2014高考数学一轮复习课时作业(三) 简单的逻辑联结词汇总
【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学一轮复习 第一章 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词配套
③“∃x∈R，lg x＜1”的否定是“∀x∈R，lg x≥1”；
④“∃x∈R，tan x＝2”的否定是“∀x∈R，tan x＞2或 tan x＜2”．其中正确结论的序号是________． 解析 答案 ①的否定是“∃x∈R，2x≤0”；②的否定是“∃x∈N， ③④ (x－1)2≤0”．
揭秘3年高考
考向三
[反思与回顾] 第四步：否命题与命题的否定是不同的概 念，一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定写法不
同．
揭秘3年高考
二、含有“或”、“且 ”、“非”的命题真假的判定 【示例】 (2011· 新课标全国卷改编)已知 a 与 b 均为单位向 量，夹角为 θ，有下列四个命题中 p1： |a＋ b|＞1⇔θ ∈ 2π 2π ； p ： | a ＋ b | ＞ 1 ⇔ θ ∈ ，π ；③ p3： |a － b| 2 0， 3 3 π π ＞ 1⇔θ ∈0， ； p4： |a－b |＞ 1⇔θ ∈ ，π ，则下 3 3 列命题：① p1∧ p4；② p1∧ p3；③ p2∨ p3；④p2∨ p4，其中 正确命题的序号是________．
是________． 解析 因为命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p
为假命题，綈q为真命题，所以命题(綈p)∨(綈q)为真 命题．故填④. 答案 ④
揭秘3年高考
考向二
含有一个量词的命题的否定
【例2】 给出下列四个结论： π ①“∃ x∈0， ， sin x＋ cos x≥ 2”的否定是“∀ x∈ R， 2 sin x＋ cos x＜ 2”；
②“∀x∈(3，＋∞ )，x2＋ 1＞ 3x”的否定是“∃ x∈ (3，＋ ∞ )， x2＋ 1＜ 3x”； ③“∃x∈ R，x2＋ x＋ 1＝ 0”的否定是“∀x∈ R，x2＋ x＋ 1＞ 0”；
【步步高】2014届高三数学大一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 理 新人教A版
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2014高考会这样考 1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定．复习备考要这样做 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2. 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.[难点正本疑点清源]1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p 真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．下列命题中，所有真命题的序号是________．①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数．答案①②解析①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真．②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真．③2是无理数，故2不是无理数为假命题．点评对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．2．已知命题p：∃x∈R，x2＋1x2≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．答案p、p∨q解析x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假．3．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“∃x∈R有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.4．(2012·湖北)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( ) A．∃x0D∈/∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30D∈/QC．∀xD∈/∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3D∈/Q答案 D解析“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是“∀x∈∁R Q，x3D∈/Q”，故应选D.5．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3 答案 A解析 p 1为假命题；对于p 2，令x ＝y ＝0，显然有sin(x －y )＝sin x －sin y ，即p 2为真命题；对于p 3，由sin 2x ＝1－cos 2x 2，当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，sin x ＝1－cos 2x2.于是可判断p 3为真命题；对于p 4，当x ＝5π4时，有sin x ＝cos y ＝－22，这说明p 4是假命题.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假例1 已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4思维启迪：先判断命题p 1、p 2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假． 答案 C解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假：(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题． 题型二 含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假． 解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．探究提高 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．(1)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，sin x ≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，sin x >1D ．綈p ：∀x ∈R ，sin x >1(2)命题p ：∃x ∈R,2x＋x 2≤1的否定綈p 为___________________．答案 (1)C (2)∀x ∈R,2x ＋x 2>1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p ，q 的真假，然后判断“p ∧q ”，“p ∨q ”，“綈p ”的真假．解 p 为真命题⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇒m >2；q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇒1<m <3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2.综上，知实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题(一个或两个)的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，且a >0， ∴a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4，得a ≥4.②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．审题视角 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假．规范解答解 方法一 ∵函数y ＝c x在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分] 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分] ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分]②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分] 答题模板第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 且q ”或“p 或q ”． 第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1． 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2． 要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假． 3． 全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集． 失误与防范1． p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可，p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2． p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3． 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．4． 简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>0答案 C解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0，正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 2． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 通过否定原命题得出结论．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．3． (2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．4． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}答案 A解析 由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 命题：“∀x ∈R ，e x≤x ”的否定是__________________．答案 ∃x ∈R ，e x>x6． 若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________． 答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．7． 已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3. 三、解答题(共22分)8． (10分)写出下列命题的否定，并判断真假：(1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．9． (12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．2． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是 ( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.3． 设有两个命题，p ：不等式e x4＋1ex >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1≤a <2 B ．2<a ≤73C ．2≤a <73D ．1<a ≤2答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x4＋1ex >a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}． 又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.5． 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假的实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根分别为x 1，x 2，则由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝4m 2－4>0x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，∴p ：m <－1. 由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0知－2<m <3，∴q ：－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1－2<m <3，此时－1≤m <3，∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．6． 下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.三、解答题7． (13分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围． 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。
2014高三数学一轮复习：1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
x<1，则 xcos2x≥1. π 答案：已知 0<x< ，若 xcos x<1，则 xcos2x≥1 2
3．下列命题中的假命题是____________． ①∀x∈R,2x－1>0 ; ②∀x∈N*，(x－1)2>0; ③∃x∈R，lg x<1 ; ④∃x∈R，tan x＝2.
解析：对于①，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质 得 2x－1>0；对于②，∵x∈N*，∴当 x＝1 时，(x－1)2＝0 1 1 与(x－1) >0 矛盾；对于③，当 x＝ 时，lg ＝－1<1； 10 10
[探究] 2.全称命题(存在性命题)的否定还是全称命 题(存在性命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？
提示：不是．全称命题的否定是存在性命题，存在
性命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好
相反．
[自测
牛刀小试]
1．(教材改编题)下列命题是真命题的是____________． ①27是3的倍数或27是9的倍数；
a 或 a≥4；命题 q 等价于－ ≤3，即 a≥－12.由 p 或 q 是 4 真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a<－12；若 p 假 q 真，则－4<a<4.故 a 的取值
[答案] 范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
(－∞，－12)∪(－4,4)
q 是命题 p 的否
定，则命题 p、q、p∧q、p∨q 中是真命题的是________．
解析：x0＝± 时，p 成立，所以 p 真，q 假，p∧q 假， 1 p∨q 真．
答案：p、p∨q
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[例 1] 已知命题 p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命 题 q：x2－3x＋2<0 的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧綈 q”是假命题； ③命题“綈 p∨q”是真命题； ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题． 其中正确的是_______．
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时作业3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理新人教A版
A．p∧q B．p∨(綈q) C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧q
解析 对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以
命题p为假命题，命题綈p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝
n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题綈q为假
命题。所以(綈p)∧q为真命题。故选D。 答案 D
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
解析 由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题， ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题。故选C。
答案 C
5．已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0。则 下列结论正确的是( )
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础过关组 一、选择题 1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( ) A．老师和学生 B．9的平方根是3 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分的四边形是矩形
解析 根据逻辑联结词“且”的含义，可知C符合。A不是命题，B， D不是“p且q”形式。故选C。
答案 D
二、填空题 9．命题p的否定是“对所有正数x， ____。
x >x＋1”，则命题p可写为
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对
结论否定即可。 答案 ∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时 为假命题，则x＝________。
C．0，14
D．0，41
2014高考数学一轮复习课件：简单的逻辑联结词、全称量词与存
第一章
集合与常用逻辑用语
第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求
考情分析
1.高考命题多以本节知识 为工具，考查三角、立 体几何、解析几何等知 1.了解逻辑联结词 识．形式多为p∧q， “或”、“且”、 p∨q，綈p命题真假的 “非”的含义； 判断、全称命题与特称 2.理解全称量词与 命题真假的判断以及上 存在量词的意义； 述命题的否定．
3．(理)(2013· 长春模拟)下列命题中，真命题是(
π A．∃x∈0，2，sin
)
x＋cos x≥2
B．∀x∈(3，＋∞)，x2>3x－1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1
π D．∀x∈2，π，tan
x>sin x
解析：A 中，当 x＝0 时，sin x＋cos x＝1<2，故错误； B 中，令 f(x)＝x2－3x＋1，x∈(3，＋∞)，则 f(x)为增函数， ∴f(x)>f(3)＝9－9＋1>0，∴f(x)>0，∴x2>3x－1，故 B 正确； C 中， x
• 5．(理)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q： x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论： • ①命题p∧q是真命题；②命题p∧綈q是假命题； ③命题綈p∨q是真命题；④命题綈p∨綈q是假 命题． • 其中正确的是________． • 解析：命题p、q均为真命题，故①②③④都正 确． • 答案：①②③④
• (2)(2013·营口模拟)对空间中不同的两条直线a， b和平面α，有如下两个命题，p：若a⊥α，b⊥α， 则a∥b；q：若a∥α，b∥α，则a∥b.则下列判断 正确的是 • A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真 命题 • C．命题(綈p)∨q是真命题 D．命题p∧(綈q) 是真命题
【志鸿优化设计】(湖南专用)2014届高考数学一轮复习 第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结
1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．逻辑联结词：命题中的__________叫做逻辑联结词．2．命题p∧q，p∨q真假的判断3．命题⌝p4(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号____表示．含有全称量词的命题，叫做__________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号________表示．含有存在量词的命题，叫做________，可用符号简记为__________，它的否定是____________．1．命题p：x2＋y2＜0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( )．A．p∨q B．p∧qC．q D．⌝p2．(2012安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤13．如果命题“⌝(p∨q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )．A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则⌝p为( )．A．∃x∈R，sin x≥1 B．∀x∈R，sin x≥1C．∃x∈R，sin x＞1 D．∀x∈R，sin x＞1一、判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1－1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题．其中正确的是( )．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【例1－2】写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“⌝p”形式的命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．方法提炼1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假3．与日常生活中的“或、且、非”的对照：逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”的意义不相同，日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”之意，而常用逻辑联结词的“或”允许“兼有”，但不是“一定兼有”；逻辑联结词“且”，与日常生活语言中的“和、与”意义相同，具有“兼有性”；逻辑联结词“非”就是日常生活语言中的“否定”，具有“否定性”．请做演练巩固提升3二、全(特)称命题的否定及真假判断【例2】下列命题中的假命题是( )．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2方法提炼1．要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举出一个反例)．2．要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题．3．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．要注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．4．要判断“⌝p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与⌝p的真假相反．5．常见词语的否定形式有：三、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．方法提炼含有逻辑联结词的命题，要先确定构成命题的一个或两个命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．对于不等式恒成立问题与方程的根有关的问题，要多结合函数的图象，常用的方法有分离参数法、判别式法等．请做演练巩固提升4对联结词否定不当致误【典例】“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( )． A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0 B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0 C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0 D ．若x ，y ∈R 且x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0错解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0”，故选A. 正解：原命题的否命题为“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”． 答案：B 答题指导：1．对于含有“或”“且”的否定形式要注意在否定语句的同时，也要否定关键词． 2．(1)要注意区分命题的否定与否命题，关键是要看清题意，不能想当然．(2)对平时常见的“不都是”、“都是”、“不全是”、“都不是”等字眼要做一下积累和区分，方可保证考试中不犯错误．1．(2012湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )． A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．下列命题中，真命题是( )．A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.下列结论中正确的是( )．A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∧(⌝q )”是真命题C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题D ．命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题4．已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是__________．5．已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．“或”“且”“非”2．真真假真假真假假3．假真4．(1)全称量词“∀”全称命题∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，⌝p(x0) (2)存在量词“∃”特称命题∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，⌝p(x)基础自测1．B 解析：命题p为假，命题q为真，故p∧q为假．2．C 解析：该命题为特称命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．3．B 解析：“⌝(p∨q)”是假命题，则命题“p∨q”为真，所以p，q中至少有一个为真命题．4．C 解析：全称命题的否定为特称命题，sin x≤1的否定为sin x＞1，故选C.考点探究突破【例1－1】 D 解析：命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(⌝q)”是假命题；③命题“(⌝p)∨q”是真命题；④命题“(⌝p)∨(⌝q)”是假命题，故应选D.【例1－2】解：(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．⌝p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．⌝p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等．假命题．⌝p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同．真命题．【例2】 B 解析：对于∀x∈R，x－1∈R，此时2x－1＞0成立，∴A是真命题；又∵(x－1)2＞0⇔x∈R且x≠1，而1∈N*，∴B是假命题；又∵lg x ＜1⇔0＜x ＜10， ∴C 是真命题；又∵y ＝tan x 的值域为R ， ∴D 是真命题，故选B.【例3】 解：由“p ∧q ”是真命题， 则p 为真命题，q 也为真命题． 若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a ≥1或a ≤－2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1. 演练巩固提升1．B 解析：该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．B 解析：对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题是假命题；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题是真命题；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题是假命题；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然是假命题，故选B. 3．C 解析：由sin x ＝52＞1，可得命题p 为假；由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，可得命题q 为真，则命题“p ∧q ”是假命题；命题“p ∧(⌝q )”是假命题；命题“(⌝p )∧q ”是真命题；命题“(⌝p )∨(⌝q )”是真命题．4．[－1,2] 解析：令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．5．解：p 为真时，(a －2)(6－a )＞0，解得2＜a ＜6.q 为真时，4－a ＞1，解得a ＜3.由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，可知命题p，q中一真一假．当p真，q假时，得3≤a＜6.当p假，q真时，得a≤2.因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．。
2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析： 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、对“或”“且”“非”的理解 1、相关链接（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。
对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念；在A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}中的“或”是指“x ∈A ”与“x ∈B ”中至少有一个成立，可以是“x A x B ∈∉且”，也可以是 “x A x B ∉∈且”，也可以是 “x Ax x B ∈∈且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。
（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念；在A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}中的“且”是指：“x ∈A ”、“x ∈B ”都要满足的意思，即x 既要属于集合A ，又要属于集合B 。
（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p 对应集合P ，则命题非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集U C P ，对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思。
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。
2、“P ∨q ”、“ p ∧q ”、“ ⌝p ” 形式命题真假的判断步骤 （1）确定命题的构成形式； （2）判断其中命题P 、q 的真假；（3）确定“P ∨q ”、“ p ∧q ”、“ ⌝p ”形式命题的真假。
4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真; (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假，即一假即假; (3)⌝p :与p 的真假相反，即一真一假，真假相反. 4、例题解析 〖例1〗已知命题:p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数 p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数则在命题q 1:“p 1∨p 2”,q 2:“p 1∧p 2”,q 3:“( )∨p 2”和q 4:“p 1∧(⌝2p )”中，真命题是( ) (A)q 1,q 3 (B)q 2,q 3 ()q 1,q 4 ()q 2,q 4解析：选.命题p 1为真命题，p 2为假命题,则⌝1p 为假命题⌝2p ，为真命题,从而q 1,q 4为真命题，q 2,q 3为假命题.故选.注：1.求解本题时，易由于对命题p 1,p 2的真假判断不正确，从而造成解题失误.2.当一个命题，从字面上看不一定有“或”、“且”、“非”字样时，需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系，如“或者”、“x=±1”、“≤”的含义为“或”；“并且”、“//”的含义为“且”；“不是”、“”的含义为“非”.〖例2〗写出由下述各命题构成的“P ∨q ”，“ p ∧q ”，“ ⌝p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假（1）p ：9是144的约数，q ：9是225的约数（2）p ：方程x2－1=0的解是x=1，q ：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p ：实数的平方是正数，q ：实数的平方是0.解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整 P ∨q ：9是144或225的约数；p ∧q ：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； ⌝p ：9不是144的约数.∵p 真，q 真，∴“P ∨q ”为真，“p ∧q ” 为真，而“⌝p ”为假.（2）P ∨q ：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p ∧q ：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；⌝ p ：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p 中的“是”应理解为“都是”的意思）； ⌝ ∵p 假，q 假，∴“P ∨q ”与，“p ∧q ” 均为假，而“⌝p ”为真.（3）P ∨q ：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； p ∧q ：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；⌝p ：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）； ∵p 假，q 假，∴“P ∨q ”与“p ∧q ” 均为假，而“⌝p ”为真.注：在命题p 或命题q 的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时作业
第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲索引1.全称量词与存在量词.2.含有一个量词的命题的否定.课标要求1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的、、叫做逻辑联结词.(2)命题p且q,p或q,非p的真假判断.2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“”在逻辑中通常叫做全称量词,用“∀”表示;含有全称量词的命题叫做.(2)存在量词:短语“存在一个”“”在逻辑中通常叫做存在量词,用“∃”表示;含有存在量词的命题叫做.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)1.若p是真命题,q是假命题,则().A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.⌝p是真命题D.⌝q是真命题2.已知命题p:∃n∈N,2n>1000,则⌝p为().A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n>1000C.∃n∈N,2n≤1000D.∃n∈N,2n<10003.下列命题中,真命题是().A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数4.(教材改编)命题p:有的三角形是等边三角形.命题 p:.5.(教材改编)下列命题中,所有真命题的序号是.①5>2且7>4;②3>4或4>3;③不是无理数.1.逻辑联结词“或”的含义有三种.逻辑联结词中的“或”的含义,与并集概念中的“或”的含义相同.如“x∈A或x∈B”,是指:x∈A且x∈B;x∉A且x∈B;x∈A且x∉B三种情况.再如“p真或q真”是指:p真且q假;p假且q真;p真且q真三种情况.因此,在遇到逻辑联结词“或”时,要注意分析三种情况.2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可利用真值表转化为一些简单命题的真假判断.可以简记为:p∧q“见假就假”,p∨q“见真就真”,⌝p与p“真假相对”.3.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.考向一含有逻辑联结词命题的真假判断例1(2014·某某)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:“x=1”是方程“x+2=0”的根.则下列命题为真命题的是().A.p∧⌝qB.⌝p∧qC.⌝p∧qD.p∧q【审题视点】本题考查复合命题真假判断.【方法总结】p∨q为真命题 ,只需p,q有一个为真即可,p∧q为真命题,必须p,q同时为真.1.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的().A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件考向二全称命题、特称命题的真假判断例2(2014·某某二模)下列说法正确的是().A. 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=6”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C. 命题“对任意x∈R均有x2-x+1>0”的否定是:“存在x∈R使得x2-x+1<0”D. 命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆否命题为真命题【审题视点】首先明确是全称命题还是特称命题,其次对假命题要找出反例.【方法总结】(1) 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.(3)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.变式训练2.下列命题中的真命题是().A.∃x∈R,sin x+cos x=B.∀x∈(0,π),sin x>cos xC.∃x∈(-∞,0),2x<3xD.∀x∈(0,+∞),e x>x+1考向三含有一个量词的命题的否定例3(2014·某某)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是().A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0C.∃x0∈[0,+∞),<0D.∃x0∈[0,+∞),≥0【审题视点】本题主要考查含有量词的命题的否定.【方法总结】(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词.(2)找到p(x)并否定.变式训练3.(2014·某某)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是().A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,D.∃x0∈R,经典考题典例(2014·某某)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则b=0;命题q:若a ∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是().A.p∨qB.p∧qC.(⌝p)∧(⌝q)D.p∨(⌝q)【解题指南】考查命题的真假,利用向量的数量积和向量的平行来考查.【解析】数量积为0,只需夹角为90度就可以了,故p为假命题,由向量的共线知,q显然成立.q真p假,则p∨q为真,p∧q为假,故选A.【答案】A真题体验1.(2014·某某)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)e x>1,则⌝p为().A.∃x0≤0,使得B.∃x0>0,使得C.∀x>0,总有(x+1)e x≤1D.∀x≤0,总有(x+1)e x≤12.(2014·某某)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则⌝p为().A.∃x0∈R,+1>0B.∃x0∈R,+1≤0C.∃x0∈R,+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0参考答案与解析知识梳理1.(1) 且或非(2) 真真假假真真假2.(1) 任意一个全称命题(2) 至少有一个特称命题3.基础自测1.D2.A3.A4.所有的三角形都不是等边三角形5.①②考点透析【例1】A解析:因为命题p是真命题,命题q是假命题,所以p∧⌝q为真命题.【例2】D解析:对于A,因命题的否命题是条件和结论都要否定,故错误;对于B,是充分不必要条件,故错;对于C,一个命题的否定就是要把“任意”改“存在”,并否定结论,但否定结论不是，而是故也错;一个命题正确,则它的逆否命题也正确,所以D正确.【例3】C 解析:全称命题的否定是存在性命题,所以,命题故选C.变式训练1.A解析:“p且q”为真,所以p,q都为真⇒⌝p为假.p为真⇒/p且q为真.2.D解析:.3.D解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题经典考题真题体验1.2.。
2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2． “命题的否定”中的易错点 (1)[2013· 重庆卷改编] 命题“对任意 x∈R，都有 x2 ≥0”的否定是“对任意 x∈R，使得 x2<0” ．( ) (2)命题“∀x∈R，x2－x＋1>0”的否定是“∃x∈R， x2－x＋1>0” ．( ) (3)“有些偶数能被 3 整除”的否定是“所有的偶数 都不能被 3 整除”．( ) (4) 已 知 命 题 p ， q ， 则 命 题 p∨q 的 否 定 是 ( p ) ∧( q) ． ( )
(2)[2013· 安徽蚌埠二检 ] 下列命题中的真命题是 ________． 3 ①∃x∈R，sin x＋cos x＝ ； 2 x ②∀x∈(0，＋∞)，e >x＋1； ③∃x∈(－∞，0)，2x<3x； ④∀x∈(0，π )，sin x>cos x.
返回目录
第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
返回目录
第3讲
双 向 固 基 础
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
—— 疑 难 辨 析 ——
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断方法 5 命题 p：若 x >1，则 x>1 或 x<－1，命题 q：sin x＝3，
2
则 (1)p∨q 是真命题．( (2)p∧q 是真命题．( (3)p∧( (4)( q)是真命题．( p) ∨ ( ) ) ) )
［思考流程］
点 面 讲 考 向
(1)分析：写出命题 p 的否定
p.推理：
判断 p 的真假．结论：根据前面的判断得出结论． (2)分析：分清楚四个命题的特征．推理：分别根据 x 所满足的性质进行推断．结论：得出命题的真假．
返回目录
第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第一章 集合与常用逻辑用语第3课时 简单的
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第一章 集合与常用逻辑用语第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情分析 考点新知了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义． ① 会分析四种命题的相互关系.② 会判断必要条件、充分条件与充要条件. ③ 能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求). ④ 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1. (选修11P 20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b 2”的逆否命题是________________________________________________________________________．答案：若ac≠b 2，则a 、b 、c 不成等比数列2. (选修11P 20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________．答案：互为逆命题3. (选修11P 20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件．答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题．否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题．5. 下列命题中的真命题有________．(填序号)① x ∈R ，x ＋1x＝2； ②x ∈R ，sinx ＝－1；③x ∈R ，x 2>0；④x ∈R ，2x >0.答案：①②④解析：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π2时，sinx ＝－1，正确；对于③，x ＝0时，x 2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．6. 命题p ：有的三角形是等边三角形．命题綈p ：____________________________． 答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p q，且q p，那么称p是q的充要条件，记作p q.(3) 如果p q，q/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) x∈M， p(x)；x∈M，p(x) x∈M，p(x).[备课札记]题型1 否命题与命题否定例1 (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为____________________________；(2) 命题：“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题；(3) 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则p 是____________________．答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b －1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m ＝0时显然方程有根，其实不然，由x 2＋x －m ＝0没实根可推得m<－14，而{m|m<－14}是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m ≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．(3) p 为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反． 变式训练把下列命题改写成“若p 则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．(2) 原命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d.否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c≠b＋d. 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等． 题型2 充分必要条件例2 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，某某数m 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0，得x ＜－2或x ＞10，设A ＝{x|x ＜－2或x ＞10}，q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，得x ＜1－m ，或x ＞1＋m ，设B ＝{x|x ＜1－m 或x ＞1＋m}．∵p 是q 的必要非充分条件，∴ B 真包含于A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－21＋m≥10m ≥9. ∴实数m 的取值X 围为m≥9.备选变式（教师专享）下列四个结论正确的是________．(填序号)①“x ≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；②已知a 、b∈R ，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③“a>0，且Δ＝b 2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集是R ”的充要条件；④“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．答案：①③解析：① 因为由x≠0推不出x ＋|x|>0，如x ＝－1，x ＋|x|＝0，而x ＋|x|>0x ≠0，故①正确；因为a ＝0时，也有|a ＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x ＝－1时，有x 2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件．题型3 全称命题与存在性命题的否定例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是________________________________．答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数备选变式（教师专享）若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________________________________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数题型4 求参数X 围例4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x满足不等式x 2＋2ax ＋2a≤0，若命题“p 或q”是假命题，某某数a 的取值X 围．解：由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a≠0，∴ x ＝－2a 或x ＝1a. ∵ x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≤1或⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴ |a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴ a ＝0或a ＝2，∴ 当命题“p 或q”为真命题时|a|≥1或a ＝0.∵命题“p 或q”为假命题，∴ a 的取值X 围为{a|－1<a<0或0<a<1}．备选变式（教师专享）已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a－2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q 是真命题，某某数a 的取值X 围．解：∵ 命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.又命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴ a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即－2<a≤2. ∵ p ∨q 是真命题，∴ a 的取值X 围是－2<a≤2.1. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________ ________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. 设α、β为两个不同的平面，直线l α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．答案：充分不必要解析：根据定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l 垂直于α、β的交线时才成立．3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为______________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)，是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p1∨p 2；② p 1∧p 2；③ (p 1)∨p 2；④ p 1∧(p 2)．其中，真命题是________．(填序号)答案：①④解析：由函数的奇偶性可得命题p 1为真命题，命题p 2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．1. 若a 、b 为实数，则 “0<ab<1”是“b<1a”的________条件． 答案：既不充分也不必要解析：0<ab<1，a 、b 都是负数时，不能推出b<1a ；同理b<1a也不能推出0<ab<1. 2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f(p)＝________．答案：2解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.3. 设命题p ：关于x 的不等式2|x －2|<a 的解集为；命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值域是R .如果命题p 和q 有且仅有一个正确，某某数a 的取值X 围．解：由不等式2|x －2|<a 的解集为得a≤1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值域是R 知ax 2－x ＋a 要取到所有正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝1－4a 2≥00<a ≤12或a ＝0即0≤a≤12. 由命题p 和q 有且仅有一个正确得a 的取值X 围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 4. 设数列{a n }、{b n }、{}满足：b n ＝a n －a n ＋2，＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{a n }为等差数列的充分必要条件是{}为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{a n }是公差为d 1的等差数列，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3) － (a n －a n ＋2)＝ (a n ＋1－a n ) － (a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1－ d 1＝0，所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又＋1－＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1＋2d 1＋3d 1＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)，所以数列{}为等差数列．充分性：设数列{}是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．∵ ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ①∴ ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4， ②①－②，得－＋2＝(a n －a n ＋2)＋2 (a n ＋1－a n ＋3)＋3 (a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵ －＋2＝(－＋1)＋(＋1－＋2)＝ －2d 2，∴ b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2， ③从而有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2， ④④－③，得(b n ＋1－b n )＋2 (b n ＋2－b n ＋1)＋3 (b n ＋3－b n ＋2)＝0.⑤∵ b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0，∴由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设b n ＝d 3(n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数)．由此＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3，从而＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－5d 3，两式相减得＋1－＝2(a n ＋1－a n ) －2d 3，因此a n ＋1－a n ＝12(＋1－)＋d 3＝12d 2＋d 3(常数) (n ＝1，2，3，…)， ∴数列{a n }为等差数列．1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．2. 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p 、q 中有一个为真，则p∨q 为真，即一真全真；(2) p∧q：p 、q 中有一个为假，则p∧q 为假，即一假即假；(3) p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词
A 级
1．下列命题中的假命题是( )
A ．∀x ∈R,2x －1>0
B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0
C ．∃x ∈R ，lg x <1
D ．∃x ∈R ，tan x ＝2
2．如果命题“¬(p ∨q )”是假命题，则下列说法正确的是( )
A ．p 、q 均为真命题
B ．p 、q 中至少有一个为真命题
C ．p 、q 均为假命题
D ．p 、q 至少有一个为假命题
3．命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是( ) A ．对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根
B ．对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根
C ．存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根
D ．存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根
4．已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ，则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∨(¬q )
C ．(¬p )∧q
D ．p ∧(¬q )
5．(2012·怀化模拟)已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,3)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－3,1)
6．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0，则命题¬
p 是________________． 7．“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________________________． 8．条件p ：|x |>1，条件q ：x <－2，则綈p 是綈q 的________条件．
9．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x
－a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬
p ”、“¬q ”中，是真命题的有________．
10．命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，
使得y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，¬
p 的真假性．
11．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．
B 级
1．(2011·合肥第一次质检)下列命题：
①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；
②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；
③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b ”的逆否命题是真命题；
④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(¬
q )是真命题．
其中真命题为( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
2．(2012·长沙调研)下列结论： ①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2
－x ＋1>0.则命题“p ∧(¬
q )”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
3．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
答案
课时作业(三)
A 级
1．B A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；B 项，∵x ∈N *，∴当x
＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2
>0矛盾；C 项，当x ＝110时，lg 110＝－1<1；D 项，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x ∈R ，tan x ＝2.故选B.
2．B 因为“¬(p ∨q )”是假命题，则“p ∨q ”是真命题，所以p 、q 中至少有一个为真命题．
3．D “任意”的否定是“存在”，“有正实根”的否定是“无正实根”．故命题“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2
－3x ＋2＝0无正实根”．
4．C 因为当x <0时，⎝⎛⎭⎫23x >1，即2x >3x ，所以命题p 为假，从而¬p 为真．△ABC 中，
由sin A >sin B ⇒a >b ⇒A >B ，所以命题q 为真．故选C.
5．B 由已知得命题“∀x ∈R,2x 2
＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，从而Δ＝(a －1)2－4<0，∴－1<a <3.
6．解析： 命题p 是特称命题，其否定为全称命题．
答案： ∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
7．解析： 命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q 则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．
答案： 若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P
8．解析： 由|x |>1得x <－1或x >1，则綈p 为－1≤x ≤1，
綈q 为x ≥－2，则綈p 是綈q 的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
9．解析： 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、
“p ∨q ”为假、“¬p ”为真、“¬
q ”为真． 答案： ¬
p 、¬q 10．解析： p ∨q 为真命题 p ∧q 为假命题 ¬p 为真命题
对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2x ＝0，即x ＝1,1∉(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对
于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |<π2，即|m |>4，故m <－4或m >4，故存在m ≥0，使得命题
q 成立，所以p 且q 为假命题．
11．解析： 由命题p 为真知，0<c <1，
由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，
要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，
则p 、q 中必有一真一假，
当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；
当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.
综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | 0<c ≤12或c ≥1.
B 级
1．A 由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确； 根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x ＞1，故②正确；
由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；
命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(¬
q )为假命题．所以选A. 2．解析： ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(¬q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案： ①③
3．解析： p ：∵∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，
∴∀x ∈[1,2]，a ≤x 2，∴a ≤1.
q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，
则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，
得a ≤－2或a ≥1.
若“p ∧q ”是真命题，则p 是真命题且q 是真命题，
即⎩
⎨⎧
a ≤1
a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.。