四边形性质总结
四边形性质
四边形性质定义：平行四边形：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．矩形：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．正方形：有一组邻边相等的矩形叫做正方形梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．1、多边形的内外角和与外角和n边形内角和等于（n－2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°．2、中心对称图形（1）如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。
（2）图形上对称点的连线被对称中心平分；O EDC BA练习：1．在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是( ）A ．1：2：3：B ．1：2：2：1C ．1：1：2：2D ．2：1：2：12．□ABCD 的周长为36 cm ，AB =75BC ，则较长边的长为( ) A ．15 cm B ．7.5 cm C ．21 cm D ．10.5 cm 3．以不在一条直线上的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 4．菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm 5．菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（ ）A. 4 cmB.3 cmC.2 cmD.32 cm6．四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ）A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定7．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.135° 8．菱形、矩形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它们的对称中心只有一个，而对称轴的个数依次是（ ）A ．1，1，1B ．2，2，2C ．2，2，4D ．4，2，49．四边形ABCD 中，AD =BC ，BD 为对角线，∠ADB =∠CBD ，则AB 与CD 的关系是_______ 10．在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______．11．若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于_______cm,它的面积等于______ cm 2.12．E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么∠DCE= ； 13．已正方形的边和长为a ，则对角线长为 ；若已知正方形的一条对角线是b ，则边长为 ； 14．已知矩形的周长为72cm,一边中点与对边的两个端点连线的夹角为直角,则此矩形的长边长为________ cm,短边长为___________ cm.15．矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC 分别交于E,F,则四边形AFCE 是____________. 16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 17．已知六边形ABCDEF 是中心对称图形，AB =1，BC =2，CD =3，那么EF =_______． 18．若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是_____________.19．如果一个多边形的每个内角都相等,且每个内角是它邻补角的一半,则它的边数是_____. 20．每个内角都比外角大36°的多边形是___________边形.21．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，若AD =2，BC =8，BD =6，求：（1）对角线AC 的长；（2）梯形ABCD 的面积.22．如图4.4-3,在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E,∠DAE:∠EAB=3:1,求∠EAC 的度数.23．如图，已知□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且EF 垂直平分对角线AC ，垂足为O ，求证：四边形AECF 是菱形。
四边形的性质
一.平行四边形性质①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的对边相等”)②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的对角相等”)③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补(简述为“平行四边形的邻角互补”)④夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑤如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”)判定①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
(简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”)②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
(简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”)③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
(简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”)④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
(简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”)⑤如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
(简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）面积平行四边形的面积公式：底×高用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S=ah二.矩形性质①四个角都是直角②矩形的对角线相等. 注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .面积矩形面积：长×宽S=ab (注:a为长，b为宽，S为矩形面积)三.菱形性质①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形面积①对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；②菱形面积=底×高用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示菱形面积，则S=ah③设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx四.正方形性质①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①有一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形面积①正方形面积=边长的平方S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）②对角线乘积的一半五.梯形定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形等腰梯形的性质①腰梯形两腰相等、两底平行；②腰梯形在同一底上的两个角相等；③腰梯形的对角线相等；④腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.等腰梯形的判定①腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③线相等的梯形是等腰梯形.面积梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2六.圆内接四边形性质①内接四边形的对角互补②内接四边形的任意一个外角等于它的内对角判定如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个园上。
四边形的性质
四边形的性质四边形是平面几何中常见的图形，它具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨四边形的定义、分类以及与其他几何图形的关系。
一、四边形的定义与分类四边形是由四条线段所组成的几何图形。
根据四边形的边长和角度的关系，我们可以将其分为以下几类：1. 平行四边形：两对对边分别相互平行的四边形。
它具有以下性质：（1）对边相等：平行四边形的对边长度相等。
（2）对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。
（3）对角线长度关系：平行四边形的对角线长度之间存在关系。
2. 矩形：具有相等的对边长度以及四个直角的平行四边形。
它具有以下性质：（1）边长和角度关系：矩形的边长相等，每个内角为90度。
（2）对角线相等：矩形的对角线长度相等。
（3）对角线垂直：矩形的对角线相互垂直。
3. 菱形：具有相等的对边长度的平行四边形。
它具有以下性质：（1）边长关系：菱形的对边长度相等。
（2）对角线垂直：菱形的对角线相互垂直，且每条对角线平分对角。
（3）对角线长度关系：菱形的对角线长度之间存在关系。
4. 平行四边形的特殊情况：（1）正方形：具有相等的对边长度以及四个直角的矩形。
（2）长方形：具有相等对边长度但不一定为直角的矩形。
二、四边形与其他几何图形的关系1. 与三角形的关系：（1）三角形是四边形的一种特殊情况，当其中两个顶点重合时，四边形退化为三角形。
（2）四边形的内部可以包含一个三角形，通过连接四边形的某两个顶点和其中一个内角的中心。
（3）四边形的对角线可以与其它边构成三角形。
2. 与正五边形的关系：正五边形是一个具有五条相等边和五个相等角的多边形。
其外接圆可以构成一个包含五个顶点的正方形。
3. 与圆的关系：（1）四边形的对角线可以与圆的半径构成一个弦。
（2）四边形的外接圆存在，当且仅当其对角线互相垂直。
三、总结四边形是平面几何中重要的图形，具有丰富的性质和特点。
根据边长和角度的不同关系，我们可以将其分为不同的种类，并且四边形与其他几何图形之间存在一些特殊的关系。
四边形的特性与性质
四边形的特性与性质四边形是平面几何中常见的图形，其具有一些独特的特性和性质。
本文将介绍四边形的定义、分类以及其特殊的性质和性质证明。
一、四边形的定义和分类四边形是由四条线段组成的平面图形，这四条线段相交于四个顶点，且相邻的线段连接形成四个内角。
根据四边形的性质和边的长度关系，可以将四边形分为以下几种类型：1. 正方形：四条边相等且四个内角均为直角的四边形。
2. 长方形：四个内角均为直角，但边的长度两两不相等的四边形。
3. 平行四边形：对边平行的四边形。
4. 矩形：四个内角均为直角，且对边相等的四边形。
5. 菱形：边的长度两两相等的四边形。
6. 梯形：具有一对平行边的四边形。
7. 不规则四边形：不符合以上任何一种类型的四边形。
二、四边形的特性和性质1. 内角和：四边形的内角和等于360度。
2. 对角线：四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。
正方形、长方形和菱形的对角线相等。
3. 相邻内角补角关系：四边形相邻的内角互为补角，即相邻内角的和等于180度。
4. 邻边相等：在平行四边形和矩形中，邻边两两相等。
5. 垂直对角线：在正方形和菱形中，对角线互相垂直。
6. 中点连线：在平行四边形和矩形中，连接两个相对顶点的中点形成的线段平分对角线。
7. 对角线平分：在梯形和不规则四边形中，对角线能够平分对角线所在的角。
三、性质证明1. 四边形内角和为360度的证明：通过将四边形分割为两个三角形，可以证明其中每个三角形的内角和为180度。
因此两个三角形的内角和之和为360度，证明四边形内角和为360度。
2. 正方形对角线相等的证明：根据正方形的定义，四个内角均为直角。
连接相对顶点形成的对角线等于两个相邻边的长度之和。
又因为正方形的边长相等，所以对角线相等。
3. 正方形对角线互相垂直的证明：由于正方形的内角均为直角，所以可以得出其中一个三角形的两个直角边相互垂直。
由对角线互相平分的性质，可得出两个直角边之间的连线也是垂直的，证明正方形的对角线互相垂直。
平面几何中的四边形性质及其分类
平面几何中的四边形性质及其分类四边形是平面几何中常见的多边形形状，具有许多独特的性质和分类。
本文将探讨四边形的性质及其分类，帮助读者更好地理解和应用平面几何中的四边形。
一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的多边形，其特点是有四条边、四个顶点和四个内角。
四边形的边可以是直线段，也可以是弧线段。
二、四边形的性质1. 内角和四边形的内角和等于360度。
即四个内角的度数之和为360度。
这是四边形性质中一个重要的基本原理。
2. 对角线四边形的对角线是连接四边形的非相邻顶点的线段。
四边形有两条对角线。
通过对角线，我们可以进一步研究四边形的性质。
3. 等边四边形若四边形的四条边长相等，则该四边形是等边四边形。
等边四边形的特点是四条边长相等，且四个内角的度数也相等，均为90度。
4. 等腰四边形若四边形的两对对边相等，则该四边形是等腰四边形。
等腰四边形的特点是两对对边的长度相等，且相对的内角也相等。
5. 直角四边形若四边形的一对对边为垂直线段，则该四边形是直角四边形。
直角四边形的特点是其中两个相邻内角为直角，即度数为90度。
6. 平行四边形若四边形的对边互相平行，则该四边形是平行四边形。
平行四边形的特点是其中两对对边互相平行。
7. 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，其特点是四个内角均为直角。
矩形的对边相等且平行，具有对角线对称性。
8. 菱形菱形也是一种特殊的平行四边形，其特点是四条边长相等且对角线互相垂直。
菱形具有对角线对称性，两条对角线相等且平分对角。
9. 平行四边形的应用平行四边形广泛应用于几何证明和计算中，如面积计算、直角判定等。
其性质的应用可以帮助我们解决许多几何问题。
三、四边形的分类根据四边形的不同性质和特点，我们可以将四边形分为不同的分类。
主要的分类有：1. 根据边长：等边四边形、等腰四边形、普通四边形。
2. 根据角度：直角四边形、钝角四边形、锐角四边形。
3. 根据对边关系：平行四边形、矩形、菱形。
这些分类有助于我们更好地理解和运用四边形的性质。
几种常见的特殊四边形的性质
一、几种常见的特殊四边形的性质平行四边形：①对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分；④是中心对称图形。
矩形：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线相等且平分；④既是轴对称图形、又是中心对称图形。
菱形：①对边平行、四条边都相等；②对角线相等、邻角互补；③对角线垂直且平分、平分一组对角；④既是轴对称图形、又是中心对称图形。
正方形：①对边平行、四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线互相垂直相等且平分；④既是轴对称图形、又是中心对称图形。
等腰梯形：①两底平行、两腰相等；②同一底边上的两个角相等；③对角线相等；④是轴对称图形。
二、几种常见的特殊四边形的判定：平行四边形：①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③两组对角分别相等的四边形；④对角线互相平分的四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形。
矩形：①有一个是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三角是直角的四边形。
菱形：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边相等的四边形。
正方形：①四条边相等、四个角相等的四边形；②有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形；③一组邻边相等的矩形；④有一个角是直角的菱形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形；⑥对角线互相垂直的矩形；⑦对角线相等的菱形；⑧对角线垂直平分且相等的四边形。
等腰梯形：①对角线相等的梯形；②同一底上两个角相等的梯形。
三、其它知识点：1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形中位线定理：平行且等于第三边的一半。
2. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线。
梯形中位线定理：平行于梯形的两底且等于上下底和的一半。
3. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
4. 线段的重心是中点；平行四边形的重心是对角线的交点。
5. 三角形的重心是三边中线的交点。
这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
四边形的性质
四边形的性质四边形是平面几何中特殊的图形，有着独特的性质和特点。
本文将探讨四边形的各种性质，包括角度、边长、对角线等方面，以便更好地理解和应用四边形。
1. 角度性质四边形的内角和等于360度。
任意四边形的四个内角之和为360度，这是四边形性质中最基本的一个规律。
而具体的角度大小则与四边形的种类有关。
2. 边长性质四边形的边长可以是相等的，也可以是不相等的。
根据边长的关系，四边形可以分为以下几种形式：(1) 矩形：具有四个边相等、四个角均为直角的四边形；(2) 正方形：具有四条边相等、四个角均为直角的矩形；(3) 平行四边形：具有两对边平行的四边形；(4) 菱形：具有四条边相等的四边形。
3. 对角线性质对角线是四边形内部的一条直线，连接四边形的两个非相邻顶点。
根据对角线的性质，我们可以得出以下结论：(1) 矩形和正方形的对角线相等且相互平分；(2) 平行四边形的对角线互相平分；(3) 菱形的对角线互相垂直且相等。
4. 对边性质四边形的对边可以分为两对，相邻边和非相邻边。
对于相邻边，我们有以下发现：(1) 矩形和正方形的相邻边相等；(2) 平行四边形的相邻边相等。
5. 其他性质除了上述角度、边长、对角线和对边的性质外，还有一些其他值得注意的性质：(1) 矩形和正方形的两组相对边平行且相等；(2) 平行四边形的两组相对边平行；(3) 菱形的两组相对边相等。
综上所述，四边形的性质包括了角度、边长、对角线、对边和其他特殊性质。
了解这些性质，能够帮助我们更好地识别和分类四边形，并在解题和实际应用中灵活运用。
（以上内容仅供参考，具体内容可根据需要进行补充和修改）。
四边形的性质知识点总结
四边形的性质知识点总结四边形是数学中重要的几何图形，具有丰富的性质和特点。
在本文中，将对四边形的性质进行总结和说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 四边形的定义四边形是由四条线段连接而成的闭合图形。
它的特点是具有四条边和四个顶点。
常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形、菱形等。
2. 四边形的特征性质2.1 对角线四边形的对角线是连接四边形的两个非相邻顶点的线段。
对角线可以分为两条：一条是连接相邻顶点的线段，另一条是连接非相邻顶点的线段。
对角线有以下性质：- 平行四边形的对角线相等，即两条对角线长度相等。
- 矩形、菱形和正方形的对角线相等。
- 对角线相交于一点的四边形被称为交错四边形，交错四边形的对角线互相平分。
2.2 边与角四边形的边和角也具有一些特征性质：- 矩形和正方形的对边相等，即相对的两边长度相等。
- 平行四边形的对边平行且相等。
- 矩形和平行四边形的内角是180度，即对边的内角和为180度。
- 菱形的内角是120度，即对边的内角和为120度。
2.3 各类四边形的特性不同类型的四边形还有各自独特的特性：- 正方形是一种特殊的矩形，它的四边相等且内角均为90度。
- 矩形的对边相等，内角为90度。
- 平行四边形的对边平行且相等。
- 菱形的对边相等，内角为60度。
- 梯形是具有一对相对平行边的四边形。
梯形中，对边不平行的两个角互补且和为180度。
- 边长相等的四边形被称为等边四边形，如正方形和菱形。
- 具有四个相等内角的四边形被称为等角四边形。
3. 四边形的周长和面积计算在计算四边形的周长和面积时，可以根据不同类型的四边形采用相应的公式。
- 矩形的周长为2倍长加2倍宽，面积为长乘以宽。
- 正方形的周长为4倍边长，面积为边长的平方。
- 平行四边形的周长为2倍长加2倍宽，面积为底边乘以高。
- 菱形的周长为4倍边长，面积为对角线之积的一半。
总结以上，通过对四边形的定义、特征性质以及周长和面积计算公式的总结，我们可以更好地理解四边形的性质和特点。
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1、四边形性质
名称
平行四边形
菱形
矩形
正方形
等腰梯形
图形
性质
①对边平行且相等 ②对角相等，邻角互补 ③对角线互相平分
①具有平行四边形的 所有性质 ②四边相等
③对角线互相垂直、平 分，且每条对角线 平分一组对角
①具有平行四边形 的所有性质 ②四个角都是直角 ③对角线互相平分且相等 ①具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质 ②四边相等，四个角都是直角 ③对角线互相垂直平分且相等，且每条对角线平分一组对角 ①两腰相等，两底平行
②同一底上的两个内角相等 ③对角线相等 判定
①两组对边分别平行的 四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
③一组对边平行且相等
的四边形是平行四边
形
④两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
⑤两条对角线互相平分
的四边形是平行四边 形
①有一组邻边相等的
平行四边形是菱形
②四条边都相等的四
边形是菱形
③对角线互相垂直的
平行四边形是菱形
④对角线互相垂直平
分的四边形是菱形
①有一个角是直角
的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形 ③对角线相等的平 行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
①有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形 ②有一组邻边相等的矩形是正方形
③有一个角是直角的菱形是正方形
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
⑥对角线互相垂直的矩形是正方形
⑦对角线相等的菱形是正方形
①两腰相等的梯形是等腰梯形 ②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ③对角线相等的梯形是等腰梯形
周长
一组邻边之和的2倍
()BC AB C +=2
边长的4倍
AB C 4=
一组邻边之和的2倍
()BC
AB C +=2
边长的4倍 AB C 4=
四边之和 面积
对应的底⨯对应的高
AF
CD AE BC S ⋅=⋅= ①底⨯高：
AE BC S ⋅= ②对角线乘积的一半
BD
AC S ⋅=2
1 长⨯宽 AB
BC S ⋅= 边长的平方
2
AB S =
(
)
2
÷⨯+高下底上底 ()AE BC AD S ⋅+=21 对称性
中心对称图形
中心对称图形 轴对称图形
中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形
轴对称图形 2、等腰梯形常用辅助线作法：
（1）作两条高线 （2）平移一条腰
（3）延长两腰 （4）取中点旋转
（5）取中点对称 （6）平移一条对角线
3、几个推论：
①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、中位线定理：
①三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
②梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
5、中点四边形
（1）中点四边形的形状由原四边形的对角线相等或垂直的关系来确定：
当原四边形的对角线相等时，转化到中点四边形的边上，则中点四边形的四条边都相等，所以，该中点四边形是菱形；
当原四边形的对角线垂直时，转化到中点四边形的角上，则中点四边形的四个
角都是直角，所以，该中点四边形是矩形；
当原四边形的对角线相等且垂直时，则中点四边形的四条边都相等，四个角都是直角，所以，该中点四边形是正方形；
当原四边形的对角线既不相等又不垂直时，根据三角形的中位线定理，可得该中点四边形是平行四边形；
（2）几种特殊的中点四边形： 不规则四边形的中点四边形是平行四边形；
平行四边形的中点四边形是平行四边形； 菱形的中点四边形是矩形； 矩形的中点四边形是菱形；
正方形的中点四边形是正方形；
一般梯形的中点四边形是平行四边形； 等腰梯形的中点四边形是菱形；
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
A
B
C
D
A
B
D
C A
B C
D
E
A D
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