江苏省金坛一中2016届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测数学试卷理科含附加题(word版有答案)
江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科数学Ⅰ试题一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合}0|{},3,2,1,0{2=-==x x x A U ，则=A C U2.从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率 为3. 若复数R m iim ∈-+(12,i 是虚数单位）为实数，则=m4.根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a 的值为5.在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A , 那么=C tan6.方程0sin lg =-x x 的解的个数是7.函数x x f lg 21)(-=的定义域是 8.若函数)0(cos )sin()(πϕ<<+=x x x x f 是偶函数， 则ϕ的值等于9.实系数一元二次方程02=++c bx ax ，则“0<ac ”是“该方程有实数根” 的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）10.若实数y x ,满足0,0>>y x ，且)2(log log log 222y x y x +=+，则y x +2 的最小值为11.若06254≤+⨯-x x ，则函数x x x f --=22)(的值域是12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<=2,2220|,log |)(2x x x x x x f ，若,0c b a <<<满足)()()(c f b f a f ==，则)(c f ab的范围是 13.设),2(,ππβα∈，且ββααsin )cos(sin =+，则βtan 的最小值是 14.函数)10(ln )(<<-=a a x a x f x ，若对于任意]1,1[-∈x ，不等式1)(-≤e x f恒成立，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别是c b a ,,. （1）若A A sin 2)4sin(=+π,求A 的值；（2）若A C B A sin 2sin sin ,21cos =+=,试判断ABC ∆的形状，并说明理由.16．（本题满分14分）已知函数x xx f 2log 4log )(22=.（1）解不等式0)(>x f ;（2）当]4,1[∈x 时,求)(x f 的值域.17．（本题满分14分）已知R a ∈,函数ax x a x x f ++-=23)1(2131)(.（1）求函数)(x f 的单调区间;（2）若1>a ,函数)(x f y =在]1,0[+a 上最大值是)1(+a f ,求实数a 的取值范围.18．（本题满分16分）已知函数2)4sin(222sin )(++-=πx a x x f ,设x x t cos sin +=,且)43,4(ππ-∈x .（1）试将函数)(x f 表示成关于t 的函数)(t g ,并写出t 的范围; （2）若0)(≥t g 恒成立,求实数a 的取值范围;（3）若方程0)(=x f 有四个不同的实数根,求a 的取值范围.19．（本题满分16分）理科广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成 的平面图由半径为2m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中A O C ,,在一条直 线上，4π=∠ACB ,记该设施平面图的面积为2)(m x S ，rad x AOB =∠，其中ππ<<x 2.（1）写出)(x S 关于x 的函数关系式; （2）如何设计AOB ∠,使得)(x S 有最大值?20．（本题满分16分）记函数x e x f =)(的图像为C ,函数k kx x g -=)(的图像记为l . （1）若直线l 是曲线C 的一条切线,求实数k 的值;（2）当)3,1(∈x 时,图像C 恒在直线l 上方,求实数k 的取值范围; （3）若图像C 与直线l 有两个不同的交点B A ,,其横坐标分别是21,x x , 设21x x <,求证: 2121x x x x +<.江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点OP AQ C B ⊥,,,垂足为Q ， 若2,4==PC PA ,求AQ 的长.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个 特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在极坐标系中，求圆θρcos 2=的圆心到直线1)3sin(2=+πθρ的距离.D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)若0,0>>b a ,且ab ba =+11,求33b a +的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分) 已知函数x e x f x 2)(12-=-.（1）求函数)(x f 的导数)(x f '; （2）证明:当R x ∈时,0)(≥x f 恒成立.23．(本小题满分10分) 已知数列}{n a 满足3221--=+n n n a a a ,*N n ∈,211=a .（1）计算432,,a a a ;（2）猜想数列的通项n a ,并用数学归纳法证明.江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科参考答案二、解答题15.解：（1）由题意，若sin()4A A π+=，A A A += ……2分即22A A =， ……4分 可得tan 1A =，由A (0,π)∈， ……5分 故4A π=； ……7分（2）△ABC 中，sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理可得：2b c a +=，……9分由1cos 2A =得：2221cos 22b c a A bc +-==， ……10分故222b c a bc +-=， 又2b c a +=， ……9分 则222()33b c a bc a +-==， 故22()2b c a bc +==， ……11分 可得2()0b c -=，故b c =， ……13分 则b c a ==， 故△ABC 为正三角形. ……14分 【说明】本题是由国庆作业题改编，考查了和角公式，三角形中的边角关系、考查正余弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算、书写表达能力. 16.(1)函数222222()log log 2(log log 4)(log 2log )4xf x x x x =⋅=-+ 222(log )log 2,(0,)x x x =--∈+∞ ……4分 令222()(log )log 20f x x x =-->， 则2log 2x >或2log 1x <-，故4x >或102x <<. ……7分 （2）若[1,4]x ∈，则20log 2x ≤≤，2222219()(log )log 2(log )24f x x x x =--=--， ……10分当21log 2x =即x =时，min 9()4f x =-；当2log 2x =即4x =时，max ()0f x =. 故()f x 值域为9[,0]4-. ……14分【说明】本题是由模考题改编，考查二次型函数的性质；考查学生的转化与化归的能力，运算、书写表达能力.17.解：3211()(1).32f x x a x ax =-++，定义域为R ，2()(1)f x x a x a '=-++(1)()x x a =--. …… 2分 （1）①若1a >，令()0f x '>，得1x <或x a >，令()0f x '<，得1x a <<； ……4分②若1a =，则'()0f x ≥恒成立，()f x 在定义域R 上单调递增； ……5分 ③若1a <，令'()0f x >，得x a <或1x >，令'()0f x <，得1a x <<. ……7分 综上：若1a >，()f x 单调增区间为(,1)-∞和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；若1a =，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间；若1a <，()f x 单调增区间为(,)a -∞和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a .……8分 （2）由（1）知：()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减，在[,1]a a +上单调递增， ……10分 若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则必有(1)(1)f a f +≥成立， ……12分即331111(1)(1)(1)(1)3232a a a a a a +-+++≥-++， 即3230a a -≤，解得：3a ≤. ……13分 故若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则(1,3]a ∈. …… 14分 【说明】本题考查了用导数研究三次函数的单调区间,考查了分类讨论思想，考查了三次函数在给定区间最值的确定，考查了解不等式.18.解：π()sin 2sin()22sin cos 2(sin cos )24f x x x x x a x x =-++=-++, …… 2分（1）因为π3π(,)44x ∈-，πsin cos )4t x x x =+=+∈, ……3分所以2sin 21x t =-. ……4分从而2()g()21f x t t at ==-+,t ∈. …… 6分（2）由g()0t ≥恒成立，可得12a t t ≤+在（上恒成立,记1()2h t t t=+≥，当且仅当1t =时等号成立,所以min 2(t)2a h ≤=,即1a ≤. ……10分 (3) 若方程()0f x =有四个不同的实数根，等价于方程2210t at -+=在上有两个不同的实数根， ……12分 根据根的分布可知：由(0)0g >，0>，得a <……13分 由2440a ∆=->，得11a a <->或者 ……14分又0a <<， ……15分解得1a < ……16分 【说明】本题考查了三角恒等变换；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；考查了函数与方程思想.19.解：(1)由已知可得1,242AOB CBO x S lr x ∠=-=π=扇形， ……2分在△BCO 中由正弦定理可得：sin sin CO BOCBO C=∠，所以2(sin cos )CO x x =-， ……4分 从而21sin 2sin 2sin cos 2CBO S BO CO BOC x x x ∆=⋅⋅∠=-， ……6分所以2()2sin 2sin cos 22sin (sin cos )2S x x x x x x x x x =-+=-+,().2x <<ππ……8分(2) π()2(sin 2cos2)2)24S x x x x '=-+=-+, ……10分由3π()0,4S x x '==解得， ……12分 令π3π()0,24S x x '><<解得， ∴增区间是3(,)24ππ;令3π()0,π,4S x x '<<<解得 ∴减区间是3(,)4ππ; ……14分所以()S x 在34πx =处取得最大值是23π2m 2+. ……15分 答：设计成34π=AOB ∠时，该设施的平面图面积最大是23π2m 2+. ……16分【说明】本题是原创题，考查了正弦定理、扇形的面积公式、导数的应用；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力. 20.解：（1）直线l 过定点(1,0)，()e x f x '=，设切点坐标00(,e )x x ，00()=e x k f x '=, ……1分 所以切线l 的方程为：000e e ()x x y x x -=-， ……2分 把点(1,0)代入000e e ()x x y x x -=-，解得02x =, ……3分 所以2(2)e k f '==. ……4分 （2）由已知可得：当()1,3x ∈时，不等式e x kx k >-恒成立.即：当()1,3x ∈时，e ()1x k h x x <=-, ……5分而2e (2)()(1)x x h x x -'=-， ……6分当(1,2)x ∈时，函数()h x 递减；当(2,3)x ∈时，函数()h x 递增, ……7分 所以2min ()(2)e h x h ==，故()2min (2)e k h x h <==， ……8分 （3）由已知可得1212,e (1)e (1)x x k x k x =-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅①② ……9分 ②-①得2121211221e e e e (),0x x x x k x x x x k x x --=-<=>-由可得 ②×①得1221212e (1)x x k x x x x +=--+ ……10分 要证1212x x x x <+，只需证1212122e 10x x x x x x k+--=-< ……11分即证21122221e e ex x x x k x x +⎛⎫-<= ⎪-⎝⎭,即证122122121e e e,()x x x x x x x x +-<>- ……12分 只需证()1221221ee e x x x x x x +-<- 只需证()21122221eex x x x x x ---<-，令2102x x t -=>， 即证：e e 20t t t --->. ……14分 记()e e 2,()e +e 20t t t t t t t ϕϕ--'=--=->恒成立，所以()(0)0t ϕϕ>=，故1212.x x x x <+ ……16分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的求法、考查函数的性质；考查变量代换法；考查函数思想、方程思想、等价转换思想、分析能力．理科附加题参考答案21A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以2PA PB PC =⋅， …… 3分 因为4PA =，2PC =，所以242(22)r =⨯+，解得3r =． …… 5分 所以235PO PC CO =+=+=，3AO r ==， 由PA 是圆O 的切线得PA AO ⊥，故在Rt APO V 中，因为AQ PO ⊥，由面积法可知，1122AQ PO AP AO ⨯⨯=⨯⨯，即431255AP AO AQ PO ⨯⨯===. …… 10分（第21题A 图）【说明】本题由模考题改编，考查圆的切割线定理，切线的性质，计算等面积转化，考查了等价转换思想、计算能力． 21B. 选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即6c d +=， ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即322c d -=-， ……6分 解得24c d =⎧⎨=⎩，即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……8分所以A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查矩阵的特征值与特征向量，考查了逆矩阵的求法，考差了学生的运算能力．21C. 选修4—4：坐标系与参数方程解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ……4分 又2sin()13πρθ+=，即12(sin )12ρθθ+=，10y +-=， ……8分故所求的圆心到直线的距离d =……10分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化，考查直线与圆的位置关系． 21D ．选修4－5：不等式选讲 解：因为0,0a b >>，所以11a b + ……3分又因为11a b+2ab ≥，当且当a b = ……6分所以33a b +≥，当且当a b = ……9分 所以33a b +的最小值为 ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查了基本不等式以及取得等号成立的条件，放缩法，考查了学生的转化与化归的能力和计算的能力． 22.解：（1）函数21()e 2x f x x -=-，定义域为R ，21'()(21)'2x f x e x -=⨯--2122x e -=-， ……3分（2）由题意21'()22x f x e -=-，x R ∈ ,'(),()x f x f x 当x R ∈上变化如下表：当12x =时()f x 取得极小值也是最小值， 而1()02f =，故()0f x ≥恒成立. ……10分【说明】本题由模考题改编，考查复合函数的导数，函数的性质，函数的极值． 23．解：（1）由递推公式，得121122321234232a a a --===-⋅-， 3457,68a a ==． ……3分（2）猜想：212n n a n-=． ……5分 证明：①1n =时，由已知，等式成立． ……6分 ②设*()n k k =∈N 时，等式成立．即212k k a k-=． ……7分所以12122214212(1)122123426222(1)232k k k k a k k k k k a k a k k k k k+-----++-=====----++⋅-， 所以1n k =+时，等式成立． ……9分根据①②可知，对任意*n ∈N ，等式成立．即通项212n n a n-=． ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查数学归纳法，对格式的把握，猜想与证明的能力，等价转换思想、分析能力．。
江苏省苏州中学2016届高三上学期初考试数学试题 Word版含答案
代 x 令 6. 在约束条件代 y 以 以y x 令
x
令
以
y以的最小值为__________
7.设 α 平 是空间两个 同的 面 m n 是 面 α 及 平 外的两条 同直线 从 ⊥n
m
α⊥ 平
n⊥ 平
m⊥α 中选取 个作为条件 余 一个作为结论 写出你
认为 确的一个命题 ____________.(填序号) 8.在 面直角坐标系 xOy 中 已知 ∪ B 点 C 在 曲线的右支 别是 曲线 x
以
y以
3
令 的左 右焦点 △∪BC 的
sin∪ sinB 的值是____________ sinC
以
9. 已知点 ∪(代,以) 抛物线 y
以px(p 代)的焦点为 F
准线为 l 线段 F∪ 交抛物线于点
B 过 B 作 l 的垂线 垂足为 ≤ 若 ∪≤⊥≤F
令代. 若函数 则(x)
以 以
该函数图象 的两点 且 x令
x 以.
(令)指出函数 则(x)的单调区间 (以)若函数 则(x)的图象在点 ∪ B 处的 线互相垂直 且 x以 代 证明 (3) 若函数 则(x)的图象在点 ∪ B 处的 线重合 求 a 的取值范围
x以 x令 令
-4-
江
省 州中学 以代令5-以代令6 学 度第一学期期初考试 数学 II(理科附加) 本试卷满 以令. 选做题 4代 ,考试时间 3代 钟,将 确的答案写在答题卡的相 位置 小题 令代 共 以代 解答
y令
4
x 4
若在 t(t 4)天时进行第一次复
增加一倍(复 时间忽略 计) 其后 留 为 复
y以 随时间变化的曲线恰为直线的一部
江苏省常州市金坛区金沙高级中学2016届高三上学期文科数学练习Word版含答案
2015年秋学期高三数学（文科）第4次检测一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合(){}{}ln 1,=x M x y x N y y e x R ==-=,∈集合，M N ⋂=则 . 2．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是 ．3．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ． 4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少 有1人被录用的概率为 ． 5根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 .6．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ． 7．已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标 不变），再向左平移4π个单位，可得到函数()y f x =的图象，则()f x = ． 8．已知函数212,1,()e , 1x x x f x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集是 ．9.若实数, x y 满足102030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则24x y z =的取值范围是 ．10.在直角三角形ABC 中，090C ∠=，2AB =，1AC =，若32A D AB =，则C D C B ⋅= ．11. 若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 .12. 已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f y =的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为 ．13．若x y z 、、均为正实数，且2221x y z ++=，则2(1)2z xyz+的最小值为 ．S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第5题密 封 线 内 不 要 答 题班级 姓名 考试号14．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >，且2a 是14a a 、的等比中项；记2nn b a =(*)n N ∈，则对任意的正整数n 均有121112nb b b ++⋅⋅⋅+<，则公差d 的取值范围是 ▲ ．二．解答题15．（本题满分14分）锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2cos()2sin 2CB A -=； （1）求sin sin A B 的值；（2）若3a =，2b =，求ABC ∆的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 为BC 的中点， 点E 为BD 的中点，点F 在1AC 上，且14AC AF =； （1）求证：平面ADF ⊥平面11BCC B ； （2）求证：直线//EF 平面11ABB A ．G1A17. （本题满分14分）已知实数0>a 且1≠a ，命题p ：)2(log ax y a -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0上为减函数；命题q ：方程03=-+-a x e x 在[]1,0上有解。
2016届江苏省镇江市高三上学期期中数学试卷 解析版
2015-2016学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。
1．设集合U={0，1，2，3}，A={x|x2﹣x=0}，则∁U A={2，3}．【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】先化简集合A，再求A在U中的补集．【解答】解：∵集合U={0，1，2，3}，A={x|x2﹣x=0}={x|x=0或x=1}={0，1}，∴∁U A={2，3}．故答案为：{2，3}．【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．2．从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；试验法；概率与统计．【分析】用列举法求出从甲、乙、丙3人中选2人的基本本事件数以及甲被选中的基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：从甲、乙、丙3名候选学生中选2名，基本事件是甲乙，甲丙，乙丙共3种，其中甲被选中的基本事件是甲乙和甲丙，共2种；所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．3．若复数为纯虚数，则m=2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】先将a﹣i1+i 化简为代数形式，再根据纯虚数的概念，令其实部为0，虚部不为0，求出m值．【解答】解：=+i，根据纯虚数的概念得出，解得m=2．故答案为：2【点评】本题考查复数的除法运算，复数的分类，纯虚数的概念．属于基础题．4．根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a的值为105．【考点】伪代码．【专题】计算题；分类讨论；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=9时不满足条件i≤7，退出循环，输出a的值为105．【解答】解：模拟执行程序可得：a=1，i=3满足条件i≤7，a=3，i=5满足条件i≤7，a=15，i=7满足条件i≤7，a=105，i=9不满足条件i≤7，退出循环，输出a的值为105．故答案为：105．【点评】本题主要考查了循环结构的程序，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．5．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么tanC=﹣．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC===﹣，∵C∈（0，π）∴tanC=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．6．方程lgx=sinx的解的个数为3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又由正弦函数的有界性可知：sinx≤1．画出当x＞0时的图象即可得出答案．【解答】解：要使lgx有意义，必须x＞0．分别作出函数y=lgx，y=sinx，当x＞0时的图象：由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又sinx≤1．由图象可以看出：函数y=lgx与y=sinx的图象有且仅有3个交点，故方程lgx=sinx的解的个数为3．故答案为3．【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键．7．函数f（x）=的定义域是（0，]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】关键二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：﹣lgx≥0，解得：0＜x≤，故答案为：（0，]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=sin（x+φ）cosx（0＜φ＜π）是偶函数，则φ的值等于．【考点】正弦函数的奇偶性；两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用三角函数的奇偶性可得φ=kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）cosx 是偶函数，则φ=kπ+，k∈Z．再根据0＜φ＜π，可得φ=，故答案为：．【点评】本题主要三角函数的奇偶性，属于基础题．9．实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，则“ac＜0”是“该方程有实数根”的充分不必要条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，△=b2﹣4ac，若“ac＜0”，则△＞0，“该方程有实数根”，是充分条件，若该方程有实数根，△≥0，则推不出ac＜0，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，根的判别式问题，是一道基础题．10．若实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），则2x+y的最小值为9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可．【解答】解：实数x、y满足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+≥=9，当且仅当x=y=3时，取得最小值．故答案为：9．【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用，考查计算能力．11．若4x﹣5×2x+6≤0，则函数f（x）=2x﹣2﹣x的值域是[，]．【考点】一元二次不等式的解法；函数的值域．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】用换元法，设t=2x，求出t的取值范围，再把函数f（x）化为f（t），求f（t）的值域即可．【解答】解：∵4x﹣5×2x+6≤0，∴（2x）2﹣5×2x+6≤0，设t=2x，则原不等式化为t2﹣5t+6≤0，解得2≤t≤3；又函数f（x）=2x﹣2﹣x=2x﹣，∴f（t）=t﹣（t∈[2，3]），∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在t∈[2，3]上是增函数，∴f（2）≤f（t）≤f（3），即≤f（t）≤；∴f（x）的值域是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是综合性题目．12．已知函数f（x）=，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则的范围为（1，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得ab=1，＜f（c）＜1；从而求得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log2a=log2b，即ab=1；∵f（c）==+，∴＜f（c）＜1；故1＜=＜2；故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用．13．设α、β，且sinαcos（α+β）=sinβ，则tanβ的最小值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tan2α•tanβ+tanβ﹣tanα=0，再根据△=1﹣8tan2β≥0，求得tanβ的最小值．【解答】解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）﹣α]，∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，化简可得tan（α+β）=2tanα，即=2tanα，∴2tan2α•tanβ﹣tanα+tanβ=0，∴△=1﹣8tan2β≥0，解得﹣≤tanβ≤，∵β∈（，π），∴﹣≤tanβ＜0，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．14．函数f（x）=a x﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；配方法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．【解答】解：函数的导数f′（x）=a x lna﹣lna=lna•（a x﹣1），∵0＜a＜1，∴lna＜0，由f′（x）＞0得lna•（a x﹣1）＞0，即a x﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lna•（a x﹣1）＜0，即a x﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，当x=1，则f（1）=a﹣lna当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1+lna，则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，设g（a）=a﹣﹣2lna，则g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0，则g（a）在（0，1）上为增函数，则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0，即g（a）＜0，则f（1）﹣f（﹣1）＜0，即f（1）＜f（﹣1），即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1+lna，若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1，即+lna≤e﹣1，设h（a）=+lna，则h′（a）=﹣+=﹣（）2+，∵0＜a＜1，∴＞1，∴当h′（a）＜h′（1）=0，即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数，由+lna=e﹣1得a=．则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（），即≤a＜1，故答案为：[，1）．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2016-2017学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷(解析汇报版)
2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）sin240°= ．2．（5分）复数z=i（1﹣i）的虚部为．3．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为．4．（5分）不等式的解集为．5．（5分）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．6．（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．7．（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ．8．（5分）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ．9．（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．11．（5分）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．12．（5分）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是．13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．16．（14分）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．19．（16分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．20．（16分）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．22．（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．2016-2017学年省市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2010•一模）sin240°= ．【分析】由诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解：根据诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα得：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180°+α）=﹣cosα进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力．2．（5分）（2016秋•期中）复数z=i（1﹣i）的虚部为 1 ．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•期中）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为x2=2y ．【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，∴﹣=﹣，∴p=1，∴抛物线方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题．4．（5分）（2015•校级三模）不等式的解集为{x|x＜0或x＞1} ．【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．【解答】解：∵，∴即，∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．故答案为：{x|x＜0或x＞1}．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为．【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0∴l1与l2间的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题．6．（5分）（2016秋•期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8 ．【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=x z，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+2×2=8；故答案为：8．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．7．（5分）（2016秋•期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m= ﹣2或1 ．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，解得m=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•期中）已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）= ﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值围是[﹣1，1] ．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．10．（5分）（2016秋•期中）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B 两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为27 ．【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力．11．（5分）（2016秋•期中）若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a= ．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）≥5+2=9，当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．联立，解得：a=．故答案为：．【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．12．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值围是[﹣2，0）．【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值围．【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．由图象可知k∈[﹣2，0）．故答案为：[﹣2，0）．【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用．13．（5分）（2016秋•期中）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x ．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x ∈R恒成立，则实数a的取值围是[，+∞）．【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值围．【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，解得：a≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，得到x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+2由正弦函数的图象及性质．可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．解得：≤x≤，所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．∴=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力．三角函数的图象平移变换规律．属于中档题．16．（14分）（2016秋•期中）函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，数m的取值围．【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值围．【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…（2分）若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…（4分）所以A∩B=（2，4]；…（6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min…（10分）因为=x+1+﹣1≥1，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以﹣m≥1，解得：m≤﹣1．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．17．（14分）（2016秋•期中）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）（2016秋•期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．（1）求sin∠ABC的大小；（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…（3分）所以sin∠ABC=．…（5分）（2）在△ABD中，由得：AD=，BD=﹣…（9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣）…（11分）令H（θ=，则H′（θ）=．当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．…（14分）此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间所以θ=时，运输总成本最小．答：θ=时，运输总成本最小．…（16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）（2016秋•期中）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，∵．∴c=2（x2﹣c），即x2= c …（3分）∴k==，k'==，∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值．…（6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）∵点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，…（10分）则，代入得：=，=，∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，解得：c2=，∴c2=4，…（14分）∴椭圆方程为：．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•期中）已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣…（2分）（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae x（x﹣1）+x2，则H′（x）=（ae x+2）x，∵x∈（1，+∞），∴e x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴ae x≤ae≤﹣e∴ae x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …（5分）且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值（*）又H（x0）=ae x0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（8分）（3）设g（x）=ae x（x﹣1）+x2，则g′（x）=（ae x+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…（12分）当x＜0时，e x＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=ae x（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）（2016秋•期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，数a的值．【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，由矩阵M的一个特征值为4，∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，解得：a=2，实数a的值2．【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题．22．（10分）（2016秋•期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数 3 6 1若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．则ξ0 1 2P∴E（ξ）=+1×+2×=．答：数学期望为．【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2016秋•期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…（2分）=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞===﹣，∴CE与PD所成角的余弦值为．…（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），…（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，…（8分）令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为．…（10分）【点评】本题考查线线面的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．24．（10分）（2016秋•期中）已知集合A={a1，a2，…，a m}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪A n=A，则称A1，A2，A3，…，A n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3；…（1分）设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9；…（2分）设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，当n=k+1时，A1∪A2∪…∪A k+1={a1，a2}当A k+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；当A k+1={a1}时，A1∪A2∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；同理当A k+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；当A k+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪A k={a2}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪A k=∅，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…（10分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．。
江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试数学试题(扫描版)
2016届高三数学第一学期期中考试参考答案 2015.11一、填空题（每小题5分）二、解答题15.解：（1）由题意，若sin()4A A π+=，A A A += ……2分A A =， ……4分 可得tan 1A =，由A (0,π)∈， ……5分 故4A π=； ……7分（2）△ABC 中，sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理可得：2b c a +=，……9分由1cos 2A =得：2221cos 22b c a A bc +-==， ……10分故222b c a bc +-=， 又2b c a +=， ……9分 则222()33b c a bc a +-==， 故22()2b c a bc +==， ……11分 可得2()0b c -=，故b c =， ……13分 则b c a ==， 故△ABC 为正三角形. ……14分【说明】本题是由国庆作业题改编，考查了和角公式，三角形中的边角关系、考查正余弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算、书写表达能力.16（文）. 解：因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++， ……2分又因为点,E F 分别是,AD BC 的中点,所以0,0EA ED FB FC +=+=, ……3分 所以2EF AB DC =+, ……5分即1122EF AB DC =+, ……6分因为1122EF xAB yDC AB DC =+=+所以12x y ==. ……7分 （2）因为1122EF AB DC =+ ,所以2221(2)4EF AB AB DC DC =+⋅+ ， ……9分而46cos6012AB DC ⋅=⨯⨯=， ……11分 所以221(162436)194EF EF ==++= , ……13分故EF ……14分【说明】本题考查了向量的分解，相反向量，数量积的概念，考查了数形结合的思想，运用数量 积求模.16（理）.(1)函数222222()log log 2(log log 4)(log 2log )4xf x x x x =⋅=-+ 222(log )log 2,(0,)x x x =--∈+∞ ……4分 令222()(log )log 20f x x x =-->，则2log 2x >或2log 1x <-，故4x >或102x <<. ……7分 （2）若[1,4]x ∈，则20log 2x ≤≤，2222219()(log )log 2(log )24f x x x x =--=--， ……10分当21log 2x =即x min 9()4f x =-；当2log 2x =即4x =时，max ()0f x =. 故()f x 值域为9[,0]4-. ……14分【说明】本题是由模考题改编，考查二次型函数的性质；考查学生的转化与化归的能力，运算、书写表达能力.17.解：3211()(1).32f x x a x ax =-++，定义域为R ，2()(1)f x x a x a '=-++(1)()x x a =--. …… 2分 （1）①若1a >，令()0f x '>，得1x <或x a >，令()0f x '<，得1x a <<； ……4分②若1a =，则'()0f x ≥恒成立，()f x 在定义域R 上单调递增； ……5分 ③若1a <，令'()0f x >，得x a <或1x >，令'()0f x <，得1a x <<. ……7分 综上：若1a >，()f x 单调增区间为(,1)-∞和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；若1a =，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间；若1a <，()f x 单调增区间为(,)a -∞和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a .……8分 （2）由（1）知：()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减，在[,1]a a +上单调递增， ……10分 若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则必有(1)(1)f a f +≥成立， ……12分即331111(1)(1)(1)(1)3232a a a a a a +-+++≥-++， 即3230a a -≤，解得：3a ≤. ……13分 故若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则(1,3]a ∈. …… 14分【说明】本题考查了用导数研究三次函数的单调区间,考查了分类讨论思想，考查了三次函数在给定区间最值的确定，考查了解不等式.18.解：π()sin2sin()22sin cos 2(sin cos )24f x x x x x a x x =-++=-++, …… 2分（1）因为π3π(,)44x ∈-，πsin cos )4t x x x =++∈, ……3分所以2sin 21x t =-. ……4分从而2()g()21f x t t at ==-+,t ∈. …… 6分（2）由g()0t ≥恒成立，可得12a t t ≤+在（上恒成立,记1()2h t t t=+≥，当且仅当1t =时等号成立,所以min 2(t)2a h ≤=,即1a ≤. ……10分 (3) 若方程()0f x =有四个不同的实数根，等价于方程2210t at -+=在上有两个不同的实数根， ……12分 根据根的分布可知：由(0)0g >，0>，得a <……13分 由2440a ∆=->，得11a a <->或者 ……14分又0a <<， ……15分解得1a <<……16分 【说明】本题考查了三角恒等变换；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；考查了函数与方程思想.19.解：(1)由已知可得1,242AOB CBO x S lr x ∠=-=π=扇形， ……2分在△BCO 中由正弦定理可得：s i n s i n C O B OC B O C=∠，所以2(sin cos )CO x x =-， ……4分 从而21sin 2sin 2sin cos 2CBO S BO CO BOC x x x ∆=⋅⋅∠=-， ……6分所以2()2sin 2sin cos 22sin (sin cos )2S x x x x x x x x x =-+=-+,().2x <<ππ……8分(2) π()2(sin 2cos2)2)24S x x x x '=-+=-+, ……10分由3π()0,4S x x '==解得， ……12分 令π3π()0,24S x x '><<解得， ∴增区间是3(,)24ππ;令3π()0,π,4S x x '<<<解得 ∴减区间是3(,)4ππ; ……14分所以()S x 在34πx =处取得最大值是23π2m 2+. ……15分 答：设计成34π=AOB ∠时，该设施的平面图面积最大是23π2m 2+. ……16分【说明】本题是原创题，考查了正弦定理、扇形的面积公式、导数的应用；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力. 20.解：（1）直线l 过定点(1,0)，()e x f x '=，设切点坐标00(,e )x x ，00()=e x k f x '=, ……1分 所以切线l 的方程为：000e e ()x x y x x -=-， ……2分 把点(1,0)代入000e e ()x x y x x -=-，解得02x =, ……3分 所以2(2)e k f '==. ……4分 （2）由已知可得：当()1,3x ∈时，不等式e x kx k >-恒成立.即：当()1,3x ∈时，e ()1x k h x x <=-, ……5分而2e (2)()(1)x x h x x -'=-， ……6分当(1,2)x ∈时，函数()h x 递减；当(2,3)x ∈时，函数()h x 递增, ……7分 所以2min ()(2)e h x h ==，故()2min (2)e k h x h <==， ……8分 （3）由已知可得1212,e (1)e (1)x x k x k x =-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅①② ……9分 ②-①得2121211221e e e e (),0x x x x k x x x x k x x --=-<=>-由可得 ②×①得1221212e (1)x x k x x x x +=--+ ……10分 要证1212x x x x <+，只需证1212122e 10x x x x x x k+--=-< ……11分即证21122221e e ex x x x k x x +⎛⎫-<= ⎪-⎝⎭,即证122122121e e e,()x x x x x x x x +-<>- ……12分 只需证()1221221ee e x x x x x x +-<-只需证()21122221eex x x x x x ---<-，令2102x x t -=>， 即证：e e 20t t t --->. ……14分 记()e e 2,()e +e 20t t t t t t t ϕϕ--'=--=->恒成立，所以()(0)0t ϕϕ>=，故1212.x x x x <+ ……16分【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的求法、考查函数的性质；考查变量代换法；考查函数思想、方程思想、等价转换思想、分析能力．理科附加题参考答案21A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以2PA PB PC =⋅， …… 3分 因为4PA =，2PC =，所以242(22)r =⨯+，解得3r =． …… 5分 所以235PO PC CO =+=+=，3AO r ==， 由PA 是圆O 的切线得PA AO ⊥，故在Rt APO 中，因为AQ PO ⊥，由面积法可知，1122AQ PO AP AO ⨯⨯=⨯⨯，即431255AP AO AQ PO ⨯⨯===. …… 10分 【说明】本题由模考题改编，考查圆的切割线定理，切线的性质，计算等面积转化，考查了等价转换思想、计算能力． 21B. 选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即6c d +=， ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（第21题A 图）可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即322c d -=-， ……6分 解得24c d =⎧⎨=⎩，即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……8分 所以A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查矩阵的特征值与特征向量，考查了逆矩阵的求法，考差了学生的运算能力．21C. 选修4—4：坐标系与参数方程解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ……4分 又2sin()13πρθ+=，即12(sin )12ρθθ+=，10y +-=， ……8分故所求的圆心到直线的距离d =. ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化，考查直线与圆的位置关系．21D ．选修4－5：不等式选讲解：因为0,0a b >>，所以11a b +≥， ……3分又因为11a b+2ab ≥，当且当a b = ……6分所以33a b +≥当且当a b = ……9分所以33a b +的最小值为 ……10分【说明】本题由模考题改编，考查了基本不等式以及取得等号成立的条件，放缩法，考查了学生的转化与化归的能力和计算的能力．22.解：（1）函数21()e 2x f x x -=-，定义域为R ，21'()(21)'2x f x e x -=⨯--2122x e -=-， ……3分（2）由题意21'()22x f x e -=-，x R ∈,'(),()x f x f x 当x R ∈上变化如下表：当12x =时()f x 取得极小值也是最小值， 而1()02f =， 故()0f x ≥恒成立. ……10分【说明】本题由模考题改编，考查复合函数的导数，函数的性质，函数的极值．23．解：（1）由递推公式，得121122321234232a a a --===-⋅-， 3457,68a a ==． ……3分 （2）猜想：212n n a n-=． ……5分 证明：①1n =时，由已知，等式成立． ……6分②设*()n k k =∈N 时，等式成立．即212k k a k-=． ……7分 所以12122214212(1)122123426222(1)232k k k k a k k k k k a k a k k k k k+-----++-=====----++⋅-， 所以1n k =+时，等式成立． ……9分根据①②可知，对任意*n ∈N ，等式成立．即通项212n n a n-=． ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查数学归纳法，对格式的把握，猜想与证明的能力，等价转换思想、分析能力．。
江苏省常州一中2016届高三数学上册10月阶段考试题
常州一中2016届高三文科数学10月阶段考试一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1•已知全集U ={0,1,2,3},集合A ={0,1}, B ={1,2,3},则(C u A)ClB= _________________ {2,3} 2•命题“ -x • R, sin x叮”的否定是 ____________3•已知幕函数f(x)的图像经过(9,3)，贝y f (2)—f(1)= _______________________ 34•已知函数f(x)=a x-x・b的零点X。
，(k,k・1)(k・Z)，其中a,b满足3a=2,3b=?,4 则k= 1呻片 4 4 ■+ 45.已知向量a,b满足a+2b =(2,-4 ),3a—b =(」,16),,贝U向量a,b的夹角的大小为 ____________ .2 冗 26.函数f(x) =sin( x • sin( x)的图象的相邻两对称轴之间的距离是3 2 3 3 —Ji 27•已知等比数列{a n}的前n项和为S n ,若a?a8 =2a3a6,S^-62，则a j的值是-28•已知cos 且二三(一，二)，则tan( )二45 2|log 2 x9.设函数f(X)= log, _x) (4,0) U(1,二)10.已知实数x, y满足约束条件值是11，则实数k的值是3若f(a) .f^a),则实数a的取值范围是x —0,y丄2x 1, ( k为常数)，若目标函数z = 2x y的最大x y k _011.将一个长宽分别是a,b(0 :: b :::a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则—的取值范围是b-J)12.已知{a n}是首项a1=- 2，公差为d的等差数列，它的前n项和为S n,S4= 2$ + 4, b n= 1 +a na n 则当b n取得最大值是，n=13•若点G ABC的重心，且AG丄BG,贝U sinC的最大值为2 114.若函数f(x) - -lnx ■ ax ■ bx - a - 2b有两个极值点x1,x2，其中a - 0,b 0 ,且f区)=X2 ，则方程2a[f (x)]2 - bf (x) -1 =0的实根个数为5(1) 求sin 2〉的值; (2)"(0, n)，求 si n\ -的值.2且：£ 三（n, n ），二 cos:22、2•/ sin 2: = 2sin : cos:••• sin 2，_U9（2）:习 n , n ），「■ ：= （0,n ），二：.；亠『'三（n ,3n ），且si n （'：：亠,）3-4，二 cos （：亠，）= 5 51 sin 二3cos —U3二 sin - -sin[(、； ■- \'-) - : ] =sin (、； ' l ：)cos : -cos (用、l‘)sina = ----------- 152 1 16(本小题满分14分)已知m ・R , a( -1, x m)， b =(m 1,-)，x（1） c=（-m, x ），当m=d 时，求使不等式|a ，c|兰1成立的x 的取值范围; 'x+m ， （2）求使不等式a b _0成立的x 的取值范围.16.解析：（I ）当m = -1时,7=(_1,x 2 -1)，二(1，宀：：=_1x-1.X —1X —1='x 2+x -1 £1，二x? x —1—h 又 x = 1 解得.—2 空 X 弐「1 或 0 空x ::： 1二当m - -1时，使不等式c 叮成立的x 的取值范围是[-2,-1]U[0,1）.2 2(n)v a b —(m 1)x m=x-(m 1)x m =(x-1)(x-m) 0 xx x二当 r<0 时，[m,0） 一 [1,二）；当 n =o 时，[1,：：）;当 0 ：： m ::: 1 时，（0, m] [1,：：）； 当 m^ 1 时，[1,：：）;当 n >1 时，（0,1] 一 [ m,：：）.17（本小题满分14分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）二1210.8 x (0 ：： x ^10)30 108 1000“ “、 r(x10) 3x 2二、解答题：本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15（本小题满分14分）已知卅三（n, n ），且sin J2 3（1） 写出年利润 W （万元）关于年产品 x （千件）的函数解析式； （2） 年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?（注：年利润=年销售收入-年总成本）3x 解：(1)当 0<x w 10 时，W=xR(x)-(10 2.7x) =8.1x10 30当 x >10 时，W =xR(x) -(102.7x) =98 -1000 —2.7X3x严3x 8.1x-—-10 0cxE10 .W 二〒 30.............. 5 分100098 2.7x x 10I 3x2x(2)①当 0<x w 10 时，由 W =8.10得x=9且当 x (0,9)时,W 0;10当 x (9,10)时,W ：：0;1 3•••当 x=9 时，W 取最大值，且 W max =8.1 99 —10 = 38.6 .............. 10 分30②当 x>10 时，W=9・1000+2.7x1^98 —=38 I 3x 丿 V 3x当且仅当 1000 =2.7x,即x 二100时,W max =38.3x9综合①、②知x=9时，W 取最大值.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大. ........ 15分18（本小题满分16分）已知数列｛aj 的前n 项和为S n .（I ）若数列｛a n ｝是等比数列，满足2a , a 3 =3a 2, a 3 2是a 2,a 4的等差中项，求数列｛a n ｝的 通项公式；（H ）是否存在等差数列｛a n ｝，使对任意n ・N *都有a n S n =2n 2 n V ?若存在，请求出所 有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由. 解：（I ）设等比数列"a n 匚的首项为a 〔，公比为q ,f 2即』®(2 + q )=3阿，(1)©(q+q 3) =2®q 2 +4.⑵由⑴得q 2 - 3q • 2 = 0，解得q = 1或q = 2.依题意，有2a 1 + a 3 = 3a 2, ©2 +a 4 =2@3 +2).当q =1时，不合题意舍；当q =2时，代入⑵得印=2，所以，a^2 -2nJ-2n方法1:[a1 (n 1)d][a1 n n(n 1)d^2n2(n 1)，得2(n)假设存在满足条件的数列{a n}，设此数列的公差为d，则d2 23 2 2 3 1 2 2(_%d -d )n (a -a1d _d )=2n • 2n对n・N*恒成立, d 22=2,3ad _d222 3 .a -一ad2=2,2d2“f d = 2, f d = -2,解得或此时a n= 2n，或a n- -2n .冃=2, © =-2.故存在等差数列｛a n｝，使对任意n • N*都有a n S n=2n2(n 1) •其中a^ 2n ,或a n_ -2n . ................... 15 分方法2：令n =1, a； =4，得a1 = 2 ,令n = 2，得a；a1 a2 -24 二0 ,①当a1=2时，得a2=4或a2- -6,若a2=4 ,贝U d =2 , a n=2n , S n= n(n 1),对任意n N* 都有2a n S n =2n (n ■ 1);若a2=-6，则d=—8, a^ -14, S^ = -18，不满足a3S3= 2 32(3 1)........................ 12分②当a<| = -2 时，得a2 = -4或a2 =6,若a^-4 ,则d「-2 , a. =-2n , S n = —n(n 1),对任意n • N* 都有2a n S n =2n (n 1);右a2=6，则d=8, a3-14, S3-18，不满足a3 S3 = 2 3 (3 1).综上所述，存在等差数列{a n },使对任意n • N *都有a n 0=2n 2(n • 1) •其中或 a * - -2n .范围；在(2)的条件下，对任意 r (1, =),S ・ (0,1)，求证：g(t) -g(s) • e • 2-〕.e.(1P f (0) =0 x = 0是y = f(x)的一个零点.2 1 2 1 当x 0时，f(x)=x(x 2-1--),设(x)=x 2-1 -v x V x」(x)=2x d 〉0'」(x )在(°，p 上单调递增1叮毋(1) =_1 C 0,毋(2)=3—F>0•二®(X )在(1,2)上有唯一零点 V 2.y = f(x)在0,= 上有且仅有2个零点 .............................. 4 2ax ax 1 ax(x 1) , a , (2) g(x) 3 ln xln xln xx- xx(x 1)(x-1)x-1定义域为(0,1) _(1，■ : ■)a _ x 2「2x 1「ax _ x 2「(a 2)x 1 (x -1)2 一 x(x-1)2 一 x(x-1)21设h(x) =x 2 -(a 2)x1,要使y =g(x)在(0,—)上有极值，.h(x) = x 2 -(a 2)x1 = 0e有两个不同的实根x^x ?,.厶=(a ' 2)2 -4 0 ■ a 0或a ：：： -4 (8)1 1 1而且一根在(0,)间，不妨设0 冷：：：,又因为X 1X 2 =1,・0 ：：： X 1 ：：： ::: e ：：： X 2e e e 1 11 h(0) =1,只需 h(厂：0,即2 -(a 2)1 ：： 0e e e.1 c ■ a e 2e15分19.(本小题满分 (1) 求函数y (2) 令 g(x )二 =x 3「x -、x .16分)已知函数f (x) =f (x)的零点的个数；ax 2 亠 ax 1In X ，若函数y = g(x)在(0，)内有极值，求实数 a 的取值 f(x) 、x e(3)g (x)E(1 )求f(2)的值；(2)已知实数t € R ，求函数y = f[xg(x)+t],x ・〔1,el 的最小值;(3)令F(x)电(x) g(x)，给定X1必•(1, r),x 1 ：：： X2，对于两个大于1的正数〉，：， 存在实数m 满足：：• = mx 1 (^ m) x 2，: = (1 -m)% • mx 2，并且使得不等式| F(： ) - F(：)卜：| F(xJ - F(X 2) |恒成立，求实数 m 的取值范围.解：y = f(x)图象与x 轴异于原点的交点 M (a,0)， f'(x)=2x —a y = g(x —1)=l n(xT)图象与x 轴(3)由(2)知,x (1必)时，g (x) :: 0,则g(x)单调递减x (x 2 •二)时，g(x)单调递增 /. g(x)在(1,，°o )上有最小值g(x 2) 即-1 (1, •：：)，都有 g(t) _ g(X 2)又当x (0, xj,g(x) 0. g(x)单调递增 当x ：= (x 「• ：：), g (x) ：：：0,. g(x)单调递减 .g(x)在(0,1)上有最大值g(x) 即对-s (0,1),都有g(s) Eg(xJ 1又 x 1 x 2 = 2 a,x 1x 2 =1,. x 「(0, —)，x 2 (e,：：) a ag ⑴一 g(s)—g(x 2)—g(x 1)小 x 2 芦小 x 1一百,x 2 丄 a a , =In - In x 1 x 2 -1 X<| -1 设k(x) = In x 2 x = 2ln x2 1k (x) 1 2 0 x x 21x 2 x 2(x 2 e)xx x-丄x13— 1.k(x)在(e,；)上单调递增，.k(x) k(e)=2 e- — e 1 g(t) -g(s) e — 2.................................................................. e 16 20(本小题满分16分)已知函数 2f(x)二 X -ax(a=0)，g(x)=lnx ，f (x)图象与 x 轴异于原点的交点M 处的切线为|1， g(xT)与x 轴的交点N 处的切线为l 2，并且h 与I 2平行.x-1 1f(2) =22 -2=2 ............. 3 分( 2 )2 2 2y = f[xg(x)+t] =[xln x+t] -(xlnx+t)=(xln x) (2t-1)(x1 n x) t -1 ........................................ 4分令u = xln x，在x「1,e I 时，u' = l ix 1 0 - u = xln x 在11,e 单调递增，0 m e, .................... 5分2 2 1 -2ty =u (2t -1)u t -t图象的对称轴u ，抛物线开口向上①1 -2t当u = 102 即U-2时y m - i y -n t 丄•…0 t ........ 6分、「/ 1 -2t 1 -2e②当u e 即t <时2 2y min2 2= y|u土二e (2t 1)e t t••…....... 7分立 c 1 一2t 1 -2e 1③当0 e 即::t 时2 2 21 -2t2 1 -2t 2 1ymin -y| z-( c ) +(2t-1) c t —t: •8分h 2 2 4(3)F(x)二g(x) g'(x)=l nx 1，F'(x^1-4 二笃1-0 得x_1 所以F(x)在区间(1,：：)上单调x x x x递增……9分当x_1 时，F (x) F (1) 0 ① 当m (0,1) 时，有-m 1x 1 -m) x 1m(，x1 - ) m =x x-■ - m^ (1 _ m)x2:: m冷(1 _ m)x2= x2，得：〔三(片，x2)，同理：(片，x2)，............io分•-由f(x)的单调性知0：：：F(xJ：：：FG) 、FC)：：：F(X2)，从而有|F(：)-F(J 卜:|F(X J-F(X2)|，符合题设............................ 1分② 当m_0 时，-=m 1 (x 1 ^m) x2- ,X - ) m 的交点N(2,0) g'(x—1)=丄由题意可得kh=k l2，即a = 1 , f(x) = x2—x,,--(1 —m)% mx2_ (1 _ m)x1m% = x，由f(x)的单调性知0 ::：F( J 乞F(xJ :： F(x2)乞F(：)，二|F(： )—FC)|」F(x1^F(x2)|，与题设不符…12分③当m _ 1时，同理可得「冬x1, 亠x2, 得|F(： )-F() |F(X I)_F(X2)| , 与题设不符 (1)分.综合①、②、③得m (0,1) .................................. …16分薄雾浓云愁永瑞脑消金兽。
【真题】16年江苏省常州一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2015-2016学年江苏省常州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∪B=．2．（5分）若（k，a∈R）为幂函数，且f（x）的图象过点（2，1），则k+a的值为．3．（5分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=．4．（5分）若曲线在x=x0处的切线斜率为0，则实数x0的值为．5．（5分）已知函数，则f（1+log23）=．6．（5分）将函数y=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数的解析式是．7．（5分）已知等比数列{a n}的各均为正数，且，则数列{a n}的通项公式为．8．（5分）下列说法中正确的个数为．①命题：“若a＜0，则a2≥0”的否命题是“若a≥0，则a2＜0”；②若复合命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“”的充分不必要条件；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．9．（5分）在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．10．（5分）正方形ABCD的中心为（3，0），AB所在直线的方程为x﹣2y+2=0，则正方形ABCD的外接圆的方程为．11．（5分）已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为．12．（5分）如图，A，B，C是直线上三点，P是直线外一点，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，则=．13．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足，设为均不等于2的且互不相等的常数），若数列{b n}为等比数列，则λ•μ的值为．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在直角坐标系xoy中，不共线的四点A，B，C，D满足，且，，求：（1）的坐标；（2）四边形ABCD的面积．16．（14分）设向量=（2cosx，﹣2sinx），=，f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=0，c=1，求a+b的取值范围．17．（14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．18．（16分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．19．（16分）已知a＞0，f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；（Ⅲ）证明对任意的a=n（n∈N*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f （x）单调递减区间的长度的取值范围．（区间[x1，x2]的长度=x2﹣x1）20．（16分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，数列{b n}是等比数列．（1）若c n=（a n+1﹣a n）b n（n∈N*），求证：{c n}为等比数列；（2）设c n=a n b n（n∈N*），其中a n是公差为2的整数项数列，b n=，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且当n≥17时，{c n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{c n}使得是等比数列，数列{d n}的前n项和为，且数列{d n}满足：对任意n≥2，n∈N*，或者d n=0恒成立或者存在正常数M，使＜|d n|＜M恒成立，求证：数列{c n}为等差数列．2015-2016学年江苏省常州一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∪B=R．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，∴A∪B=R．故答案为：R2．（5分）若（k，a∈R）为幂函数，且f（x）的图象过点（2，1），则k+a的值为1．【解答】解：若（k，a∈R）为幂函数，则k=1，f（x）=，把（2，1）代入函数的解析式得：=1，∴﹣=0，解得α=0，则k+a的值1，故答案为：1．3．（5分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．【解答】解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=l2，则k1=k2若l1∥即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣14．（5分）若曲线在x=x0处的切线斜率为0，则实数x0的值为e．【解答】解：的导数为y′=，由在x=x0处的切线斜率为0，可得=0，解得x0=e．故答案为：e．5．（5分）已知函数，则f（1+log23）=．【解答】解：∵∵1+log23＞0，∴f（1+log23）=f[（1+log23）﹣1）]=f（log23）∵log23＞0f（log23）=f（log23﹣1），∵log23﹣1＞0∴f（log23﹣1）=f（log23﹣2），∵log23﹣2≤0，∴f（log23﹣2）==×23=，故答案为．6．（5分）将函数y=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数的解析式是y=sin（2x+）．【解答】解：∵函数y=sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位，为y=sinω（x+），∴由图象得：ω×+=，解得：ω=2，∴平移后的图象所对应的函数的解析式为：y=sin2（x+）=sin（2x+），故答案为：y=sin（2x+）．7．（5分）已知等比数列{a n}的各均为正数，且，则数列{a n}a n =．【解答】解：等比数列{a n}的各均为正数，且，设公比为q，则可得a1（1+2q）=3 且=4，解得a1=，q=，故数列{a n}的通项公式为a n =×=，故答案为a n =．8．（5分）下列说法中正确的个数为2．①命题：“若a＜0，则a2≥0”的否命题是“若a≥0，则a2＜0”；②若复合命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“”的充分不必要条件；④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．【解答】解：①命题：“若a＜0，则a2≥0”的否命题是“若a≥0，则a2＜0”，故正确；②若复合命题“p∧q”为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故错误；③“三个数a，b，c成公比为负的等比数列”时，“”不成立，“=0”时，“三个数a，b，c成等比数列”不成立，故“三个数a，b，c成等比数列”是“”的即不充分不必要条件，故错误；④命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确．综上所述，正确的命题个数为2个，故答案为：29．（5分）在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为3．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．10．（5分）正方形ABCD的中心为（3，0），AB所在直线的方程为x﹣2y+2=0，则正方形ABCD的外接圆的方程为（x﹣3）2+y2=10．【解答】解：由题意，正方形ABCD的外接圆的圆心为（3，0），∵（3，0）到直线AB的距离为=∴圆的半径为=∴正方形ABCD的外接圆的方程为（x﹣3）2+y2=10故答案为：（x﹣3）2+y2=10．11．（5分）已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为．【解答】解：∵正实数a，b满足9a2+b2=1，∴=≤=，当且仅当=时取等号．∴的最大值为．故答案为：．12．（5分）如图，A，B，C是直线上三点，P是直线外一点，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，则=．【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=30°，BD=x，∴PD=2BD=2x，CD=PD=2x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+30°=120°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+4x2﹣2x•2xcos120°=1，解之得x=，即BD=．∴PA=2BD=，PC=4BD=，可得==××（﹣）=﹣．故答案为：﹣13．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}14．（5分）已知数列{a n}满足，设为均不等于2的且互不相等的常数），若数列{b n}为等比数列，则λ•μ的值为﹣3．【解答】解：∵为均不等于2的且互不相等的常数），，===，∴b n+1∵数列{b n}为等比数列，∴=q为常数，∴q=，化为：（2q﹣qμ﹣2+λ）+[q（λμ﹣2λ﹣4μ+3）﹣（λμ﹣2μ﹣4λ+3）]a n﹣q（3λ﹣4λμ）+（3μ﹣4λμ）=0，∴2q﹣qμ﹣2+λ=0，q（λμ﹣2λ﹣4μ+3）﹣（λμ﹣2μ﹣4λ+3）=0，q（3λ﹣4λμ）﹣（3μ﹣4λμ）=0，联立解得λ=﹣3，μ=1，q=5．∴λμ=﹣3．故答案为：﹣3．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在直角坐标系xoy中，不共线的四点A，B，C，D满足，且，，求：（1）的坐标；（2）四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）因为，且A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD为平行四边形，记AC与BD的交点为O，则=（2，3），=（﹣1，﹣1）…6分（2）由（1）可知，||=，||==，cos∠BAD===﹣，因为sin2∠BAD+cos2∠BAD=1，且0＜∠BAD＜π，所以sin∠BAD=，故平行四边形ABCD的面积为：||||sin∠BAD=…14分16．（14分）设向量=（2cosx，﹣2sinx），=，f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=0，c=1，求a+b的取值范围．【解答】解：（1），所以由2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z可解得f（x）的单调增区间为，由2x+=kπ+，k∈Z可解得对称中心为：．（2）由f（C）=0，得，∵C为锐角，∴，∴，．由正弦定理得，a+b==∴△ABC是锐角三角形，∴，得．所以，从而a+b的取值范围为．17．（14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．【解答】解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，（I）①∵CD=2x，∴OE=x（0＜x＜1），，∴=，②∵，∴OE=cosθ，CE=sinθ，∴，（II）（方法1）由①可知，y=（x+1），∴，令t=﹣x4﹣2x3+2x+1，∴t'=﹣4x3﹣6x2+2=﹣2（2x3+3x2﹣1）=﹣2（x+1）2（2x﹣1），令t'=0，解得，x=﹣1（舍），∴当时，t'＞0，则函数t在（0，）上单调递增，当时，t'＜0，则函数在（，1）上单调递减，∴当时，t有最大值，∴y max=，答：梯形部份ABCD面积y的最大值为平方米．（方法2）由①可知，y=（x+1），∴，令y'=0，∴2x2+x﹣1=0，（2x﹣1）（x+1）=0，∴，x=﹣1（舍），∵当时，y'＞0，则函数y在（0，）上单调递增，当时，y'＜0，则函数y在（，1）上单调递减，∴当时，，答：梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．（方法3）由②可知，∴y'=[（sinθ+sinθcosθ）]'=（sinθ）'+（sinθ•cosθ）'=cosθ+cos2θ﹣sin2θ=2cos2θ+cosθ﹣1，令y'=0，∴2cos2θ+cosθ﹣1=0，解得，即，cosθ=﹣1（舍），∵当时，y'＞0，则函数y在上单调递增，当时，y'＜0，则函数y在上单调递减，∴当时，，答：梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．18．（16分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD=时，求直线CD的方程；（3）经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：m=0或m=，故所求点P的坐标为P（0，0）或P（，）．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或k=﹣，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点Q（m，），因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：（x﹣m）2+（y﹣﹣1）2=m2+（﹣1）2，化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．19．（16分）已知a＞0，f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），l是曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）若切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值；（Ⅲ）证明对任意的a=n（n∈N*），函数y=f（x）总有单调递减区间，并求出f （x）单调递减区间的长度的取值范围．（区间[x1，x2]的长度=x2﹣x1）【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），且点P（0，f（0））为切点，∴f（0）=1，又，∴切线的斜率k=f′（0）=﹣1，又切点P（0，1），∴由点斜式可得，y﹣1=﹣1×（x﹣0），即x+y﹣1=0，∴切线l的方程为x+y﹣1=0；（Ⅱ）切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1有且只有一个实数解，令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），则h（x）=0有且只有一个实数解，∵h（0）=0，∴h（x）=0有一个解为x=0，又，①在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解，∴符合题意；②，，列表如下：∴，∴方程h（x）=0在上还有一解，∴方程h（x）=0的解不唯一；∴0＜a＜不符合题意；③当，，x2=0，列表如下：∴，又当x＞﹣1且x趋向﹣1时，ax2﹣x＜a+1，∴ln（x+1）趋向﹣∞，∴h（x）趋向﹣∞．∴方程h（x）=0在上还有一解，∴方程h（x）=0的解不唯一；∴a＞不符合题意．综合①②③，当l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，；（Ⅲ）证明：∵f（x）=ax2﹣2x+1+ln（x+1），∴，令k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1，∵x＞﹣1，∴f′（x）＜0等价于k（x）=2ax2+（2a﹣2）x﹣1＜0，∵△=（2a﹣2）2+8a=4（a2+1）＞0，对称轴，k（﹣1）=2a ﹣（2a﹣2）﹣1=1＞0，∴k（x）=0有两个不同的解设为x1，x2，其中﹣1＜x1＜x2，且，，∴当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，∴y=f（x）的减区间为[x1，x2]，∴，∴当a=n（n∈N*）时，区间长度，∴减区间长度x2﹣x1的取值范围为]．20．（16分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，数列{b n}是等比数列．（1）若c n=（a n+1﹣a n）b n（n∈N*），求证：{c n}为等比数列；（2）设c n=a n b n（n∈N*），其中a n是公差为2的整数项数列，b n=，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且当n≥17时，{c n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{c n}使得是等比数列，数列{d n}的前n项和为，且数列{d n}满足：对任意n≥2，n∈N*，或者d n=0恒成立或者存在正常数M，使＜|d n|＜M恒成立，求证：数列{c n}为等差数列．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，等比数列{b n}的公比q≠0，∵c n=（a n+1﹣a n）b n=db n，则==q≠0，因此{c n}为等比数列；（2）∵a n是公差为2的整数项数列，∴a n=a1+2（n﹣1）∈Z．∵c n=a n b n（n∈N*），b n=，∴．∵c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，∴由c5＞2c4可得，，解得，同理可得，a1＜﹣，．综上可得：．又当n≥17时，{c n}是递减数列，∴c n＞c n，+1∴，化为a1＞26﹣2n，∴a1＞26﹣2×17=﹣8．综上可得：，又a1∈Z，∴a1=﹣7，﹣6，﹣5．∴a n=2n﹣9，或2n﹣8，或2n﹣7．（3）（i）n≥2，当d n=0恒成立时，数列{d n}的前n 项和为=0，c n=a n，∵数列{a n}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{c n}也是等差数列．（ii）∵当n≥2时，d n ==．∵存在数列{c n}使得是等比数列，∴=k为常数，∴（s为非0常数），∴d n =t．∵n≥2，存在正常数M ，使＜|d n|＜M恒成立，∴n≥2，存在正常数M ，使＜||＜M恒成立，∴存在常数p使得c n=pa n，而数列{a n}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{c n}也是等差数列．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
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江苏省金坛一中2016届高三上学期期中考试数学试卷（带解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．若集合2{|lg(2)}A x y x x ==-，{}|2,0x B y y x ==>，则集合A B =I ． 【答案】(1,2) 【解析】试题分析：22{|lg(2)}{|20}(0,2)A x y x x x x x ==-=->=，{}|2,0(1,)x B y y x ==>=+?，则A B =I (1,2)考点：集合运算2．cos2cos 0,sin 2sin ________.θθθθ+=+若则的值等于 【答案】【解析】略3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤ 【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤考点：命题真假4．直线kx -y +1-3k =0,当k 变化时,所有直线恒过定点_____________. 【答案】 (3,1)【解析】直线可以为y -1=k (x -3),∴过定点(3,1).5．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+,当直线被椭圆截得的弦最长时的直线方程为____________.【答案】y x = 【解析】略6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()sin 2sin()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0x π-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．考点：三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a = 【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==考点：导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】 试题分析：由题意得：1(|lg |)1|l g111010xxx x f f x x <⇒<⇒><-⇒（））或或考点：函数奇偶性及单调性9．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅= ，则tan tan AB= .【答案】73【解析】 试题分析：22()||5CA CB AB AB +⋅=⇒22||5CA AB CB AB AB ⋅+⋅=⇒22cos cos 5bc A ac B c -+=5cos 5cos 2a B b A c⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin A B B A C⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin()A B B A A B ⇒-=+5sin cos 5sin cos 2sin cos 2cos sin A B B A A B A B ⇒-=+⇒3sin cos 7sin cos A B B A =sin cos 7sin cos 3A B B A ⇒=tan 7tan 3A B ⇒=.考点：平面向量的数量积、正弦定理.10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________． 【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅== 考点：向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a =-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________． 【答案】0 2.a <≤ 【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1),()f a f a f a a ≤≥-≤，即212,2,a a a a a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 考点：二次函数最值 12．椭圆M ：的左，右焦点分别为，P 为椭圆M 上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 【答案】【解析】∵的最大值为，∴由题意知，∴， ∴，∴椭圆离心率e 的取值范围是．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.x x x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 考点：函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________． 【答案】22k -≤≤ 【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即222k≤⇒-≤≤考点：直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．二、推断题三、解答题15．（本小题满分为14分）已知函数()2cos()(05)63f x x xππ=+≤≤，点BA,分别是函数)(xfy=图象上的最高点和最低点．（1）求点BA,的坐标以及⋅的值；（2）设点BA,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．【答案】（1）)2,4(),1,0(-BA，2-=⋅→→OBOA；（2）1027.【解析】试题分析：（1）首先由50≤≤x可知21)36cos(1≤+≤-ππx，即函数)(xfy=的最高点和最低点的纵坐标分别为1,21-，于是可分别求出其对应的自变量x的取值范围，进而求出点BA,的坐标，最后运用向量数量积的坐标运算即可求出OBOA⋅的值；（2）直接根据三角函数的定义可得55sin,2-==βπα，然后运用倍角公式分别求出β2sin和β2cos，最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果.试题解析：（1）因为50≤≤x，所以67363ππππ≤+≤x，所以21)36cos(1≤+≤-ππx，当336πππ=+x，即0=x时，)(xf取得最大值1；当πππ=+36x，即4=x时，)(xf取得最大值-2，因此，所求的坐标为)2,4(),1,0(-BA，则)2,4(),1,0(-==→→OBOA，所以2-=⋅→→OB OA ;因为点)2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，则55sin ,2-==βπα， 552cos =β，则54552)552(2c o s s i n 22s i n -=⨯-⨯==βββ，531)552(21cos 22cos 22=--⨯=-=ββ，所以)22sin(βα-1027)5453(22)24sin(=+⨯=-=βπ. 考点：1.余弦函数的图像及其性质；2.向量数量积的坐标运算；3.倍角公式；4.两角和差的正弦公式；16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）【解析】试题分析：（1）在A D C △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而 7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：AD B ABABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以5cos75BA DA ⋅=⨯=． 考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+= 试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥． 因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 考点：直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式． （2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2)0,2(-F ．（Ⅰ）求出椭圆C 的方程；（Ⅱ） 若直线y x m =+与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【答案】（1）14822=+y x （2）222()()1335m m m ∴-+==±，即 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，c a =，2c = , 解得：⎩⎨⎧==222b a所以椭圆C 的方程为：14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，线段AB 的中点为M ),(00y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822，消去y 得0824322=-++m mx x3232,08962<<-∴>-=∆m m3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴ 点 M ),(00y x 在圆122=+y x 上，222()()133m m m ∴-+==，即 考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及椭圆性质的综合运用，属于中档题。