3－－1
2－－2＝1，
则k l ＝－1
k BC
＝－1，
又点A (－1,4)在直线l 上，
所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．
(2)BC 所在直线方程为：
y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离
d ＝|－1－4＋1|12＋－12
＝22， 又|BC |＝
－2－2
2
＋－1－3
2
＝4 2
则S △ABC ＝1
2
·|BC |·d
＝1
2
×42×22＝8． 12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．
梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，
故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，
∴b 2
＝9，b ＝±3．
但b >1，∴b ＝3．
从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．
13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋3
2
， 得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，
∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋3
2
，得a ＝9或－3， ∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为
3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。