东海县高考文化补习学校2018届高三第一次月考数学试题

东海县高考文化补习学校2018届高三第一次月考试题
数学试题 2017.10.9
考试时间:120分钟 满分:160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题纸相应位置. 1. 已知集合A ={2,5},B ={5,lg a },若A ∪B ={1,2,5},则a = ▲ . 2. 已知向量a =(m ,-2),b =(1,m +1),若a ⊥b ,则实数m = ▲ .
3. 若f (x )=⎩⎨⎧1x (x <0)
x -x 2
(x ≥0)
,则f (f (2))= ▲ .
4. 若函数y =sin(x +a )(0<a <π)是偶函数,则函数y =2cos ax 的最小正周期为 ▲ .
5. 抛掷两枚骰子,得到其向上的点数分别为m 和n (1≤m ,n ≤6,且m ,n ∈N *),则复数m +n i 的模不
小于6的概率是 ▲ .
6. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 3+a 6=0,则S 4
S 2= ▲ .
7. 一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出的
结果为70,则判断框中应填入的条件是 ▲ . 8. 若函数f (x )=|x 2-a |-2有且只有两个零点,则实数a 的
取值范围是 ▲ .
9. 设实数x ,y 满足x 2
-2xy -1=0,则x -y 的取值范围是
▲ .
10. 若函数f (x )的导函数f ' (x )=x 2-4x ,则函数f (x -1)的单
调递减区间是 ▲ ..
11. 若x ∈[0,π
3]时,则cos 2x 2sin x cos x +cos 2x -sin 2x 的最大值是 ▲ .
12. 某校运动会开幕式上进行升旗仪式.如图,在
坡度为15︒的看台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒,且第一排和最后一排的距离为106米,则当国旗上升到离地面10米高时,在第一排测得国旗的仰角为 ▲ .
13. 已知直线l :y =k (x -2)+3,且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.若使△AOB 的面积为m
第一排
旗杆
看台
最后一排
60︒ 30︒ 15︒
10 6
的直线l共有四条,则正实数m的取值范围是▲.
14.若规定一种对应关系f(k),使其满足:①f(k)=(p,q),其中p<q,且q-p=k;②如果f(k)=(p,q),那么
f(k+1)=(q,r),(p,q,r∈N*).现已知f(1)=(2,3),则当n∈N*时,f(n)= ▲.
二、解答题：本大题共6题,共90分.请在答题纸规定区域内给出解答过程,解答时要写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P－ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC//AB,AD⊥AB,且AB=2AD=2DC=2PD,E为PA的中点.
(1)证明：DE//平面PBC；
(2)证明：DE⊥平面PAB.
16.(本小题满分14分)
如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,且AP=2PB.
(1)试用→
OA,→
OB表示→
OP；
(2)若|→
OA|=3,|→
OB|=2,且∠AOB=60︒,求→
OP⋅→
AB的值.
P
E
D C
B
A
17. (本小题满分15分)
某化工厂生产某产品的年固定成本为200万元,每生产1吨需另投入12万元.设化工厂一年内共生产该产品x 吨并全部销售完,每吨的销售收入为R (x )万元,且
R (x )=⎩⎨⎧112-1
3x 2 (0<x ≤15)1230x -10800
x 2
+x (x >15)
.
(1) 求年利润y (万元)关于年产量x (吨)的函数关系式;
(2) 年产量为多少吨时,化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大?
18. (本小题满分15分)
已知椭圆中心E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A (-2,0)、B (2,0)、C (1,3
2)三点．
(1)求椭圆E 的方程;
(2)若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,F (-1,0)、H (1,0),当△DFH 内切圆的面积最大时,记该内切圆为⊙M .
①求D 点的坐标及⊙M 的方程;
②设P 是圆M 上的动点,G 为OD 的中点,求证:PD
PG 为定值.
19. (本小题满分16分)
已知首项为a (a ≠0)的数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意的正整数m 、n ,都有S n S m =(n
m )2.
(1) 证明:数列{a n }是等差数列;
(2) 若a =1,数列{b n }的首项为b (b ≠1),第n (n ∈N *,n ≥2)项b n 是数列{a n }的第b n -1项,求证:
数列{b n -1}是等比数列;
(3) 若(2)中的数列{a n }和{b n }及任意正整数n ,均有2a
n +b n +11≥0成立,求实数b 的最小值.
20. (本小题满分16分)
已知函数f (x )=x (x -a )2,g (x )=a
2x 2,x ∈(-∞,0)且a <0.
(1) 求函数y =f (x )和y =g (x )在(-∞,0)上图象的交点坐标;
(2) 设函数y =f (x )和y =g (x )的图象在同一交点处的两条切线分别为l 1和l 2,是否存在这样
的实数a ,使得l 1⊥l 2?若存在,请求出a 的值及相应交点的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 若对任意x 1∈[-1,0),存在x 2∈[-1,0),使f (x 1)≥g (x 2),求a 的取值范围.
东海县高考文化补习学校2018届高三第一次月考
数学试题参考答案 2017.10.9
一. 填空题
1.10;
2.-2;
3. -12;
4.4;
5.7
18; 6.5; 7.i ≤5(或i<6); 8.(-2,2);
9.(-∞,-1][ 1,+∞); 10.(1,5); 11.1; 12.30︒; 13,(12,+∞); 14.(n 2-n +42,n 2+n +4
2).
二. 解答题
15. 证明:(1)设PB 的中点为F ，连接,EF CF ,
//,//,//EF AB DC AB EF AB ∴，且1
2
EF DC AB ==
………………2分 故四边形CDEF 平行四边形，可得//ED CF ， ………………4分 ED ⊂平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，//ED 平面PBC ………………7分 (2)PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AB PD ∴⊥ ………10分
又,,AB AD PD AD D AD ⊥=⊂ 平面PAD ，PD ⊂平面PAD
AB ⊥平面PAD
ED ⊂平面PAD ,所以ED AB ⊥， ………………12分 又,PD AD E =为PA 的中点，所以ED PA ⊥，
,PA AB A PA =⊂ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ……14分
16.
17.
18. 解：(1)设椭圆方程为221(0,0),mx my m n +=>>
将(2,0)A -、(2,0)B 、3(1,)2
C 代入椭圆E 的方程，得
41,
9
14
m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==∴椭圆E 的方程22143x y += ……5分 （2）①||2FH =，设DFH 边上的高为h ，1
22
DFH S h h =
⨯⨯= 设DFH 的内切圆的半径为R ，因为DFH 的周长为定值6． 所以
1
632
DFH R R S ⨯== ， ……7分 当D 为椭圆的上、下顶点时，h
故D F H
S
R
此时D (0,3),⊙M 的方程为x 2+(y -33)2=13
； 或D (0,-3),⊙M 的方程为x 2+(y +33)2=1
3。

.……10分 ②设P (x ,y )为⊙M ：x 2+(y -33)2=13上的任意一点,则x 2+(y -33)2=13,即x 2+y 2-23
3
y =0,
此时D (0,3),G (0,
32
),则 ∴PD 2
PG 2 = x 2
+(y -3)2
x 2+(y -32)2 = 3-433y 34-3
3y
=4.即PD
PG =2； 同理，当P 为⊙M ：x 2+(y +
33)2=13上的任意一点,也有PD
PG
=2.
故PD
PG为定值2. ………………………………15分.
注:当a ≥-3时，f min (x )为f (-1)与f (a 3)的较小者，故⎩⎨⎧f (-1)≥a
2f (-a 3)≥a 2,即⎩
⎨⎧-2≤a ≤-12-364≤a ≤36
4
,故-364≤a ≤-1
2.。