当具有已知长度的曲线为圆弧时面积最大2的结论
机器视觉第5章 尺寸测量技术
直线拟合的哈夫变换方法
直线函数：y=px+q
图像空间XY：(x, y) 参数空间PQ：(p, q)
Y (x2, y2)
(x1, y1)
O
X
Q
q=-x1p+y1
q’
q=-x2p+y2
O
p’
P
点--线对偶性：
图像空间中共线的点，对应在参
数空间中相交的线。
参数空间中相交于一点的所有直
Hough变换的基本思想：依次检查图像上的每个棋子(特定 像素)。对每个棋子，找到所有包含它的容器(直线)，并 为每个容器的计数器加1。遍历结束后，统计每个容器 所包含的棋子数量。当图像上某个直线包含的特定像素 足够多时，就可以认为直线存在。
第5章 尺寸测量技术
L4
A L1
B L8
L6
L7
L2
L3
Hough变换时，依次对像素A、B进行处理
像素A的处理结果：L1、L2、L3、L4等直线的计数器加1； 像素B的处理结果：L2、L6、L7、L8等直线的计数器加1； 最终结果：除L2外，其余直线区域的计数器值均为1。
根据图像大小设定阈值T，规定若某个直线计数器内包含 的特定像素数量>T，则认为此直线存在。
第5章 尺寸测量技术
5.5 角度测量
在工业零件视觉检测的应用中，经常需要对工件中的一些 角度进行测量。
螺母正视图中每条边相互的夹角大小及是否相等 零件底面与侧面的垂直度检测
角度检测的关键是对所测角度的两条边线的提取，然后利 用斜率计算公式得到两条线的夹角。
可采用以上介绍的方法，得出两条直线方程
第5章 尺寸测量技术
Hough算法的改进
高考数学二级结论总结
高考数学二级结论总结
以下是高考数学二级结论的总结，供参考：
1. 圆锥曲线的切线方程：若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上，则切线方程为y-
y0=f'(x0)(x-x0)。
2. 圆的切线判定定理：若直线上的任一点到圆心的距离等于半径，则直线是圆的切线。
3. 三角形的面积公式：若三角形ABC的面积为S，则S=1/2 absinC=1/2 acsinB=1/2 bcsinA。
4. 三角形的余弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a^2=b^2+c^2-2bccosA。
5. 三角形的正弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC。
6. 等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式
为an=a1+(n-1)d。
7. 等差数列的求和公式：若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=n/2(a1+an)或Sn=na1+n(n-1)/2d。
8. 等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则通项公式
为an=a1q^(n-1)。
9. 等比数列的求和公式：若等比数列的前n项和为Sn，则当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
希望这些总结能对您有所帮助。
刀具齿廓形状的设计对齿根过渡曲线的影响1
蒙特卡 抽样 ７７
Ｘ
洛法 次数 １６６
Ｘ
２９０
Ｘ
５８ｌ
Ｘ
４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３ ４５．４９７ ３
公差值
３．５７６ ９ １．５５１ ８ １．３５４ ８ １．４０６ ６ １．４７０ ８ １．５２０ ３
通过表２的比较分析可 知：三种方法求解出来的封 闭环Ｘ的基本值和公差值 一致，完全符合设计要求和 精度要求．
２．２根据齿条型刀具的参数推导过渡曲线
鬯 方程，用范成法加工齿轮时，当刀具齿顶
为尖角时过渡曲线为延伸渐开线，而刀具 齿顶为圆角时过渡曲线为延伸渐开线的 等距曲线。
ａ）齿条刀具齿顶为尖角时，如图６：
Ｘ，＝ｏ，Ｙ。＝一ｈ。（ｈ。为刀具齿顶高）
图６
（３）
当刀具移动０。Ｐ距离时，被加工齿轮转动壬：。同样 根据坐标变换矩阵把点Ａ坐标从坐标系Ｘ，０ｙ１变换到坐 标系Ｘ。０ｙ２中，变换矩阵如下：
Ｔｈｅ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ＴｏｏＩ Ｄｅｓｉｇｎ ＯＲ Ｔｅｅｔｈ Ｒｏｏｔ Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ Ｃｎｒｖｅ
ＷＡＮＧ Ｌｉｊｕａｎ，ＨＵＡＮＧ Ｑｉｎｓｈｉ，ＢＡＩ Ｂｉｎｇ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｔｅｅｔｈ ｂｅｎｄｉｎｇ ｓｔｒｅｎｇｔｈ，ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｄｅｔａｉｌｅｄｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｉｃａｌ ｄｅｄｅｎｄｕｍ ｔｒａｎｓｉ— ｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ｍａｃｈｉｎｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｅｘａｍｐｌｅ ｂａｓｅｄ ｏｒｌ ｆｏｕｎｄｅｄ ｔｏｏｌ ｔｏｐ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｒａｄｉｕｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｄｅｄｕｃｅｄ ｄｅｄｅｎｄｕｍ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｇｅａｒ ｐｒｏｆｉｌｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｇｅａｒ ｔｏｏｌ ａｎｄ ｒａｃｋ－ ｋｉｎｄ ｔＯＯｌ ｔＯ ｍａｋｅ ｆｏｒ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ａｃｃｕｒａｔｅｄ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ．
弧线的特点和几何应用
弧线的特点和几何应用弧线是指平面上的一段曲线，其特点是它是由一段圆弧所构成的，并且具有以下的特点和几何应用：一、特点1. 弧长：弧长指圆的一部分的弧长。
其长度可以通过弧的角度和圆的半径来计算。
如果将整个圆所对应的弧长定义为2π，则圆弧所对应的弧长则为圆周的一部分，即弧长等于2πrθ/360（其中，r为圆的半径，θ为圆心角的度数）。
2. 切线：弧线上的任何点都有唯一的一条切线，它和该点在弧线上的切点构成了一条切线。
切线的斜率等于该点切线的导数，可以用来求该点切线的斜率和方程。
3. 弧度制：弧度制是以圆的半径作为单位的角度制，表示的是圆弧所包含的弧长与圆的半径的比值。
弧度和角度的转换公式为：θ（角度）=θ（弧度）×180°/π。
二、几何应用1. 弧长定理：弧长定理是指圆周角和所对的弧长成比例，即：角度越大，所对应的弧长越长。
这个定理在计算圆柱或者球体的周长和面积时非常常用。
2. 弧度定理：弧度定理指如果一个半径为1个单位的圆上圆弧所对应的弧长等于1个单位，则这个圆弧所对应的圆心角的度数就是1弧度。
3. 弓形定理：弓形定理是指两条相交的弧线所夹的中心角度数等于这两条弧线所夹的弓形中心角度数的一半。
4. 弧面积定理：弧面积定理是指一个任意长度的弧线绕着圆心旋转一周所生成的形体表面积等于该弧线所对应圆形的面积。
结论弧线是圆的一部分，它具有一些独特的特点和几何应用。
了解它的特点和应用可以为数学、物理等领域的相关问题提供帮助。
同时，在实际生活和工作中，弧线的知识也会被广泛地应用，如建筑、机械、航空等领域。
《矿井提升运输》复习题(采矿11专本)含答案
《矿井运输提升》复习题1、刮板输送机为什么要安装紧链装置？常用的有哪几种？刮板链安装时，要给予一定的预紧力，使它运行时在张力最小点不发生链条松弛或堆积。
种类：1、将刮板链一段固定在机头架上，另一端绕经机头链轮，用机头部的电动机使链轮反转，将链条拉紧，电动机停止反转时，立即用一种制动装置将链轮闸住，防止链条回松，主要有棘轮紧链器、摩擦轮紧链器、闸盘紧链器三种；2、与第一种基本相同，只是不用电动机反转紧链，而用专设的液压马达紧链；3、采用专用的液压缸紧链。
2、简述缠绕式提升机限制偏角的原因及具体规定。
（1）、偏角过大将加剧钢丝绳与天轮轮缘的磨损，降低了钢丝绳的使用寿命，严重时，有可能发生断绳事故，因此，《煤矿安全规程》规定，内外偏角均应小于1°30′。
（2）、某些情况下，当钢丝绳缠向卷筒时，会发生“咬绳”现象。
若内偏角过大，绳的脱离段与邻圈钢丝绳不相离而相交，这就是咬绳。
有时，虽然内偏角并不很大，但由于卷筒上绳圈间隙较小，钢丝绳直径较大或卷筒直径较大，也会“咬绳”。
咬绳加剧了钢丝绳的磨损。
3、调绳离合器的作用是什么？使得活卷筒与主轴脱开或连接（1分），以便调节绳长或更换水平时（2分），使两卷筒能够相对旋转（2分）。
4、立井用防坠器有哪几部分组成？立井用防坠器一般由以下四个部分组成：开动机构、传动机构、抓捕机构和缓冲机构。
其工作过程是，当发生断绳时，开动机构动作，通过传动机构传动抓捕机构，抓捕机构把罐笼支承到井筒中的支承物上(罐道或制动绳)，罐笼下坠的动能由缓冲机构来吸收。
防坠器是罐笼上的一个重要组成部分，为了保证升降人员的安全，《煤矿安全规程》第332条规定：“升降人员或升降人员和物料的单绳提升罐笼（包括带乘人间的箕斗），必须装置可靠的防坠器。
”防坠器的作用是，当提升钢丝绳或连接装置断裂时，可以使罐笼十稳地支承到井筒中的罐道或制动绳上，避免罐笼坠入井底，造成重大事故。
5、如何提高带式输送机单滚筒传动装置的最大牵引力？（74页）6、什么叫刮板链的预紧力？刮板链工作时因受力而产生根大的弹性伸长，会在驱动链轮分离点处松弛，甚至形成堆积导致发生事故。
机械设计基础试题
《机械设计基础》题库一、填空题（每空1分）（一）绪论、概述、摩擦磨损润滑1、在各种机器中都经常使用的零件称为____零件；在特定类型机器中使用的零件称为____零件。
2、____是机器中制造的单元体，____是机器中运动的单元体，____是机器中装配的单元体。
3、零件的工作能力是指零件在一定的的工作条件下抵抗可能出现的____的能力。
4、零件常见的失效形式是____、、过量变形和破坏正常工作条件引起的失效。
4、机械零件丧失预定功能或预定功能指标降低到许用值以下的现象，称为机械零件的____。
5、运动副之间的摩擦将导致零件表面材料的逐渐损失，这种现象称为____。
（二）平面机构的结构分析、平面连杆机构6、一个作平面运动的构件有个独立运动的自由度。
7、使两个构件直接接触并能产生一定相对运动的联接称为____。
8、机构具有确定运动的充分和必要条件是其。
9、运动副对成副的两构件间的相对运动所加的限制称为____。
10、两个以上的构件以运动副联接而构成的系统称为____。
11、当机构的等于____数时，机构就具有确定的相对运动。
12、曲柄摇杆机构中，____两极限位置所夹锐角称为极位夹角。
13、平面连杆机构的行程速度变化系数Ｋ____时或曲柄的极位夹角θ____时，机构有急回特性。
14、在铰链四杆机构中，不与机架相连的杆称为____。
与机架相连的杆称为____。
15、生产中常常利用急回特性来缩短____，从而提高工作效率。
16、当曲柄摇杆机构的____为主动件时，机构有死点位置。
17、飞轮的作用是可以____，使机构运转平稳。
18、铰链四杆机构的基本形式为、___ _和。
19、在铰链四杆机构中，能作整周圆周运动的连架杆称为____，能绕机架作往复摆动的连架杆称为____。
（三）凸轮机构20、凸轮机构移动式从动件能实现____的直线运动。
21、一般规定移动从动件凸轮的推程压力角α≤____。
22、凸轮机构从动件中，____式最易磨损；____从动件的摩擦阻力小，传动能力大；____从动件可适应任何形式运动规律而不发生运动失真。
专题二 功与能 (2)——2023届高考物理大单元二轮复习讲重难
变式 1 答案：BD
解析： 小铁块不带点时恰好经过 B 点，则有 mg m vB2 ，离开 B 点做平抛运动刚好到达C R
（3）转移观点：EA增=EB减
三、考点分析
【例 1】如图所示,AB 是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道,下端 B 与水平直轨道相切.一个小物块自 A 点由静止开始沿轨道下滑,已知轨 道半径为 R=0.2m,小物块的质量为 m=0.1kg,小物块与水平面间的动摩 擦因数µ=0.5,取 g=10m/s2.求:
1.如图所示，半径 R 0.8m 的光滑绝缘的半圆环轨道处于竖直平面内，均强电场竖直向下， E 1000N / C ，半圆环与粗糙的绝缘水平地面相切于圆环的端点 A，一不带电小铁块，以 初速度 v0 8m / s ，从 C 点水平向左运动，冲上竖直半圆环，并恰好通过最高点 B 点，最 后金属块落回 C 点，若换为一个比荷为1102C / kg 的铁块仍以相同的初速度从 C 点水平
专题二 功和能 （2）
——2023届高考大单元二轮复习讲重难【新课标全国卷】 第四讲 功与能量守恒定律
一、核心思路
二、重点知识
1.能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只会由 一种能量转化成另一种能量。 2.能量守恒表达式： （1）守恒观点：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2+Wf
（2）转化观点：∆E=－∆Ef
A
运动到
P
的过程中，根据机械能守恒定Fra bibliotek得 mgH1 2
数控加工与编程技术练习题题及答案 (2)
数控加工与编程技术练习题及答案一、填空题?1、不论数控机床是刀具运动还是工件运动，编程时均以刀具的运动轨迹来编写程序。
2、一个完整的数控程序是由程序编号、程序内容、程序结束段三部分组成。
3．穿孔带是数控机床的一种控制介质，国际上通用标准是EIA 和ISO 两种，我国采用的标准是ISO 。
4．自动编程根据输入方式的不同，分为语言数控自动编程、图形数控自动编程、语音数控自动编程三种类型。
5．伺服系统的作用是把来自数控系统的脉冲信号转换成机床运动部件的机械运动，使工作台精确定位或者按规定的轨迹做严格的相对运动。
6．数控机床通电后的状态，一般设定为：绝对坐标方式编程，使用公制长度单位量纲，取消刀具补偿，以及主轴和切削液泵停止工作等状态作为数控机床的初始状态。
7．数控机床按控制运动轨迹可分为点位控制、直线控制和轮廓控制等几种。
按控制方式又可分为开环控制、闭环控制和半闭环控制等。
闭环控制系统的位置检测装置装在机床移动部件上。
9．使刀具与工件之间距离增大的方向规定为轴的正方向，反之为轴的反方向。
10．编程时的数值计算，主要是计算零件的基点和节点的坐标，直线段和圆弧段的交点和切点是基点，逼近直线段或圆弧小段轮廓曲线的交点和切点是节点。
11从零件图开始，到获得数控机床所需控制（介质）的全过程称为程序编制，程序编制的方法有（手工编程）和（自动编程）。
12 数控机床实现插补运算较为成熟并得到广泛应用的是（直线）插补和（圆弧）插补。
13自动编程根据编程信息的输入与计算机对信息的处理方式不同，分为以（自动编程语言）为基础的自动编程方法和以（图形编程）为基础的自动编程方法。
14数控机床按控制运动轨迹可分为（点位控制）、点位直线控制和（轮廓控制）等几种。
按控制方式又可分为（开环控制）、（闭环控制）和半闭环控制等。
15在数控加工中，刀具刀位点相对于工件运动的轨迹称为（加工）路线。
16、切削用量三要素是指主轴转速（切削速度）、（进给量）、（背吃刀量）。
（完整word版）高中高考数学所有二级结论《完整版》
（完整word版）⾼中⾼考数学所有⼆级结论《完整版》⾼中数学⼆级结论1、任意的简单n ⾯体内切球半径为表S V3(V 是简单n ⾯体的体积，表S 是简单n ⾯体的表⾯积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是⾮零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任⼀变量x 点有下列条件之⼀成⽴，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的⼀个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中⼼对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中⼼对称，⼜关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜⼆测画法直观图⾯积为原图形⾯积的42倍 8、过椭圆准线上⼀点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常⽤放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的⾯积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线⽅程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为1220=-b yy a xx 12、切点弦⽅程：平⾯内⼀点引曲线的两条切线，两切点所在直线的⽅程叫做曲线的切点弦⽅程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦⽅程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦⽅程为)(00x x p y y += ①⼆次曲线的切点弦⽅程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的⼀个焦点到椭圆上⼀点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离⼼率。
数控加工与编程技术练习题题及答案
数控加工与编程技术练习题及答案一、填空题1、不论数控机床是刀具运动还是工件运动，编程时均以刀具的运动轨迹来编写程序。
2、一个完整的数控程序是由程序编号、程序内容、程序结束段三部分组成。
3．穿孔带是数控机床的一种控制介质，国际上通用标准是 EIA 和 ISO 两种，我国采用的标准是 ISO 。
4．自动编程根据输入方式的不同，分为语言数控自动编程、图形数控自动编程、语音数控自动编程三种类型。
5．伺服系统的作用是把来自数控系统的脉冲信号转换成机床运动部件的机械运动，使工作台精确定位或者按规定的轨迹做严格的相对运动。
6．数控机床通电后的状态，一般设定为：绝对坐标方式编程，使用公制长度单位量纲，取消刀具补偿，以及主轴和切削液泵停止工作等状态作为数控机床的初始状态。
7．数控机床按控制运动轨迹可分为点位控制、直线控制和轮廓控制等几种。
按控制方式又可分为开环控制、闭环控制和半闭环控制等。
闭环控制系统的位置检测装置装在机床移动部件上。
9．使刀具与工件之间距离增大的方向规定为轴的正方向，反之为轴的反方向。
10．编程时的数值计算，主要是计算零件的基点和节点的坐标，直线段和圆弧段的交点和切点是基点，逼近直线段或圆弧小段轮廓曲线的交点和切点是节点。
11从零件图开始，到获得数控机床所需控制（介质）的全过程称为程序编制，程序编制的方法有（手工编程）和（自动编程）。
12 数控机床实现插补运算较为成熟并得到广泛应用的是（直线）插补和（圆弧）插补。
13自动编程根据编程信息的输入与计算机对信息的处理方式不同，分为以（自动编程语言）为基础的自动编程方法和以（图形编程）为基础的自动编程方法。
14数控机床按控制运动轨迹可分为（点位控制）、点位直线控制和（轮廓控制）等几种。
按控制方式又可分为（开环控制）、（闭环控制）和半闭环控制等。
15在数控加工中，刀具刀位点相对于工件运动的轨迹称为（加工）路线。
16、切削用量三要素是指主轴转速（切削速度）、（进给量）、（背吃刀量）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等周问题的发现——泡沫实验
17世纪各种泡沫实验在数 学家中风靡一时，实验的 目的是从中获取数学猜想。
•把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形 状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上， 用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线 立即变成一个圆.
泡沫实验获得的猜 想：在周长为定值 的一切封闭曲线中, 以圆所围成的面积 为最大。
等周问题的应用3——杆和绳
•已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的 相应各端系在一起（当然绳比杆长），怎 样才能围出最大的面积?
弓形
弓形
结论：当绳构成一段圆弧时，由杆 和绳所围成的面积最大。
杆和绳问题推广
两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何 结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？
周长为1的图形的面积
图形 圆 正方形
象限角形900 矩形（3：2） 半圆 等边扇形600 矩形（2：1） 等边三角形 矩形（3：1） 等腰直角三角形
面积 0.0793 0.0625
0.0616 0.0601 0.0595 0.0564 0.0556 0.0481 0.0464 0.0427
笛卡尔的验证
设
pq
/
知，圆 / 必在圆
的内部，圆
/
/ 的面积
A A
.但另一方面，由于
/
和P有相同的周长，依据等周定理1，应有 A A 这就产生了矛盾。 故必有p<q
等周定理应用——纪塔娜问题
•传说古代非洲沿海某部落 酋长答应给纪塔娜一块 “由灰鼠皮能包住”的土 地。纪塔娜想出了巧妙的 办法，在海岸边划出了一 块意想不到大的土地。问： 纪塔娜如何围呢？ 将灰鼠皮尽量剪细，结 成尽可能长的一条线。 沿海岸线对称，则构成一 周长为定值的封闭图形。 结论：沿海岸线 用这条长线围成 一半圆时，“土 地”面积最大。
等周定理的2种形式及其等价
形式1：在所有等周的平面封闭图形中， 以圆面积最大。 •形式2：在所有等面积的平面封闭图形中， 以圆周长最小。
设
是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的 非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。
是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的 非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。 证明：假设 p q 。作 的同心圆 / ，使其有周长q，于是由
等周问题
圆是最完美的图形。 ——但丁
引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） • 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一 天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格 1 千卢布，但 太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 • 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 • 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， • 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， • 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， • 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 • 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值 1 千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 • 托尔斯泰通过小说告诫世人： • 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。
应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰） • 有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一 天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格 1 千卢布，但 太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。 • 巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。 • 巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐， • 又跑了许多路再向左拐第二个直弯， • 此时正值中午，巴霍姆又跑了2里， • 还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。 • 但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值 1 千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。 • 托尔斯泰通过小说告诫世人： • 人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。
多边形等周定理 •在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n 边形面积最大？
•注意：⊿ABC的边AB固定，其它两边之和一定的 所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。
法1
利用三角形面积的海伦公式
ห้องสมุดไป่ตู้
法2 顶点C的轨迹是椭圆，故当点C在短 轴的顶点时面积最大。 •引理1： 在周长为定值l的n(n≥3)边形中， 要使其面积最大，各边必须相等。
这个简短的表强烈地 暗示出等周定理，因 为再在表中增加几个 图形，也增加不了多 少启发性。
等周定理：周长定值的一切封闭 曲线中,圆围成的面积最大 。
• 假设φ是周长为定值 面积最大的封闭曲线。
• 首先证明φ是凸图形, • 最后证平分周长与面积 的弦AB必是直径；
• 然后证明平分 φ 周长的 弦必平分面积； • 综上所述φ为圆.
多边形等周定理
A1
An+1 An
• 确认一个事实： • 在边长给定的n边形中，一定 存在一个内接于圆的n边形。
A2
• 引理2：在各边之长固定的所有n边形 中，能内接于圆的n边形面积最大。
• 多边形等周定理： • 在周长为定值l的一切 n(n≥3)边形中，正n边形的 面积最大。
多边形等周定理 的证明
本课题学习的意义
• 苏步青认为：等周问题是人类理性文明中， 既精要又美妙的一个古典几何问题，是数 学教师理想的进修课题。” • 等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之 一。它在数学发展史上占有重要地位，对 变分法的产生和发展起了重要作用。
等周问题的发现——自然界的现象
大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美 丽的花朵，都是圆形的。 水管等管道 大自然也偏爱球形 树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星， 头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。 寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽 可能蜷伏成球形。 很多水果是球形的，等等。 这是为什么？
证明：设Φ 是那个面积最大的n边形， 则Φ 的各边相等（等于l/n）， 否则，据引理1可找到比Φ 的面积更大的n边形。 Φ 既然是边长为l/n的n边形， 由引理2，Φ 一定内接于圆。 综上所述，Φ 是正n边形。
总结：等周定理系列
• 在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最 大。 • 在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长 最小。 • 在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面 积最大。 • 在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形 的周长最小。 • 空间中有类似的定理。