根的分布
必修一第三章根的分布
一元二次方程根的分布结论：设二次函数()f x 在区间(,)()m n m n <上递增（或递减），且()()f m f n 与异号，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。
（如图1）例1：设20x x m -+=在区间(1,3)-有两个不等实数根，求m的范围？解：令2()f x x x m =-+因为()f x 在1(1,)2-递减，在1(,3)2递增。
则(1)011()0224(3)0f f m f ->⎧⎪⎪<⇒-<<⎨⎪>⎪⎩ 点评：设2()(0)f x ax bx c a =++>，两个不等2均在区间(,)m n 内，由例1知：①()0,()0f m f n >> ②对称轴2b x a=-在区间(,)m n 内 ③224()040024b ac b f b ac a a--=<⇒->⇒∆> 对0a <情形，类似解决。
练习：若关于x 的方程210x ax -+=两个不等根均在(0,4)内，则a 的范围： 1724a << 推论：：设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠中()()f m f n 与异号()m n <，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。
（如图2）例2：若关于x 的方程20x x a -+=两实根分别在在(2,0),(0,3)-内，则a 的范围？解：(2)0(0)060(3)0f f m f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩练习：若关于x 的方程20x x a -+=两实根满足：122x x <<则a 的范围： 2a <-例3：设关于x 的方程2430ax ax -+=的两个不等实数根都在区间(1,)-+∞，求a 范围？ 解：当0a >时，由草图知03(1)0421f a x ∆>⎧⎪->⇒>⎨⎪=>-⎩当0a <时，由草图知03(1)0521f a x ∆>⎧⎪-<⇒<-⎨⎪=>-⎩综上所述：3354a a <->或 例4：设关于x 的方程2230x ax a --=在(0,3)有唯一实数根，求a 范围？解：设2()23f x x ax a =--（1）若0∆=，即03a a ==-或当0a =时，两根120(0,3)x x ==∉当3a =-时，两根123(0,3)x x ==∉（2）若0∆>，即03a a ><-或①001(0)(3)0a f f ∆>⎧⇒<<⎨<⎩ ②0(0)0(3)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解 ③0(3)0(0)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解综上所述：01a <<二：综合运用1、若方程20x x m -+=在实数R 上有解，则m 的范围14m < 2、若方程20x x m -+=在区间(1,3)-上有两个不等解，则m 的范围1(2,)4- 3、关于x 的方程220x x m -+=在(0,)+∞有两个不等的实根，求m 的范围？4、关于x 的方程20x x a -+=的两实根满足120,14x x <<<，则a 的范围：5、关于x 的方程222320kx x k ---=的两个根12,x x 满足121x x <<,求实数k 的范围? 04k k ><-或6、 求实数k 的范围, 关于x 的二次方程227(3)20x k x k k -++--=有两个实根,他们分别在区间(0,1)和(1,2)内.21k k ><-或7、 若关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a -+=≠有一正根和一负根，则a 的范围 0a <8、已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围? 1m ≤9．已知{}2(/(2)10,A x x p x p R =+++=∈若A R -⋂=∅，则p 的范围0p < 10、关于x 的一元二次方程20x x a -+=在(2,2)-内至少有一个实根，则a 的范围？164a -<≤三：函数与方程1．已知函数2()2(2)f x x p x p =+-+，若在]0,1⎡⎣内至少存在一个实数c ，使得()0f c >，则p 的范围是CA (1,4)B (1,)+∞C (0,)+∞D (0,1)法一，若1p =检验法二，反面使得]0,1c ⎡∈⎣，有()0f c ≤即(0)0(1)0f f ≤⎧⎨≤⎩2．若方程2(5)80x a x a -+++=在(1,)x ∈+∞上有解，求a 的范围 解：法1 由2(5)80x a x a -+++=得2581x x a x -+=- 设2584()1311x x f x x x x -+==-+---因为1,10x x >-> 故413311x x -+-≥=- 即()1f x ≥ 故1a ≥法2 设2()(5)8f x x a x a =-+++则51(1)020a f +⎧>⎪<⎨⎪∆≥⎩或 则1a ≥ 点评：()a f x =在A 内有解，a 的范围为()f x 在A 上的值域。
人教版高中数学2019-2020 必修一 第三章 根的分布(共11张PPT)
1x
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1
f (1) 2m 2 0
m m 9
根的分布：
方 程x2 (m 3)x m 0满 足 下 列 条 件 ， 求m的 取值范围。
(1)有 两 个 正 根 ；
(2)有 两 个 负 根 ；
k1
b 2a
k2
f
(k1
)
0
f (k2 ) 0
k 1 k2
f(k1 )f(k2 )<0
m np q
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
y
kx
k
小
结
0
0
b 2a
k
b 2a
k
f (k ) 0 f (k ) 0
k
f (k) 0
根的分布：
两个根都在（k1.k2)内
y
两个根有且仅有
一个在（k1 .k 2)内
x 1∈(m,n) x 2∈(p,q)
k1
小
k2 x
结
0
(3)两 根 都 小 于1；
(4)两根都大于1 ; 2
m
5 6
m
1
1
x
2
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1 2
f
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况 两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象结论()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况 两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象结 论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩k kk函数与方程思想：（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
根的分布+简单逻辑
的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 例3：在边长为 的正方形 ：在边长为a的正方形 中 、 边上各有一 个动点Q、 ， 个动点 、R，且|BQ|=|CR|，试求直线 与DQ的 ，试求直线AR与 的 交点P的轨迹方程 的轨迹方程． 交点 的轨迹方程．
解：
交轨法 在直角坐标系内，已知矩形OABC的边长 的边长OA=a，OC=b，若D在 在直角坐标系内，已知矩形 的边长 ， ， 在 AO的延长线上，|DO|=a，设M、N分别是 、BC边上的动点，使 的延长线上， 分别是OC、 边上的动点 边上的动点， 的延长线上 ， 、 分别是 OM：MC=BN：NC≠0，求直线 交点P的轨迹方程 ： ： ，求直线OM与AN交点 的轨迹方程． 与 交点 的轨迹方程． 解：
是实数， 例1：“已知 ： 已知a,b,c,d是实数，若a>c,b>d,则a+b>c+d”, 是实数 则 写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题， 写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题， 并分别判断它们的真假
12．设集合“ u = {( x , y ) | x ∈ R , y ∈ R } , ．设集合“ A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0}， ≤ ， 的充要条件是( ) 那么点 P(2,3) ∈ A ∩ (CU B) 的充要条件是 A m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5
同类变式
已知△ 已知△ABC，A(一2，0)，B(0，一2)，第三个顶点 在 ， 一 ， ， ， ，第三个顶点c在 曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程 曲线 上移动， 的重心的轨迹方程 上移动
根的分布
一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。
由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。
由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
高一根的分布初步知识点
高一根的分布初步知识点随着社会的发展和科技的进步，人们对数据的处理和分析需求日益增长。
根的分布作为数学中重要的一个概念和工具，被广泛运用于各个领域。
在高一阶段，我们首次接触到了根的分布的相关知识点。
本文将围绕此主题展开讨论。
1. 根的概念及性质首先，我们需要明确根的概念。
在数学中，根是指方程的解，即满足特定条件的数值。
比如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可以用公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a 来表示。
根的性质也是我们应当了解的内容。
根的个数与方程的次数相关，一元一次方程有且仅有一个根，一元二次方程有两个根（可能重合），而一元三次方程及更高次方程的根的个数则不确定。
根是方程图象与x轴的交点，它们的坐标也可以通过根的求解求得。
2. 根的判别式在求解一元二次方程的根时，我们需要引入根的判别式。
根的判别式是一个关于系数的代数式，用来判断方程的根的性质。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的判别式Δ=b^2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根，但可能有复数根。
根的判别式的含义十分重要，它不仅决定了方程解的存在性，也反映了方程图象与x轴的关系。
3. 根的分布与图象通过前面的学习，我们已经知道根是一元方程的解，而方程图象则是描述方程与坐标系的交点关系。
根的分布与方程图象之间存在密切的联系。
对于一元一次方程，其图象是一条直线。
由于只有一个根，因此方程的图象与x轴只有一个交点。
而一元二次方程的图象则是一条抛物线，根的个数可能为0、1或2，与抛物线与x轴的交点数相对应。
特别地，在一元二次方程的图象中，根的分布还与判别式Δ有关。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，说明抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根，说明抛物线与x 轴有一个重合的交点；当Δ<0时，方程没有实根，说明抛物线与x轴没有交点。
三角函数根的分布问题
三角函数根的分布问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数在数学中是非常重要的一部分，它涉及到了角度和三角形的关系，同时也在各个领域中有着广泛的应用。
在三角函数中，我们经常会遇到根的问题，即在什么条件下，三角函数的值会等于零。
这个问题往往涉及到了角度的范围、周期性以及三角函数的性质等方面，对于理解三角函数的性质和应用至关重要。
三角函数根的分布问题，即研究三角函数在某一区间内根的位置和数量。
这个问题涉及到了三角函数的周期性和性质，因此在解决这个问题时，我们需要充分了解三角函数的周期性和特点。
在本文中，我们将深入探讨三角函数根的分布问题，包括不同类型三角函数的根的分布规律，以及如何通过图像和计算来确定根的位置和数量。
首先，我们需要了解三角函数的基本性质。
在数学中，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在不同的区间内都具有周期性，即它们的函数值在一定区间内会重复出现。
例如，正弦函数的周期是2π，余弦函数的周期也是2π，而正切函数的周期是π。
这个周期性是三角函数根的分布问题的关键，因为根的位置和数量都受到周期性的影响。
正弦函数和余弦函数是最常见的三角函数，它们在数学中起到了非常重要的作用。
正弦函数的图像是一条波浪线，它在[0, 2π]区间内有无数个根，即正弦函数在这个区间内有无数个解。
余弦函数的图像也是一条波浪线，它和正弦函数的图像有些许不同，但在[0, 2π]区间内同样有无数个根。
这说明正弦函数和余弦函数在一个周期内有无限个根。
在实际计算中，我们往往需要确定三角函数在某一区间内的根的位置和数量，这时我们可以通过图像来判断。
以正弦函数为例，我们可以画出正弦函数在一个周期内的图像，然后找出所有的根的位置。
通过观察图像，我们可以大致确定根的大致位置和数量。
除了通过图像外，我们还可以通过计算来确定三角函数的根。
以正弦函数为例，我们知道正弦函数的周期是2π，即正弦函数在[0, 2π]区间内有一个周期。
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0 ( x1 2) ( x2 2) 0 ( x 2)(x 2) 0 2 1
7 m 5 4 3
分布情况
a 0） 大致图象（
两根都大于 k
结论
0 b k 2a f (k ) 0
分布情况
大致图象（a 0 ）
mn pq
结论
f m f n 0 f p f q 0
练习题2：就实数k的取值，讨论下列关于x的方程 解的情况： x2 2 x 3 k
解： 将方程视为两曲线 y x 2 x 3与y k 相交，
2
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
2、韦达定理 若一元二次方程的两根为 x1, x2，则
0 b x1 x2 a x1 x2 c a
2 4 x 2(m 1) x (2m 3) 0(m R) 例1、已知方程
练习题：m为何实数值时，关于x的方程 x mx (3 m) 0 有两个大于1的根. 2 转变为函数，借 法一：设 f ( x) x mx (3 m) 由已知得：
2
f(x)
x1
0
1
x2
x
m 2 4(m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
转化为韦达定理的 不等式组
助于图像，解不 等式组
法二：
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
两根都在 m, n内
结论
0 f (m) 0 f (n) 0 b m n 2a
分布情况
大致图象（a 0）
两根有且仅有一根 在 m, n 内 （图象有两种情况， 只画了一种）
结论
f m f n 0
分布情况 一根在m, n内， , q 另一根在 p内，
2 x 练习题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
=m 2 4(3 m) 0 法三： m m 2 4m 12 1 x1 2 m m 2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
m的取值范围。
2 解：设 f ( x) x (m 1) x 4与 x轴有两个不同 的交点 x1 ,0和x2 ,0
0 f ( 0) 0 f (3) 0 ( m 1) 0 3 2
10 3 m 3
分布情况
大致图象（a 0）
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
有两个负数根，求实数 m 的取值范围。
解：由题意得
0 x1 x2 0 x x 0 1 2
m 11
2 ax bx c 0(a 0) 归纳结论：设实系数一元二次方程 的两根为 x1 , x2，由韦达定理知：
两根都是正数
0 x1 x2 0 xx 0 1 2
一元二次方程根的分布
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
两根都是负数 两根一正一负
0 x1 x2 0 xx 0 1 2
x1x2 0
分布情况
大致图象（a 0）
两个负根
结论
0 b 0 2a f ( 0) 0
分布情况
大致图象（a 0）
两个正根
结论
0 b 0 2a f ( 0) 0
大致图象（a 0）
两根都小于 k
结论
0 b k 2a f (k 一个根大于 ， k 另一个根小于 k
结论
f k 0
例3、已知方程
x (m 1) x 4 0
2
的两根都落在 0,3 ,求实数
m 6或m 2 m6 解不等式组，得 m 2 m 2 4m 12 m 2 4m 4
思考题：
1.已知方程 : 4 ( k 1) 2 k 2 0有
x x
一个正根和一个负根 ， 求 k的范围 。
分布情况
大致图象（a 0）
一个正根， 一个负根
结论
f 0 0
2 4 x 2(m 1) x (2m 6) 0(m R) 例2、若方程 的两根都大于2，求实数 m 的取值范围。
解法一：
解法二：
0 f ( 2) 0 2(m 1) 2 8