柱体、椎体、台体的体积导学案1北师大版必修2
《柱、锥、台的体积》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《柱、锥、台的体积》教学设计本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。
几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体等等。
几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，认识柱、锥、台的结构特征，会用平行投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
【知识与能力目标】通过对柱、锥、台体研究，掌握柱、锥、台体体积求法；能运用公式求柱、锥、台体体积。
【过程与方法目标】通过对照比较，理解柱、锥、台体三者间体积的关系。
【情感态度价值观目标】通过学习柱、锥、台体、球的体积及球的表面积，提升空间思维的能力。
【教学重点】柱、锥、台体、球的体积计算。
【教学难点】柱、锥、台体体积公式的理解及其应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年, 其形状为正四棱锥。
金字塔高约146。
6 m, ◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程底面边长约230。
4 m 。
问: 这座金字塔的侧面积和体积各是多少? 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。
解：如图, AC 为高, BC 为底面的边心距, 则AC =146.6 m, BC =115.2 m,底面周长c =4×230.4 m,S 侧面积=12c ∙AB =12×4×230。
4×√≈85916.2(m 2)V =13S ∙AC =13×230.42×146.6≈2594046.0(m 3)2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
柱、锥、台体的体积公式 三、质疑答辩，发展思维根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所Sh进行计算即可，常用方解：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝13法为割补法和等积变换法。
北师大版数学高一(北师大)必修2学案 1.7.1《柱体、锥体、台体的表面积》
1.7.1《柱体、锥体、台体的表面积》导学案【教学目标】（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.导入新课问题导入问题：现有一棱长为1的正方体盒子AC ′，一只蚂蚁从A 点出发经侧面到达A ′点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？解：本题考查的是 。
新授课阶段1．空间多面体的展开图与表面积的计算.（1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图.在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？答案：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积.多面体的表面积就是 ，我们可以把它展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解.例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形S – ABC ，求它的表面积.′ A解：2．圆柱、圆锥、圆台的表面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导（2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系例2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器)？分析：解：答：S圆台=π(r12+r2+rl+r′l)S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l)r = 0r = 1拓展提升1．圆锥的表面积为a cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.2．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形. 电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电镀10 000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）3．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，求直平行六面体的侧面积。
高中数学 1.7.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 北师大必修2
1.7.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法：（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值：通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。
难点：台体体积公式的推导三、学法与教法1、学法：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教法：探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情境1、教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
2、教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
（二）、探究新知1、利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图2、组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？3、教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
（三）、质疑答辩、排难解惑、发展思维1、教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长2、组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
3、教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
1.7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 教案 (高中数学必修二北师大版)
7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(2)熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．2．过程与方法通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者的体积关系，培养空间想象能力和思维能力．3．情感、态度和价值观通过学习，感受几何体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的体积计算公式．难点：体积公式的应用．(教师用书独具)●教学建议通过阅读教材，自主学习、思考、交流，讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而熟练体积的计算公式，完成本节课的教学目标．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解体积公式⇒通过例1及变式训练，使学生掌握柱体的体积问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握锥体的体积问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求台体体积问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正长方体的体积公式是什么？长方体能否分为两个全等的三棱柱？其体积与长方体体积有什么关系？【提示】 V ＝Sh ，能，12Sh .已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm 2 3 cm 2，侧棱长为2 cm ，求其体积．【思路探究】 设出底面菱形的两条对角线长，表示出两个对角面的面积，然后利用两条对角线表示底面菱形的面积，代入棱柱的体积公式即可．【自主解答】 如图所示，设底面菱形的对角线AC ，BD 长分别为x cm ，y cm ，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x ×2＝2，y ×2＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，底面菱形的面积S ＝12xy ＝32(cm 2)，所以该棱柱的体积为V ＝Sh ＝32×2＝3(cm 3)．1．本题中巧用了菱形的对角线求出底面面积．2．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理．熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．【解】 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝πr 2， ①2πrh ＝4a 2， ②由①得r ＝ππa ，由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3， ∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶(2ππa 3)＝π2∶1＝π∶2.如图1－7－7所示是一个几何体的主视图和俯视图． (1)试判断这个几何体的形状；(2)请画出它的左视图，并求该平面图形的面积； (3)求该几何体的体积．图1－7－7【思路探究】 解答本题可先根据主视图、俯视图判断这个几何体的形状，再画出左视图，求几何体的体积．【自主解答】 (1)根据几何体的主视图和俯视图，可知该几何体是一个底面是正六边形，侧棱都相等的六棱锥．(2)该几何体的左视图为△ABC(如图所示)，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC ＝3a ， AD 是六棱锥的高，根据主视图易知AD ＝3a ， ∴该左视图的面积为 123a ·3a ＝32a 2. (3)设六棱锥的底面积是S ，体积为V ，则S ＝6×34a 2＝332a 2， ∴V ＝13×332a 2×3a ＝32a 3.1．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．2．求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积法)．。
高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案北师大版必修2(new)
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标1。
掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式,会利用它们求有关几何体的体积.2。
掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝________S—柱体底面积，h-柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝________S—锥体底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝________________S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高知识点二柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝Sh V＝错误!(S′＋错误!＋S)hV＝错误!Sh。
类型一多面体的体积例1 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．反思与感悟求几何体体积的四种常用方法（1）公式法:规则几何体直接代入公式求解．（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．（4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!类型二旋转体的体积例2 (1)一个几何体的三视图如图所示（单位：m),则该几何体的体积为________m3。
（2)体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( ）A．54 cm3 B．54π cm3 C．58 cm3 D．58π cm3反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解,分析题中给出的数据,列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1）求台体的体积，其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解．（2）“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图,将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2 设圆台的高为3,如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．类型三几何体体积的求法错误!例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点,则三棱锥A－DED1的体积为________．反思与感悟（1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．(2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面BD的距离d。
1.7.2【教学设计】《柱、锥、台的体积》(北师大版)
《柱、锥、台的体积》本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。
几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体等等。
几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，认识柱、锥、台的结构特征，会用平行投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
【知识与能力目标】通过对柱、锥、台体研究，掌握柱、锥、台体体积求法；能运用公式求柱、锥、台体体积。
【过程与方法目标】通过对照比较，理解柱、锥、台体三者间体积的关系。
【情感态度价值观目标】通过学习柱、锥、台体、球的体积及球的表面积，提升空间思维的能力。
【教学重点】柱、锥、台体、球的体积计算。
【教学难点】柱、锥、台体体积公式的理解及其应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年, 其形状为正四棱锥。
金字塔高约146。
6 m, 底面边长约230。
4 m。
问: 这座金字塔的侧面积和体积各是多少?二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
解：如图, AC为高, BC为底面的边心距, 则AC=146.6 m,BC=115.2 m, 底面周长c=4×230.4 m,侧面积。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
柱、锥、台体的体积公式。
辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.1.7柱锥台和球的体积一学案 北师大版必修2
辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.1.7柱锥台和球的体积一学案北师大版必修2自主学习学习目标1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．自学导引1．祖暅原理(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱、锥、台、球的体积(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.(2)如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.对点讲练知识点一求台体的体积例1已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 6 cm，试求该三棱台的体积与表面积．点评在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．变式训练1 一个正四棱台的斜高为12 cm，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．知识点二求锥体的体积例2三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．点评三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．变式训练2 已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB＝2，求此三棱锥的体积．知识点三综合应用例3已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积与体积．点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．变式训练3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋2331．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S′＝S V 台体＝13h(S ＋SS′＋S′)――→S′＝0V 锥体＝13Sh.课时作业一、选择题1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233πB ．23πC.736πD.733π 2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288πcm 3B.192πcm 3C.288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 33．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－185．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．7．如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1—DFD1，V2＝VEBE1A—FCF1D1，V3＝VB1E1B—C1F1C，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．三、解答题8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.【答案解析】 自学导引1．(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高 2．(1)Sh πr 2h (2)13Sh 13πr 2h(3)13h(S ＋SS′＋S′) 13πh(r 2＋rr′＋r′2) 对点讲练 例1 解如图所示，O′、O 分别是上、下底面的中心，连接OO′、O′B′、OB ， 在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC 于D ，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB 于E. ∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心， ∴O′B′＝23×2×32＝233，同理OB ＝433，则BE ＝OB －O′B′＝233.在Rt△B′EB 中，BB′＝6，BE ＝233，∴B′E＝423，即棱台高为423cm. 所以三棱台的体积为V 棱台＝13×423(34×16＋34×4＋34×16×34×4) ＝7143(cm 3)．由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD＝12×(4－2)＝1.在Rt△B′DB 中，BB′＝6，BD ＝1， ∴B′D＝5，即梯形的高为 5 cm. 所以棱台的表面积S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧 ＝34×4＋34×16＋3×12×(2＋4)× 5 ＝53＋9 5 (cm 2)．所以棱台的表面积是(53＋95) cm 2， 体积是7143cm 3.变式训练1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为b 和a ，高为h ，斜高为h′，侧棱长为l ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 侧＝124a ＋4b ·h′l 2＝h′2＋[12a －b ]2h′2＝h 2＋[12a －b ]2.∵h′＝12，l ＝13，S 侧＝720， ∴⎩⎪⎨⎪⎧720＝12×4a ＋b ×12132＝122＋14a －b2122＝h 2＋14a －b 2，∴⎩⎨⎧a ＝20b ＝10h ＝119，∴V 正四棱台＝13×119×(202＋20×10＋102)＝7003119(cm 3)， 即此四棱台的体积为7003119 cm 3.例2 解 如图，在长方体中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，显然AP⊥平面BPC.∴AP 是三棱锥A －PBC 的高． ∵S △BPC ＝12·BP·PC＝12×3×4＝6， ∴V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥A －PBC ＝13S △BPC ·AP ＝13×6×2＝4. 变式训练2解 ∵三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴△ABC 为正三角形， PA ＝PB ＝PC ，∵侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直， 且AB ＝2，∴可建立如图所示的正方体， 则PA⊥平面PBC ，PA ＝PB ＝PC ＝1. ∴V＝13Sh ＝13S △PBC ·PA＝13×12×1×1×1＝16. 例3 解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA ＝VB ＝VC ＝4，AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ， 则VD ＝VB 2－BD 2＝42－32＝13，∴S △VBC ＝12×VD×BC＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V —ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)．点V 在底面ABC 上的射影为H ，则A ，H ，D 三点共线， VH 即为三棱锥V —ABC 的高， VH ＝VD 2－HD 2＝ VD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD 2＝132－12＝23，∴V V —ABC ＝13S △ABC ·VH＝13×33×23＝6，所以正三棱锥的体积是6.变式训练3 C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.]课时作业1．D [上底半径r ＝1，下底半径R ＝2，因为S 侧＝6π，设母线为l ，则π(1＋2)·l＝6π.∴l＝2.所以高h ＝l 2－R －r2＝ 3.∴V＝13π·3×(1＋1×2＋2×2)＝733π.]2．C [若底面圆周长为12，则2πr＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π2·8＝288π(cm 3)．若底面圆周长为8，则2πr＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4π2·12＝192π (cm 3)．]3．C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.]4．B [设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π.]5．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.]6．224π 解析如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x,4x,4x ，则在三角形ABC 中，AC ＝4x ，BC ＝4x －x ＝3x ，AB ＝10，由于AB 2＝AC 2＋BC 2，∴16x 2＋9x 2＝25x 2＝100，∴x＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8. ∴圆台的体积V ＝13(S′＋S′S＋S)h＝13(π×22＋π×22×π×82＋π×82)×8＝224π. 7．413解析 本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA 1E —DD 1F ＝12， ∴S△AA 1E ＝3，∴AE＝2.∴A 1E ＝13，∴S 矩形A 1EFD 1＝413. 8．解 (1)直观图如图所示．(2)方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE⊥A 1B 1， 则AA 1EB 是正方形， ∴AA 1＝BE ＝1.在R t△BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1， ∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1 ＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)，∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.方法二 几何体可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)． ∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3.9．解 (1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高PO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点．∴该几何体的体积V ＝13×8×6×4＝64. (2)如图所示，侧面PAB 中，PE⊥AB，则PE ＝PO 2＋OE 2＝42＋32＝5，∴S △PAB ＝12×AB×PE＝12×8×5＝20， 侧面PBC 中，PF⊥BC，则PF ＝PO 2＋OF 2＝42＋42＝4 2.∴S △PBC ＝12×BC×PF＝12×6×42＝122， ∴该几何体的侧面积S ＝2(S △PAB ＋S △PBC )＝40＋24 2.。
新教材高中数学第6章柱锥台的体积学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6．2 柱、锥、台的体积学习任务核心素养1．掌握柱、锥、台的体积计算公式．(重点、难点)2．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积．(重点、难点)1．通过对柱、锥、台的体积公式的理解，培养学生直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台的体积公式求几何体的体积，培养学生数学运算素养．南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．阅读教材，回答下列问题：问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS—柱体的底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS—锥体的底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)hS上、S下—台体的上、下底面积，h—台体的高提示：表面积变大了，体积不变．2．柱、锥、台体的体积公式之间有什么联系？提示：V 柱体＝Sh ――→S 上＝S 下――→S 上＝0V 锥体＝13Sh思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锥体的体积等于底面积与高之积． ( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )提示：(1)错误．V 锥体＝13Sh ，S 为锥体底面积，h 为锥体的高．(2)正确．[答案] (1)× (2)√类型1 多面体的体积【例1】 (教材北师版P 240例4改编)如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．[解] ∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC .在Rt △VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm). 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm).S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3).∴棱锥的体积为3253cm 3.(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[跟进训练]1．如图是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．其中AD ＝3，AA 1＝3，求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．[解] 在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在等边三角形ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.类型2 旋转体的体积【例2】 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3A [由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.]旋转体体积的求法要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[跟进训练]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.] 类型3 体积的综合问题【例3】 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．1．三棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高分别相等吗？体积相等吗？[提示] 棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高可能不分别相等，但它们的体积相等． 2．由尝试与发现1可以得到什么启示？[提示] 求一个三棱锥的体积，当其底面积或高不易求出时，可通过转换其底面积和高来求其体积．3．观察可知三棱锥A 1－D 1EF 和F －A 1D 1E 的体积相等，但三棱锥F －A 1D 1E 的高易求，所以可求三棱锥F －A 1D 1E 的体积．[解] 由题可知V 三棱锥A 1－D 1EF ＝V 三棱锥F －A 1D 1E,∵S △A 1D 1E ＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，∴V 三棱锥F －A 1D 1E ＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴V 三棱锥A 1－D 1EF ＝112a 3.本例中条件改为点F 为CC 1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．[解] 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ， 所以四边形EBFD 1是菱形． 连接EF ，则△EFB ≌△FED 1.因为三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－FED 1的高相等，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥A 1－EFB ＝2V 三棱锥F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，所以V 三棱锥F －EBA 1＝112a 3，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥F －EBA 1＝16a 3.求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[跟进训练]3．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.1．已知高为3的直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.]2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋62 B ．6＋2 2 C ．24D ．18B [V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.]3．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34C [∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]4.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．148B ．147C ．18D ．17B [设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.] 5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．12π [由已知圆锥的高h ＝52－32＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.]回顾本节内容，自我完成下面问题： 求解几何体的体积时应注意哪些问题？提示：(1)求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的位置关系求解． (2)对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解．(3)对不规则几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．。
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高一数学导学案
课题：柱体、椎体、台体的体积
姓名：___________________________
【学习目标】准确掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用
【重点难点】准确理解和掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用
【知识链接】
S
圆柱侧
=__________________________；S圆柱表=__________________________
S
圆锥侧
=__________________________；S圆锥表=__________________________
S
圆台侧
=__________________________；S圆台表=__________________________ 【学习过程】
一、新课引入：
柱体的体积公式
______________________________________________________________ 注：通过学习柱体的体积公式，试分析公式中的h，对于棱柱来说是否就是棱柱的长度？
锥体的体积公式
______________________________________________________________
注：由
1
V Sh
3
=
锥体
，那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗？
台体的体积公式
______________________________________________________________
（其中S
上，S
下
_________________________________）
注：柱体，锥体，台体的体积公式是适用于特殊的柱体，锥体，台体，还是适用于一般的柱体，锥体和台体？
二、例题应用：
例1、看课本例4并做练习1、2于导学案
学习过程：
直线的一般式方程
把关于,x y 的二元一次方程__________________________________叫做直线方程的一般式.
过点00(,)x y 的倾斜角为90或0的直线方程是什么？是不是关于,x y 的二元一次方程？
例1、看课本例6，例8并做练习第3题，第4题，第5题，第6题，第9题于导学案上.
例2、做练习第7题，第8题于导学案上.
例3、看课本例7并做练习第2题于导学案上.
例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
例3、做课本习题1-7A组3、6、7于导学案
【教后反思】。