第2章 控制工程的数学基础1

第2章 控制工程的数学基础拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。

它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。

利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。

在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。

2.1 拉氏变换2.1.1 拉氏变换的定义设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分⎰+∞-0)(dt e t f st在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st-+∞⎰=0)()( （2.1）则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。

记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）。

在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-0。

因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定义式中积分下限约定为-0，而不再声明。

实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。

2.1.2 几种常用函数的拉氏变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为()⎩⎨⎧=∞≠=000t t t δ 并且 ()⎰∞+∞-=1dt t δ （2.2）根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ，有()[]()⎰+∞-=dt e t t L st δδ()()100=====-+∞∞--+∞-⎰⎰-t stst st e dt e t dt e t δδ单位脉冲函数的拉氏变换为()[]1=t L δ （2.3）2. 单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<==01001t t t t f （2.4）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有t()[]sse dt e t L stst1110=-==+∞-∞+-⎰这种函数的拉氏变换是()[]st L 11=（2.5） 3. 单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为()()⎩⎨⎧≥<=⋅=001t t t t t t f （2.6）根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[]⎰⎰∞+--∞+-+∞+-==0010dt e s e st dt te t f L stst st21s =这种函数的拉氏变换是()[]21st f L =（2.7） 4. 指数函数指数函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=-000t et t f tα （2.8）其中α为常数。

根据拉氏变换的定义（2.1）式，有()[][]()dt e dt e e e L t f L t s st t t ⎰⎰+∞+--+∞--===0ααα()ααα+=∞++-=+-s e s t s 101 指数函数的拉氏变换是()[][]αα+==-s e L t f L t 1（2.9） 5. 正弦函数正弦函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=0sin 00t t t t f ω （2.10）其中，ω为常数。

根据欧拉公式()t j tj e e jt ωωω--=21sin 有[]()⎰∞+---=021sin dt e e e j t L st t j tj ωωω()(){}⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰⎰∞+∞++---ωωωωj s j s j dt e dt e j tj s t j s 112121022ωω+=s正弦函数的拉氏变换是()[][]22sin ωωω+==s t L t f L （2.11）6. 余弦函数余弦函数的数学表达式为()⎩⎨⎧≥<=0cos 00t t t t f ω （2.12）其中，ω为常数。

根据欧拉公式()t j tj e e t ωωω-+=21cos 有[]()⎰∞+--+=021cos dt e e e t L stt j t j ωωω ()(){}2200112121ωωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+=⎰⎰∞+∞++---s s j s j s dte dt e t j s t j s余弦函数的拉氏变换是[]22cos ωω+=s st L （2.13）为便于查阅，我们将控制工程中一些常用函数的拉氏变换列于书末的附表中。

2.1.2 拉氏变换的基本性质下面介绍拉氏变换的几个基本性质。

为方便起见，假定在这些性质中，凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件。

1．线性性质设[])()(11s F t f L =，[])()(22s F t f L =，若α，β是常数，则有[][][])()()()()()(212121s F s F t f L t f L t f t f L βαβαβα+=+=+ （2.14）这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。

其证明只须根据定义，利用积分性质就可推出。

2．微分性质设()[]()s F t f L =，则有()()0)(f s sF dt t df L -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （2.15） 式中()0f 是原函数()t f 在0=t 处的值。

对于()t x 的n 阶导数的拉氏变换有[]()()())0(00)()1(21)(----⋯-'--=n n n n n f f s f s s F s t f L （2.16）式中，()()()()()()()0,,0,0,0121-n f f f f 分别为原函数()t f 及其各阶导数在0=t 处的值。

若原函数()t f 及其各阶导数的初始值均为零，例如从静态（平衡状态）开始的运动，则微分性质可表达成[]()s F s t f L n n =)()( （2.17） 即原函数()t f 的n 阶导数的拉氏变换，等于其象函数()s F 乘以s 的n 次方。

3．积分性质设()[]()s F t f L =，则有)(1)(0s F sdt t f L t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2.18） 重复应用（2.18）式，就可得到)(1)(000s F sdt t f dt dt L n t t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ （2.19） 即原函数()t f 的n 重积分的拉氏变换，等于其象函数()s F 除以s 的n 次方。

4．位移性质(1) 设()[]()s F t f L =，则有[])()(a s F t f e L t-=α (Re c a s >-)() (2.20)即一个函数乘以指数函数te α的拉氏变换等于其象函数作位移α。

位移性质在工程上很有用处，它可以简化一些复杂函数的拉氏变换运算。

5．延迟性质设()[]()s F t f L =，又0<t 时0)(=t f ，则对于任一非负实数τ，有[])()(s F e t f L s ττ-=- （2.21）6．初值定理设()[]()s F t f L =，且()s sF s ∞→lim 存在，则()()()s sF t f f s t ∞→→==lim lim 00（2.22）7．终值定理设()[]()s F t f L =，且)(s sF 的所有极点全部在[s ]平面的左半部，即在[s ]平面的右半部和虚轴上没有极点，则()()s sF t f f s t 0lim lim )(→∞→==∞ （2.23）证明：因为)(s sF 在[s ]平面的右半部和虚轴上没有极点，所以，)(s sF 在[s ]平面的右半部和虚轴上连续，而[]()()0)(f s sF t f L -='对上式两边取极限，令s 从包含虚轴的右半平面趋于0[]()()0lim )(lim 00f s sF t f L s s -='→→由于)(s sF 连续到边界（虚轴），所以，)(lim 0s sF s →存在，从而[])(lim 0t f L s '→存在，由L 变换的定义，有[]⎰+∞-'='0)()(dt e t f t f L st取极限，得[])0()()()(lim )(lim )(lim 0000f f dt t f dte tf dt e t f t f L st s st s s -+∞='='='='⎰⎰⎰∞++∞-→+∞-→→即())0(lim )0()(0f s sF f f s -=-∞→ ()s sF f s 0lim )(→=+∞（证毕） 在很多情况下，只要确定函数)(t f 的终值)(∞f ，可以不必求出)(t f ，而是用终值定理求)(lim 0s sF s →就可以了。

终值定理是系统稳态分析的重要工具，在控制理论中具有很重要的地位。

注意在运用终值定理之前，必须确定它满足终值定理的所有条件，如增长函数，周期函数等是不能运用终值定理的。

8．卷积积分定理卷积的概念在系统分析中有很重要的意义。

两个时间函数()t g 和()t x 的卷积积分定义为()()=*t x t g ()()()()⎰⎰-=-ttd t x g d x t g 0ττττττ （2.24）上式中“*”表示两个时间函数()t g 和()t x 的卷积积分。

设()[]()s G t g L =和()[]()s X t x L =，则()()[]()()s X s G t x t g L =* （2.25）式（2.25）即为卷积积定理，证明如下：根据拉氏变换条件：当0<t 时，()0=t x 。

当t >τ时，()0=-τt x ，因此()()()()⎰⎰∞-=-td x t g d t x t g 0τττττ于是()()⎰-t d t x t g 0ττ()()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00dt d t x t g et stττ ()()τττd x dt e t g st⎰⎰∞∞--=0令λτ=-t ，则τλ+=t ，λd dt =代入式（2.20）得()()()()()⎰⎰⎰∞∞+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000τλλττττλx d e g d x t g L s t()()()()s X s G d e x d e g s s ==⎰⎰∞∞--00ττλλτλ 同理可以证明()()()()s X s G d t x t g L t=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰0ττ （2.26） 可见函数()t f 和()t g 的卷积，与它们的先后次序无关，亦卷积具有对称性。