离散傅里叶变换
离散数学中的离散变换和傅里叶变换
离散数学是数学中的一个分支，其研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
离散数学在计算机科学、电子工程和通信工程等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，离散变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
离散变换是一种将离散的数据序列转化为另一种形式的方法。
在离散数学中，我们常常需要对一组数进行处理和分析，离散变换可以帮助我们更好地理解和处理这些数。
离散变换的一个重要应用是图像处理。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行分析和处理，离散变换可以将图像的像素转化为频域上的表示，从而更好地理解图像的特征和结构。
在离散变换中，傅里叶变换是一种重要的变换方法。
傅里叶变换是将一个连续函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
在离散数学中，我们常常需要对离散的数据进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用。
离散傅里叶变换有很多重要的性质和定理。
其中一个重要的定理是离散傅里叶变换的逆变换定理。
根据逆变换定理，离散傅里叶变换的逆变换可以表示为原始离散序列的线性组合。
这个定理在恢复原始信号时是非常有用的。
除了离散傅里叶变换，还有许多其他的离散变换方法。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种将离散序列转化为频域上的表示的方法。
离散余弦变换在图像和视频压缩中有着广泛的应用。
另外，离散小波变换（DWT）是一种将离散序列转化为时域上的多尺度表示的方法。
离散小波变换在图像和信号处理中也有着广泛的应用。
总的来说，离散变换和傅里叶变换是离散数学中重要的概念和方法。
离散变换可以帮助我们更好地理解和处理离散数据，傅里叶变换则可以将离散序列转化为频域上的表示。
离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有着广泛的应用，而离散余弦变换和离散小波变换则在图像和视频处理中起着重要的作用。
离散数学中的离散变换和傅里叶变换是我们在处理和分析离散数据时常用的工具。
通过学习离散变换和傅里叶变换，我们可以更好地理解和处理数据，同时也可以为实际应用提供有力支持。
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本
的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此： X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性 观察 DFT[R4(n)]4= 4δ(k)。 根据DFT第二种物理解释可知，DFT[R4(n)]4 表示 R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因 为R4 ((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率 成分），所以， DFT[R4(n)]4 = 4δ(k) 。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
|X(ejω)| (a)R4(n)的幅频特性图
4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
|X(k)|
(b)4点DFT的幅频特性图
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
|X(k)|
ω/π
ω/π
图3.1.3 例3.1.2程序运行结果
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.2
3.2.1 线性性质
若x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度为N1、N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
a、b为常数，取N=max[N1, N2]，则 y(n) 的 N 点DFT为
Y(k) = DFT[y(n)]N = aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1 其中 X1(k) 和 X2(k) 分别为 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT
x(n) x((n)) N
（3）最后取 x(n m) 的主值序列 x((n+m)) NRN(n) 得到有限长序列 x(n) 的循环移位序列 y(n)。
离散傅里叶变换
c) 频域循环移位定理 若
则
21
3.2.3 循环卷积定理
长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT
分别为： （ N=max［ N1, N2 ］）。
X1(k)=DFT［x1(n)]
X2(k)=DFT［x2(n)］ 如果 则 X(k)=X1(k)· X2(k)
x n IDFT X k x1 m x2 n m N RN n
10
定义： 的主值区间：周期序列 中从n=0到N-1的范围 的主值序列：主值区间上的序列 为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
x n N 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。
11
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x 7 x 7 7 x 0 x 8 x 8 7 x 1
类似
Note：对实序列有 X k X N k
DFT x N n X k , 0 k N 1
28
3.2.5 DFT的共轭对称性
1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
分别用xep(n)和xop(n) 表示有限长共轭对称序列和共轭反对称
由此对长度为N的序列x(n)，且 x n x n N ，则
X k x n W
n 0 N 1 kn N
的DFS为
x n N W
n 0
N 1
kn N
kn x n WN n 0
N 1
1 N 1 1 N 1 kn kn x n X k WN X k WN N n 0 N n 0
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换对离散时间傅里叶变换对序言在信号处理中，傅里叶变换、傅里叶级数等都是不可或缺的基本概念。
而在数字信号处理中，离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）也是一个重要概念。
本文将会介绍离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。
正文一、离散时间傅里叶变换的定义离散时间傅里叶变换是定义在有限时间序列上的傅里叶变换，通俗的说就是对一个离散的时间序列进行傅里叶变换。
在时间域中，序列与函数十分相似，因此离散时间傅里叶变换也可以看作是傅里叶变换的离散形式。
二、离散时间傅里叶变换对的定义离散时间傅里叶变换对通常用来描述信号在不同虚拟频率下的频率响应。
设序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换为X(ω)。
序列 h(n) 的离散时间傅里叶变换为H(ω)。
则它们的离散时间傅里叶变换对为：Y(ω) = X(ω) × H(ω)其中，ω 是频率，Y(ω) 是序列 hx(n) 的离散时间傅里叶变换，也就是信号的频率响应。
离散时间傅里叶变换对也被称为卷积定理，因为在频域中，序列与函数之间的乘积就相当于卷积。
三、离散时间傅里叶变换在信号处理中的应用1.信号滤波离散时间傅里叶变换对可以用于对信号进行滤波。
将信号在频域上与一个滤波器的频率响应进行相乘，再进行逆傅里叶变换，就可以得到滤波后的信号。
在数字图像处理、语音识别等应用中，信号滤波是一个十分重要的环节。
2.降噪离散时间傅里叶变换对也可以用于降噪。
通过对干扰信号与被测信号进行相除，就可以在频域上将干扰信号滤除。
在机器学习领域，降噪是一个十分重要的预处理步骤，它可以提高模型的准确性。
3.谱分析因为离散时间傅里叶变换可以将序列从时间域转换到频域，所以它也可以用于信号的谱分析。
例如，对于语音信号的谱分析，可以通过离散时间傅里叶变换将语音信号的频率信息解析出来。
四、总结本文介绍了离散时间傅里叶变换对及其在信号处理中的应用。
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第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§3-1 引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。
傅氏变换§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一. 连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换对称性：时域信号 频域信号 连续的 非周期的非周期的 连续的⎰∞∞-Ω-=Ωdte t x j X t j )()(:⎰∞∞-ΩΩΩ=d ej X t x tj )(21)(:π反时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数tpT 0=Ω⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(:p p T T tjk pdtet x T jk X 正*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换时域信号 频域信号 连续的 周期的非周期的 离散的∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(:0反0 T 2Tt∑∞-∞=Ω-Ω=n Tjn Tj enT x eX )()(:正⎰ΩΩ-ΩΩΩΩ=2/2/)(1)(:s s d eeX nT x Tjn Tj s反TT s π2,*=Ω频域的周期为时域抽样间隔为四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号 频域信号 离散的 非周期的周期的连续的t0 T 2T 1 2 Nn)1()1(0-Ω-N NDFT 的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：时域信号 频域信号 离散的 周期的周期的 离散的.2,;2*0TT T T s p p ππ=Ω=Ω频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为002/2/:1~0,2:1~0:)(1)()()(Ω=∆Ω=ΩΩ-=⋅=Ω=ΩΩ-ΩΩ==⎰∑ΩΩ-ΩΩ∞-∞=Ω-Ωd d N k F k k N n d e e X nT x e nT x e X s s T jn T j sn Tjn T j π从∑∑∑∑-=-=--=ΩΩ-=Ω-Ω===Ω⋅Ω=⋅=ΩΩΩ==122102200110)(1)()()(222)()()()(0000N k nk Nj k N jN n nk Nj k N j s p N k Tjnk T jk sN n T jnk T jk e eX NnT x enT x eX N T T T e e X nT x e nT x e X πππππππ因此又视作n 的函数，视作k 的函数，这样,§ 3-3 周期序列的DFS一.周期序列DFS 的引入导出周期序列DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：∑∑-=-=-==10212)(1)()()(N k nk NjN n nk Njek X Nn x en x k X ππ)()(2k N jeX nT x π)()()()(2k X e X n x nT x k N j →→π∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e k X t x 0)(~)(~0对上式进行抽样，得：，代入又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
∑∑∞-∞=∞-∞=ΩΩ=Ω=k nk Nj k nTjk ek X e k X nT x π200)(~)(~)(~0NT π20=Ωkn Njrn j nk Njn rN k Njee eeππππ222)(2=⋅=+()()∑-=Ω=120~~N k nk Njek X nT x π∑-==Ω120)(~)(~)(~~)(~)(~~)(~N k nk Njek X n x k X k X n x nT x π则有，；，考虑到：二. 的k 次谐波系数 的求法1.预备知识同样，当 时，p 也为任意整数，则亦即 )(~n x )(~k X ⎩⎨⎧==∑-=r m mN r N e N n rn N j ，其他为任意整数0,,102π)(11122)1(2222102时mN r N e e e e e e r N j N r N j N r N j r N j r N j N n rn N j ==--=++++=⋅-⋅⋅-=∑ππππππ pN r k =-])[()0(10)(2pN r k N N N e N n n r k N j --===∑-=-δδπ[][])()()(110)(2pN r k pN r k pN r k eN N n n r k N j +-=--=--=∑-=-δδδπ所以2. 的表达式将式 的两端乘，然后从 n=0到N-1求和，则：[])(~)(~)()(~10r X pN r X pN r k k X N k =+=+-∑-=δ)(~k X ∑-==102)(~)(~N k nk N j e k X n x πnr N j eπ2-∑-=-102)(~N n nr N j e n x π∑∑-=-=-=1010)(2)(~N n N k n r k N j e k X π[])(~)(~)()(~)(~)(~)(~101010)(21010)(2102r X N pN r X N pn r k N k X e k X e k X e n x N k N k N n n r k N j N n N k n r k N j N n nr N j =+=+-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=--=-δπππ∑-=-=102)(~1)(~,N n nr N j e n x N r X π因此∑-=-=102)(~1)(~N n kn Nj e n x N k X k r π则有换成将通常将定标因子1/N 移到 表示式中。
即：)(~n x ∑∑-=-=-==102102)(~1)(~)(~)(~N k kn N jN n kn N j e k X N n x e n x k X ππ3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则：正变换：反变换：4. 的周期性与用Z 变换的求法周期性： Nj N e W π2-=[]∑∑-=-=-===10102)(~)(~)(~)(~N n nk N N n nk N j W n x e n x n x DFS k X π[]∑∑-=--====10102)(~1)(~1)(~)(~N k nk NN k nk N j W k X N e k X N k X IDFS n x π)(~)(~)(~12210)(2e e n x e n x mN k X N mn j kn N j N n n mN k N j ⋅==+∑∑----=+-πππ)(~k X用Z 变换的求 ：对 作Z 变换，∑∑-=-∞-∞=-==10)()()(N n nn n Z n x Z n x Z X个不同值。
只有这就是说，N k X )(~)(~k X )(n x如果 ，则有可见， 是Z 变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N 个等分点上，且第一个抽样点为k =0。
[]Z j Im []Zk N j e Z π2=)(~)()(1022k X e n x eX N n kn N j k N j ==∑-=-ππ)(~k X )(Z X§ 3-4 DFS 的性质一.线性如果则有其中，a,b 为任意常数。
二.序列的移位如果则有：[][])(~)(~)(~)(~2211n x DFS k X n x DFS k X ==[])(~)(~)(~)(~2121k X b k X a n x b n x a DFS +=+[])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~)(~2k X e k X W m n x DFS mk N j mk N π==+-证明：令i =m +n,则 n =i -m 。
n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m所以* 和 都是以N 为周期的周期函数。
三.调制特性如果则有证明： ∑-=+=+10)(~)](~[N n nk N W m n x m n x DFS mk N m N m i ik N W W i x m n x DFS -+-=⋅=+∑1)(~)](~[)(~)(~10k x W W i x W mk N N i ik N mk N --=-==∑)(~i x ik N W [])(~)(~k X n x DFS =[])(~)(~m k X n x W DFS mn N +=)(~)](~[1)(10W n x W n x W DFS N n m k kn N N n mn N mn N =∑-+-=时域乘以虚指数( )的m 次幂，频域搬移m ,调制特性。
四.周期卷积和1.如果则：2.两个周期序列的周期卷积过程 m n N j nm N j mn N j mn N e e e W )(222πππ---===n Nj e π2-)(~)(~)(~21k X k X k Y =∑∑-=-=-=-==10101221)(~)(~)(~)(~)](~[)(~N m N m m n x m x m n x m x k Y IDFS n y（1）画出 和 的图形；（2）将 翻摺,得到可计算出：m)(~1m x )(~2m x )(~2m x )0(~)(~22m x m x -=-1102011010101)0(~)(~)0(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y 计算区（3）将 右移一位、得到可计算出：mm )1(~2m x -)(~2m x -1010********)1()(~)1(~521⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y )(~2m x -)2(~2m x -（4）将 再右移一位、得到 ，可计算出：（5）以此类推，)(~n y n 13 4 4 3100001011121)2()(~)2(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y 4000001112111)3(~)(~)3(~521=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=∑=m m x m x y ,4)4(~=y 同样，可计算出：3)5(~=y3.频域卷积定理如果 ，则§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式)(~)(~)(~21n x n x n y =[]∑∑∑-=-=-=-=-===11210211)(~)(~1)(~)(~1)(~)(~)(~N l N l N n nk Nl k X l X Nl k X l X N W n y n y DFS k Y mN n n +=1101-≤≤N n如果 ，m 为整数；则有：此运算符表示n 被N 除，商为m ，余数为 。