工程电磁场 第2章

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例2-2-1如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产生的静电场中，求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。
解 （1）由电位公式直接计算，P1和P2点的电位分别为
（2）由电场强度积分计算，根据点电荷的电场强度公式
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2 .3 高斯通量定理 1.高斯通量定理的微分形式 在体电荷情况下，讨论电场强度的散度:
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高斯通量定理的微分形式
即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密度与真空的介电常数之比
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2.高斯通量定理的积分形式 由高斯通量定理的微分形式，利用散度定理可得
式中，S为任意闭合面，q为该闭合面内电荷总量。
这就是高斯通量定理的积分形式。
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例2-3-1真空中半径为a的均匀带电球，若其电荷体密度为ρ，求球体内外的电场强 度和电位。 解 如图所示，根据电荷分布的对称性，作半径为r的球面S，则在S上电场强度量值 处处相等，方向都沿半径方向。根据高斯通量定理
由上式可知，电场强度可表示为某个标量函数的负梯度。我们把这个标量函数定义 为电位，并用 来表示，则
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体电荷
面电荷
线电荷
N个点电荷
电位的表示式中有常数C，说明电位数值不是惟一的。但由电位求负梯度得到的电 场强度却是惟一的。电位的惟一性问题，可以由选择电位参考点来解决。电位的参 考点就是强迫电位为零的点。在电荷分布于有限区域的情况下，选择无穷远处为电 20 位参考点，计算比较方便。这时，前面电位计算式中的常数C为零。
可见，R与(x, y, z) 和(x`, y`, z`)都有关系。当源点不变，场点变化时， 的梯度表示为 。当场点不变，源点变化时， 的梯度表示为
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电场强度计算公式
梯度是对场点进行的，ρ 是电荷密度，是源点的函数，与场点无关
式中，体积分是对源点进行的，源点变化；求梯度是对场点进行的，场点变化， 故两种运算相互独立，可以交换次序
点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。
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2. 电场强度
电荷在其周围产生电场，产生电场的电荷称为电场的源。 相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。 真空中放置一个点电荷q，在其附近放置一个试验电荷q1。在静电场中的某一点（x, y,z），q1受到的作用力F与q1的电荷量成正比，而作用力F与q1电荷量的比值与试验 电荷无关，我们定义表征静电场的基本场矢量电场强度为：
面密度
体密度
电荷元产生的电场强度与点 电荷相同，是一个无穷小的 量，积分可得整个源区所有 电荷产生的电场强度
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线电荷、面电荷、体电 荷产生的电场强度
例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的 电场强度。 解 根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。
坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P 的坐标为（r, α, z），取电荷元τdz’，源点坐标为 （0, α’, z’）
计算P点电场强度时，场点坐标(0,α,z)不变，源点坐标（a， α ‘ ，0)中只有 α ‘是变量。
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电场强度趋近无穷大。
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2. 2电位与静电场的环路定理 1. 电位 场点的坐标是(x, y, z)，用距离矢量r表示; 源点 的坐标是(x`, y`, z`)，用距离矢量r`表示；R是 以上两距离矢量之差，也就是从源点到场点的距离 矢量，且
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3.静电场环路定理 对电场强度求旋度，可得
即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分形式 根据斯托克斯定理，有
电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式
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对闭合曲线acbda，应用环路定理
可见，ab两点之间的电位差与积分路径无关，这是 静电场环路定理的具体体现。 旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。
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4 等电位面与电场强度线 等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由电位相同的点组成 的曲面，其方程为
电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方向就是该点的电场强 度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元，则电场强度可表示为E= kdl。在直角 坐标系中，有
电场强度线方程 点电荷电场
上式的散度运算是对场点进行，体积分运算对源点进行，两种独立运算可以交换次 序，即
由于ρ 是电荷密度，是源点的函数，与场点无关，所以
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式中，体积分的被积函数在R=0(即源点与场点重合这一点)之外的区域上全为零。因 此，积分区域可缩小到场点附近的小区域。
假定小区域是以场点为球心，以R为半径的球体， 因为R可以任意小，所以可认为小体积中的ρ为常 数，并将其移到积分号之前。根据散度定理，有
在闭合曲面S内的极化电荷为
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第一项体积分应用散度定理，并把真空当作一种特殊的电介质，即在真空中， P=0，得
高斯通量定理可写成
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2.电位移矢量 在有电介质存在的情况下，高斯诵量定理可以写成
定义一个新的场矢量D，叫做电位移矢量，且
高斯通量定理可写成
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高斯通量定理微分形式
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3.静电场的辅助方程 电位移矢量D与电场强度E有关。P是极化强度，其值在真空中为零，在电介 质中与电场强度有关。这里的电场强度是电介质中实际电场强度，是由自由电荷 和束缚电荷共同产生的总的电场强度。
单位伏/米，V/m
点电荷q产生的电场强度
R是从点电荷所在的源点(x’,y’,z’)到场点(x,y,z)的距离；eR为源点到场点的单 位矢量
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点电荷的电场强度
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3. 分布电荷的电场强度
电场力的叠加原产生的电场强度
N个点电荷共同产生的电场强度
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电荷元 线密度
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R远大于d
电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷 的电位与R成反比，而电偶极子的电位与R2成反比。
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3.电偶极子的电场强度 在球坐标系中，电偶极子的电场强度
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2 .5导体和电介质 1. 静电场中的导体 在静电平衡条件下，导体内部电位的梯度为零，导体内部电位各处相等，即导 体是一个等电位体，导体表面是一个等位面。导体外表面电场强度只有法向分量， 其切向分量为零，即导体外表面上电场强度的方向与外表面垂直。
电偶极子元PdV所产生的电位为
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根据矢量恒等式
令
根据散度定理，第一项体积分可化为闭合面积分，因此
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因此，电介质内电偶极子产生的电场，可看成是极化电荷产生的电场，且电位和电 场强度分别表示为
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2. 6电位移矢量 1. 考虑极化电荷的高斯通量定理 极化电荷与自由电荷一样产生电场强度。因此，在有电介质存在的情况下， 高斯通量定理应表示为
在真空中， 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方 成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
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ε0是真空中的介电常数
电荷量的单位库仑，C
距离的单位米，m
力的单位牛，N ε0的单位是法/米，F/m
库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础
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本章提示：
静电场的基本原理
库仑定律，电场强度定义 静电场源的点、线、面、体电荷模型 电位，静电场的环路定理， 高斯通量定理 电偶极子模型，极化电荷，电介质对电场的影响 电位移矢量定义； 静电场的基本方程 电介质分界面条件、用电位表示的静电场边值问题，
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第二章 静电场的基本原理
2.1 库仑定律与电场强度 两个点电荷之间的作用力用下式表示
当r≤a时
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当r>a时
设无穷远处为电位参考点，则当r≥a时
当r<a时
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例2-3-2如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为a的小圆球，两圆球面 之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内 任一点的电场强度。
解 根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满电荷、电荷体密度 为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为- ρ的小球在P共同产生的电场强度。 因为大球内电荷产生的电场强度为
式中，x是电介质的极化率
令εr=1+x称之为电介质的相对介电常数。 ε= ε0 εr称之为电介质的介电常数
这就是线性、各向同性电介质中静电场的辅助方程。它建立了电介质中两个基本场矢 量D和E之间的简单关系。
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对于一般的电介质，辅助方程还应该写成
D线从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。E线从正电荷(包括自由电荷和极化 电荷)发出，终止于负电荷(包括自由电荷和极化电荷)。P线从负极化电荷发出， 终止于正极化电荷。
若线段为无穷长直线，则 1 0, 2 。代入上式，
E 1 1 er = 2 r er 40 r 0
当线电荷长度有限，场点落 在线电荷延长线上时， r 0 ， sin 2 sin 1 0
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电场强度无法用前面的公式计算。 在线电荷延长线上，讨论 z l 的情况
单个点电荷电位云图。
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2.电位与电场强度的关系 由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算
由电场强度计算电位，是相反的运算，也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分
Q点电位已知
Q点为参考电位， 且=0，则
这就是说，P点的电位等于电 场强度从P点到参考点的线积 分。电场强度是单位电荷受 到的电场力。所以，P点的电 位表示将单位电荷从P点移动 到参考点，电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏，V。
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小球内电荷产生的 电场强度为
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2. 4电偶极子 1. 电偶极子 所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整体。设电偶极子两电 荷的电荷量分别为q和-q，从负电荷到正电荷的距离矢量为d，则可以用一个矢量来 表示电偶极子。这个矢量叫做电偶极矩，记为p，且